第二章导数与微分
【考试要求】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料
1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．
2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．
3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．
4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．
5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．
6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．
【考试内容】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料
一、导数
（一）导数的相关概念
1．函数在一点处的导数的定义
设函数
()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，
当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x +∆仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这
个极限为函数
()y f x =在点0x 处的导数，记为0()f x '，即00000()()()lim lim
x x f x x f x y
f x x x
∆→∆→+∆-∆'==∆∆，也可记作
x x y ='
，
x x dy dx
=或
()x x df x dx
=．
说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有
0000
()()
()lim
h f x h f x f x h
→+-'=和
000
()()()lim
x x f x f x f x x x →-'=-；式中的h 即自变量的增量x ∆．
2．导函数
上述定义是函数在一点处可导．如果函数()y f x =在开区间I 内的每点处都可导，
就称函数
()f x 在区间I 内可导．这时，对于任一x I ∈，都对应着()f x 的一个确定的
导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数
()y f x =的导函数，记
作
y '，()f x '，
dy dx 或()df x dx
．显然，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '就是导函数()f x '在点0x x =处的函数值，即0
0()()
x x f x f x =''=．
3．单侧导数（即左右导数）
根据函数
()f x 在点0x 处的导数的定义，
导数0000
()()
()lim h f x h f x f x h
→+-'=是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在并且相等，因此
0()f x '存在
（即()f x 在点0x 处可导）的充分必要条件是左右极限000
()()
lim h f x h f x h
-
→+-及
000()()lim h f x h f x h
+→+-都存在且相等．这两个极限分别称为函数
()f x 在点0x 处的
左导数和右导数，记作
0()f x -'和0()f x +'，即0000
()()
()lim h f x h f x f x h
-
-→+-'=，
0000
()()
()lim h f x h f x f x h +
+→+-'=．现在可以说，函数()f x 在点0x 处可导的充分
必要条件是左导数
0()f x -'和右导数0()f x +'都存在并且相等．
说明：如果函数
()f x 在开区间(,)a b 内可导，且()f a +'及()f b -'都存在，就说()f x 在
闭区间[,]a b 上可导．4．导数的几何意义
函数
()y f x =在点0x 处的导数0()f x '在几何上表示曲线()y f x =在点
00(,())M x f x 处的切线的斜率，即0()tan f x α'=，其中α是切线的倾角．如果()y f x =在点0x 处的导数为无穷大，这时曲线()y f x =的割线以垂直于x 轴的直线0x x =为极限位置，即曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处具有垂直于x 轴的切线0x x =．
根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线()y f x =在点00(,)M x y 处
的切线方程和法线方程分别为：切线方程：
000()()y y f x x x '-=-；
法线方程：0001
()()
y y x x f x -=--'．
5．函数可导性与连续性的关系
如果函数()y f x =在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处必连续，但反之不一定成立，
即函数
()y f x =在点0x 处连续，它在该点不一定可导．
（二）基本求导法则与导数公式
1．常数和基本初等函数的导数公式（1）()0C '=；（2）1
()x
x μ
μμ-'=；
（3）(sin )cos x x '=；（4）(cos )sin x x
'=-；（5）2(tan
)sec x x
'=；
（6）(cot
)csc x x
'=-；
（7）(sec )sec tan x x x '=；
（8）(csc )csc cot x x x
'=-；
（9）()ln x
x a
a a
'=；
（10）()x
x
e
e '=；
（11）1
(log )ln a x x a
'=
；
（12）1
(ln )x x
'=
；
（13
）(arcsin )x '=
；
（14
）(arccos )x '=；
