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△ADE∽△ABC
结论:三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似
改变点D在AB上的位置,继续观察图形,容易进一步 猜想△AD’E’与△ABC仍有相似关系．因此，我们有：
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似．
平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交, 所得的三角形与原三角形___相__似___.
解： 与△ABC相似的三角形有3个: A
△ADE △GFC △GOE
D
B F
G
O
E
C
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形；
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_1_：__4_。
A
D E F
B
G H I
C
上面我们根据相似三角形的定义，通过证明两 个三角形的对应角相等，对应边的比相等得到了一 个关于三角形相似的结论．学习三角形全等时，我 们知道，除了可以通过证明对应角相等，对应边相 等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法 （SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角 形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一 一验证呢？
三角形是证明的
中介，它把 △ABC与 △A’B’C’联系起 来．
A
A’
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
B’
C’
△ABC∽△A’B’C’
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的 三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？ 相似比是多少？
２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？ 两个等腰直角三角形呢？
３、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ 两个等边三角形呢？
300
450
它们是相似三角形吗？为什么？
A
A′
5 82° 3
82°
B 47°
66
C 10
6
51°
B′
12
C′
在相似多边形中,最简单的就是相似三角形 在△ABC和△A’B’C’中,如果
先证明两个三角形的对应角相等.
在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A, ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等.
过E作EF//AB,EF交BC于F点.
在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.
∵AD=DB= 1 AB, 2
∴AD=EF.
又∠A=∠1, ∠2=∠C,
A
D
∴ DE BC , EA CA .
BC BC CA CA
因此 DE BC, EA CA .
∴△ADE≌△ ABC
∴△ ABC∽△ABC
B
C` E
C
要证明 △ABC∽△A’B’ C’，可以先作一 个与△ABC全等 的三角形，证明 它△A’B’C’与相 似．这里所作的
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm． 试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由．
(2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
如图已知 AB BC AC ，试说明∠BAD=∠CAE.
AB AC BC A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵ AD AB, AD AB
AB AB
又 AB AC BC
AB AC BC
AD AE DE
B`
AB AC BC
“A”型
“X”型
A
D
E
O
D
E
B （图1） C
B
（图2）
C
请写出它们的对应边的比例式
已知：如图，AB∥EF ∥CD，
图中共有_3___对相似三角形。 A
AB∥EF
△AOB∽ △FOE
AB∥CD △AOB ∽△DOC
EF∥CD
△EOF∽△COD E
B
O F
C
D
如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、 GF交于点O，则图中与△ABC相似的三角 形共有多少个?请你写出来.
AD DE AE
证明Q AB BC AC AD DE AE
A E
∴ΔABC∽ΔADE
D C
∴∠BAC=∠DAE
B
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
如图在正方形网格上有A1B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
答案是2:1
∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’,
我们就说△ABC与△A’B’C’相似,
记作:△ABC∽△A’B’C.
k就是它们的相似比.
如果k=1,这两 个三角形有怎
样的关系?
？ 思考
如图,在△ABC中,点D是 边AB的中点,DE//BC,DE交 AC于点E, △ADE与△ABC 有什么关系?
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论.
类似于判定三角形全等的方法，我们还能不 能通过三边来判断两个三角形相似呢？
三边对应成
A
比例
A’
B’
C’
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
已知:如图△ABC和△ ABC 中, AB AC BC
求证:△ABC∽△A`B`C`
∴△ADE≌△EFC,
∴AE=EC= 1 AC,
2
DE=FC=BF=
1
BC.
2
即:△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
AD= 1 AB,AE= 1 AC,DE= 1 BC.
2
2
2
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2
这样,我们证明了△ADE 和△ABC的对应角相等,对 应边的比相等,所以它们相 似,相似比等于0.5.
三边对应成比例,两三角形相似.
•不经历风雨，怎么见彩虹 •没有人能随随便便成功!
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形 的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的 一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6 2
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边 (或延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似;
