最短路径问题的算法分析及建模案例

最短路径数学建模案例及详解最短路径问题是指给定一个有向图，找到其中两个节点之间的最短路径。

这个问题可以通过数学建模来解决。

以下是一个关于最短路径的案例及详解：案例：某个城市有多个地点，这些地点之间有高速公路相连。

现在需要找出两个地点之间的最短路径，以便安排货物的运输。

假设已知这个城市的高速公路网络以及每个道路的长度。

解决方案：1. 定义变量和参数：- 变量：设定一个变量x[i, j]，表示从节点i到节点j的路径长度。

这个变量需要求解。

- 参数：给出每个节点之间的长度，可以用一个矩阵表示。

设长度矩阵为A。

2. 建立数学模型：- 目标函数：最小化总路径长度。

可以定义目标函数为：min x[i, j]。

- 约束条件：- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]必须是非负的：x[i, j] ≥ 0。

- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]等于路径长度x[j, i]：x[i, j] = x[j, i]。

- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]需要满足下面的约束条件：x[i, j] ≤ x[i, k] + x[k, j]，其中k是任意的节点。

这个约束条件保证了路径长度的传递性。

即，如果从i到j的路径经过节点k，那么整条路径的长度应该不小于x[i, k] + x[k, j]。

3. 求解：- 编写数学建模的代码，并使用求解器（如线性规划求解器）求解最优解。

- 分析优化结果，并得到最短路径的长度以及具体的路径。

总结：通过定义变量和参数，建立数学模型的方式来解决最短路径问题，可以帮助我们找到两个节点之间的最短路径。

数学建模可以提供一个系统化的框架，帮助我们理解问题，并找到最优解。

这种方法在物流、交通规划等领域都有广泛的应用。

初中数学：最短路径求最值12个模型详解姓名： __________指导: ___________日期： __________初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由給点和路径组成的）中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括：①确定起，点的最短路径问题・即已知起始结点，求嚴短路径的问题.②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求锻短路径的问题.③确定起点终点的最短路径问题・即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.④全局嚴短路径问题・求图中所有的最短路径.【问题原型】''将军饮马”，“造桥选址“，''费马点'、.【涉及知识】“两点之间线段最短“，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”,“平移【岀题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折"转“直“，近两年出现“三折线”转“直"等变式问题考查.【例题及解析】例I 如图1,在直角梯形 A BCD 中，ZABC=90。

，AD〃BC, AD=4, AB=5, BC=6,点P是AB上一个动点.当PC + PD的和最小时，PB的收为( )(A)l (B)2 (C)2.5 (D)3DM D C图1分析此题首先要确定P点的位置，可以延长CB (或DA)的一倍，即CB=BM,再连接MD交AB于点P(大家可以思考一下P点的正确性与合理性一可运用两点之间，线段谥短这一性质〉.我们可以通过△MFBsADPA,从而求出FB的圮故选D.例2如图2, AABC中，AB = AC=I31 BC=10, AD是BC边上的中线，F为AD上的动点，E为AC边上的动点，则CE + EF的最小值为______ •分析显然，本题需要确定两个动点E和F,那么，怎样确定这两个点呢？我们可以过点B 作BE丄AC 交AD于点F,从而确定了E和卜点(大家可以用从直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短来加以说明).此时,CF + EF = BE.用S舛=• BC = -BE•祀■构逍方程■求出BE二罟.即CE七EF的艰小伉为罟.例3如图3,已知平面直角坐标系中，A (2, —3), B(4, —1)・(1) 若点卩仕，0)是x轴上的一个动点，当APAB的周长最短时，求x的值；(2) 若C、D是x轴上的两个动点，且D(a, 0), CD=3,当四边形ABCD的周长最短时, 求a的值；(3) 设M, N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M(m, 0)和N(0, n), 使得四边形ABMN的周长巌短？若存在，求岀n的值.若不徉在，请说明理由.分析与解(1)如图3,找岀A (或B)关于x轴的对称点Ai,连结AiB交x轴于点P・设直线AiB的解析式为y =kix+bi・将A】(2, 3)、B(4, -1)代入，得严:+ 6.仏+ 6, 解之码l k'=-2'16, =7. 故〉=-2x+7,(2)如图4,过A点作x轴的平行线，井戳取AA】=3・画点A,关于x轴的对称点A?,连结・dB交x紬于点C.再在x轴上截取「1) = 3,可得周长最短的四边形ABCD (大家也可以利用两点之间，线段最短，来证明最短周长的正确性).由题厳,町知4,(53).设A2B的直线解析式为y = k込4 by将人(5.3)出(4.・1)代人■得当时“殳八”3诗(3) 如图5t我们可以先分别找岀A、B关于y轴和x轴的对称点片和B b再连结AiB u分别交x袖和y轴于点M与N,此时，四边形ABMN的周长是最短的(同样, 可以用两点之间，线段最短来加以证明).设A I B I的直线解析式为y=bx + bs・将 4,(-2. -3) A(4.1)代入•得= 1 •1 ・ 2k 、+ by = - 3,2 5故 y = y * - y. 当 x = OHhy S -y,当y «0时/ •壬・ 所以・m.n 的值分别为手•■斗例4如图6,四边形ABCD 是正方形，M 是对角线BD 上的任意一点.(1)当点M 在何处时.AM+CM 的值最小？(2)当点M 在何处时，AM + BM + CM 的值最小？并说明理由.分析(1)(如图6,显然，连结AC 与BD 的交点即为M 点(可利用两点之间，线段最短来证明).⑵如图7,以AB 为边在正方形外画等边三角形ABE.连结EC 交BD 于点M ・此时， MA-I MB 4-MC-EC(M 中，A UMN 为等边三焦形，且 VEBN^ACBM,所以 MA I MB-EM). 若在BD 上(除N4点之外)任取一点卜1八过点Mi 作M1N1//MN 交BN 或延长线于点 连结ENi.可利用两点之间线段嚴短，证明MiA + M 】B+MK>EC,从而得岀MA+MB + Mca 短.解之得H s y-。

最短路径问题应用案例最短路径算法是图论中的一项重要算法，它被广泛应用于各个领域，包括交通规划、电路设计、物流配送等。

本文将通过几个实际案例来介绍最短路径问题的应用。

案例一：交通规划在城市交通规划中，最短路径算法可以用于规划最佳的行车路线，减少交通拥堵和行车时间。

例如，某城市交通局需要规划一条从A地到B地的最短路径，他们可以使用最短路径算法来解决这个问题。

通过将城市道路网络抽象成一个图，将交叉口作为图的节点，道路作为图的边，然后使用最短路径算法找到旅行时间最短的路径。

案例二：电路设计在电路设计中，最短路径算法可以用于找到电路中两个节点之间的最短路径，以便优化电路的布局和设计。

例如，在手机电路板设计中，设计师需要找到两个关键节点之间的最短路径，以便减少信号传输的延迟和电路板的复杂性。

通过将电路图抽象成一个图，将电路中的连接线作为图的边，电路节点作为图的节点，然后使用最短路径算法找到路径长度最短的路径。

案例三：物流配送在物流配送中，最短路径算法可以用于优化货物的配送路径，减少配送成本和时间。

例如，在一家快递公司中，他们需要将货物从仓库快速送达到不同的目的地，他们可以使用最短路径算法来规划货物的配送路线。

通过将仓库、配送站点和目的地抽象成一个图，将配送路径作为图的边，配送站点和目的地作为图的节点，然后使用最短路径算法找到总配送距离最短的路径。

总结：最短路径问题是图论中的一个重要问题，在各个领域都有广泛的应用。

本文通过交通规划、电路设计、物流配送三个实际案例，介绍了最短路径算法在实际应用中的用途和方法。

通过将问题抽象成图，将节点和边的关系表示出来，并利用最短路径算法找到最优解，可以帮助解决各种实际问题。

最短路径算法的应用，不仅可以提高工作效率，还可以减少成本和资源的浪费。

13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如下图：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不管题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)假设要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如下图，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想方法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D 的路线行走，所走的总路程最短．利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如下图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如下图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA －CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。

Dijkstra算法是一种用于解决图的单源最短路径问题的算法，由荷兰计算机科学家埃德斯格·迪克斯特拉提出。

该算法被广泛应用于网络路由算法、城市交通规划、通信网络等领域。

本文将从几个具体的案例出发，介绍Dijkstra最短路径算法的应用。

一、网络路由算法在现代计算机网络中，Dijkstra算法被应用于路由器之间的数据传输。

路由器之间通过Dijkstra算法计算出最短路径，以确保数据包能以最短的路径传输，从而提高网络的传输效率和稳定性。

假设有一个由多个路由器组成的网络，每个路由器之间存在多条连接线路，而每条线路都有一个权重值，代表数据传输的成本。

当一个路由器需要发送数据时，Dijkstra算法可以帮助它找到到达目的地最短且成本最小的路径。

这样，网络中的数据传输就能以最高效的方式进行，从而提升了整个网络的性能。

二、城市交通规划Dijkstra算法也被广泛应用于城市交通规划领域。

在城市交通规划中，人们通常需要找到最短路径以及最快到达目的地的方法，而Dijkstra算法正是能够满足这一需求的算法之一。

假设某城市有多条道路，每条道路都有不同的行驶时间。

当一个人需要从城市的某个地点出发到达另一个地点时，可以利用Dijkstra算法计算出最短行驶时间的路径。

这样，城市交通规划部门就可以根据这些信息对城市的交通流量进行合理分配和调度，提高城市交通的效率。

三、通信网络另一个Dijkstra算法的应用案例是在通信网络中。

通信网络通常是由多个节点和连接这些节点的线路组成的。

而节点之间的通信是通过传送数据包来实现的。

在这种情况下，Dijkstra算法可以帮助确定数据包传输的最短路径，以提高通信网络的效率和稳定性。

在一个由多个节点组成的通信网络中，当一个节点需要向另一个节点发送数据时，Dijkstra算法可以帮助确定最短路径，从而确保数据包能够以最短的路径传输到目的地。

这样一来，通信网络就能够更加稳定地进行数据传输，提高了通信网络的效率。

最短路径的数学模型最短路径的数学模型：从A到B的最短路径问题引言：在现实生活中，我们常常需要找到两个地点之间的最短路径，比如从家里到公司的最短路线，或者从一个城市到另一个城市的最短航线。

这种最短路径问题在数学中有一种通用的数学模型，被广泛应用于计算机科学、运筹学以及交通规划等领域。

本文将介绍这个数学模型，并通过一个具体的例子来说明其应用。

一、问题描述：最短路径问题可以被定义为：给定一个图G，其中包含一些节点和连接这些节点的边，每条边都有一个权重（或距离）值，我们希望找到从节点A到节点B的最短路径。

二、数学模型：为了解决最短路径问题，我们需要构建一个数学模型。

这个模型可以使用图论中的图和路径的概念来描述。

1. 图的定义：在最短路径问题中，图G可以被定义为一个由节点和边组成的集合。

其中节点表示地点或位置，边表示连接这些地点的路径。

每条边都有一个权重值，表示从一个地点到另一个地点的距离或成本。

2. 路径的定义：路径是指从一个地点到另一个地点经过的一系列节点和边的组合。

在最短路径问题中，我们希望找到一条路径，使得路径上所有边的权重之和最小。

3. 最短路径的定义：最短路径是指从节点A到节点B的路径中，路径上所有边的权重之和最小的路径。

三、最短路径算法：为了解决最短路径问题，我们需要使用一种算法来计算最短路径。

下面介绍两种常用的最短路径算法：Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种贪心算法，用于计算带权重的图中节点A到其他所有节点的最短路径。

该算法的基本思想是从起始节点开始，依次选择与当前节点距离最近的节点，并更新到达其他节点的最短路径。

这个过程不断重复，直到找到从节点A到所有其他节点的最短路径。

2. Floyd-Warshall算法：Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于计算带权重的图中任意两个节点之间的最短路径。

该算法通过一个二维数组来存储节点之间的最短路径长度，并不断更新这个数组，直到找到所有节点之间的最短路径。

最短路径dijkstra算法例题最短路径问题是图论中的一个重要问题，它的解决方法有很多种，其中最著名的算法之一就是Dijkstra算法。

本文将介绍Dijkstra算法的基本思想和实现过程，并通过一个例题来展示其具体应用。

一、Dijkstra算法的基本思想Dijkstra算法是一种贪心算法，它以起点为中心向外扩展，每次选择当前距离起点最短的点作为下一个扩展点，并更新其周围节点到起点的距离。

这个过程不断重复直至所有节点都被扩展完毕。

具体实现时，可以使用一个数组dist来存储每个节点到起点的距离，初始时所有节点到起点的距离都设为无穷大（表示不可达），起点到自己的距离设为0。

同时还需要使用一个visited数组来记录每个节点是否已经被扩展过。

在每次扩展时，从未被扩展过且与当前扩展节点相邻的节点中选择距离起点最短的节点作为下一个扩展节点，并更新其周围节点到起点的距离。

这个过程可以使用优先队列来实现。

二、Dijkstra算法实现例题下面我们通过一个例题来演示Dijkstra算法的具体实现过程。

例题描述：给定一个有向带权图，求从起点s到终点t的最短路径。

解题思路：根据Dijkstra算法的基本思想，我们可以使用一个优先队列来实现。

具体实现步骤如下：1. 初始化dist数组和visited数组。

2. 将起点s加入优先队列，并将其距离起点的距离设为0。

3. 重复以下步骤直至优先队列为空：（1）取出优先队列中距离起点最近的节点u。

（2）如果该节点已经被扩展过，则跳过此节点，否则将其标记为已扩展。

（3）如果该节点就是终点t，则返回其到起点的距离。

（4）否则，遍历该节点的所有邻居节点v，并更新它们到起点的距离。

如果某个邻居节点v之前未被扩展过，则将其加入优先队列中。

更新dist[v]后，需要将v加入优先队列中以便后续扩展。

4. 如果经过以上步骤仍然没有找到终点t，则表示不存在从起点s到终点t的路径。

代码实现：```#include <iostream>#include <queue>#include <vector>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;const int MAXN = 1005;int n, m, s, t;int dist[MAXN], visited[MAXN];vector<pair<int, int>> graph[MAXN];void dijkstra() {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, s));dist[s] = 0;while (!pq.empty()) {pair<int, int> p = pq.top();pq.pop();int u = p.second;if (visited[u]) {continue;}visited[u] = 1;if (u == t) {return;}for (int i = 0; i < graph[u].size(); i++) {int v = graph[u][i].first;int w = graph[u][i].second;if (!visited[v] && dist[v] > dist[u] + w) {dist[v] = dist[u] + w;pq.push(make_pair(dist[v], v));}}}}int main() {cin >> n >> m >> s >> t;for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;graph[u].push_back(make_pair(v, w));}memset(dist, INF, sizeof(dist));memset(visited, 0, sizeof(visited));dijkstra();if (dist[t] == INF) {cout << "No path from " << s << " to " << t << endl;} else {cout << "Shortest path from " << s << " to " << t << ": " << dist[t] << endl;}}```代码解析：首先定义了一些常量和全局变量，其中n表示节点数，m表示边数，s 表示起点，t表示终点。

最短路径数学建模案例
最短路径数学建模案例
一、问题描述
假设从一座城市A出发，要到达另一座城市B，可以选择从A到B的6条路线中的一条，每条路线的里程数都不相同，试求出从A出发到B的最短路径。

二、数学模型
设A到B的6条路线里程数分别为m1,m2,m3,m4,m5,m6，目标为： min z=min(m1,m2,m3,m4,m5,m6)
s.t. {m1,m2,m3,m4,m5,m6>=0}
约束条件中：m1、m2、m3、m4、m5、m6>=0，表示每条路线的里程数都不小于0，即每条路线至少要有一定里程才能到达终点B。

三、求解方法
设A到B的6条路线里程数分别为m1,m2,m3,m4,m5,m6，可将求解最短路径的问题转换为求解极值问题，即求解最优解
z=min(m1,m2,m3,m4,m5,m6)的极小值问题，可采用贪心算法求解。

具体步骤如下：
（1）从6条路线中挑选出里程数最短的路径，记为m1；
（2）再从剩下的5条路线中挑选出里程数最短的路径，记为m2；
（3）依次类推，从剩余的4条路线中挑选出里程数最短的路径，记为m3；
（4）直到把所有的6条路线挑选完毕，最后求出最短路径，即
z=min(m1,m2,m3,m4,m5,m6)。

四、结论
根据以上步骤，可以求得从一座城市A出发，到另一座城市B的最短路径。

摘要现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个工厂为了自身的发展需要以最快的速度及时将产品送达所需单位，即高质量高速度的完成送货任务，针对本案例，我们采用了大量的科学分析方法，并进行了反复验证，得出如下结果：问题1：根据所给问题与数据，我们将题目中给出的城市，及其之间的线路可看成一个赋权连通简单无向图，采用了求这个图最小生成树的方法，求出最优线路.在此基础上，我们通过观察分析计算对上述结果进行修正，然后我们再采用穷举法对问题结果进行验证，结果相吻合。

最终得到如下路线：北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京。

〔最短时间为61小时〕问题2：由于题中有货物重量与体积限制，货机一次最多只能载50件产品，考虑19个城市的总需求为114，这就估算出至少需要返回2次，采用逆向求解的方法，相当于3架货机同时送货，要设计线路使总共花费的时间最短，尽量使送货任务均衡，最大限度不超过50件货物，最后得出结果为：北京→吉林→黑龙江→内蒙古→新疆→西藏→云南→河南→北京→重庆→广西→海南→湖南→香港→北京→重庆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→北京。

〔总的时间为71.77777〕〔其中红色表示只路过不送货〕问题3：要求问题1，2的花费最少，只需对前两个模型做进一步优化即可，经过优化计算我们得到如下结果：问题1的最少花费为584250〔元〕，路线如下：北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京问题2的最少花费为711750〔元〕，线路如下：北京→吉林→黑龙江→内蒙古→新疆→西藏→云南→河南→北京→重庆→广西→海南→湖南→香港→北京→重庆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→北京。

最短路径算法及应用乘汽车旅行的人总希望找出到目的地的尽可能的短的行程。

如果有一张地图并在图上标出每对十字路口之间的距离，如何找出这一最短行程？一种可能的方法就是枚举出所有路径，并计算出每条路径的长度，然后选择最短的一条。

那么我们很容易看到，即使不考虑包含回路的路径，依然存在数以百万计的行车路线，而其中绝大多数是不值得考虑的。

在这一章中，我们将阐明如何有效地解决这类问题。

在最短路径问题中，给出的是一有向加权图G＝（V，E，W），其中V为顶点集，E为有向边集，W为边上的权集。

最短路径问题研究的问题主要有：单源最短路径问题、与所有顶点对之间的最短路径问题。

一、单源最短路径问题所谓单源最短路径问题是指：已知图G＝（V，E），我们希望找出从某给定的源结点S∈V 到V中的每个结点的最短路径。

首先，我们可以发现有这样一个事实：如果P是G中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。

（一）Dijkstra算法对于图G，如果所有Wij≥0的情形下，目前公认的最好的方法是由Dijkstra于1959年提出来的。

例1 已知如下图所示的单行线交通网，每弧旁的数字表示通过这条单行线所需要的费用，现在某人要从v1出发，通过这个交通网到v8去，求使总费用最小的旅行路线。

Dijkstra方法的基本思想是从vs出发，逐步地向外探寻最短路。

执行过程中，与每个点对应，记录下一个数(称为这个点的标号)，它或者表示从vs到该点的最短路的权(称为P 标号)、或者是从vs到该点的最短路的权的上界(称为T标号)，方法的每一步是去修改T标号，并且把某一个具T标号的改变为具P标号的点，从而使G中具P标号的顶点数多一个，这样至多经过n-1(n为图G的顶点数)步，就可以求出从vs到各点的最短路。

在叙述Dijkstra方法的具体步骤之前，以例1为例说明一下这个方法的基本思想。

例1中，s=1。

因为所有Wij≥0，故有d(v1, v1)=0。

最短路径问题是一个非常能联系实际的问题，下面我们以具体例题来看看这类问题的解法例1、假设A、B、C、D、E各个城市之间旅费如下图所示。

某人想从城市A出发游览各城市一遍，而所用费用最少。

试编程序输出结果。

解这类题时同学们往往不得要领，不少同学采用穷举法把所有可能的情况全部列出，再找出其中最短的那条路径；或是采用递归或深度搜索，找出所有路径，再找出最短的那条。

这两种方法可见都是费时非常多的解法，如果城市数目多的话则很可能要超时了。

实际上我们知道，递归、深度搜索等算法一般用于求所有解问题（例如求A出发每个城市走一遍一共有哪几种走法），而这几种算法对于求最短路径这类最优解问题显然是不合适的，以下介绍的几种算法就要优越很多。

首先，对于这类图我们都应该先建立一个邻接矩阵来存放任意两点间的距离数据，以便在程序中方便调用，如下：const dis:array[1..5,1..5] of integer =( ( 0, 7, 3,10,15),( 7, 0, 5,13,12),( 3, 5, 0, 5,10),(10,13, 5, 0,11),(15,12,10,11, 0));以下是几种解法：一、宽度优先搜索宽度优先搜索并不是一种很优秀的算法，只里只是简单介绍一下它的算法。

具体方法是：1、从A点开始依次展开得到AB、AC、AD、AE四个新结点（第二层结点），当然每个新结点要记录下其距离；2、再次以AB展开得到ABC、ABD、ABE三个新结点（第三层结点），而由AC结点可展开得到ACB、ACD、ACE三个新结点，自然AD可以展开得到ADB、ADC、ADE，AE可以展开得到AEB、AEC、AED等新结点，对于每个结点也须记录下其距离；3、再把第三层结点全部展开，得到所有的第四层结点：ABCD、ABCE、ABDC、ABDE、BEC、ABED……AEDB、AEDC，每个结点也需记录下其距离；4、再把第四层结点全部展开，得到所有的第五层结点：ABCDE、ABCED、……、AEDBC、AEDCB，每个结点也需记录下其距离；5、到此，所有可能的结点均已展开，而第五层结点中最小的那个就是题目的解了。

§5 最短投递路线的设计一、最优环游邮递员从邮局中取出邮件，递送到不同地点，然后再返回邮局。

假设要求他至少一次走过他投递范围内的每一条街道，我们希望选择一条尽可能短的路线。

在一个网络),,(W E V N =中，经过它的每条边的链称为欧拉链，经过N 中每一边至少一次的闭链称为N 的环游，经过N 中每一边恰好一次的环游称为欧拉环游。

一个图能一笔画就是该图有欧拉环游。

显然上述问题就是在具有非负权的网络中找出一条权最小的环游，这种环游称为最优环游。

若N 有欧拉环游，则它的每一条欧拉环游具有相同的权，它也必然是最优环游。

对有欧拉环游的网络，我们可以采用弗莱里（Fleury ）算法求得N 的最优环游。

弗莱里算法 计算步骤如下：1、任意选取N 的一个顶点0v ，置0v Z =；2、假设链i i v e v e v Z 110=已选定，从},,,{\21i e e e E 中按下述方法选取1+i e ： （1）1+i e 和i v 相关联；（2）1+i e 尽量不选i G （是G 中去掉边i e e e ,,,21 而得到的图）的割边（即去掉此边后，图i G 变为不连通），除非没有非割边可选择。

3、设1+i e 另一关联点为1+i v 。

若φ≠+},,,{\121i e e e E ，重复步骤2；否则11211++i i v e v e v 即为N 的一条欧拉环游。

若网络N 没有欧拉环游，此时最优环游通过的某些边将超过一次。

下面是一种有关引进重复边的算法。

将边e 的两个端点再用一条权为)(e W 的新边连接时，称为边e 的重复边。

因此，问题可以重新叙述如下：给定一个具有非负权的网络N ，（1）用添重复边的方法求得N 的一个欧拉赋权母图*N ，使得下式尽可能小；∑∈)(}\{*)(N E N e e W（2）求*N 的欧拉环游。

当点数较少时，可用奇偶点图上作业法求解，为此我们不加证明介绍下述两个结论。

普利姆算法之最短路径问题详解普利姆算法之最短路径问题详解说明1. 普利姆算法是⼀个求最短路径的算法，即给定⼀个带权的⽆向图，求⼀条路径使得将这些节点连接后带权路径最短，即如何⽣成最⼩⽣成树2. 以修路问题为例，假设有7个村庄，修⼀条通路连接这7个村庄，但是要求路径最短3. 使⽤⽆向图来模拟，图的顶点为村庄，带权路径为村庄的通路，则转化为求图的最⼩权值问题4. 使⽤邻接矩阵来表⽰图5. 将邻接矩阵创建好后，实现普利姆算法，思路6. 仍然创建⼀个⼤⼩等于节点数⽬的⼀维数组表⽰当前节点是否访问过，如果访问过，则置1，如果没有访问过则置07. 从某⼀节点开始，先将当前节点置为1，表⽰访问过8. 因为有7个节点，所有⾄少需要6条通路才能连接所有的顶点，所以最外层循环总共循环6次，每次循环都寻找⼀条最短路径9. 内层循环则要在已经访问过的和没有访问过的节点连接中寻找最短路径，找到后记录两个节点并记录权值10. 通过6次⼤循环后则会找到6条路径将所有的节点连接起来并能保证路径最短11. 源码见下源码及分析package algorithm.algorithm.prim;import java.util.Arrays;/*** @author AIMX_INFO* @version 1.0*/public class PrimAlgorithm {public static void main(String[] args) {//顶点元素char[] data = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//顶点个数int vertex = data.length;//设置最⼩⽣成树的权值int[][] weight = {{10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},{5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},{7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},{10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},{10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},{10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},{2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000}};//图对象MGraph graph = new MGraph(vertex);//最⼩⽣成树MinTree minTree = new MinTree();//邻接矩阵minTree.createGraph(graph, vertex, data, weight);//minTree.showGraph(graph);//普利姆算法minTree.prim(graph,3);}}//创建最⼩⽣成树class MinTree {//创建图的邻接矩阵/*** @param graph 图* @param vertex 顶点个数* @param data 顶点的数据* @param weight 边的权值*/public void createGraph(MGraph graph, int vertex, char[] data, int[][] weight) {for (int i = 0; i < vertex; i++) {//给每个顶点赋值graph.data[i] = data[i];//给每条路径赋权值for (int j = 0; j < vertex; j++) {graph.weight[i][j] = weight[i][j];}}}/**** @param graph 最⼩⽣成树* @param v 从哪个节点开始*/public void prim(MGraph graph, int v){//创建⼀维数组判断是否访问过,如果访问过，则置1，否则置为0int[] isVisited = new int[graph.vertex];//从当前节点开始，则当前节点已经被访问过//定义变量h1 h2保存最⼩路径的两个顶点下标int h1 = -1, h2 = -1;//定义minWeight保存最⼩路径int minWeight = 10000;isVisited[v] = 1;//因为有graph.vertex个顶点，因此⾄少需要graph.vertex - 1条线连接所有的顶点for (int k = 1; k < graph.vertex; k++) {//寻找已经访问过的节点和其他未访问过的邻接节点之间的最⼩路径for (int i = 0; i < graph.vertex; i++) {for (int j = 0; j < graph.vertex; j++) {//i节点访问过，j节点没有访问过并且两节点之间的路径最短，则记录权值和两个节点if (isVisited[i] == 1 && isVisited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight){minWeight = graph.weight[i][j];h1 = i;h2 = j;}}}//内两层循环结束后则找到⼀条最短路径System.out.println("边 " + graph.data[h1] + " " + graph.data[h2] + " 权值为 " + graph.weight[h1][h2]); //将当前节点标记为已经访问isVisited[h2] = 1;//重置权值minWeight = 10000;}}//查看最⼩⽣成树public void showGraph(MGraph graph) {for (int[] link : graph.weight) {System.out.println(Arrays.toString(link));}}}//图类class MGraph {//节点个数int vertex;//节点数据char[] data;//节点的边，即邻接矩阵int[][] weight;//构造器，通过节点个数创建图public MGraph(int vertex) {this.vertex = vertex;data = new char[vertex];weight = new int[vertex][vertex];}}。

【初中数学】最短路径模型及例题解析一、最短路径模型简介在日常生活中，我们常常会遇到寻找从一个地点到另一个地点的最短路径问题。

例如，从家到学校、从甲地到乙地等。

在数学领域，最短路径问题属于图论的研究范畴，是图论中的一个基本问题。

最短路径模型就是用来解决这类问题的一种数学方法。

最短路径模型主要包括以下几个要素：1. 图：由顶点（地点）和边（路径）组成的集合。

2. 距离：表示两个顶点之间的距离或权重。

3. 路径：从一个顶点到另一个顶点经过的边的序列。

4. 最短路径：在所有路径中，长度最小的路径。

二、最短路径模型的求解方法1. 枚举法：枚举所有可能的路径，然后从中选择长度最小的路径。

这种方法适用于顶点数量较少的简单图。

2. Dijkstra算法：适用于带权重的有向图，通过逐步求解，找到从源点到其他所有顶点的最短路径。

3. Floyd算法：适用于求解任意两个顶点之间的最短路径，通过动态规划的方法，求解所有顶点对之间的最短路径。

三、例题解析【例题1】某城市有6个主要交通枢纽，分别用A、B、C、D、E、F表示。

下面是这6个交通枢纽之间的距离表（单位：千米）：```A B C D E FA 0 5 7 8 9 10B 5 0 6 7 8 9C 7 6 0 4 5 6D 8 7 4 0 3 4E 9 8 5 3 0 2F 10 9 6 4 2 0```求从A到F的最短路径。

【解析】这是一个典型的最短路径问题，我们可以使用Dijkstra算法求解。

1. 初始化：将所有顶点的距离设置为无穷大，源点A的距离设置为0。

2. 选取距离最小的顶点，标记为已访问。

此时，A为已访问顶点。

3. 更新相邻顶点的距离：从A出发，更新B、C、D、E、F的距离。

此时，B、C、D、E、F的距离分别为5、7、8、9、10。

4. 重复步骤2和3，直到所有顶点都被访问。

最后得到的最短路径为A→B→E→F，长度为14千米。

【例题2】某城市有5个公园，分别用P1、P2、P3、P4、P5表示。

最短路径问题 姓名 类型一、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之和最小的问题:1. 一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。

作法：连接两个定点，交直线于一点,交点即为所求。

例1、如图，在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．作法:连接AB ，交直线l 于点P ，点P 即为所求。

说明：∵连接A 、B 两点的线中，线段最短。

∴连接AB ，交直线l 于点P ，此时PA+PB 最小=AB2. 一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。

方法:利用轴对称变换将直线同侧两个定点转化为直线异侧两个定点，然后根据“两点之间线段最短”，用例1的方法确定动点的位置。

例2、 如图,在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小． 作法：①作点A 关于直线l 的对称点A ’；②连接A ’B,交直线l 于点P,点P 即为所求。

说明：连接AP 、AA ’，∵点A 和点A ’关于直线l 对称， ∴直线l 是AA ’的垂直平分线，∴PA=PA ’，∵两点之间，线段最短。

∴此时PA+PB 最小=PA ’+PB=AB 。

类型二、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之差最大的问题： 1.一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。

例3、在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作法：连接AB,并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求.证明：在直线l 上另取一点P ’，连接P'A 和P ’B ， ∵三角形的两边之差大于第三边， ∴AB B P A P ＜''-； 而连接AB ，并延长交直线l 于点P,此时AB PB PA =-,AB PB PA =-∴最大此时 2.一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。

方法：利用轴对称变换将直线异侧两个定点转化为直线同侧两个定点，然后根据“三角形的两边之差大于第三边”，用例3的方法确定动点的位置。

最短路径问题的算法分析及建模案例一.摘要 (2)二.网络最短路径问题的基础知识 (2)2.1有向图 (3)2.2连通性 (4)2.3割集 (5)2.4最短路问题 (6)三．最短路径的算法研究 (6)3.1最短路问题的提出 (6)3.2 Bellman最短路方程 (6)3.3 Bellman-Ford算法的基本思想 (7)3.4 Bellman-Ford算法的步骤 (7)3.5实例 (7)3.6 Bellman-FORD算法的建模应用举例 (8)3.7 Dijkstra算法的基本思想 (11)3.8 Dijkstra算法的理论依据 (11)3.9 Dijkstra算法的计算步骤 (11)3.10 Dijstre算法的建模应用举例 (11)3.11 两种算法的分析 (13)1.Diklstra算法和Bellman-Ford算法思想有很大的区别 (13)Bellman-Ford算法在求解过程中，每次循环都要修改所有顶点的权值，也就是说源点到各顶点最短路径长度一直要到Bellman-Ford算法结束才确定下来。

(14)2.Diklstra算法和Bellman-Ford算法的限制 (14)3.Bellman-Ford算法的另外一种理解 (14)4.Bellman-Ford算法的改进 (14)摘要近年来计算机发展迅猛，图论的研究也得到了很大程度的发展，而最短路径问题一直是图论中的一个典型问题，它已应用在地理信息科学，计算机科学等诸多领域。

而在交通路网中两个城市之间的最短行车路线就是最短路径问题的一个典型例子。

由于最短路径问题在各方面广泛应用，以及研究人员对最短路径的深入研究，使得在最短路径问题中也产生了很多经典的算法。

在本课题中我将提出一些最短路径问题的算法以及各算法之间的比较，最后将这些算法再应用于实际问题的建模问题中。

关键词：计算机图论交通道路网最短路径A. In this paper,Computer developing rapidly in recent years, graph theory research also have been greatly developed, and the shortest path problem is a typical problem in graph theory, it has been applied in geographical information science, computer science, and many other fields. And in the transportation network of the shortest route between two cities in is a typical example of the shortest path problem.Due to the shortest path problem is widely used in various aspects, and the researchers on the in-depth study of the shortest path, make in the shortest path problem also generates a lot of classical algorithm. In this topic I'll suggest some algorithm and the algorithm of the shortest path problem between the comparison, finally the algorithm is applied to the modeling of the actual problem again. Key words: computer graph traffic road network The shortest path前言最短路径问题是图论以及运筹学中的一个非常重要的问题，在生产实践，运输及工程建筑等方面有着十分广泛的应用。

最短路径数学建模案例及详解最短路径问题是数学建模中一个经典的问题，它在实际生活中有很多应用，例如网络传输、交通规划、物流配送等等。

下面我们以交通规划为例，来详细解析最短路径问题的数学建模过程。

问题描述：假设有一座城市，城市中有多个地点（称为节点），这些节点之间有道路相连。

我们希望找到两个节点之间的最短路径，即耗费时间最短的路径。

数学建模：1. 数据准备：a. 用图的方式表示这座城市和道路连接关系。

我们可以用一个有向图来表示，其中各个节点代表不同的地点，边表示道路，边的权重表示通过该道路所需的时间。

b. 节点间道路的时间数据。

这是一个关键的数据，可以通过实地调研或者其他数据收集手段获取，或者通过模拟生成。

2. 建立数学模型：a. 定义问题中的主要变量和约束条件。

- 变量：选择经过的边，即路径（也可以看作是边的集合）。

- 约束条件：路径必须是从起始节点到目标节点的有向路径，不允许重复经过节点。

b. 建立目标函数。

我们的目标是最小化路径上的时间，所以目标函数可以定义为路径上各边的权重之和。

c. 建立约束条件。

- 定义起始节点和目标节点。

- 定义路径必须从起始节点出发，到目标节点结束。

- 定义路径不能重复经过同一节点。

3. 解决模型：a. 利用最短路径算法求解，比如在有向图中，可以用Dijkstra 算法或者 Bellman-Ford 算法等。

4. 结果分析和验证：找到了最短路径后，我们可以对结果进行分析，比如查看路径上的具体节点和道路，以及路径的耗时。

我们还可以按照实际情况进行验证，比如通过实地考察或者其他数据对比来验证求解得到的路径是否合理。

总结：最短路径问题是一个常见的数学建模问题，在实际应用中有着广泛的应用。

通过数学建模，我们可以准确刻画问题，用数学方法求解，得到最优的结果。

在实际解决问题过程中，还需要对结果进行分析和验证，以保证结果的合理性和可行性。