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导数与微分练习题及解析在微积分学中，导数和微分是最基本的概念之一。
它们可以帮助我们研究函数的变化率和性质，广泛应用于物理、经济、工程等各个领域。
为了帮助你更好地理解导数和微分的概念，以下是一些练习题及其解析。
练习题1：求函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x = 2处的导数和切线方程。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
使用求导法则，对于多项式函数来说，可以将每一项的指数与系数相乘，并将指数减一，得到函数的导数。
f'(x) = 2x + 3接下来，我们计算x = 2处的导数值。
f'(2) = 2(2) + 3 = 7切线方程的一般形式为y = mx + b，其中m代表斜率，b代表截距。
根据导数的定义，导数即为切线的斜率。
所以切线的斜率为m = 7。
将切点的坐标代入切线方程，我们可以得到b的值。
2 = 7(2) + b2 = 14 + bb = -12最终的切线方程为y = 7x - 12。
练习题2：求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。
解析：考虑到函数f(x) = e^x * sin(x)是两个函数的乘积，我们可以使用乘积法则来求导。
乘积法则的公式为：(uv)' = u'v + uv'对于e^x和sin(x)两个函数，它们的导数分别为e^x和cos(x)。
根据乘积法则，我们可以将这两个导数与原函数进行组合，得到最终的导数为：f'(x) = (e^x * cos(x)) + (e^x * sin(x))练习题3：求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数和微分。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
根据链式法则，可以分别计算外函数和内函数的导数。
设内函数为u = x^2 + 1，则内函数的导数为du/dx = 2x。
外函数为f(u) = ln(u)，则外函数的导数为df/du = 1/u。
根据链式法则，函数f(x)的导数为：f'(x) = df/du * du/dx= (1/u) * (2x)= 2x / (x^2 + 1)接下来，我们计算函数f(x)的微分。
第三章 导数与微分同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。
2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。
3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。
4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。
5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。
6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。
7、已知x x y ln =，则)10(y = 。
8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。
9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。
10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。
11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。
二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （ ）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （ ）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ ）A 、不连续B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（ ） Ａ、在0=x 处极限不存在 Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在 Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（ ） Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对 ７、已知)(x f e y =，则y ''＝（ ）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。
习题2.1（B ）1. 设()||()f x x a x ϕ=-，()x ϕ连续且()0a ϕ≠。
证明()f x 在a 点不可导。
2. 给定曲线254y x x =++。
（1） 确定b ，使直线3y x b =+为曲线的切线； （2） 确定m ，使直线y mx =为曲线的切线。
3．证明：双曲线1xy =上任意点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2。
4．证明：抛物线1212()()(0,)y a x x x x a x x =--≠<与x 轴相交所成两角α与β(0,)2παβ<<彼此相等。
习题2.2（B ）1． 证明：双曲线xy a =上任意点处的切线介于两坐标轴间的一段被切点所平分。
2． 确定,,,a b c d 的值，使曲线432y ax bx cx d =+++与115y x =-在点(1,6)相切，经过点(1,8)- 并在点(0,3)有一水平的切线。
3． 定义双曲函数如下：双曲正弦函数2x x e e shx --=；双曲余弦函数2x xe e chx -+=；双曲正切函数shx thx chx =；双曲余切函数coth chx x shx=。
证明：（1）()'shx chx =； （2）()'chx shx =； （3）21()'thx ch x =； （4）21()'cothx sh x=。
习题2.3（B ）求下列函数的导数：（1）xx e y e e =+； （2）axx a y a a =+ （3）1tan 2xy =； （4）(1cot )3xx y e =+；(5) sin xy x=； （6）cot 2(tan 2)x y x =。
习题2.4 (B)1． 设2(arcsin )y x =，证明：y 满足2(1)'''2x y xy --=。
2． 求下列函数的n 阶导数： （1）211y x =-； （2）2sin y x =；（3）1nx y x=-。
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( )A ．()x f ，()x g 都必须可导B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。
掌握函数的导数与微分练习题函数的导数与微分是微积分的重要内容，对于学习者而言，掌握这一部分知识对于提高解题能力和理解数学概念非常重要。
本文将通过练习题的方式，帮助读者巩固对函数的导数与微分的理解，并培养解题的思维能力。
1. 求解下列函数的导数：(1) f(x) = 3x² - 2x + 1解答：f'(x) = 6x - 2(2) g(x) = 5sin(x) + 2cos(x)解答：g'(x) = 5cos(x) - 2sin(x)2. 对下列函数进行微分：(1) h(x) = x³ - 4x² + 2x解答：dh(x) = 3x² - 8x + 2(2) k(x) = 2e^x + 3ln(x)解答：dk(x) = 2e^x + 3/x3. 求解给定函数在指定点的导数：(1) y = 2x³，求导数在x=2处的值。
解答：y' = 6x²y'(2) = 6(2)² = 24(2) y = x^4 - 2x²，求导数在x=-1处的值。
解答：y' = 4x³ - 4xy'(-1) = 4(-1)³ - 4(-1) = -44. 求解给定函数的极值点：(1) y = x³ - 12x² + 36x解答：为求取极值点，先求导数：y' = 3x² - 24x + 36令y' = 0，求解方程得：x = 2 或 x = 6将以上两个x值代入原函数求y值得到极值点：当x=2时，y = 2³ - 12(2)² + 36(2) = 16 - 48 + 72 = 40当x=6时，y = 6³ - 12(6)² + 36(6) = 216 - 432 + 216 = 0因此，函数y = x³ - 12x² + 36x在x = 2处有极小值，极小值为40，在x = 6处有极大值，极大值为0。
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( ) A ．()x x f ∆+0 B ．()x x f ∆+0 C ．()()00x f x x f -∆+ D ．()x x f ∆0 2．设()x f 在0x 处可，那么()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( )A ．()0x f '-B ．()0x f -'C ．()0x f 'D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 持续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分没必要要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也没必要要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，那么=dxdy( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．假设函数()x f 在点a 持续，那么()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有概念 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，那么=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'29．假设()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，那么a ，b 的值应为( )A ．2=a ，1=bB ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．假设函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，那么()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．必然都没有导数B ．必然都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，那么()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．必然都没有导数B ．必然都有导数C ．至少一个有导数D ．最多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，那么( ) A ．()x f ，()x g 都必需可导 B ．()x f 必需可导C ．()x g 必需可导D ．()x f 和()x g 都不必然可导 13．xarctgy 1=，那么='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x +14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，那么()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( )A ．()2a f ''B ．()a f ''C ．()a f ''2D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内持续，且()b a x ,0∈，那么在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不必然可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不必然存在 16．设()x f 在点a x =处可导，那么()()=--→hh a f a f n 0lim。
导数与微分习题及答案导数与微分习题及答案在数学学科中，导数与微分是非常重要的概念。
它们不仅在数学分析中有广泛的应用，还在物理、经济学等领域中起着重要的作用。
本文将为大家提供一些导数与微分的习题，并附上详细的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
1. 习题一：求函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在点 x = 2 处的导数。
解答：根据导数的定义，我们有f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
代入函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 和 x = 2，得到f'(2) = lim(h→0) [(2+h)^2 + 3(2+h) - 2 - (2^2 + 3(2) - 2)] / h。
化简后得到f'(2) = lim(h→0) [4h + h^2 + 6h] / h = lim(h→0) (h^2 + 10h) / h = lim(h→0) (h + 10) = 10。
因此，函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在点 x = 2 处的导数为 10。
2. 习题二：求函数 g(x) = 2sin(x) + cos(x) 在点x = π/4 处的导数。
解答：同样地，我们可以利用导数的定义来求解。
根据定义，g'(x) = lim(h→0) [g(x+h) - g(x)] / h。
代入函数 g(x) = 2sin(x) + cos(x) 和x = π/4，得到g'(π/4) = lim(h→0) [2sin(π/4+h) + cos(π/4+h) - (2sin(π/4) + cos(π/4))] / h。
化简后得到g'(π/4) = lim(h→0) [2(sin(π/4)cos(h) + cos(π/4)sin(h)) + (cos(π/4)cos(h) -sin(π/4)sin(h))] / h。
习 题 三1．根据导数的定义求下列函数的导数：（1）221x y -= （2）21x y = （3）32x y =2．给定函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c 为常量，求：)(x f '，)0(f '，)21(f '，)2(a b f -' 3．一物体的运动方程为s ＝t 3＋10，求该物体在t ＝3时的瞬时速度。
4．求在抛物线y ＝x 2上点x ＝3处的切线方程。
5．自变量x 取哪些值时，抛物线y ＝x 2与y ＝x 3的切线平行？6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-<≤+=x x x x x f 113101)(2在点x ＝1处是否可导？为什么？7．讨论函数y ＝x|x|在点x ＝0处的可导性。
8．用导数定义求⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(1)(x s x xx f 在点x ＝0处的导数。
9．设⎩⎨⎧<<--+≤<-+=101101)1ln()(x xx x x x f 讨论f （x ）在x ＝0处的连续性与可导性。
10．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0)1ln(1sin )(12x s x x x f x 在点x ＝0处是否继续？是否可导？11．讨论⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<+≤<+≤=x xx x x x x x f 2212101201)(2在x ＝0，x ＝1，x ＝2处的连续性与可导性。
12．求下列各函数的导数（其中a ，b 为常量）：（1）532+-=x x y （2）b a x y +=（3）3412+-=xx y （4）2222x x y += （5）x x y 31-= （6）)12(2-=x x y（7）)11)(1(-+=x x y （8）x x y 2)1(+=（9）ba b ax y ++= （10）))((b x a x y --=（10）)1)(1(a b bx ax y ++=13．求下列各函数的导数（其中a ，b ，c ，d ，n 为常量）：（1）)3)(2)(1(+++=x x x y（2）x x y ln =（3）x x y n ln = （4）x y alog = （5）11-+=x x y （6）215xx y += （7）x x x y --=223 （8）n cx b a y += （9）x x y ln 1ln 1+-= （10）2211xx x x y +--+= 14．求下列各函数的导数：（1）x x x y cos sin += （2）xx y cos 1-=（3）x x x y tan tan -= （4）xx y cos 1sin 5+= （5）x x x x y sin sin += （6）x x x y ln sin ⋅= 15．求曲线x y sin =在点x ＝π处的切线方程。
第二章 导数与微分练习题及习题详细解答练习题2.11．已知质点作直线运动的方程为23s t =+，求该质点在5t =时的瞬时速度．解 由引例2.1可知，质点在任意时刻的瞬时速度d 2d sv t t==．代入5t =，得10v =． 2．求曲线cos y x =在点π(6处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义知，曲线cos y x =在π(6点切线的斜率 ππ661(cos )(sin )2x x k x x =='==-=-，所以，切线方程为1π()226y x -=--，即612π=0x y +-．法线方程为π2()6y x =-，即1262π=0x y -+． 3．讨论函数32,0()31,013,1x f x x x x x ⎧≤⎪=+<≤⎨⎪+>⎩在0x =和1=x 处的连续性与可导性．解 在0x =处，0lim ()lim 22x x f x --→→==，0lim ()lim (31)1x x f x x ++→→=+=， 由于0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以不连续，根据可导与连续的关系知，也不可导． 在1x =处，11lim ()lim(31)4x x f x x --→→=+=，311lim ()lim(3)4x x f x x ++→→=+=，(1)4f =， 所以连续．又00(1)(1)3(1)lim lim 3x x f x f xf x x---∆→∆→+∆-∆'===∆∆， 2300(1)(1)33()()(1)lim lim 3x x f x f x x x f x x+++∆→∆→+∆-∆+∆+∆'===∆∆，所以可导．4．已知函数()f x 在点0x 处可导，且0()f x A '=，求下列极限：000(5)()(1)limx f x x f x x ∆→-∆-∆； 000(2)()(2)lim h f x h f x h →+-解 （1）000000(5)()(5)()55()55limlim x x f x x f x f x x f x f x A x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-=-∆-∆;(2)000000(2)()(2)()22()22limlim h h f x h f x f x h f x f x A h h →→+-+-'===．5．求抛物线2y x =上平行于直线43y x =-+的切线方程．解 由于切线平行于43y x =-+，所以斜率为4k =-．又2k y x '==，所以2x =-．对应于抛物线上的点为(2,4)-，所以切线方程为44(2)y x -=-+，即440x y ++=．练习题2.21．求下列函数的导数：（1）100(21)y x =-； （2）22e xxy +=；（3）sin(3π)y x =+； （4）2cos y x =； （5）2e sin x y x =； （6）2ln(1)y x =+； （7）tan 2y x =； （8）cot 3y x =； （9）arctan(31)y x =+； （10）arcsin(41)y x =+． 解 （1）9999100(21)(21)200(21)y x x x ''=--=-； （2）22222e (2)e (41)xxxxy x x x ++''=+=+；（3）cos(3π)(3π)3cos(3π)y x x x ''=+⋅+=+； （4）2cos (cos )2sin cos sin 2y x x x x x ''=⋅=-=-；（5）22222(e )sin e (sin )2e sin e cos e (2sin cos )xxxxxy x x x x x x '''=+=+=+； （6）22212(1)11x y x x x''=⋅+=++； （7）22sec 2(2)2sec 2y x x x ''=⋅=； （8）22csc 3(3)3csc 3y x x x ''=-⋅=-；（9）2213(31)1(31)1(31)y x x x ''=⋅+=++++；（10）(41)y x ''=+=2．设y =d d y x ．解对于y =[]1ln ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)3y x x x x =+++-+-+ 两边对x 求导，得111111()31234y y x x x x '=+--++++ 所以1111()1234y x x x x '=+--++++ 3．求曲线31x ty t =+⎧⎨=⎩上，点(1,0)处的切线方程． 解 点(1,0)对应参数t 的值为0． 设k 为曲线上对应(1,0)点的切线斜率，则32000d ()30d (1)1t t t y t t k x t ==='===='+，于是，所求切线方程为0y =，即x 轴．4．求由方程3330y x xy --=所确定的隐函数的导数d d y x． 解 方程两边对x 求导，可得22333()0y y x y xy ''--+=由上式解出y '，便得隐函数的导数为22x yy y x+'=-（20y x -≠）． 练习题2.31．求下列函数的微分：（1）22sin 34y x x x =+-+； （2）2ln y x x x =-； （3）2(arccos )1y x =-； （4）arctan y x x =； （5）ln tan 2x y =； （6）sin ln 57xy x x x x=++-； （7）1cos 2xy -=； （8）3(e e )x x y -=+．解 （1）22d (sin 34)d (2sin 23)d y x x x x x x x '=+-+=+-； （2）2d (ln )d (ln 12)d y x x x x x x x '=-=+-； （3）2d ((arccos )1)d y x x x '=-=；（4）2d (arctan )d (arctan )d 1xy x x x x x x '==++； （5）2111d (ln tan )d sec d d csc d 222sin tan 2x x y x x x x x x x '==⋅⋅==；（6）2sin cos sin d (ln 57)d (ln 6)d x x x xy x x x x x x x x-'=++-=++； （7）11cos cos d (2)d 2ln 2sec tan d xxy x x x x --'==-⋅；（8）32d (e e )d 3(e e )(e e )d x x x x x xy x x ---'⎡⎤=+=+-⎣⎦． 2．填空． （1）23d d()x x =（2）21d d()1x x =+ （3）2cos2d d()x x = （4）21d d()x x= 解 （1）3x C +； （2）arctan x C +； （3）sin 2x C +； （4）1C x-+． 3解=()f x =064x =，1x ∆=．因为000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆，()f x ''==所以1188.062516=≈=+=．4．半径为10m 的圆盘，当半径改变1cm 时，其面积大约改变多少？解 圆盘面积函数为2S πR =，并取0R 10m =，R 1cm 0.01m ∆==．因为 S 2πR '= 所以面积改变量2S dS 2πR R 2π100.010.2π0.628m ∆≈=⋅∆=⨯⨯=≈．习题二1．如果函数()f x 在点0x 可导，求：（1）000()()limh f x h f x h →--； （2）000()()lim h f x h f x h hαβ→+--．解 （1）0000000()()()()limlim ()h h f x h f x f x h f x f x h h →-→----'=-=--； （2）00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h hαβαβ→→+--+-+--=0000000()()()()limlim ()()h h f x h f x f x h f x f x h hαβαβαβαβ→→+---'=+=+-2．求函数3y x =在点(2,8)处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义，得3222()312x x k x x =='===切，112k =-法． 所以，切线方程为812(2)y x -=-即12160x y --=．法线方程为18(2)12y x -=--即12980x y +-=．3．设2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，试确定,a b 的值，使()f x 在1x =处可导．解 若()f x 在1x =处可导，则必在1x =处连续．1lim ()1x f x -→=，1lim ()x f x a b +→=+， 11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a b +=． 又2111()(1)1(1)limlim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--， 111()(1)1(1)(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b a x f a x x x ++-+→→→-+--'====--- 所以 2a =，1b =-． 4．求下列各函数的导数：（1）231251y x x x =-++； （2）2sin y x x =； （3）1cos y x x =+； （4）1ln 1ln xy x-=+．解 （1）23413(251)45y x x x x x''=-++=++；（2）22(sin )2sin cos y x x x x x x ''==+； （3）221(cos )sin 1()cos (cos )(cos )x x x y x x x x x x '+-''==-=+++；（4）21ln (1ln )(1ln )(1ln )(1ln )()1ln (1ln )x x x x x y x x ''--+--+''==++ 2211(1ln )(1ln )2(1ln )(1ln )x x x x x x x -+--==-++ ． 5．求下列函数的导数：（1）36()y x x =-； （2）y =；（3）2sin (21)y x =-； （4）21sin y x x=； （5）ln1xy x=-； （6）[]ln ln(ln )y x =； （7）ln(y x =； （8）arcsin 2x y x =+解 （1）3533526()()6()(31)y x x x x x x x ''=--=--；（2）322(1)y x -'==-； （3）2sin(21)cos(21)(21)2sin(42)y x x x x ''=-⋅-⋅-=-； （4）22221111111()sin(sin )2sin cos ()2sin cos y x x x x x x x x x x x x'''=+=+⋅-=-； （5）lnln ln(1)1x y x x x ==---，∴1111(1)y x x x x -'=-=--； （6）[]{}[]1ln ln(ln )ln(ln )(ln )ln ln(ln )y x x x x x x ''''=⋅⋅=；（7）((1y x ''==+=;（8）1arcsin22x y '=++arcsin arcsin 22x x=+=．6．若以310cm /s 的速率给一个球形气球充气，那么当气球半径为2cm 时，它的表面积增加的有多快？解 设气球的体积为V ,半径为R ，表面积为S ，则34π3V R =，24πS R =． d d d d d d V V R t R t =⋅，d d d d d d S S Rt R t =⋅， 2d d d d dV 12d 8πd d d d dt 4πd S S V R V R t R t V R R t ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 将3d 10cm /s d V t =，2cm R =代入得，2d 10cm /s d St=．7．求下列函数的高阶导数：（1）2sin 2y x x =，求y '''； （2）y =5x y =''． 解 （1）Q 22sin 22cos2y x x x x '=+，22sin 24cos24cos24sin 2y x x x x x x x ''=++-22sin 28cos 24sin 2x x x x x =+-，∴24cos28cos216sin 28sin 28cos2y x x x x x x x x '''=+---212cos 224sin 28cos 2x x x x x =--．（2）Q 2y '==y ''==23222(24)(16)x x x -=-，∴5x y =''1027=． 8．求由下列方程所确定的隐函数的导数： （1）3330y x xy +-=； （2）arctan ln yx=． 解 （1）方程两边对x 求导，得22333()0y y x y xy ''+-+=，从中解出y '，得22y x y y x-'=-． （2）方程两边对x 求导，得2222112221()xy y x yy y x x y x''-+⋅=⋅++， 从中解出y '，得x yy x y+'=-． 9．用对数求导法求下列各函数的导数：（1）y =； （2）cos (sin )x y x = (s i n 0)x >．解 （1）方程两边取对数，得11ln ln(23)ln(6)ln(1)43y x x x =++--+，两边对x 求导，得1211234(6)3(1)y y x x x '=+-+-+， 即211[234(6)3(1)y x x x '=+-+-+ （2）方程两边取对数，得cos ln ln(sin )cos lnsin x y x x x ==⋅两边对x 求导，得11sin ln sin cos cos sin y x x x x y x'=-⋅+⋅⋅ sin lnsin cos cot x x x x =-⋅+⋅，即cos (sin )(sin lnsin cos cot )x y x x x x x '=-⋅+⋅．10．求由下列各参数方程所确定的函数()y y x =的导数：（1）33cos sin x a t y b t ⎧=⎪⎨=⎪⎩； （2）e cos e sin tt x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求π2d d t y x =． 解 （1）22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy b t t bt t x x a t t a t===--；（2）Q d d e (sin cos )sin cos d d d e (cos sin )cos sin d t t yy t t t tt x x t t t t t++===--， ∴π2d d t y x =π2sin cos 101cos sin 01t t tt t=++===---． 11．求下列函数的微分： （1）ln sin2x y =； （2）1arctan 1x y x+=-； （3）e 0x yxy -=； （4）24ln y y x +=．解 （1）111d (lnsin )d (cos )d cot d 22222sin 2x x xy x x x x '==⋅⋅=； （2）2221(1)(1)1d d d 1(1)11()1x x y x x x x x x-++=⋅=+-++- （3）方程两边同时取微分，得d(e )d()0x yxy -=，2d de (d d )0x yy x x yy x x y y-⋅-+=， 整理得22d d xy y y x x xy-=+．（4）方程两边同时取微分，得312d d 4d y y y x x y+=， 整理得324d d 21x yy x y =+．12．利用微分求近似值：（1）sin3030︒'； （2解 （1）设()sin f x x =，则0π306x ︒==，π30360x '∆==，()cos f x x '=．11 / 11 000sin3030()()()f x x f x f x x ︒''=+∆≈+∆πππsincos 0.507666360=+⋅≈ （2）设()f x =064x =，1x ∆=，561()6f x x -'=．000()()()f x x f x f x x '=+∆≈+∆5611(64)12 2.00526192-⋅=+≈ 13．已知单摆的振动周期2T =2980cm/s g =，l 为摆长（单位为cm ），设原摆长为20cm ，为使周期T 增大0.05s ，摆长约需加长多少？解由2T =224πgT l =，02T =0.05s T ∆=，22πgT l '=． 所以027d 0.050.050.05 2.23cm 2ππgT l l l T '∆≈=⋅∆=⋅===≈， 即摆长约需加长2.23cm ．。
题型1.由已知导数，求切线的方程2.对简单的、常见函数进行求导3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导4.参数方程与一些个别函数的应用5.常见的高阶导数及其求导内容一．导数的概念1.导数的定义2.导数的几何意义3.导数的物理意义4.可导与连续之间的关系二．导数的计算1.导数的基本公式2.导数的四则运算法则3.反函数的求导法则4.复函数的求导法则5.隐函数的求导6.参数方程所确定的函数的导数7. 对数求导法8.高阶导数三．微分 1.微分的定义 2.可导与可微的关系 3.复合函数的微分法则 4.微分在近似计算中的应用典型例题题型I 利用导数定义解题 题型II 导数在几何上的应用题型III 利用导数公式及其求导法则求导 题型IV 求高阶导数题型V 可导、连续与极限存在的关系自测题二一．填空题 二．选择题 三．解答题4月9日微分练习题基础题：（一）选择题 1.若⎩⎨⎧≥+<+=1,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（ ）A. 2,2==b aB. 2,2=-=b aC. 2,2-==b aD. 2,2-=-=b a2. 设0'()2f x =，则000()()limx f x h f x h h∆→+--＝( ).A 、不存在B 、 2C 、 0D 、 43. 设)0()(32>=x x x f , 则(_))4(='fA.2B.3C.4D.5 4.已知函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则当n 为大于2的正整数时，)(x f 的n 阶导数)()(x f n 是（ ）。
A 、1)]([+n x fn B 、1)]([!+n x f n C 、n x f 2)]([ D 、n x f n 2)]([!（二）填空题5. 设 2sin x e y = ，则=dy _____.6.已知x y 2sin =，则)(n y= .7.设函数()y y x =由参数方程(),()x x y y θθ==确定，()x θ与()y θ均可导，且00()x x θ=，'0()2x θ=，2x x dydx==，则'0()y θ=.8.设0,sin )(>=a x x f ，则=--→ha f h a f h 2)()(lim；9. 已知设 cos2xy e = ，则=dy ____ _.10.sin xy x =，则2x dy π==_____________ 11. 已知函数()x f x xe =,则(100)()f x = .12. 设)]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则=dxdy13．2x x y =,则dxdy.=______ 14. 已知函数)100()2)(1()(---=x x x x x f ,则)0('f = 15. 设函数,22xxy -+=求.)(n y.综合题：（三）解答题16. 求与抛物线225y x x =-+上连接两点(1,4)P 与(3,8)Q 的弦平行，且与抛物线相切的直线方程.17. 求幂指函数)0(>=x x y x的导数.18. 已知xyy x arctan)ln(22=+，求y '.19. 求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty tx arctan 1ln 2所确定的函数的一阶导数dxdy和二阶导数22dxyd .20. 若隐函数()y y x =由方程22ln()arctan yx y x+=确定，求(1)y '，1,0x y dy ==．4月10日导数与微分练习题基础题1. 在0=x 处，连续但不可导的函数是（ ）A ：x y =B ：31)1(-=x y C ：1ln -=x y D ：tgx y arg = 2. 设 4ln )(=x f ,则 0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(= ( )A ：0B ：41C ： ∞D ： 4 3. 已知1)(0='x f ，则=--→tx f t x f t sin )()2(lim000（ ） A ：3- B ：2- C ：1- D ：04. 设函数)(x f 在点a 可导，且12)5()5(lim0=--+→hh a f h a f h ，则=')(a f （ ）Ａ： 51 Ｂ： 5 Ｃ： 2 Ｄ：215. 设函数)3)(1()(--=x x x x f ，则)0(f '=( )A ：0B ：1C ：3D ：316. 设 y=x sin 3则 y '=( )A ：3ln 3sin xB ：x x cos 3sinC ：x x cos 3ln 3sinD ：x x sin 31sin -7. 设3sin 3xy =，则y '=( ) A ：3sin 32x B ：3sin 2x C ：3cos 3sin 32x x D ：3cos 3sin 2x x8. 设,ln xxy =则(='y ）A ：dx x x 2ln 1-B ：2ln 1x x -C ：21ln x x -D ：dx x x 21ln -9. 设)(x f e y =且)(x f 在0x 处可导，则='=0x x y （ ）A ：)(0x f eB ：)(0x f e' C ：)(00)(x f ex f ' D ：)(00)(x f ex f '10. 设)()(x g x f ='，则dxx df )(sin 2=( )A ：x x g sin )(2B ：x x g 2sin )(C ：)2(sin x gD ：x x g 2sin )(sin 211. 设),(cos x f y =则dxdy=( ) A ：x x f sin )(cos ' B ：x x f cos )(cos ' C ：x x f cos )(cos '- D ：x x f sin )(cos '-12. 设x y sin =，则)2()3(πy =（ ）A ： 0B ： 1C ： 1-D ：21 13. 设x y ln =，则)(n y =( )A ：nnxn --!)1( B ；nn xn 2)!1()1(--- C ：n n x n ----)!1()1(1D ：11!)1(+---n n x n14. 已知曲线22-+=x x y 上点M 处的切线与直线13+=x y 平行，则点M 的坐标为（ ）Ａ： )1,0( Ｂ： )0,1( Ｃ： )0,0( Ｄ： )1,1(15. 过曲线x y ln =上点)0,1(处的法线方程是_________________16. 设函数)(x f y =有21)(0='x f ，则当0→∆x ，)(x f 在0x x =处的微分dy 是 ( )A ：与x ∆等价的无穷小B ：与x ∆同阶的无穷小，但不是等价的无穷小C ：比x ∆高阶的无穷小D ：比x ∆低阶的无穷小17. 当x ∆很少，且0)(0='x f ，函数在0x x =处改变量y ∆和微分dy 的关系是（ ）A ： dy y <∆B ： dy y >∆C ： dy y =∆D ： dy y ≈∆综合题：18. 已知函数在点0x 处可导,且41)()2(lim000=--→x f x x f x x ,求 )(0x f '19. 求由曲线1sin 3+-=x e y x 在点)2,0(的切线与法线方程20. 设函数0,2sin ,)(>≤⎩⎨⎧+=x x b x e x f ax 可导，求常数b a ,21. 求函数x x y tan ln cos ⋅=的导数 22.求xy xsin 2arctan =的导数23. 设 ,1arcsin 2x y -=求 22='x y 24. 设 xe x y xarccos )1(ln -= ， 求)0(y '25. 设xx x x x y 221ln arccos +++=,求y '26.设 )21ln()1(2x x x x y ++++=)－22x x +, 求 dy4月11日导数与微分练习题综合题：1.求由方程0ln 22=-+x y y x 所确定的隐函数的导数与微分2. 设 x x y 5=，求dy3. 求函数x y sin 1+=的2阶导数4. 设xxe y =，求1=''x y5. 设1arctan ln 122---=x x x y ,求)5(y '6. 设函数()y y x =由方程sin()0xy x y -+=确定，求dxdy.7.求由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-ttey ex 2在相应0=t 点处的切线方程和法线方程。
8.已知x x y 2sin 2=，求()50y9.已知xx y +-=11，求()n y10. 设函数()x f 和()x g 可导，且()()022≠+x g x f ，试求函数()()x g x f y 22+=的导数。
11. 设方程xyy x =确定了y 是x 的函数，求dy12. xx x y ⎪⎭⎫⎝⎛+=1，求dy13. ,sin 22xx y x+=求dy基础题：14. 设()()()()10021---=x x x x f ，则()()=+'771f f ______________15. 函数()⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=ttey et x 2ln 在0=t 处的切线方程为___________________16. 设()xx f -=11ln ，则()()0n f =_________________17. 设()xe x xf -⋅=，则()()x fn =___________________18. 若直线b x y +=3是曲线452++=x x y 的一条切线，则b _____________4月12日导数与微分练习题一。
导数的概念1. 函数)(x f y =在0x x =处可导,则=∆-∆+→∆xx f x x f x )()(lim000.2.设)(x f 在0x 处可导,已知32)()2(lim000=-+→xx f x x f x ,则=)('0x f .A.3B.1C. 0D.2 3.设)(x f 是可导函数，且1)()2(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则=)(0'x f ____ ____.A.1 ；B.0 ；C.2；D.21 4.函数xy 1sin=在0=x 处__ _ ___. A ． 连续，可导 B. 连续，不可导 C.不连续，不可导 D.不连续，可导5.函数|1|-=x y 在1=x 处__ ___.A.连续，可导B.连续，不可导C.不连续，不可导D.不连续，可导6.在区间),(b a 内，如果)()(x f x g '='，则必有____ ___.A. )()(x g x f =.B. c x g x f +=)()( .C.)(x f 与)(x g 为任意函数.D. 0)()(=+x g x f .二．求导数 （一）复合函数求导数1.设)(2x f y -=，则dy =____________.A. '2()xf x dx -. B.dx x xf )(22'--. C. dx x f )(22'-. D. dx x xf )(22'-.2.设x n e xy +=-1（n 为自然数），则=)(n y _________.A. n!+n x e ； ；B.n!；C. x eD. n!+xe3.设1122+-=x x y ，求dy . 4. 设an x a x a y ++=，求dy .5.设)21ln(cos x y +=，求dy6. 已知x e y xcos =，求dy .7.设函数x ey xsin -=，求dy 8. 已知ln y π=，求y '.9.设()x e x y +=22ln ,求y '. 10.设xx xe a y 2+=，求y '.11.设2arcsin x e y x +=，求'y . 12.已知cos ln 2y x x =++，求y '.13.已知 21ln x y -=, 求y . 14.设)(x f 可导,)(ln 2x f y =,求y '.（二）隐函数求导数1.设函数()y f x =由方程sin 0y x y ++=确定，求y '.2.设函数()y f x =由方程2ln y x y =+确定，求y '.3.求方程0ln 2=+-y y x 所确定的隐函数)(x f y =在给定点（1，2）处的导数.4.求方程3220y y x +-=所确定的隐函数()y f x =在给定点（1，1）处的导数.5. 设yx exy +=，求dx dy . 6.设0=-+e e xy y，求dxdy .（三）幂指函数求导数 1.设xx y sin =，求dx dy . 2.设xy y x =，求dxdy .（四）求高阶导数1.设函数()()3xx e e x f -+=，求()x f '和()x f ''.2.设函数x x y ln 2=，求y '和y ''.3.求函数x e y 3=的n 阶导数.4.设函数33ln y x x =，求y '和y ''.5.设x e x f xsin )(=，求''()f x .三、导数的几何意义1.求出曲线22x y =在点（1，2）处的切线与法线方程．2.已知抛物线222+-=x x y .（1）求抛物线在点()03,5M 处的切线方程和法线方程.（2）抛物线上哪一点处的切线平行于x y 4-=.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
