银川唐徕回民中学2019-2020学年度第一学期12月高三理科数学试卷答案解析与点睛(22页)
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银川唐徕回民中学2019-2020学年度第一学期12月高三理科数学试卷理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合2{|20}A x R x x =∈+-<，2{|0}1x B x R x -=∈≤+，则A B ⋂=（ ） A. [1,1]- B. (1,1)- C. [1,1)-D. (1,1]-【答案】B 【解析】试题分析：因为2{|20}A x R x x =∈+-<{}|21x x =-<<，2{|0}1x B x R x -=∈≤+{}|12x x =-<≤，所以A B ⋂={}|11x x -<<=(1,1)-，故选B ． 考点：1、集合的表示；2、集合的交集． 2.若复数3434iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数z ，再确定复数z 在复平面内对应的点所在象限即可. 【详解】解:因为复数3434iz i-=+， 所以55(34)34345i z i i -===-+, 则复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-, 即复数z 在复平面内对应的点所在象限为第四象限, 故选:D.【点睛】本题考查了复数的模及除法运算，重点考查了复数在复平面内对应的点所在象限，属基础题. 3.等比数列{}n a 中，244,2a a ==，则6a =（ ） A. 1-B. 0C. 1D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质，若2p q m n k +=+=，则2p q m n k a a a a a ==，将已知条件代入运算即可.【详解】解：因为等比数列{}n a 中，244,2a a ==，由等比数列的性质可得2426a a a =，所以2462414a a a ===， 故选：C.【点睛】本题考查了等比数列的性质，重点考查了运算能力，属基础题. 4.已知在ABC ∆中，若9,12,45a b A ==∠=︒，则此三角形（ ） A. 无解 B. 有一个解C. 有二个解D. 解的个数不确定【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理sin sin a b A B =∠∠可得sin B ∠=，则B Ð有两个解，即此三角形有两个解，得解.【详解】解：已知在ABC ∆中，若9,12,45a b A ==∠=︒，由正弦定理sin sin a b A B =∠∠可得sin sin b A B a ∠∠==，又123<<，即sin 3B ∠=，则B Ð有两个解， 即此三角形有两个解， 故选：C.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形解的个数问题，属基础题.5.下列命题错误的个数是（ ）①在ABC ∆中，sin sin A B >是A B >的充要条件；②若向量,a b r r 满足0a b <r rg ，则a r 与b r 的夹角为钝角；③若数列{}n a 的前n 项和234n S n n =-，则数列{}n a 为等差数列；④若a R ∈，则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】对于①，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B=可得，sin sin A B >是A B >的充要条件； 对于②，若向量,a b r r 满足0a b <r rg ，则a r 与b r 的夹角为钝角或a r 与b r 反向共线；对于③，由已知可得67n a n =-，则数列{}n a 为等差数列； 对于④，由“11a<”的充要条件为 “1a >或0a <”，再判断即可得解. 【详解】解：对于①，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B=，则sin sin A B >的充要条件为a b >，由三角形的性质可得a b >的充要条件为A B >，即在ABC ∆中，sin sin A B >是A B >的充要条件，即①正确； 对于②，若向量,a b r r 满足0a b <r r g ，则a r 与b r 的夹角为钝角或a r 与b r 反向共线，即②错误；对于③，若数列{}n a 的前n 项和234n S n n =-，则当2n ≥时，221343(1)4(1)67n n n a S S n n n n n -=-==---+-=-，当1n =时，111a S ==-满足上式，即67n a n =-，则1676(1)76n n a a n n --=---+=，则数列{}n a 为等差数列，即③正确；对于④，由“11a <”的充要条件为“10a a->”，即“1a >或0a <”，又“1a >或0a <”是“1a >”的必要不充分条件，即“11a<”是“1a >”的必要不充分条件，即④正确. 命题错误的个数是1个， 故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理及向量的夹角，重点考查了等差数列及充要条件，属中档题. 6.函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路，，1）由函数的定义域，判断图象的左，右位置，由函数的值域，判断图象的上，下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．7.已知实数x ，y 满足约束条件31010330x y x y x y --⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩…，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 1B.12C.43D.53【答案】C 【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数2z x y =-对应的直线进行平移并观察z 的变化，即可得到2z x y =-的最大值．【详解】作出题中不等式组表示的平面区域，如图阴影所示，当直线2z x y =-过A 时，z 最大，此时A 点坐标满足310330x y x y --=⎧⎨+-=⎩ 解A(12,3) 此时z 的最大值为43故选C【点睛】本题着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划，考查数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．8.已知两点(0,3)A -，(4,0)B ，若点P 是圆2220x y y +-=上的动点，则△ABP 面积的最小值是A.112B. 6C. 8D.212【答案】A 【解析】 【分析】求得圆的方程和直线AB 方程以及AB ，利用三角换元假设()cos ,1sin P q q +，利用点到直线距离公式和三角函数知识可求得min d ，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】由题意知，圆的方程为：()2211x y +-=，5AB ==直线AB 方程为：143x y +=-，即34120x y --= 设()cos ,1sin P q q +∴点P 到直线AB 的距离：()5sin 163cos 4sin 1655d θϕθθ-+--==，其中3tan 4ϕ= ∴当()sin 1θϕ-=-时，min 115d =()min min 11122ABP S AB d ∆∴=⋅= 本题正确选项：A【点睛】本题考查点到直线距离的最值的求解问题，关键是能够利用三角换元的方式将问题转化为三角函数的最值的求解问题.9.设A ，B ，C 是半径为1的圆上三点，若AB =AB AC ⋅u u u v u u u v的最大值为（ ）A. B.32C. 3D.【答案】B 【解析】【详解】此题考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积、两角和与差正余弦公式的灵活应用、三角函数求最值问题的综合知识；设圆的圆心是O ，在等腰AOB ∆中，1,OA OB AB ===12060AOB ACB ∠=⇒∠=o o ，根据正弦定理得：222sin sin ACR AC B B==⇒=所以12cos(120)cos )2AB AC B B B B B ⋅=⨯-=-o u u u v u u u v23sin cos B B B =33(1cos 2)260)22B B B =-=+o ，当105B =o 时，AB AC ⋅uu u r uuu r 的最大值为32，选B10.将函数2()cos cos f x x x x =+的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间是（ ） A. ,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. -,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】由题题意，化简三角函数的解析式为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据三函数的图象变换，求得()g x 的解析式，利用三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意可得()21cos cos sin 262f x x x x x π⎛⎫=+==++ ⎪⎝⎭，把()f x 的图象向左平移6π个单位， 可得()111sin[2()]sin(2)cos 2662222g x x x x πππ=+++=++=+， 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得,2k x k k Z πππ-≤≤∈，即函数的单调递增区间为[,],2k k k Z πππ-∈，令0k =时，函数的单调递增区间为[,0]2π-，故选A【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，得出函数的解析式，结合图象求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题. 11.设函数9()sin(2)([0,])48f x x x ππ=+∈，若方程()f x a =恰好有三个根，分别为123,,x x x （123x x x <<），则123x x x ++的取值范围是（ ） A. 95[,)84ππB. 511[,)48ππ C. 313[,)28ππ D. 715[,)48ππ 【答案】B 【解析】因为908x π≤≤，所以52442x πππ≤+≤，则由题意可知 12224422x x πππ+++=，即124x x π+=，同时3952442x πππ≤+<，即398x ππ≤<，故1239484x x x ππππ+≤++<+，即12351148x x x ππ≤++<，应选答案B ．点睛：解答本题的关键是要充分借助题设条件信息及方程的三个实数根的几何特征，巧妙借助图形的对称性与直观性，建立不等式使得问题巧妙获解．12.若曲线1y =()24y k x =-+有两个交点，则k 的取值范围是（ ）A. 50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 13,34⎛⎤⎥⎝⎦D. 53,124纟çúçú棼【答案】D 【解析】 【分析】曲线1y =与直线()24y k x =-+有两个交点等价于曲线22(1)4,1x y y +-=≥与直线()24y k x =-+有两个交点，再作图像观察交点个数即可得解.【详解】解：由1y =22(1)4,1x y y +-=≥， 又直线()24y k x =-+过定点()2,4，又曲线1y =()24y k x =-+有两个交点等价于曲线22(1)4,1x y y +-=≥与直线()24y k x =-+有两个交点，曲线22(1)4,1x y y +-=≥与直线()24y k x =-+的位置关系如图所示，当直线过点()2,1A-时，此时直线斜率4132(2)4k -==--，当直线与曲线相切时，圆心()0,1到直线的距离为2，2=，解得512k =， 综上可得k 的取值范围是53,124纟çúçú棼， 故选：D.的【点睛】本题考查了直线斜率公式及直线与圆的位置关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线2450x y -+=的倾斜角为α，则sin α=_______.【解析】 【分析】由直线斜率与倾斜角的关系可得1tan 2k α==，再求解即可. 【详解】解：由直线2450x y -+=， 则1tan 2k α==， 则sin 1cos 2αα=， 又22sin cos 1αα+=， 得21sin 5α=， 又sin 0α>，所以sin α，【点睛】本题考查了直线倾斜角的求法，重点考查了直线斜率与倾斜角的关系，属基础题. 14.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点()(),*n n a n N ∈在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为______． 【答案】1n n + 【解析】 【分析】 点()()*,n n a n N∈在直线2y x =上，可得2na n =；利用等差数列的求和公式求得n S ，再利用裂项相消的方法求和即可得到结果. 【详解】点()()*,n n a n N∈在直线2y x =上 2nan ⇒=()()2212n n n S n n +==+ ()111111n S n n n n ∴==-++ 则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为：11111111223111nn n n n -+-++-=-=+++L L 本题正确结果：1nn + 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项相消法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知圆221:20C x y kx y +-+=与圆222:40C x y ky ++-=的公共弦所在的直线恒过定点(),P a b ，且点P 在直线20mx ny --=上，则mn 的取值范围是_____. 【答案】1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】先将两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为(2)40kx k y +--=，再求出公共弦所在的直线恒过定点()2,2-，然后结合二次函数值域的求法求解即可.【详解】解：由圆221:20C x y kx y +-+=与圆222:40C x y ky ++-=，将两圆的方程相减可得(2)40kx k y +--=， 即公共弦所在的直线方程为(2)40kx k y +--=，又(2)40kx k y +--=可变形为()2(2)0k x y y +-+=，令020x y y +=⎧⎨+=⎩，即22x y =⎧⎨=-⎩，则公共弦所在的直线恒过定点()2,2-，即()2,2P -， 又点P 在直线20mx ny --=上， 则1m n +=，则2111(1)()244mn m m m =-=--+≤， 即mn取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了两圆的公共弦所在直线方程的求法，重点考查了直线过定点及二次函数值域的求法，属中档题.16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，设S 为ABC ∆的面积，且满足)222S a c b =+-，若b =B =______；)12a c +的取值范围是______.【答案】 (1). 3π(2). (3⎤⎦ 【解析】 【分析】由三角形的面积公式及余弦定理可得tan B =，再求B ，再由正弦定理sin sin sin a c bA C B==，得)12a c +=)4A π+，再求值域即可.【详解】解：由)2224S a c b =+-，则)2221sin 2ac B a c b =+-，则sin B B ==，的即tan B = 即3B π=；由正弦定理sin sin sin a c bA C B==， 则2sin ,2sin a A c C ==，则)12a c -+=)21sin 4sin A C -+=)221sin 4sin()3A A π-+-=cos ))4A A A π+=+，又20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则11,4412A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()34A π+∈-，即)12a c +的取值范围是(3⎤⎦，故答案为：3π，(3⎤⎦. 【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理的综合应用，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.三、解答题（共70分）17.已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，且533S a =，468a a +=． （1）求n a ． （2）设2n nn b a =⋅，求数列{}n b 前n 项和n T ．【答案】(1) ()23n a n =- (2) 2(4)216n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】(1)由数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，解得30a =，又由46582a a a +==，解得2d =， 即可求得数列的通项公式；(2)由（1）得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n 项和．【详解】(1)由题意，数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，又533S a =，30a ∴=， 由46582a a a +==，得54a =，所以5324a a d -==，解得2d =，的所以数列的通项公式为()()3323n a a n d n =+-=-． (2)由（1）得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，()()()234122120232n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅L ， ()()()()3412221242322n n n T n n ++=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅L ，两式相减得()()2341222222232n n n n T T n ++-=⋅-++++-⋅L ，()1228128(3)2(4)21612n n n n n -++--+-⋅=-⋅+=-，即2(4)216n n T n +=-⋅+．【点睛】本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 18.如图，在ABC ∆中，3B π=，2BC =.（1）若AC =求AB 的长；（2）若AC 的垂直平分线DE 与,AB AC 分别交于,D E两点，且DE =，求角A 的大小. 【答案】（1）3；（2）4π. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，从而解得AB 的长； （2）连接CD ，由题设，有2BDC A ∠=∠，在BCD ∆中，由正弦定理化简可得sin 2ACD =，在直角DEC ∆中，DE CDsin A =，化简得到cos A ，从而求角A 的大小【详解】(1)在ABC ∆中，由余弦定理有2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，即2230AB AB --=，解得3AB =.（2）如图，连接CD ，由题设，有2BDC A ∠=∠，在BCD ∆中，由正弦定理有CD BC 2sin 60sin 2A sin 2A︒==，故CD =在直角DEC ∆中，DE CDsin 2cos 2A A ===，所以cos A = 而(0,)A π∈ ，故4A π=.【点睛】本题主要考查正弦定理以及余弦定理在求三角形边长和内角中的应用，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60,BAD Q ∠=︒为AD 的中点，2PA PD AD ===.（1）求证：AD ⊥平面PQB ；（2）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ； （3）若//PA 平面MQB ，平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M BQ C --的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）13（3）3π【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理，分别证明AD BQ ⊥，AD BP ⊥即可； （2）利用//PA 平面MQB ，可得//MN PA ,再利用比例关系即可得解；（3）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面MQB 和平面ABCD 的一个法向量，再结合向量的夹角公式求解即可.【详解】解：（1）由底面ABCD 为菱形，60,BAD Q ∠=︒为AD 的中点，则AD BQ ⊥, 又PA PD AD ==，则AD PQ ⊥， 又BQ QP Q ⋂=,由线面垂直的判定定理可得AD ⊥平面PQB ； （2）当13t =时，//PA 平面MQB ， 证明如下：连接AC 交BQ 于N ,连接MN ， 因为//AQ BC ,所以，12AN AQ NC BC == 因为//PA 平面MQB ，PA ⊂平面PAC ， 平面MQB ⋂平面PAC MN =， 所以//MN PA ,所以12PM AN MC NC ==, 所以13PM PC =,故13t =；（3）因为AD PQ ⊥,平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，则PQ ⊥平面ABCD ， 建立如图所示的看见直角坐标系，由2PA PD AD ===，则有(1,0,0),A B P , 设平面MQB 的一个法向量为(,,)n x y z =r，由(1,0,PA QB ==u u u r u u u r ,且n PA ⊥r u u u r , n QB ⊥r u u u r ,可得00x ⎧=⎪=，取1z =，则n =r ，取平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =u r，则11cos ,212m n m n m n ⋅〈〉===⨯u r ru r r u r r ，故二面角M BQ C --的大小为3π.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理及线面平行的性质定理，重点考查了利用空间向量求面面角，属中档题. 20.已知过原点O 的动直线l 与圆C ：22(1)4x y ++=交于,A B 两点.（1）若||AB =，求直线l方程；（2）x 轴上是否存在定点00(),M x ，使得当l 变动时，总有直线,MA MB 的斜率之和为0？若存在，求出0x 的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）y x =；（2）03x =. 【解析】试题分析：，1，先求出圆心C，-1，0）到直线l 的距离为12，利用点到直线距离公式能求出直线l 的方程． ，2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线MA，MB 的斜率分别为k 1，k 2．设l 的方程为y=kx ，代入圆C 的方程得（k 2+1，x 2+2x -3=0，由此利用韦达定理，结果已知条件能求出存在定点M，3，0），使得当l 变动时，总有直线MA，MB 的斜率之和为0. 试题解析：，Ⅰ）设圆心C 到直线l 的距离为d ，则的12d === 当l 的斜率不存在时，1d =，不合题意 当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx =，由点到直线距离公式得12=解得3k =±，故直线的方程为3y x =± ，Ⅱ）存在定点M ，且03x =，证明如下： 设()()1122,,,A x y B x y ，直线MA ，MB 的斜率分别为12,k k .当l 的斜率不存在时，由对称性可得AMC BMC ∠=∠，120k k +=，符合题意 当l 的斜率存在时，设的方程为y kx =，代入圆的方程整理得()221230k x x ++-= ∴12221x x k +=-+，12231x x k =-+， ∴()()()120121212102010202kx x kx x x y y k k x x x x x x x x -++=+=----()()()()021020261x k x x x x k -=--+当0260x -=，即03x =时，有120k k +=， 所以存在定点()3,0M 符合题意，03x =. 21.设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，试判断()f x 零点的个数；（Ⅲ）当1a =时，若对(1,)x ∀∈+∞，都有(41ln )()10k x x f x --+-<（Z k ∈）成立，求k 的最大值.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）两个；（3）0. 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数，由()2110f f e ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<，利用零点存在定理可得结果；（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立，()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭，利用导数求出13ln ln 4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围，从而可得结果.【详解】（1）()()2ln 0f x ax x x =-->Q ，∴()11'ax f x a x x-=-= 当0a ≤时，()'0f x <在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+是单减函数.当0a >时，令()'0f x =，解之得1x a=. 从而，当x 变化时，()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：由上表中可知，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是单增函数.综上，当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+； 当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数； 又22110f e e⎛⎫=>⎪⎝⎭，()110f =-<，()2240f e e =->. ∴()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<； 故()f x 在()0,∞+有两个零点.（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫⇔--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭.令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，只需()()min 14k F x k Z <∈； 又()()2222131ln 2ln '0f x x x x F x x x x x x---=-+===， 由（2）知，()'0F x =在()1,+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在()01,x 上单减，在()0,x +∞上单增；∴()()()000min 00ln 3ln *x F x F x x x x ==++ 又()1ln3'309F -=<，()()21ln22ln4'401616F --==>，∴()()'3'40F F ⋅<，∴()03,4x ∈且002ln 0x x --=，即00ln 2x x =-代入()*式，得()()()00000min 00023121,3,4x F x F x x x x x x x -==-++=+-∈.而0011t x x =+-在()3,4为增函数，∴713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 而()713,0,11216⎛⎫⊂⎪⎝⎭，∴()()min 10,14F x ∈，0,k ∴≤即所求k 的最大值为0.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的普通方程并求曲线C 上一动点P 到定点()0,1Q 的最远距离； （2）设,A B 是曲线C 上两动点，且OA OB ⊥，求2211OAOB+的值.【答案】（1）2214x y +=，（2）54【解析】 【分析】（1）由曲线C 的参数方程消去参数α，即可的普通方程，再设(2cos ,sin )P αα，然后结合两点距离公式求解即可.（2）将曲线C 的普通方程化为极坐标方程，再结合OA OB ⊥求解即可.【详解】解：（1）由曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）， 则曲线C 的普通方程为2214x y +=， 设曲线C 上一动点(2cos ,sin )P αα，又()0,1Q ，则PQ ， 又[]sin 1,1α∈-，即当1sin 3α=-时，PQ . （2）将cos ,sin x y ρθρθ==代入到曲线C 的普通方程2214x y +=， 得22413sin ρθ=+， 设22413sin OA θ=+， 因为OA OB ⊥， 则22413cos OB θ=+， 所以22221113sin 13cos 5444OA OB θθ+++=+=， 即221154OA OB +=.【点睛】本题考查了曲线普通方程、参数方程与极坐标方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题. 23.已知,,a b c 为正实数.（1）求证：()()()8a b b c c a abc +++≥；（2）求222222log ()log ()log ()log log log z a b b c c a a b c =+++++---的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）直接利用基本不等式即可证明；（2）原等式化简可得2()()()log a b b c c a z abc +++=，由（1）的结论，即可得到答案．【详解】（1）因为,,a b c R +∈，由基本不等式可得a b +≥，b c +≥，c a +≥，三式相乘可得：()()()8a b b c c a abc +++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立.（2）222222log ()log ()log ()log log log z a b b c c a a b c =+++++---2()()()log a b b c c a abc+++=， 由（1）可得2log 83z ≥=，当且仅当a b c ==时，z 取最小值为3.【点睛】本题考查基本不等式在证明不等式成立以及求最小值中的应用，在利用基本不等式时，注意使用的前提条件，属于中档题.。
