生活中的优化问题举例
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生活中的优化问题举例引言生活中,我们经常面临各种各样的问题和挑战。
为了提高效率、提升生活质量,我们需要不断寻找解决问题的方法和策略。
在这篇文章中,我们将探讨生活中的优化问题,并给出一些实际的例子来说明如何应对这些问题。
什么是优化问题?优化问题是指在给定的限制条件下,寻找一个最优解的问题。
通过优化,我们可以最大限度地提高效率、降低成本、提升满意度等。
在生活中,我们可以将优化问题应用于各个领域,如时间管理、健康管理、金融规划等。
生活中的优化问题举例1. 时间管理时间管理是一个常见的生活优化问题。
我们每天都面临着有限的时间资源,如何合理分配时间成为了一个重要的课题。
以下是一些可以帮助我们优化时间管理的方法和技巧:1.制定优先级:将任务按照重要性和紧急性进行排序,优先处理重要且紧急的任务,避免因琐碎的事务耗费过多时间。
2.打破大目标:学会将大目标分解成小目标,逐步推进。
这样可以减少任务的压力,并更好地管理时间。
3.制定时间表:制定一个明确的时间表,为每项任务规定固定的时间段。
这样可以提高效率,并避免时间的浪费。
4.利用时间碎片:充分利用日常生活中的碎片化时间,比如排队等待、交通工具上的时间,可以用来读书、听课等。
2. 健康管理健康是幸福生活的基石,因此健康管理也成为了一个重要的优化问题。
以下是一些可以帮助我们优化健康管理的方法和策略:1.合理饮食:均衡饮食是健康的基础。
合理控制饮食,摄入适量的营养物质,避免过量或偏食,有助于维持身体的健康状态。
2.积极运动:适量的运动可以帮助我们保持身体健康和心理平衡。
根据个人情况选择合适的运动方式和时间,如慢跑、游泳、瑜伽等。
3.规律作息:良好的作息习惯对于身体和心理健康至关重要。
合理安排睡眠时间,确保充足的休息,有助于保持精力充沛和情绪稳定。
4.健康检查:定期进行身体检查,及时发现和处理潜在的健康问题,有助于预防和治疗疾病。
3. 金融规划金融规划是一个经济优化的问题。
生活中的优化问题举例1、如图所示,设铁路50=AB ,C B 、之间的距离为10, 现将货物从A 运往C ,已知单位距离铁路费用为2,公路 费用为4,问在在AB 上何处修筑公路至C ,可使运费由A 至C 最省?2、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为10海里/小时,燃料费每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1海里所需的费用总和最小?3、已知B A 、两地相距200km ,一条船从A 地逆水到B 地,水速为h km /8,船在静水中的速度为()08/v v h vkm ≤<,若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比,当h km v /12=时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少?4、已知矩形的两个顶点位于x 轴上,另两个顶点位于抛物线24x y -=在x 轴上方的曲线上,求这个矩形面积最大时的边长。
5、扇形AOB 中,半径2,1π=∠=AOB OA ,在OA 的延长线上有一动点C ,过C 点作CD 与弧AB 相切于点E ,且与过点B 所作的OB 的垂线交于点D ,问当点C在什么位置时,直角梯形OCDB 的面积最小?6、从长为32cm 、宽为20cm 的矩形薄铁板的四角剪去边长相等的正方形,做一个无盖的箱子,问剪去的正方形边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?7、某集团为了获得更大的利益,每年要投入一定的资金用于广告促销,经调查,每年投入广告费t (百万元),可增加销售额约为t t 52+-(百万元)()50≤≤t(1)、若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?(2)、现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告促销和技术改造,经预测,每投入技术改造费x 百万元,可增加的销售额约为x x x 33123++-(百万元);请设计一个资金分配方案,使公司由此获得的收益最大。
1。
4生活中的优化问题举例1.要制做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为() A。
错误!cm B.错误!cm C.错误!cm D.错误!cm [答案] D2.用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3:4,那么容器容积最大时,高为()A.0.5m B.1m C.0。
8m D.1.5m[答案] A[解析]设容器底面相邻两边长分别为3x m、4x m,则高为错误!=错误!(m),容积V=3x·4x·错误!=18x2-84x3错误!,V′=36x-252x2,由V′=0得x=1或x=0(舍去).x∈错误!时,V′〉0,x∈错误!时,V′<0,7所以在x=错误!处,V有最大值,此时高为0。
5m。
3.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A.R B.2R C.错误!R D.错误!R[答案] C[解析]设圆锥高为h,底面半径为r,则R2=(h-R)2+r2,∴r2=2Rh-h2, ∴V=错误!πr2h=错误!h(2Rh-h2)=错误!πRh2-错误!h3,V′=错误!πRh-πh2。
令V′=0得h=错误!R.当0<h〈错误!R时,V′〉0;当错误!<h〈2R时,V′〈0。
因此当h=错误!R时,圆锥体积最大.4.福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x 小时时,原油温度(单位:℃)为f(x)=错误!x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是()A.8 B.错误!C.-1 D.-8[答案] C[解析]瞬时变化率即为f′(x)=x2-2x为二次函数,且f′(x)=(x-1)2-1,又x∈[0,5],故x=1时,f′(x)min=-1.5.某厂生产某种产品x件的总成本:C(x)=1 200+错误!x3,又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时,产量应定为__________件.[答案]25[解析]设产品单价为a元,又产品单价的平方与产品件数x成反比,即a2x=k,由题知a=错误!。
生活中的优化问题举例
以下是一些生活中常见的优化问题举例:
1. 路线规划:对于一次旅行或者日常通勤,如何选择最短或最快的路线,以节省时间和资源。
2. 日程安排:如何合理分配时间,使得工作效率最大化,同时留出时间进行休息和娱乐。
3. 购物决策:在购买商品时,如何选择最佳的品牌、型号或价格,以满足需求并节约开支。
4. 饮食计划:如何合理安排饮食,以保证营养均衡,同时避免浪费和过量摄入。
5. 能源使用:如何优化能源的使用,例如合理设置空调温度、减少电器待机时间等,以节约能源成本并保护环境。
6. 个人理财:如何合理规划个人财务,包括投资、储蓄和债务,以实现财务增长并达到目标。
7. 旅游安排:在进行旅游计划时,如何选择最佳的目的地、交通方式、住宿和活动,以满足旅行的需求。
8. 学习方法:如何优化学习方法,例如选择适合个人的学习时间、学习环境和学习资源,以提高学习效率。
9. 生活习惯:如何培养健康的生活习惯,例如规律作息、科学饮食和适度运动,以改善身体健康。
10. 时间管理:如何合理分配时间,设置优先级和避免拖延,以提高工作和生活的效率。
探讨数学最优化问题在现实生活中的应用
数学最优化问题是现实生活中非常重要的一个领域。
它可以帮助我们在各种情况下找到最优解决方案,从而提高效率和效益。
以下将探讨数学最优化问题在现实生活中的应用。
1. 交通规划
在城市交通规划中,数学最优化问题可以帮助交通规划者确定哪些道路需要扩建或改建,以及如何设计路网、规划交叉口等问题。
通过对交通流量、拥堵状况等各种因素进行分析,可以通过建模求解来找到最优化的解决方案,以缓解交通拥堵问题,提高交通运输效率。
2. 财务分析
在企业财务分析中,数学最优化问题可以帮助企业确定最佳的经营策略和资金投资方案。
通过对市场需求、资产收益、风险等因素进行建模,利用各种优化算法求解,可以找到企业最优的经营策略和投资组合,从而最大化企业的盈利和效益。
3. 电力系统
在电力系统设计和管理中,数学最优化问题可以帮助工程师确定最佳的发电机容量、输电线路布局、电力市场展望等问题。
通过对电力供需、电力负载、电力成本等各种因素进行分析和建模,可以利用各种最优化算法求解目标函数,以达到最大化电力系统效益的目的。
4. 生产系统
在工业生产中,数学最优化问题可以帮助企业确定最佳的生产计划、生产布局、零部件库存管理等问题。
通过对资源利用率、工人效率、成本效益等因素进行建模,可以通过最优化求解来找到最佳的生产策略和生产规划,以提高生产效率和效益。
5. 医疗系统。
学案60答案 生活中的优化问题举例例1. 用长为90 cm ,宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解:设容器的高为x ,容器的容积为V ,则V =(90-2x )(48-2x )x (0<x <24),即V =4x 3-276x 2+4 320x .因为V ′=12x 2-552x +4 320,由V ′=12x 2-552x +4 320=0,得x 1=10,x 2=36. 因为0<x <10时,V ′>0,10<x <36时,V ′<0,x >36时,V ′>0,所以当x =10时,V 有极大值V (10)=19 600.又因为0<x <24,所以V (10)也是最大值.所以当x =10时,V 有最大值V (10)=19 600.故当容器的高为10 cm 时,容器的容积最大,最大容积是19 600 cm 3.例2.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1海里所需的费用总和最小?解:设速度为每小时v 海里的燃料费是每小时p 元,那么由题设的比例关系得p =k ·v 3,其中k 为比例系数,它可以由v =10,p =6求得,即k =6103=0.006,则p =0.006v 3.又设当船的速度为每小时v 海里时,行1海里所需的总费用为q 元,那么每小时所需的总费用是0.006v 3+96(元),而行1海里所需时间为1v小时,所以行1海里的总费用为q =1v (0.006v 3+96)=0.006v 2+96v .q ′=0.012v -96v 2=0.012v 2(v 3-8 000), 令q ′=0,解得v =20.因为当v <20时,q ′<0;当v >20时,q ′>0,所以当v =20时q 取得最小值,即速度为20海里/小时时,航行1海里所需费用总和最小.例3.某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本为20元,并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数,且2≤t ≤5),设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q 与e x 成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100公斤.(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式;(2)若t =5,当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时,该工厂的每日利润最大?并求最大值.解: (1)设日销量q =k e x ,则k e 30=100,所以k =100e 30, 所以日销量q =100e 30e x ,所以y =100e 30(x -20-t )e x (25≤x ≤40).(2)当t =5时,y =100e 30(x -25)e x ,所以y ′=100e 30(26-x )e x . 由y ′>0,得x <26,由y ′<0,得x >26,所以y 在[25,26)上单调递增,在[26,40]上单调递减,所以当x =26时,y max =100e 4.故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的每日利润最大,最大值为100e 4元.四、反馈训练1.已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为y =-13x 3+81x -234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A .13万件 B .11万件 C .9万件 D .7万件1.解析:选C.因为x >0,y ′=-x 2+81=(9-x )(9+x ),令y ′=0,解得x =9或x =-9(舍去),当x ∈(0,9)时,y ′>0,当x ∈(9,+∞)时,y ′<0,所以y 先增后减.所以当x =9时函数取得最大值.选C.2.用长为24 m 的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体体积的最大值为________.2.解析:设长方体的底面边长为x m ,则高为(6-2x )m ,所以x ∈(0,3),则V =x 2(6-2x )=6x 2-2x 3,V ′=12x -6x 2,令V ′=0得x =2或x =0(舍),所以当x ∈(0,2)时,V ′>0,V 是增函数,当x ∈[2,3)时,V ′<0,V 是减函数,所以当x =2时,V max =22×2=8(m 3).3.某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售a 件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价格提高的百分率为x (0<x <1),那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元).(1)写出y 关于x 的函数关系式;(2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.解:(1)改进工艺后,每件产品的销售价为20(1+x ),月平均销售量为a (1-x 2)件,则月平均利润y =a (1-x 2)·[20(1+x )-15](元),所以y 关于x 的函数关系式为y =5a (1+4x -x 2-4x 3)(0<x <1).(2)由y ′=5a (4-2x -12x 2)=0,得x 1=12,x 2=-23(舍去),当12<x <1时,y ′<0,当0<x <12时,y ′>0; 所以函数y =5a (1+4x -x 2-4x 3)(0<x <1)在x =12处取得极大值,即最大值. 故改进工艺后,产品的销售价为20⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12=30元时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.五、课时作业.1.已知某商品的进货单价为1元/件,商户甲往年以单价2元/件销售该商品时,年销量为1万件,今年拟下调销售单价以提高销量,增加收益.据测算,若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2),今年新增的年销量(单位:万件)与(x -2)2成正比,比例系数为4.(1)写出今年商户甲的收益y (单位:万元)与今年的实际销售单价x 间的函数关系式;(2)商户甲今年采取降低单价,提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)?说明理由.解:(1)由题意知,今年的销售量为[1+4(x -2)2](万件).因为每销售一件,商户甲可获利(x -1)元,所以今年商户甲的收益y =[1+4(x -2)2]·(x -1)=4x 3-20x 2+33x -17(1≤x ≤2).(2)由(1)知y =f (x )=4x 3-20x 2+33x -17,1≤x ≤2,从而y ′=f ′(x )=12x 2-40x +33=(2x -3)(6x -11).令y ′=0,解得x =32或x =116.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=1,f (2)=1, 所以f (x )在区间[1,2]上的最大值为1(万元).而往年的收益为(2-1)×1=1(万元),所以,商户甲采取降低单价,提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益.2.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r m ,高为h m ,体积为V m 3.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/m 2,底面的建造成本为160元/m 2,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V 表示成r 的函数V (r ),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V (r )的单调性,并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大. 解:(1)∵蓄水池侧面的总成本为100×2πrh =200πrh (元),底面的总成本为160πr 2元,∴蓄水池的总成本为(200πrh +160πr 2)元.根据题意,得200πrh +160πr 2=12 000π,所以h =15r(300-4r 2), 从而V (r )=πr 2h =π5(300r -4r 3). 由h >0且r >0,可得0<r <53,故函数V (r )的定义域为(0,53).(2)由(1)知V (r )=π5(300r -4r 3), 故V ′(r )=π5(300-12r 2). 令V ′(r )=0,解得r 1=5,r 2=-5(舍去).当r ∈(0,5)时,V ′(r )>0,故V (r )在(0,5)上为增函数;当r ∈(5,53)时,V ′(r )<0,故V (r )在(5,53)上为减函数.由此,可知V (r )在r =5处取得最大值,此时h =8,即当r =5,h =8时,该蓄水池的体积最大.3.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y (单位:千克)与销售价格x (单位:元/千克)满足关系式y =a x -3+10(x -6)2,其中3<x <6,a 为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a 的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解:(1)因为x =5时,y =11,所以a 2+10=11,解得a =2. (2)由(1)可知,该商品每日的销售量y =2x -3+10(x -6)2, 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )=(x -3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x -3+10(x -6)2=2+10(x -3)(x -6)2(3<x <6). f ′(x )=10[(x -6)2+2(x -3)(x -6)]=30(x -4)(x -6),解30(x -4)(x -6)=0,得x 1=4,x 2=6(舍去).当x所以,当x =4时,函数f (x )取得最大值,最大值为42.故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大4.已知某公司生产某种产品的年固定成本为10万元,每生产1千件该产品需要另投入1.9万元.设R (x )(单位:万元)为销售收入,根据市场调查知R (x )=⎩⎪⎨⎪⎧10x -130x 3,0≤x ≤10,2003,x >10.其中x 是年产量(单位:千件). (1)写出年利润W 关于年产量x 的函数解析式;(2)求年产量为多少时,该公司可从这一产品生产中获得最大利润?解:(1)设年产量为x 千件,年利润为W 万元,依题意有W =⎩⎪⎨⎪⎧10x -130x 3-10-1.9x ,0≤x ≤10,2003-10-1.9x ,x >10.(2)设f (x )=-130x 3+8.1x -10,0≤x ≤10. f ′(x )=-110x 2+8.1,令f ′(x )=0得x 1=9,x 2=-9(舍去).当0<x <9时,f ′(x )>0;当9<x <10时,f ′(x )<0,故当x =9时,f (x )取得最大值38.6.当x >10时,f (x )=1703-1.9x <1133<38.6. 即当年产量为9千件时,该公司所获年利润最大.5.如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场,圆心为O ,半径为100 m ,其与城站路一边所在直线l 相切于点M ,MO 的延长线交圆O 于点N ,A 为上半圆弧上一点,过点A 作l 的垂线,垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化,设△ABM 的面积为S (单位:m 2).(1)以∠AON =θ(rad)为自变量,将S 表示成θ的函数;(2)求使绿化面积最大时点A 的位置及最大绿化面积.解:(1)由题意知,BM =100sin θ,AB =100+100cos θ,故S =5 000sin θ(1+cos θ)(0<θ<π).(2)因为S =5 000sin θ(1+cos θ)(0<θ<π),所以S ′=5 000(cos θ+cos2θ-sin 2θ)=5 000(2cos 2θ+cos θ-1)=5 000(cos θ+1)(2cos θ-1).令S ′=0,得cos θ=12或cos θ=-1(舍去),又θ∈(0,π),故θ=π3. 当0<θ<π3时,12<cos θ<1,S ′>0; 当π3<θ<π时,-1<cos θ<12,S ′<0. 故当θ=π3时,S 取得极大值,也是最大值,最大值为3 7503,此时AB =150. 即当点A 距路边的距离为150 m 时,绿化面积最大,最大面积为3 750 3 m 2.。