偏导数与全微分习题

= 。
−
例1、设 = ⅇ , sin
ⅆ
，具有连续导数，求 。
ⅆ




例2、设 = 2 − 2 , sin ，求 ， 。
例3、设 =
例4、设 =
, ⅇ− , 2


+ 3

，f具有连续导数，求 ， 。

方向导数的计算



= cos + cos ，，分别为与x轴y轴的正向相交的夹角。



例1、求 = ⅇ2 在点 1,0 处从点 1,0 到 2, −1 的方向导数。

推广：在(, , )中，

=
例2、已知两点 1,1,1 ， 5,7,3 ，求 =
量方向的方向导数。

cos 2

1

+

cos

1
2
+

cos

6 2 + 8 2 在P点沿向
五、梯度


定义函数 = , 在点 , 的梯度，记为graⅆ , = ∇ , = Ԧ + Ԧ。

性质：
1、梯度是一个向量。
2、沿梯度方向的导数达到最大。
2、 = , ，其中 = , , ， = , , 。

=
+



=
+


=
+


3、 = f , ，其中 = ， = 。
=
⋅
+

z ′x = 2(sin xy )(cos xy ) y + y 2 z ′y = 2(sin xy )(cos xy ) x + 2 yx
dz = z′ dx + z′ dy x y
= [2(sin xy )(cos xy ) y + y ]dx
2
+ [2(sin xy )(cos xy ) x + 2 yx ]dy .
2.偏导数 设有函数 z = f ( x , y ), 如果极限 偏导数
f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y0 ) lim = lim0 ∆y → ∆y → 0 ∆ y ∆y
∆ yz
存在, 存在 则称此极限为 f ( x , y )在点
( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数 的偏导数.
第三节 偏导数与全微分
一.二元函数的偏导数 二元函数的偏导数 1.改变量 改变量
全改 变量 偏改 变量 偏改 变量
x : x 0 → x 0 + ∆x
y : y 0 → y 0 + ∆y
∆ z = f ( x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 )
∆ x z = f ( x 0 + ∆x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 )
+ x ln x
y
f x′ (1,2) = 2e 2 + 2 f y′ (1,2) = e 2 .
y ∂z ∂z 例3 设 z = arctan x , 求证 x + y = 0. ∂x ∂y
证
∂z = ∂x
y y (− 2 ) = − 2 2 y 2 x +y x 1+ ( ) x ∂z 1 x 1 = ( ) = 2 y 2 x ∂y x + y2 1+ ( ) x y x ∂z ∂z x ) + y( 2 ) = 0. +y = x(− 2 2 2 x +y x +y ∂x ∂y

可表示为的全增量在点若函数),(),(),(),(000000y x f y y x x f z y x y x f z -∆+∆+=∆=,,,无关的常数是与其中y x B A ∆∆记为oxyx∆y∆ρ0000(,)(,),(,)(,).z f x y x y A x B y z f x y x y =∆+∆=则称函数在点可微称为函数在点全微分定义 17.1.217.1.3 全微分()z A x B y o ρ∆=∆+∆+()()22x y ρ=∆+∆dz A x B y=∆+∆()()()()0022,0lim0(,).x y x y z dz o z dzx y y f x ρρ∆→∆→∆-=→∆-=∆+∆注：若在可微，则有（），即给出了判定多元函数可微的方法.()()0000..(,),(,),.f x y x y f x y x y 1711命题：若函数在可微，则在连续()()()()()()()()()()()()()000000022002222220000lim ,,lim lim lim lim limx x y y x y x x x y y y f x x y y f x y zA xB y o x y ox y A x B y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆+∆-=∆⎛⎫=∆+∆+∆+∆ ⎪⎝⎭∆+∆=∆+∆+⋅∆+∆=∆+∆证明：由()()()00000000lim ,,(,),x y f x x y y f x y f x y x y ∆→∆→+∆+∆=从而得到，则在连续.()()()()()()()000000..2(,),,,.,f x x y y f x y f x y A x B y x y x x y y y x αβ+∆+∆-=∆+∆+∆∆∆+∆∆∆171命题函数在点可微的充分必要条件，()()()()()()22lim ,0lim ,0,,,.x y x y x y A B ρραβρ→→∆∆=∆∆==∆+∆其中，为两个常数()()()()00000000..(,),(,),.,,x y A B f x y f x y f x y x y f x y x y ''1712定理（可微的必要性条件）若函数在可微，则函数在存在两个偏导数，且全微分定义中的与分别是与()00(,),f x y x y 证明：由函数在可微，则()()()()00000000,,,lim lim .x x x f x x y f x y o x f x y A A x x∆→∆→+∆-∆'==+=∆∆从而()()()0000,,z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+()()220.x y y ρ=∆+∆∆=其中当时，()()()()0000,,0f x x y f x y A x o x x +∆-=∆+∆∆→()00,.y f x y B '=同理可证上的全微分记为在区域微，函数上可在区域）都可微，则称函数（上每一点在定义域如果函数D f D f y x D y x f z ,),(=与一元函数相同，类似地，),,,(21n x x x f u =在点012(,,,)n P x x x 的全微分：,x dx y dy∆=∆=000000(,)(,)(,)x y xy dz f x y dx f x y dy''=+(,)(,)x y dz f x y dx f x y dy''=+0011n n p p f f du dx dx x x ⎛⎫⎛⎫∂∂=++⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()0(,).f x y f x x 一元函数在可导与可微是等价，对于二元函数则不然，在某点存在偏导数推不出在这点可微()()()3,0,0)0.,0(,f x y f x y xy =证明在存在两个偏例导数，但在不可微：()()()()()()00000,00,000,0lim lim 00,00,000,0lim lim 0.x x x y y y f x f f xx f y f f y y ∆→∆→∆→∆→+∆-'===∆∆+∆-'===∆∆证明：，两个偏导数存在，并且函数在原点连续可微()(,)0,0f x y 假设函数在可微，则利用定义()()2200limlimx y z dzz dzx y ρρ∆→→∆→∆-∆-==∆+∆()()()()0,00,00,00,00.x y z f x y f x y dz f x f y ∆=+∆+∆-=∆∆''=∆+∆=其中，()()22001limlim22x x y xx y x x x y ∆→∆→∆=∆∆∆-∆-==∆∆+∆()(,),0.0f x y 矛盾，因此在原点不可微0()(){}()()000010000,:,..(,),,(,),.G x y x x r f x y x y x y f x y x y y y r =-<-<1713定理（可微的充分条件）若函数在点的矩形邻域内存在两个偏导数，且两个偏导数在连续，则在点可微()00,.1,7.1.1x y x x y y G ∆∆+∆+∆∈任取充分小，使由定理证明：，()()()()0000010002,,,,x y z f x x y y f x y f x x y y x f x y y yθθ∆=+∆+∆-''=+∆+∆∆++∆∆()100201,.,01x y θθ<<<<其中已知两个偏导数在连续，有()()()()01000,,,x x f x x y y f x y x y θα''+∆+∆=+∆∆()()()()00200,,,y y f x y y f x y x y θβ''+∆=+∆∆()()()()()()0000,,,,x y z f x y x f x y y x y x x y yαβ''∆=∆+∆+∆∆∆+∆∆∆从而有()()()()()()()2200lim ,0lim ,.17.1.2(,),.0x y x y x y f x y x y ρραβρ→→∆∆=∆∆==∆+∆其中，，由命题，函数在可微偏导数存在且连续可微？222222221()sin ,0,4(,)0,0.x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩例：证明：.)0,0(),(,),( )0,0(不连续在点，而可微在原点y x f y x f y x ''证明：=')0,0(x f 220)(1sin )(1lim x x x x ∆∆∆=→∆xf x f x ∆-∆+→∆)0,0()0,0(lim0,0)(1sin lim 20=∆∆=→∆x x x .0)0,0(='y f 同理)0,0()0,0(f y x f f -∆+∆+=∆2222)()(1sin ])()([y x y x ∆+∆∆+∆=()()22y x ∆+∆=ρ.1sin 22ρρ=ρρ])0,0()0,0([limy f x f f y x ∆'+∆'-∆∴→ρρρρ221sin lim →=,01sinlim 2==→ρρρ，且可微在故 )0,0(),(y x f .0)0,0()0,0()0,0(=∆'+∆'=y f x f fd y x .)(])0,0()0,0([ρo y f x f f y x +∆'+∆'=∆即),(lim 0y x f x y x '→→),(lim 00y x f x x y x '→=→),(lim 0x x f x x '=→)21cos 121sin 2(lim 220x x x x x -=→不存在 ，不连续，在故)0,0(),(y x f x '.)0,0(),(也不连续在同理可证y x f y '22(,):0,x y x y ∀+≠有()222222121,2sin cos x x f x y x x y x y x y'=-+++222222221()sin ,0,(,)0,0.x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩多元函数连续、偏可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数偏可导函数不连续 函数不可微 函数不可微函数偏导数不存在自己补充否命题的例子.17.1.4、可微性的几何意义一元函数() y f x 可微，在几何上反映为曲线存在不平行于 y 轴的切线. 对于二元函数而言, 可微性 则反映为曲面与其切平面之间的类似关系. 为此需要先给出切平面的定义, 这可以从切线定义中获得 启发. 把平面曲线 S 在其上某一 00(,)P x y 点的切线 PT 定义为过点 P 的割线 PQ 当 Q 沿 S 趋近 P 时的极限位置 (如果存在的话). 这时,PQ 与 PT 的夹角也将随 Q →P 而趋于零　(参见ϕ图17-2). 用 h 和 d 分别表示点 Q 到直线 PT 的距离 和点 Q 到点 P 的距离, 由于∙PTϕSdh 图 17 - 2Q sin ,ϕ=hdQ S P 因此当沿趋于时,0.hd→0ϕ→等同于定义 17.1.3 设曲面 S 上一一个平面, S 上的动点仿照这个想法, 我们引进曲面 S 在点 P 的切平 面的定义(参见图17-3). ∙∙P QhdxyzO S∏图 17 - 3点 P , Π 为通过点 P 的Q 到定点 P 和到平面Π 的距离分别记为 d 和 h . 若当 Q 在 S 上以任意方式趋近于 P 时, 恒有→0,hd则称Π 为曲面 S 在点 P 的切平面, 称 P 为切点.()()()()()()()()000000000000000000(,),,(,) 17.1.4 ,, (,),,0.x y S p x y z z z f x y x y x y z f x f x y z z f x y x x f x y y y y ==''-----===二元函数在点可微的充分必要条件在点连续，且曲面：在点存在切平面：定理()()()()0000000,,()0 .x y f x y x x f x y y y z z ''-+---= ⇓()()()()0000000,,,,1,,0 x y f x y f x y x x y y z z ''----= ()()()()()00000000000, (,,,,,),,,1.x y S p x y z x x y y z z f x y f z f x y x y =---''=-=即曲面：上过的切平面上的任意向量都与常向量垂直n()()()()()()()00000000000000000,,:,,,,.1.,1,,.x y x y p x y z S z f x y p f x y f x y p x x y y z z f x y f x y =∏''==----==''-过切点且与切平面垂直的直线称为曲面在点的法线因此常向量就是法线的方向向量，称为法向量从而过的法线方程是n n()()()()()()()()()()()()000000000000220000 “,,,,,,1,,,,,,1,,1cos cos cos 1,,0cos 2”..x y x y y x x y f x y f x y x y z f x y f x y f x y f x y f x y f x y αβγαβγπγγ''=-''=-''-===±∆±∆±∆''∆=++±<<设分别是法向量与轴的正方向的夹角，则法向量的方向余弦是，，，其中，表示法向量两个不同的方向同时取正，或同时取负若，由n n .0>，则式中的符号全取负号()225322,1,14.z x y =+-求抛物面在点的切平面方程和法线方程以及法向量的方例向余弦：()22,32f x y x y =+解：令，则有2114.1241x y z -+-==--()()()(),6,42,1122,14x y x y f x y x f x y y f f ''''==-=-=-，，，所求切平面方程是()()12241140x y z --+-+=()2,1,14-过法线方程是124140.x y z ---=即：()12,4,11241cos cos ,cos 1611611.61αβγ=----===±±±法向量的方向余弦（有两组）是，n17.1.5方向导数()()0000,,,,..u f x y z p x y z ==三元函数在点的三个偏导数只是给出了在点沿着平行于坐标轴的三个特殊方向的变化率函数在点沿任意方向的变化率，这就是方向导数()()()()()()()0000000002220000,,,,(cos ,cos ,cos ),,cos ,cos ,cos cos ,cos ,c ...,,.os lim u f x y z p x y z l p l l p x x y y z z p p x y z x y z f x y z f ραβγρρραρβργραρβργ+→====+∆+∆+∆-==∆+∆+∆∆=∆=∆=+++-1714定义设三元函数在点的某邻域内有定义，是一条从出发的射线，是射线的单位向量在上任取一点令，有若极限l ()000,, x y z ρ存在()()()000000,,cos ,cos ,c os ,.,,,p p u f x y z p l uf f x y z αβγ==∂∂'∂∂则称此极限为函数在点处沿射线或沿方向的方向导数记为或或l l l l ()()()()()()(),,,,,,,,,,cos ,,cos ,,cos co .s ,cos ,c s .o x y z u f x y z p x y z f x y z p l f x y z f x y z f x y z f x y z l αβγαβγ==''''=++1715定理若函数在点可微，则函数在点沿任意射线的方向导数都存在，且，其中是射线的方向余弦.l()()()(),,cos ,cos , .cos ,,,,,,.l p x y z l p x x y y z z f x y z p x y z αβγ='=+∆+∆+∆=证明：设为从点出发的任一射线，其方向余弦为在射线上任取一点由在可微，有()()()()()()(),,,,,,,,,,0x y z f x x y y z z f x y z f x y z x f x y z y f x y z z o ρρ+∆+∆+∆-'''=∆+∆+∆+→()()cos ,cos ,cos cos ,cos ,cos ,,.x y z f x y z f x y z ραρβργραρβργ∆=∆=∆=+++-则有由上式，有()()()()(),,cos ,,cos ,,cos 0x y z f x y z f x y z f x y z ραρβργορρ'''=+++→()()()222x y z ρ=∆+∆+∆其中，0 0ρρ+>→上式两边同时除以，并令，有()()()0cos ,cos ,cos ,,,,lim p f x y z f x y z f f x y z ρραρβργρ+→+++-∂'==∂l l ()()(),,cos ,,cos ,,cos .x y z f x y z f x y z f x y z αβγ'''=++()(),,,,,,cos ,cos 17.1.5,,.cos x y z f x y z x y z f f l f αβγ'''由定理，只要在可微，就只要分别求出而的方向余弦一般是直接或间接给出()()()()()00lim ,,cos ,,cos ,,cos lim x y z o f x y z f x y z f x y z ρρραβγρ++→→'''=+++。

第二节
第十章
偏导数与全微分
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 三、全微分
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一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是
将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u u(x0 , t ) u(x, t)
注意: f x (x0 , y0 ) lim f x0 x, y0 f x0, y0
f
(x0 )
lim
x 0
f
(x0x0 x)
x
f
(x0 )
xd y
dx
x x0
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同样可定义对 y 的偏导数
f y (x0 , y0 ) lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 )
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例如, f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2 (x2
y2 y2 )2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)
lim y y0 y
1
二 者
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的

=1+ 2×0.04 + 0×0.02 =1.08.
24
2. 全微分的运算公式 设二元函数 u(x,y) , v(x,y) 均可微 , 则 ((v(x,y) ≠0)), 也可微 且 也可微,
d( ku)
(k为常数 为常数), 为常数
(k为常数), (k为常数), 为常数
= du ± dv, = vdu + udv,
26
f (x, y),
处连续. 即 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续
17
定理4 (充分条件) 若函数
∂z ∂z 的偏导数 , ∂x ∂y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分 点 续 则函数在该点可微分. 证 ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
∂u =− sin( x2 − y2 − ez ) ⋅ (−2 y) = 2 y sin( x2 − y2 − ez ) ∂y
∂z 2 2 z z z 2 2 z u = −sin( x − y − e ) ⋅ (−e ) = e sin( x − y − e ) ∂z
10
2. 二元函数偏导数的几何意义
∂f ; z′ x ∂ x (x0 , y0 )
( x0 , y0 )
;
f1′(x0, y0 ) .
2
同样可定义对 y 的偏导数
f (x0, y0 + ∆y ) − f (x0, y0 ) f y′(x0, y0 ) = lim ∆ y→0 ∆y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 也简称为 则该偏导数称为偏导函数 偏导函数, 偏导数 , 记为

函数可微 偏导数存在 函数连续
1. 偏导数连续
2.全微分的定义可推广到三元及三元以上函数. 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数. 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂y ∂x ∂z
y 例 求 u = x + sin + e yz 的全微分. 2 1 y yz yz key : d u = dx + ( cos + ze )dy + ye dz. 2 2
§7.3 偏导数与全微分
1.定义 设函数 z = f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内的极限
∆x 的偏导数， 存在, 存在 则称此极限为 z = f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 对 x的偏导数， ∂f ′ 记为 f x ( x0 , y0 ) ; ; f1′( x0 , y0 ). ∂ x ( x0 , y0 )
x0 + ∆x x0
类似可定义对 y 的偏导数
f ( x0 , y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) ′ f y ( x0 , y0 )= lim ∆ y→0 ∆y
∂f ; f2′( x0 , y0 ). ∂ y ( x0 , y0 )
′ 记为 f y ( x0 , y0 ) ;
注： 函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 若 则该偏导数称为偏导函数 偏导函数. 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 记为
Tx
y0
Ty
o
x
y
x0
d = f ( x0 , y) dy y = y0
z = f ( x, y) 在点M 在点 0 处的切线 M0Ty 对 y 的 是曲线 x = x0 斜率. 斜率

第一节偏导数与全微分一、单项选择题()()()()()00001.lim 11.0 . . .222.,,. . . .3.,x y A B C D z z z f x y x y x y A B C D f x y →→=-+∞∂∂=∂∂函数在点处的两个偏导数和存在是它在该点处可微的充分条件必要条件充要条件无关条件关于函数()()()()()()()()()222222, 00, 0.,0,0 .0,00.0,00 .,0,04.,1tan x y xy x y x y x y A f x y B f C f D f x y f x y xy x ⎧⎫+≠⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪+=⎩⎭===+-下列表述错误的是在点处连续在点处不可微设函数则()()()()22221,0.0 .1 .2 .5.3,.6 .6 .3 .36.sin ,.2sin .cos y f A B C D z z x y y A y B xy C x D x z z x y x y xA xy yB x x y =∂==∂∂=+=∂++不存在设函数则设二元函数则()2222222.2sin .sin 7.1.1 .2 . .C xy x y D x y yz z z x y A B C x y D x y ++⎛⎫∂∂⎛⎫=+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭++设二元函数则()()()()()20,1228.,|.0 .1 .2 .1,9.,,.2 .2 .2 .221x yz z xy e x A B C D f x y f xy x y x y x A B x C y D x y ∂=+=∂-∂-=+=∂+设函数则已知则()()()()()()()()331,12222220.ln ,|1. .33. .22 0,11.,0, z x y dz A dx dy B dx dy C dx dy D dx dy x y x y z f x y x y =+=++++++≠==+设则设()()()()()()()()()()0,(,)0,0;0,00,0,,,0,0 ,0,0.1 .2 .3 .412.,,lim x y x y f x y f f f x y f x y f x y A B C D f x y a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪=⎩⎭''''则下列四个结论中，①在处连续②，存在；③在处连续；④在处可微.正确结论的个数为设在点处有偏导数，则()()()()()()()()()02222,,.0 .2, ., .,13.=ln ,32,232.ln 32+ .ln 332h x x y f a h b f a h b hA B f a b C f a b D f a b x z z u v u v x y y x x x x A x y B x y x y y y →+--=∂==-=∂--设函数而则()()()()()()2222222232+ 322.ln 32+ .ln 32+3232x y x y yx x x x C x y D x y y x y y y x y y ------二、填空题()()()()()()()2221021.,ln ,1,1 .22.,4,, .23.,lim , .ln 34., .5.3, y x y x y x y y x f x y y f y f x y e xye f x y x y f x y f x y x y z x dz z x y dz --→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭+==+==--===+=设则已知函数则函数设则设则设函数则()()()()()()()()2221,1320 .6.,sin ,, .7., .8.1,| .9.2,sin ,,| .110.x y y t t f x y xy df x y z z f x y e y z z xy y du u x y xy x t y e dt f x z f xy yf x y x ===⎛⎫∂=+= ⎪ ⎪∂⎝⎭∂=+=∂=++===''=++设则设可微，则已知则设则设连续，2, .z x y∂=∂∂则2211., .12.ln = .x yz z e x yz z x y ∂==∂∂∂=∂∂设则设则二、计算题()()()2222220022222ln 1.,0,,2.arcsin .413.lim sin 4.sin ,,,.5.ln 6.,x y xxy y f x y x y x f x y x x y z x y x y z z z z x y ye x x x y z z z x y x yz z y x y→→⎛⎫+=-≠ ⎪⎝⎭+=+++∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂=∂∂设求求函数计算极限设函数求设求已知求()()()()()()()2222327.,.8.2sin 2323,,,.9.,,sin ,10.,,,00.11.,,,,.12.x x y x xy z z e dz z z x y z x y x z f x y x ydz z f x e x dxu f x y z y y x z z x e y e xz du dxy z z z z x f xy f x y y x y +=∂∂+-=+-=+∂∂====-=-=∂∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂∂⎝⎭设求设确定了函数求求设有连续偏导数和分别由方程和所确定，求设具有连续的二阶偏导数，求设()()()()()()()()()222222,cos ,sin ,,,.13.0+0.10;210,11,z z z u v uv u x y v x y x yz z f u z f x y f u f u uf f f u ∂∂=-==∂∂∂∂=+=∂∂'''+='==而求设函数在，∞内具有二阶导数，且满足等式验证若求函数的表达式.四、证明题()()()()()()()()()2221.,,.2.,,,0,.3.,,0.4.1ln ,x f f f x y x y x y x y x yz z z x y xy xf z y z xf z y z x z y f z x y z z z z z x y F x y x y z xy y x x yy z z xf x y x f x x x ϕϕϕ∂∂-+=-+=+∂∂∂∂''=++≠-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂∂⎛⎫∂∂++=+=- ⎪∂∂⎝⎭∂⎛⎫=+- ⎪∂⎝⎭证明设是的函数且证明：设函数由方程所确定，证明：设其中是任意的二次可微函数，求证：()22221.z y x y y ∂-=+∂。

可微, 则该函数在该点偏导数 z , z 必存在,且有 x y
dzzxzy
x y
证: 由全增量公式 z A x B y o () ,令y0,
得到对 x 的偏增量
x z f( xx,y ) f( x,y )A xo( x)
z x
lim xz x0 x
A
dzzdxzdy x y
习惯上 dx记 x,dyy， 则全微分可写
dzA xB yAdxBdy
二、 偏导数定义及其计算法
定义3.2 设函数 zf(x,y)在(x0 , y0)的某邻域内有定义
极限
x0x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 zf(x ,y)在 (x 0 点 ,y0)对 x
的偏导数，记为
f1(x0,y0).
f x
;
偏导数 , 记为
z , f , y y
zy ,
fy(x,y), f2 (x,y)
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
xx
x
x
fy(x,y,z)? fz(x,y,z)?
(请自己写出)
zf(x,y)的偏fx导 (x0,y0 数 )和 fy(x0,y0)只反映了
所以 uy xyz lnx
类似可得 uz xyzlnx
.
例3.6. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
求证: pVT 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , V R p T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作

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例3.计算
的近似值.
y f ( x , y ) x ,则 解: 设
f x ( x, y ) y x
y 1
y x ln x f ( x , y ) , y
取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02 则 1.042.02 f (1.04, 2.02 ) f (1 0.04, 2 0.02 )
令 y 0,
Ax o ( x )
x x
x
z xz lim A x x 0 x z B. 同理可证 y
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 ! 反例: 函数 f ( x, y ) 易知 fx(0,0)= fy(0,0)=0 我们已知道函数f(x,y)在(0,0)处不连续,则当然不可微.
§9.2内容回顾
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在 • 混合偏导数连续 2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法 函数在此点连续 与求导顺序无关 先代后求再代，如P69 4 先求后代 利用定义 公式法 逐次求导法、
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
d z f x ( x, y )d x f y ( x, y )d y
2. 重要关系:
函数连续
z | x | | y |
z f ( x, y ) z | x | | y | z f ( x, y )
函数可导
函数可微 (反例略) 偏导数连续 3. 微分在近似计算中的应用(略)
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第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y=+在全平面连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BB. C.xD.18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，而r =()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是 （ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A)14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x yx y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ） （A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。

1．求当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时，函数23z x y =的全微分及全增量的值。

【解】⑴求全微分【解法一】由偏导数入手由23z x y =得32x z xy =，223y z x y =，所以3(2,1)22(1)4x z -=⨯⨯-=-，22(2,1)32(1)12y z -=⨯⨯-=，于是得函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分为40.0212(0.01)0.20dz =-⨯+⨯-=-。

【解法二】由微分入手对23z x y =在等号两边求微分，得32223dz xy dx x y dy =+， 代入2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-，得32222(1)0.0232(1)(0.01)dz =⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯-0.20=-。

⑵求全增量由全增量公式(,)(,)z z x x y y z x y ∆=+∆+∆-得函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全增量为(2.02, 1.01)(2,1)z z z ∆=---23232.02)( 1.01)(2)(1)=---(4.0804( 1.030301)4(1)=⨯--⨯- 4.20404020044=-+0.2040402004=-0.20404-2．求下列各函数的全微分： ⑴ln(xyz e x y =++）；【解法一】先求偏导数，得1xyx z ye x y =++，1xyy z xe x y=++， 于是得 x y dz z dx z dy =+11()()xyxy ye dx xe dy x y x y=+++++。

【解法二】直接微分，得1()(xydz e ydx xdy dx dy x y=++++） 整理得 11()()xyxy dz ye dx xe dy x y x y=+++++ ⑵sin(z xy =）；【解法一】先求偏导数，得cos()x z xy y =⋅，cos()y z xy x =⋅，于是得 x y dz z dx z dy =+cos()cos()y xy dx x xy dy =+cos()()xy ydx xdy =+。

fx 1
x x2 y2
fy 1
y x2 y2
f y (0,2)
fx (0,1) 1, f y (0,2) 0
例2. u zxy 求偏导数
u x
z xy (ln
z) y
u y
z xy (ln z)x
u xyz xy1
z
例3.
f
(x,
y)



求 2z , 2z
yx xy
z x

1
1 ( y )2
(
y x2
)

y , x2 y2
x
z y
1 1 ( y)2
1 x

x x2
y2
,
x
2z yx

y2 x2 (x2 y2)2
2z xy
例6. z x3 y2 3xy3 xy 1
x2
y2 z2
,
u z

3xy2 z 2
sin
x2 y2 z2

2xy2 (x2

y2 ) cos
x2
z2
y2
2.
z

x sin
y x

cos
y x
,求
2z y 2
,
2z xy
z cos y 1 sin y ,
y
xx x
2z y 2


1 x
sin
y x

求 2z , 2z , 2z , 2z , 3z
x2 yx xy y 2 x3
z 3x2 y2 3y3 y, z 2x3 y 9xy2 x

其中 A、B仅与 x 、y有关 , 而不依赖于∆x、∆y , ρ = ( ∆x ) 2 + ( ∆y )2 , 则称函数 z = f (x, y)在点
( x , y )处 可微分,A∆x + B∆y称为函数 z = f ( x , y ) 可微分, 在点( x , y ) 处的 全微分.记作 dz, 即 全微分. dz = A∆x + B∆y.
y z = ln tan x
y z
的偏导数. 的偏导数
例 求 u=x
( x > 0) 的偏导数 的偏导数.
7
偏导数与全微分
例 求f ( x , y, z ) = ( z − a xy ) sin ln x 2 在点 在点(1,0,2)处的 处的 三个偏导数. 三个偏导数 解 f x (1,0,2) = [sin ln x ]′ x =1
∆ x z = f ( x 0 + ∆x , y0 ) − f ( x 0 , y 0 )
如果极限 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) ∆ xz lim = lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x 存在, 存在 则称此极限为函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 )处 的偏导数, 对x的偏导数 记为 的偏导数
混合偏导 高阶偏导数. 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数.
13
偏导数与全微分
求z = x 3 y 2 + xy 的四个二阶偏导数 例 的四个二阶偏导数. ∂z ∂ 2z 解 = 3 x 2 y 2 + y, = 6 xy 2 , ∂x ∂x 2 ∂ 2z = 6 x 2 y + 1; ∂x∂y ∂z ∂ 2z = 2 x 3 y + x, = 2 x3 , ∂y ∂y 2 ∂ 2z = 6 x 2 y + 1. ∂y∂x

类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域D内对自变 量y的偏导函数为
f ( x, y + ∆y) − f ( x, y) lim ∆y→0 ∆y
∂z ∂f 记作 , , f y ( x, y)或zy ( x, y) ∂y ∂y
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u = f ( x, y, z ) 在 ( x, y, z ) 处
= 2×1 + 3× 2 = 8 , = 3×1 + 2× 2 = 7 .
x =1 y= 2
问题： 问题：计算偏导数 f x ( x0 , y0 )时能否将 y = y0 先代入
f ( x, y ) 中再对 求导？ 中再对x求导 求导？
分析： 分析：
f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0, y0 ) f x (x0, y0 )= lim ∆x→0 ∆x
是曲线 斜率. 斜率 在点M 在点 0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的
例4
xy , x2 + y2 ≠ 0, 2 f ( x, y) = x + y2 0, x2 + y2 = 0 ，
设
求f(x,y)在原点(0,0)处的偏导数. 解 原点(0,0)处对x的偏导数为
f (0 + ∆x,0) − f (0,0) fx (0,0) = lim ∆x→0 ∆x (∆x) ⋅ 0 −0 2 (∆x) + 0 = lim = lim0 = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x
内这两个二阶混合偏导数必相等． 内这两个二阶混合偏导数必相等 ． 元函数的高阶混合导数也成立. 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立
例如, 例如 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 连续时, 在点 (x , y , z) 连续时 有

f ( x x , y ) f ( x , y ) A x o(| x |),
f ( x x , y ) f ( x , y ) z lim A , x 0 x x
2 3
2
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形 偏 导 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
导二 函阶 数混 图合 形偏
例 6 设u e ax cos by ，求二阶偏导数.
解
u aeax cos by, x
u beax sinby; y
( y | y |)
2
| y| 2 . 2 x y
z y
1 x 1 2 x y2
2
x x2 y2 y

x2 y2 ( xy ) 2 2 3 | y| (x y )
( y 0)
x 1 2 sgn 2 x y y
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
0
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) lim[ f ( x , y ) z ]
p V T RT R V RT 1. 2 V T p pV p R V
有关偏导数的几点说明：
u １、 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；
例如, 设z f ( x , y ) xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).

不存在，函数f ( x, y)在(0,0)点不可微.
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8.2.三
y 1 z 1 z z , 其中 f ( u ) 可导 , 证明 : 2 2 2 f (x y ) x x y y y 证 设u x 2 y 2 , 则z y f (u) y z 2 xyf (u) 2 2 x f (u) f (u) x f 2 (u)
dx dy
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8.2.二
xy 2 2 , x y 0 2 2 9. 讨论函数f ( x, y ) x y 0, x2 y2 0 在点(0,0)的可微性.
f 解 x
f y
00 f (x,0) f (0,0) lim lim 0, x 0 x 0 x x ( 0,0 )
1
(1,1,1)
x x u ( )z ln( ) 0 z (1,1,1) y y (1,1,1)
u y
x z 1 x z( ) ( 2 ) 1 y y (1,1,1) (1,1,1)
u u u df (1,1,1) dx dy dz x (1,1,1) y (1,1,1) z (1,1,1)
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8.2.二
7. 设f (t )为连续函数，u xyz yz f (t )dt， 求du
u yz yf ( xy) 解 x
u xy yf ( yz) z
du u u u dx dy dz x y z u xz xf ( xy) zf ( yz) y
xy
( yz yf ( xy ))dx ( xz xf ( xy ) zf ( yz))dy ( xy yf ( yz))dz