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迷宫问题算法一、引言迷宫问题是一个经典的算法问题，对于寻找路径的算法有着广泛的应用。
迷宫是一个由通路和墙壁组成的结构，从起点出发，要找到通往终点的路径。
迷宫问题算法主要解决的是如何找到一条从起点到终点的最短路径。
二、DFS（深度优先搜索）算法深度优先搜索算法是迷宫问题求解中最常用的算法之一。
其基本思想是从起点开始，沿着一个方向不断向前走，当走到无法继续前进的位置时，回退到上一个位置，选择另一个方向继续前进，直到找到终点或者无路可走为止。
1. 算法步骤1.初始化一个空栈，并将起点入栈。
2.当栈不为空时，取出栈顶元素作为当前位置。
3.如果当前位置是终点，则返回找到的路径。
4.如果当前位置是墙壁或者已经访问过的位置，则回退到上一个位置。
5.如果当前位置是通路且未访问过，则将其加入路径中，并将其邻居位置入栈。
6.重复步骤2-5，直到找到终点或者栈为空。
2. 算法实现伪代码以下为DFS算法的实现伪代码：procedure DFS(maze, start, end):stack := empty stackpath := empty listvisited := empty setstack.push(start)while stack is not empty docurrent := stack.pop()if current == end thenreturn pathif current is wall or visited.contains(current) thencontinuepath.append(current)visited.add(current)for each neighbor in getNeighbors(current) dostack.push(neighbor)return "No path found"三、BFS（广度优先搜索）算法广度优先搜索算法也是解决迷宫问题的常用算法之一。
数字迷宫求路径数字迷宫是一种经典的益智游戏，要求玩家通过移动，在迷宫中找到通往终点的路径。
每个迷宫都由数字构成，数字代表着玩家可以移动的步数。
在这篇文章中，我们将探讨如何解决数字迷宫，并找到通往终点的最短路径。
首先，我们需要了解数字迷宫的基本规则。
数字迷宫通常是一个由方格组成的矩形图形，每个方格上都有一个数字。
数字代表了在该方格中，玩家可以继续向前移动的最大步数。
例如，一个方格上的数字为3，意味着玩家可以向前移动1至3个方格。
玩家只能朝上、下、左、右四个方向移动，不能斜向行进。
要解决数字迷宫，我们可以使用深度优先搜索（DFS）算法。
DFS算法通过递归的方式，从起点开始尝试每个可能的移动方向，直到找到终点或者无法继续移动。
在尝试每个方向之前，我们需要检查当前方格中的数字，以确定能够继续移动的步数。
接下来，我们将通过一个例子来说明如何使用DFS算法解决数字迷宫。
假设我们有以下4x4的数字迷宫：```1 32 32 2 1 23 1 2 13 2 3 1```在这个例子中，起点位于左上角方格（1,1），终点位于右下角方格（4,4）。
我们可以通过如下步骤找到通往终点的最短路径：1. 从起点开始，检查起点方格中的数字，得知玩家可以向下移动1至2个方格。
2. 移动到下一行的方格（2,1），再次检查该方格中的数字，得知玩家可以向下移动1至2个方格。
3. 继续往下移动，到达方格（3,1），再次检查该方格中的数字，得知玩家可以向右移动1至2个方格。
4. 向右移动到达方格（3,3），再次检查该方格中的数字，得知玩家可以向下移动1至2个方格。
5. 继续向下移动，到达终点方格（4,4）。
找到通往终点的路径。
通过这个例子，我们可以看到DFS算法的工作原理。
它会递归地尝试每个可能的移动方向，直到找到终点或者无法继续移动。
然而，DFS 算法并不能保证找到最短路径，因为它首先找到的路径不一定是最短的。
要找到最短路径，我们可以使用广度优先搜索（BFS）算法。
迷宫最短路径算法一、引言迷宫最短路径算法是指在迷宫中找到从起点到终点的最短路径的算法。
在实际应用中，迷宫最短路径算法可以用于机器人导航、游戏设计等领域。
本文将介绍几种常见的迷宫最短路径算法，包括深度优先搜索、广度优先搜索、Dijkstra 算法和 A* 算法。
二、深度优先搜索深度优先搜索是一种基于栈的搜索算法，其主要思想是从起点开始，沿着某个方向一直走到底，直到无路可走时回溯到上一个节点。
具体实现时，可以使用递归或手动维护栈来实现。
三、广度优先搜索广度优先搜索是一种基于队列的搜索算法，其主要思想是从起点开始，依次将与当前节点相邻且未被访问过的节点加入队列，并标记为已访问。
然后从队列头部取出下一个节点作为当前节点，并重复以上操作直到找到终点或队列为空。
四、Dijkstra 算法Dijkstra 算法是一种贪心算法，在图中寻找从起点到终点的最短路径。
具体实现时，首先将起点标记为已访问，并将其与所有相邻节点的距离加入一个优先队列中。
然后从队列中取出距离最小的节点作为当前节点，并更新其相邻节点到起点的距离。
重复以上操作直到找到终点或队列为空。
五、A* 算法A* 算法是一种启发式搜索算法，其主要思想是在广度优先搜索的基础上引入启发函数，用于评估每个节点到终点的估计距离。
具体实现时，将起点加入开放列表，并计算其到终点的估价函数值。
然后从开放列表中取出估价函数值最小的节点作为当前节点，并将其相邻未访问节点加入开放列表中。
重复以上操作直到找到终点或开放列表为空。
六、总结以上介绍了几种常见的迷宫最短路径算法，包括深度优先搜索、广度优先搜索、Dijkstra 算法和 A* 算法。
不同算法适用于不同场景，需要根据实际情况选择合适的算法。
在实际应用中，还可以结合多种算法进行优化，以提高寻路效率和精确度。
bfs算法步骤BFS算法是一种广度优先搜索算法，它可以用于解决很多问题，如最短路径问题、迷宫问题等。
本文将详细介绍BFS算法的步骤。
一、什么是BFS算法BFS（Breadth First Search）算法是一种图遍历算法，它从起点开始，逐层扩展搜索范围，直到找到目标节点为止。
在搜索过程中，每个节点只会被访问一次。
二、BFS算法步骤1. 创建一个队列Q，并将起点节点S加入队列Q中。
2. 创建一个visited集合，并将起点节点S添加到visited集合中。
3. 当队列Q不为空时，执行以下操作：a. 取出队列Q的第一个节点v。
b. 遍历v的所有邻居节点w：i. 如果w是目标节点，则返回w。
ii. 如果w不在visited集合中，则将w添加到visited集合中，并将w加入队列Q中。
4. 如果遍历完整个图都没有找到目标节点，则返回null。
三、BFS算法的优缺点1. 优点：a. BFS算法可以找到最短路径。
b. BFS算法可以找到所有可达的节点。
2. 缺点：a. BFS算法需要使用额外的空间来存储visited集合和队列Q，空间复杂度较高。
b. BFS算法的时间复杂度较高，尤其是在图比较大时。
四、BFS算法的应用BFS算法可以用于解决很多问题，如最短路径问题、迷宫问题等。
下面以迷宫问题为例，介绍BFS算法的应用。
假设有一个迷宫，其中0表示可以通过的路，1表示障碍物。
现在要求从起点(0,0)到达终点(3,3)，请问是否存在一条可行的路径。
解决方法：1. 将起点(0,0)加入队列Q中，并将其添加到visited集合中。
2. 当队列Q不为空时，执行以下操作：a. 取出队列Q的第一个节点(vx,vy)。
b. 遍历(vx,vy)的四个邻居节点(nx,ny)：i. 如果(nx,ny)是目标节点，则返回true。
ii. 如果(nx,ny)不在visited集合中，并且迷宫中(nx,ny)位置为0，则将(nx,ny)添加到visited集合中，并将其加入队列Q中。
dfs算法最短路径以DFS算法最短路径为标题DFS（Depth-First Search，深度优先搜索）是一种常用的图遍历算法，也可以用来求解图的最短路径问题。
在这篇文章中，我们将详细介绍DFS算法在求解最短路径问题中的应用。
我们需要明确什么是最短路径。
在一个图中，最短路径是指从图中的一个起始节点到达目标节点的路径中，经过的边数最少的路径。
最短路径问题是图论中的经典问题，解决这个问题可以帮助我们找到两个节点之间的最短距离，或者找到最佳路径。
在使用DFS算法求解最短路径问题时，我们需要按照以下步骤进行操作：1. 选择一个起始节点作为当前节点；2. 标记当前节点为已访问；3. 如果当前节点是目标节点，则找到了最短路径，结束搜索；4. 如果当前节点不是目标节点，则遍历当前节点的所有相邻节点；5. 对于每个相邻节点，如果该节点未被访问过，则将其标记为已访问，并将其加入到搜索队列中；6. 重复步骤3-5，直到找到目标节点或者搜索队列为空。
使用DFS算法求解最短路径的关键在于如何选择下一个要访问的节点。
一种常用的方法是按照某种优先级选择相邻节点，例如选择与目标节点距离最近的节点。
在实际应用中，DFS算法可以用于解决很多问题，例如迷宫问题、网络路由问题等。
下面我们以迷宫问题为例，演示如何使用DFS算法求解最短路径。
假设我们有一个迷宫，其中包含了一些墙壁和通道。
我们需要找到从起始点到目标点的最短路径。
我们可以将迷宫表示为一个矩阵，其中墙壁表示为障碍物，通道表示为可以通过的路径。
我们选择起始点作为当前节点，并将其标记为已访问。
然后，我们遍历当前节点的所有相邻节点。
对于每个相邻节点，如果该节点未被访问过且不是墙壁，则将其标记为已访问，并将其加入到搜索队列中。
我们重复上述步骤，直到找到目标点或者搜索队列为空。
在搜索过程中，我们可以使用一个距离矩阵来记录每个节点到起始点的距离。
每次访问一个节点时，我们更新该节点的距离，并将其加入到搜索队列中。
迷宫问题算法随着计算机技术的发展，我们能够利用计算机的能力来解决一些复杂的问题。
其中一个有意思的问题就是迷宫问题，也就是如何从一个迷宫的入口走到出口。
本文将向大家介绍迷宫问题的算法及其实现。
一、迷宫问题的形式化定义一个迷宫可以被看做是一个有向图，其中每个节点表示一个房间，边表示房间之间的通路。
我们假设每个房间有四个方向，上下左右，故有向图的每个节点最多有四个邻居节点。
假设起点为S，终点为T，每个节点的代价为1，表示每个走过的房间代价都是一样的。
我们的目标是找到一条S到T的最短路径。
如果这条路径不存在，则说明从S无法到达T。
二、基于深度优先搜索的解法深度优先搜索是一种基于回溯的搜索方法，其思路是从起点开始，递归地遍历每个节点，在遍历过程中标记已访问过的节点，直到找到终点或者所有节点都被遍历过。
对于迷宫问题，深度优先搜索的具体实现可以作为如下所示：```pythondef dfs(maze, visited, x, y, endX, endY, steps):if x == endX and y == endY:return stepsif visited[x][y]:return float('inf')visited[x][y] = TrueminSteps = float('inf')for dx, dy in ((0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)):nx, ny = x + dx, y + dyif 0 <= nx < len(maze) and 0 <= ny < len(maze[0]) and maze[nx][ny] == 0:newSteps = dfs(maze, visited, nx, ny, endX, endY, steps + 1)minSteps = min(minSteps, newSteps)visited[x][y] = Falsereturn minSteps```在这个实现中，我们使用了一个visited数组来记录每个节点是否被访问过，1表示被访问过，0表示未被访问过。
迷宫最短路径问题的计算机解法的信息目录迷宫最短路径问题的计算机解法的信息 (1)1.问题描述 (1)2.数据的输入与输出 (2)2.1.输入迷宫问题的大小规模 (2)2.2.建立数值迷宫图形 (2)2.3.走向(Direction) 控制 (2)2.4.数据输出 (2)3.数据结构 (2)3.1.数组(Array) (3)3.2.栈(Stack) (3)3.3.队列(Queue) (3)4.算法基本思想 (3)4.1.基本算法思想 (3)4.1.1.步骤一: (3)4.1.2.步骤二： (3)4.1.3.步骤三 (3)4.2.具体实施 (4)4.2.1.其一： (4)4.2.2.其二： (4)5.算法细化参考 (4)6.算法分析 (5)6.1.时间复杂性 (5)6.1.1.其一： (5)6.1.2.其二： (5)6.2.空间复杂性 (5)6.2.1.其一： (5)6.2.2.其二： (6)扳手1-1 (1)拉车1-2 (1)钢材1-3 (2)迷宫最短路径问题的计算机解法的信息迷宫最短路径问题的计算机解法的信息迷宫最短路径( the Shortest Path ofLabyrinth) 问题是一个典型的搜索、遍历问题,其程序设计思想在许多计算机运算程序、计算机管理程序中均有应用。
一般来说,用计算机解决一个具体问题时,大致需要经过下列几个步骤:首先要从具体问题抽象出一个适当的数学模型,然后设计一个解此数学模型的算法,最后编出程序,进行调试、调整,直至得到最终解答。
其中,寻求数学模型的实质是分析问题,从中提取操作的对象,并找出这些操作对象之间的关系,然后用数学语言加以描述。
但是,迷宫最短路径问题处理的对象不仅仅是纯粹的数值,而且还包括字符、表格、图象等多种具有一定结构的数据,这些非数值计算问题无法用数学方程加以描述,这就给程序设计带来一些新的问题。
迷宫最短路径( the Shortest Path ofLabyrinth) 问题是一个典型的搜索、遍历问题,其程序设计思想在许多计算机运算程序、计算机管理程序中均有应用。
迷宫的最短路径（简单BFS）宽度优先搜索（BFS，Breadth-First Search）也是搜索的⼿段之⼀，与深度优先搜索类似，从某个状态出发搜索所有可以到达的状态。
与深度优先搜索的不同之处在于搜索的顺序，宽度优先搜索总是先搜索距离初始状态最近的状态。
也就是说，它是按照开始状态→只需⼀次转移就能到达的所有状态→只需2次就可以到达的所有状态→…按照这样的顺序进⾏搜索。
对于同⼀个状态，宽度优先搜索只经过⼀次，因此时间复杂度为O（状态数×转移的⽅式）。
深度优先搜索利⽤了栈进⾏计算，⽽宽度优先搜索则利⽤了队列进⾏计算。
搜索时⾸先将状态添加进队列⾥，此后从队列的最前端不断取出状态，把从该状态可以转移到的状态尚未访问过的部分加⼊到队列中，如此往复，直⾄队列被取空或找到了问题的解。
通过观察这个队列，我们就可以知道所有的状态都是按照距初始状态由近及远的顺序遍历的。
例题：迷宫的最短路径 给定⼀个⼤⼩为N×M的迷宫。
迷宫由通道和墙壁组成，每⼀步可以向邻接的上下左右四个的通道移动。
请求出从起点到终点所需的最⼩步数。
请注意，本题假定从起点⼀定可以移动到终点。
（N,M≤100）（'#', '.' , 'S', 'G'分别表⽰墙壁、通道、起点和终点）输⼊：10 10#S######.#......#..#.#.##.##.#.#........##.##.####....#....#.#######.#....#......####.###.....#...G#输出：22代码：#include<iostream>#include<queue>using namespace std;const int INF = 100000000, maxn = 105;typedef pair<int, int> P;//可以使⽤结构体char maze[maxn][maxn];int n, m, sx, sy, gx, gy,d[maxn][maxn];//到各个位置的最短距离的数组int dx[4] = { 1,0,-1,0 }, dy[4]= { 0,1,0,-1 };//4个⽅向移动的向量int bfs()//求从(sx,sy)到(gx,gy)的最短距离，若⽆法到达则是INF{queue<P> que;for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j < m; j++)d[i][j] = INF;//所有的位置都初始化为INFque.push(P(sx, sy));//将起点加⼊队列中d[sx][sy] = 0;//并把这⼀地点的距离设置为0while (que.size())//不断循环直到队列的长度为0{P p = que.front();// 从队列的最前段取出元素que.pop();//取出后从队列中删除该元素if (p.first == gx&&p.second == gy)break;for (int i = 0; i < 4; i++)//四个⽅向的循环{int nx = p.first + dx[i],ny = p.second + dy[i];//移动后的位置标记为(nx,ny)if (0 <= nx&&nx < n && 0 <= ny&&ny < m&&maze[nx][ny] != '#'&&d[nx][ny] == INF)//判断是否可以移动以及是否访问过(即d[nx][ny]!=INF） {que.push(P(nx, ny));//可以移动，添加到队列d[nx][ny] = d[p.first][p.second] + 1;//到该位置的距离为到p的距离+1}}}return d[gx][gy];}int main(){cin >> n >> m;sx = 0, sy = 1, gx = 9, gy = 8;//起点和终点坐标for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j < m; j++)cin >> maze[i][j];cout << bfs() << endl;return0;}宽搜和深搜⼀样，都会⽣成能够所有遍历到的状态，因此需要对所有状态处理时使⽤宽度优先搜索也是可以的。
y迷宫计算公式迷宫是一种常见的谜题游戏，游戏的目标是通过解密、找线路等方法，尽可能快地从起点到达终点。
在解决迷宫的过程中，一些推理和计算技巧也可以帮助玩家更快地进入角色并完成游戏。
在这篇文章中，我们将介绍一些y迷宫的计算公式，希望能对在迷宫游戏中遇到瓶颈的玩家有所帮助。
1. y迷宫的定义y迷宫有多个入口和多个出口，通过这些入口和出口，构成了一些相交的通道。
每个通道都会有一个或多个分叉，通道之间的连接则呈现出y字形的结构，这也是y迷宫的名字来源。
y迷宫是一种比较复杂的迷宫，因为它有多个入口和多个出口，这使得它相对于其他迷宫更加难以解决。
对于想要解决y迷宫的玩家来说，他们需要一些有效的计算公式帮助他们避免繁琐的操作，从而快速地解决问题。
2. 最短路径算法在y迷宫中，最短路径算法是一种最常见的计算公式。
这个公式确定了每个入口到每个出口的最短路径。
它通常通过将y迷宫分成可走和不可走的两部分来实现。
在该算法中，地图会被转换成多个节点，然后采用广度优先搜索或Dijkstra算法来找到两点之间的最短路径。
用最短路径算法来解决y迷宫有以下步骤：1) 用图标记每一个交叉点和转角，这些交叉点和转角都是节点。
2) 用每一个交叉点和转角来创建一个图。
3) 找到每个节点到连接的节点的最短路径。
4) 当所有的路径都被找到时，玩家可以按照路径走到终点。
当然在实际操作中，最短路径算法比较复杂且需要消耗大量的计算资源，但是对于一些复杂的y迷宫来说，它仍然是一种有效的计算公式。
3. A* 算法A* 算法是一种基于最短路径算法的改进。
它使用一种称为启发函数的技术来计算两点之间的最短路径。
这个算法通过评估每个节点对目标的距离来判断哪些方案更加可行。
A*算法的计算公式可以写为：f(n) = g(n) + h(n)其中f(n)表示节点n的总估计成本，g(n) 表示从起点到节点n 的实际成本，h(n)表示从节点n到目标节点的估计成本。
通过比较f(n) 的值，玩家就能决定哪条路线更加高效。
迷宫最短路径问题新算法摘要: 提出了求解迷宫最短路径问题的新算法, 该算法抛弃了经典算法( 深度优先搜索和广度优先搜索) 中繁杂低效的递归、回溯思想。
通过合理的变换, 将原问题转化为迷宫路径深度图的生成问题。
最后对算法进行了严谨的分析和实例测试, 显示出该算法易于理解、易于编程、时间空间复杂度低等优点。
关键词: 最短路径; 时间复杂度; 深度优先搜索; 广度优先搜索New Algorithm for Solving Shortest Path of Maze ProblemZHANG Lin- feng, LV Hui, QU Jun- feng(The Missile Institute, Air Force Engineering University, Sanyuan, Shannxi 713800, China)Abstract: A new algorithm is presented for solving the shortest path of maze problem, which is not based on the inef-ficient recursive backtracking theory of classical algorithm (DFS- Depth First Search and BFS- Breadth First Search).Byappropriate conversion, the algorithm changes the original problem into the creation of the maze graph problem.At last,an example is given, which shows that the new algorithm is easy to be understood and programmed as well as its lowtime and space complexity.Key words: shortest path; time complexity; Depth First Search; Breadth First Search1 问题描述迷宫最短路径(the shortest path of maze) 问题是一个典型的搜索、遍历问题, 其程序设计思想在人工智能设计、机器人设计等事务中均有应用。
如图 1 所示, 一个 N×M的大方块迷宫, 带斜线的单元格表示墙壁( 障碍) , 空白的单元格表示通道。
迷宫问题可以表述为: 寻找从某一个给定的起始单元格( 迷宫入口) 出发, 经由行相邻或列相邻的通道单元格, 最终可以到达目标单元格( 迷宫出口) , 所走过的单元格序列。
行进中, 只能沿上下左右四个方向前进。
而迷宫最短路径问题就是找出从迷宫入口到出口所经过单元格个数最少的路径。
2 经典算法求解迷宫问题, 经典算法有深度优先搜索和广度优先搜索两种深度优先搜索(DFS) : 从入口出发, 顺着某一方向向前探索, 若能走通, 则继续往前走; 否则沿原路退回( 回溯) , 换一个方向再继续探索, 直至所有可能的通路都探索到为止。
如果恰好某一步探索到出口, 则就找到了从入口到出口的路径。
为了保证在任何位置上都能沿原路退回, 防止死循环, 需要使用堆栈来保存大量记录。
而要求解迷宫最短路径, 则必须用深度优先搜索出所有到达出口的路径, 通过比较得到最短距离的路径, 这样也必然要求增加数据空间来保存搜索过程中当前最短路径, 增加了空间复杂度。
广度优先搜索(BFS) : 从入口出发, 离开入口后依次访问与当前位置邻接的单元格( 上下左右方向) , 然后分别从这些相邻单元格出发依次访问它们的邻接格, 并使“先被访问的单元格的邻接格‘先于’后被访问的单元格的邻接格”被访问, 直至访问到迷宫出口, 则找到了迷宫问题的最优解, 即迷宫最短路径。
该算法的显著特点是“层层推进”, 探索点会随着探索的深入急剧增加, 相应地, 需要大量的空间用来保存探索过程的记录, 空间复杂度大。
与此同时, 上述两种算法都比较抽象复杂, 编程实现容易出现问题, 调试比较困难, 因此在本篇论文中提出了一种新的容易理解和调试的算法, 该算法复杂度较低, 求解较大规模的迷宫问题也有不俗的表现。
3 本文算法3.1 本文算法基本思想描述首先与其他算法一样, 将 N×M的图形迷宫表示为一个二维矩阵, 用二维数组 a[N][M]来存储信息, N 和 M分别代表迷宫的行数和列数, 迷宫中的每个位置都可用矩阵数组的行号和列号来指定。
在矩阵中, 当且仅当在位置(i, j) 处有一个障碍时其值 a[i][j]为 1, 否则其值为 0。
图 2 给出了与图 1 迷宫对应的矩阵描述。
其次在本算法中引入了“路径深度”及“路径深度图”的概念。
路径深度: 从某位置走到出口的最短路径的长度, 记为depth(), 设每一方块为单位路径长度。
假定出口处路径深度为0, 障碍处路径深度为- 1。
路径深度图: 与迷宫对应的图, 每一个节点值为与该节点对应的迷宫单元格的路径深度, 即该单元格与迷宫出口的最短距离。
显然路径深度图有且唯一( 因为每个单元格与迷宫出口的最短距离有且唯一) 。
如图 1 所示的迷宫入口处的路径深度为 12, 最短路径为图 2 中箭头所指出的道路。
即:(1, 1)- (1, 2)- (2, 2)- (3, 2)- (3, 1) - (4, 1) - (5, 1) - (5, 2) -(5, 3)- (4, 3)- (4, 4)- (4, 5)- (5, 5) 。
迷宫单元格的路径深度如图 3 所示。
从图 3 中, 可以看出: 迷宫最短路径是一条从入口处开始的路径深度逐次递减 1 的序列。
因此如果能求出整个迷宫每个单元格的路径深度, 从而形成迷宫的路径深度图则求解最短路径就很简单。
本论文的关键算法在求解迷宫的路径深度图上。
3.2 迷宫路径深度图算法定理形成迷宫路径深度图的必要条件是: 图中每一个节点值不大于周围( 上下左右四个可行进方向) 最小节点值+1。
证明: 设点 A(x, y) 为迷宫中任意一点( 非障碍) , 而点 B 为与点 A 邻接点( 上下左右四个方向) 中节点值最小的点( 非障碍) 。
必要性: 假设从点 B 出发, 存在一条到达迷宫出口的最短路径。
则从点 A 出发, 可以先到达 B 点, 然后顺着从点 B 到出口的最短路径, 就能到达出口。
而由本文路径深度的定义, 显然有 depth(A)≤depth(A- >B- >出口)=1+depth(B) 。
必要性得证。
下面给出求解迷宫路径图的算法:步骤 1 置初值, depth( 障碍) =- 1, depth( 出口) =0, depth( 通道)N×M;步骤 2 交换标记 tag 置为 0;步骤 3 指针指向某一通道单元格 A;步骤 4 如果当前单元格是迷宫障碍, 转步骤 7;步骤 5 找出周围可行方向单元格( 非障碍) 的最小路径深度 min (depth( ) ) ;步骤 6 如果 depth(A) >min(depth( ) ) +1, 则调整 depth(A) =min (depth( ) )+1, 并记交换标记 tag=1;步骤 7 如果已遍历完所有单元格, 转步骤 9;步骤 8 指针以某一遍历规则( 比如顺序访问) 后移, 转步骤 3;步骤 9 如果 tag=1, 转步骤 2;步骤 10 如果 tag=0, 说明所有单元格路径深度 depth( ) 经过动态调整后达到稳定平衡( 定理所述状态) , 即形成路径深度图, 算法结束。
现在证明该算法最终形成了路径深度图。
用反证法证明。
由上述算法形成的图记为图 G, 假设图 G并非本文定义的路径深度图 G′, 即图 G 总存在一点 A, 其节点值 depth(A) =k, 而该点对应的单元格与迷宫出口的最短路径的长度为 l, l<k, 设最短路径为 A→Pl-1→Pl-2→…→P1→出口, 而在图 G 中此路径上有 l 个节点, 沿路径顺序其节点值为上界为k, 下界为 l 的递减整数数列, 因为 l<k, 由鸽巢原理, 则必有一节点 Pi, Pi>Pi+1+1, 则该图 G 未达到稳定平衡, 与前提 G 是稳定平衡下的路径深度图矛盾, 故假设不成立, 从而证明了算法形成的最终图就是待求解的路径深度图。
3.3 通过路径深度图寻找最短路径算法构造出路径深度图 G 后, 就可以很方便地找到迷宫中任意一点到出口的最短路径。
在这里, 以求解迷宫入口到出口的最短路径为例, 设 depth(s)=k。
算法如下:步骤 1 指针 p 指向入口, 入口位置进路径队列, 路径深度标记depth=k- 1;步骤 2 寻找 p 指向的单元格周围( 上下左右可行进方向) 路径深度等于 depth 的单元格;步骤 3 该单元格进入路径队列, p 指向该单元格, depth- - ;步骤 4 如果 depth>0, 转步骤 2;步骤 5 如果 depth=0, 说明找到出口, 出口位置进入路径队列, 算法结束。
至此, 迷宫最短路径新算法结束。
4 算法评价4.1 时间空间复杂度分析本算法主要分两个部分, 而最主要的时间开销就在第一部分求路径深度图算法上。
算法主要过程是逐步判断每个单元格是否与周围 4 个单元格达到稳定平衡状态, 时间复杂度为 O( 4×N×M) , 空间方面主要需要两个 N×M 的二维数组( 一个存储迷宫信息, 一个存储路径深度图) , 故空间复杂度为O(N×M)。
第二部分算法为通过路径深度图求最短路径, 当最短路径长度为 k 时, 时间方面最多需要判断 3k 次, 空间方面路径队列长度为 k, 其中 k=O( N+M) , 所以时间和空间复杂度均为O( N+M)。
综上所述, 本算法的时间和空间复杂度均为 O(N×M) 。
而经典算法中广度优先搜索, 空间复杂度方面除了要两个N×M的二维数组存储迷宫信息和迷宫单元格访问信息外, 还实验结果显示, 不论是峰值信噪比还是滤波图像的视觉质量, 数字双边 l1滤波器的滤波效果均极为显著, 性能大大优于中值滤波器。
可见, 脉冲双边 l1滤波器比传统中值滤波器具有更强的噪声抑制能力和边缘保持能力。
同时, 式(10) 运算简单, 实现方便, 因此是对传统中值滤波器极为合理而有效的推广与改进, 具有重要的实用价值。
5 结论本文旨在研究非线性数字滤波器设计问题。
