【20套精选试卷合集】宁夏银川唐徕回民中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

银川唐徕回民中学2019-2020学年第一学期12月月考高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{}{}21,P x x M a =≤=，若P M P ⋃=，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],1-∞-B. []1,1-C. [)1,+∞ D.(][),11,-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合P ，再由P M P ⋃=，即M P ⊆求解.【详解】因为{}{}2111P x x x x =≤=-≤≤，{}M a =又因为P M P ⋃=， 所以M P ⊆ 所以11a -≤≤ 故选:B【点睛】本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.2.若二次函数f(x)＝4x 2－2(t －2)x －2t 2－t ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值m ，使得f(m)>0，则实数t 的取值范围（ ） A 3(,3)(,)2-∞-+∞ B. 3(3,)2-C. (,3)-∞-D. 3(,)2+∞【答案】B 【解析】 【分析】函数f （x ）的图象是开口向上的抛物线，故二次函数f （x ）在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数m ，使得f(m)>0的否定为：对于区间[﹣1，1]内的任意一个x 都有f （x ）≤0，即f （﹣1），f （1）均小于等0，由此可以构造一个关于t 的不等式组，解不等式组，找出其对立面即可求出实数t 的取值范围．【详解】二次函数f （x ）在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数m ，使f （m ）＞0，该结论的否定是：对于区间[﹣1，1]内的任意一个x 都有f （x ）≤0，由()()2214242101424210f t t t f t t t ⎧-=+---+≤⎪⎨=-+--+≤⎪⎩，求得t≤﹣3或t≥32． ∴二次函数在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数m ，使f （m ）＞0的实数t 的取值范围是：（﹣3，32）， 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布和二次函数的单调性和值域等知识，属于中档题．同学们要注意解题过程中运用反面的范围，来求参数取值范围的思路，属于中档题． 3.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()20f =，若对于任意x ∈R ，都有()()()44f x f x f +=+成立，则()2020f =（ ）A. 2020B. 1010C. 2012D. 0【答案】D 【解析】 【分析】根据函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()20f =，结合()()()44f x f x f +=+，推知()f x 的周期为4求解.【详解】因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()20f =， 所以()2(2)0-=-=f f ， 又因为()()()44f x f x f +=+， 令2x =- 得()()()2424-+=-+f f f ， 所以()40f =， 所以()()4f x f x +=， 所以()f x 的周期为4，()()()20204505000=⨯+==f f f .故选：D【点睛】本题主要考查函数的周期性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.4.设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A. a b c << B. c b a << C. c a b << D. b a c <<【答案】A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 取值范围是（ ） A. [2,2]- B. [1,1]-C. [0,4]D. [1,3]【答案】D【解析】 【分析】根据奇函数的性质由(1)1f =-，可以求出(1)f -的值，再利用函数的单调性结合已知1(2)1f x -≤-≤，可以求出x 取值范围.【详解】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-.(1)1f =-，(1)(1)1f f ∴-=-=.故由1(2)1f x -≤-≤，得(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-. 又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，121x ∴-≤-≤，13x ∴≤≤.故选：D【点睛】本题考查了利用奇函数的单调性求解不等式问题，考查了数学运算能力.6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A. 2B. 3C. 5D. 6【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图知，几何体是一个底面为直角三角形，高为12的直三棱柱，若使球最大，则球的半径为正视图内切圆的半径求解.【详解】由三视图知，几何体是一个底面为直角三角形，高为12的直三棱柱， 若使球最大，则球的半径为正视图内切圆的半径， 即8610r r -+-=，解得：2r.所以能得到的最大球的半径等于2. 故选：A【点睛】本题主要考查三视图的应用以及组合体问题，属于基础题.7.球面上有四个点,,,P A B C ，如果,,PA PB PC 两两互相垂直，且1PA PB PC ===，则球的表面积为（ ） A. π B. 3πC.2π D. 22π【答案】B 【解析】 【分析】根据,,PA PB PC 两两互相垂直，且1PA PB PC ===，,,,P A B C 构成一个以,,PA PB PC 为邻边的正方体，再根据,,,P A B C 在球面上，得到正方体的体对角线的长为球的直径. 【详解】因为,,PA PB PC 两两互相垂直，且1PA PB PC ===， 所以,,,P A B C 可以构成一个以,,PA PB PC 为邻边的正方体， 又因为,,,P A B C 在球面上， 所以球是正方体的外接球，所以正方体的体对角线的长为球的直径，即2R =所以R ，所以球的表面积为2432ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B【点睛】本题主要考查与球有关的组合体问题，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 8.正四面体的棱长为,a P 为该正四面体内任一点，则点P 到该正四面体各个面的距离之和为（ ）A.2a B.3a C.3D.【答案】C 【解析】 【分析】先求得正四面体的体积，再根据正四面体的体积等于四个小三棱锥的体积之和求解. 【详解】如图所示：AE ⊥ 面BCD ，22333323BE BF a a ==⨯=， 所以226AE AB BE a =-=， 213sin 6024BCD S a a a ∆=⨯⨯⨯= ， 所以V正四面体 =2313623= . 因为正四面体的体积等于四个小三棱锥的体积之和， 设点P 到该正四面体各个面的距离分别为1234,,,,h h h h 四个面的面积都为：213sin 6024a a a ⨯⨯⨯=， 所以正四面体的体积为：()⨯⨯+++212341334a h h h h ， 所以()2312341323h h h h ⨯+++= ， 所以12346h h h h +++= . 故选：C【点睛】本题主要考查正四面体的体积及应用，还考查了转化思想和求解问题的能力，属于中档题.9.某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A.2 B.52πC.22D.12523【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图，该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，可以补成一个以3，4，5为邻边的长方体，外接球的直径为长方体的体对角线的长.【详解】由三视图可知：该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，可以补成一个以3，4，5为邻边的长方体，外接球的直径为长方体的体对角线的长， 即222234552R =++=，所以22R =， 所以外接球的体积为34233R ππ⨯⨯=. 故选：D【点睛】本题主要考查三视图的应用以及与球有关的组合体问题，还考查了转化思想和求解问题的能力，属于中档题. 10.已知函数()132221x xx f x +++=+的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A. 0B. 1C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】 根据()1332222121+++==+++x xxx x f x ，易知3()21=+x x g x 是奇函数，则max min ()()0g x g x +=，再由max min max min ()()()2()2+=+++f x f x g x g x 求解.【详解】因为()1332222121+++==+++x xxx x f x ， 令3()21=+x x g x ，因为()33()()2121--==-=-++xx x x g x g x ， 所以()g x 是奇函数， 所以max min ()()0g x g x +=，所以max min max min ()()()2()24+=+=+++=f x f x M N g x g x . 故选：D【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于常考题. 11.用{}min ,a b 表示,a b 两数中的最小值，若函数(){}min ,f x x x t =+的图像关于直线12x =对称，则t 的值为（ ） A. 1- B. 1C. 2-D. 2【答案】A 【解析】 【分析】令(),()==+g x x h x x t，根据()min min ()(0)0,()00====g x g h x h ，得到()()min 00f x f ==，再根据函数(){}min ,f x x x t =+的图像关于直线12x =对称，有(){}1min 1,10=+=f t 求解.【详解】令(),()==+g x x h x x t ， 因为()min min ()(0)0,()00====g x g h x h ， 所有()()min 00f x f ==，因为函数(){}min ,f x x x t =+的图像关于直线12x =对称， 所以(){}1min 1,10=+=f t ， 所以10+=t ， 解得1t =-. 故选：A【点睛】本题主要考查函数对称性的应用，还考查了特殊与一般的思想方法，属于中档题.12.已知函数()lg 2,20,2x x g x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，若关于x 的方程()()20g x ag x b -+=有7个不同实数解则（ ） A. 0a >且0b =B. 0a >且0b >C. 0a =且0b >D. 0a <且0b =【答案】A 【解析】作出函数()g x 的图象，令()g x t =，由图象可知()0g x t => 有4个不等实根，()0g x t ==时，有3个不相等的实数根，()0g x t =<时无实根.题中原方程2()()0g x ag x b -+=有且只有7个不等实根，即20t at b -+=有两个实根，一根为0，另一根大于零，则0,0a b >=，所以选A.【点睛】涉及较复杂复合型的方程的根的个数问题解决方法是换元法，令()y g x =，先画出函数()g x 的图象，根据根的个数判断原方程的根应该有几个，每个根应在哪个区间？问题转化为一元二次方程的根的分布问题，利用一元二次方程的根的分布列不等式，求出参数的取值范围.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图，ABC ∆的直观图为等腰直角'''A B C ∆，其中''2A B =，则ABC ∆的面积为_________.【答案】42【解析】 【分析】先计算出直观图的面积，再利用平面图形的面积与直观图的面积比为22. 【详解】因为ABC ∆的直观图为等腰直角'''A B C ∆，且''2A B = 所以12222A B C S '''∆=⨯⨯= ， 因为平面图形的面积与直观图的面积比为22 所以22242ABC S ∆=⨯= 故答案为：42【点睛】本题主要考查斜二测画法以及原图形与直观图的面积比，属于基础题. 14.已知()()()22log 4log 1log 5log 21a a a a x y xy +++=+-（0a >且1a ≠），则8log =yx_______. 【答案】13-【解析】 【分析】根据对数的运算法则，将()()()22log 4log 1log 5log 21a a a a x y xy +++=+-，转化为()()()2241521++=-xy xy ，再构造转化为()()222269440-+++-=x y xy x y xy 求解.【详解】因为()()()22log 4log 1log 5log 21a a a a x y xy +++=+-，所以()()()22log 41log 521++=-a a x yxy ，所以()()()2241521++=-x yxy ，所以()()222269440-+++-=x y xy x y xy ， 即()()22320-+-=xy x y ，所以3020xy x y -=⎧⎨-=⎩，解得12y x = . 8811log log 23==-y x .故答案为：13-【点睛】本题主要考查对数运算法则的简单应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.15.已知函数()()()22ln 111f x a x a x ⎡⎤=-+-+⎣⎦的值域为R ，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】315a -<≤-【解析】 【分析】 令()()22111=-+-+t ax a x ，根据()()()22ln 111f x a x a x ⎡⎤=-+-+⎣⎦的值域为R ，则()()22111=-+-+t a x a x 取遍()0,∞+ 所有的实数，即()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=---≥⎪⎩求解. 【详解】令()()22111=-+-+t ax a x因为()()()22ln 111f x a x a x ⎡⎤=-+-+⎣⎦的值域为R ，所以()()22111=-+-+t ax a x 取遍()0,∞+ 所有的实数所以()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=---≥⎪⎩ 解得315a -<≤-故答案为： 315a -<≤-【点睛】本题主要考查复合函数的值域问题，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 16.设2 (1)(){(1)x x f x x x ≥=<,()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+∞，，则()g x 的值域 是___________. 【答案】.【解析】【详解】试题分析：的图像如下图所示，又因为()g x 是二次函数，且(())f g x 的值域是[)0+∞，， 则()g x 的值域是.考点：函数的图像与值域.三、解答题（共70分）17.已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =≤≤，{}20C x mx =+=． （1）若()A B =RR ，求实数a 的取值范围；（2）若CB C =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()2,+∞（2）[]{}2,10--【解析】 【分析】（1）由补集的运算求出RB ，由条件和并集的运算求出实数a 的取值范围．（2）由CB C =得C B ⊆，分类讨论C =∅与C ≠∅，求出实数m 的取值范围【详解】解：（1）{}12B x x =≤≤，{|1R C B x x ∴=<或2}x >.又{}A x x a =<，()AB =RR ，2a ∴>，即实数a 的取值范围是()2,+∞.（2）C B C =，C B ∴⊆.当C =∅时，0m =符合题意. 当C ≠∅时，由20mx +=得2x m =-，故212m≤-≤， 当0m >时，不等式的解集为空集； 当0m <时，解得21m -≤≤-. 综上可知，实数m 的取值范围为[]{}2,10--.【点睛】本题考查并、补集的混合运算，以及求参数的范围，属于基础题． 18.设函数()f x 的定义域为R ，对任意12,x x 有()()121212222x x x x f x f x f f +-⎛⎫⎛⎫+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且()0,12f f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭. （1）求()0f 的值；（2）求证()f x 是偶函数，且()()f x f x π-=-. 【答案】（1）1（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据()()121212222x x x x f x f x f f +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，采用赋值法令12x x π== 求解.（2）采用赋值法令12,x x x x ==- 得()()()()20+-=f x f x f x f ，再利用奇偶性的定义证明.，令12,x x x x π==- 得()()2222πππ-⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x f x f x f f ，再根据02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π证明. 【详解】（1）因()()121212222x x x x f x f x f f +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令12x x π== 得()()()()20πππ+=f f f f ，所以()01f =；（2）令12,x x x x ==- 得()()()()20+-=f x f x f x f ， 所以()()f x f x =-， 所以()f x 是偶函数.令12,x x x x π==- 得()()2222πππ-⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x f x f x f f ， 因为02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π 所以()()f x f x π-=-.【点睛】本题主要考查抽象函数的应用和赋值法研究函数奇偶性、对称性，还考查了探究解决问题的能力，属于中档题.19.已知函数()22222xxf x =+. （1）求1344f f ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）求1299100100100f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）1（2）992【解析】 【分析】（1）根据函数()22222xx f x =+，直接代入求解.（2）根据()()()()()()()21212222221212222221222222222⨯-⨯-⨯-⨯-+-=+=+++++x x x x xx x x x xf x f x 22224122224x x x=+=+⋅+ 令1299100100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭t f f f ，再利用倒序相加法求解.【详解】（1）因为函数()22222xx f x =+，所以13132222444413224413132222444422222213224422222222⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭+=+=⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭f f ， 3522235222222412224+++==+++ .（2）()()()()()()()21212222221212222221222222222⨯-⨯-⨯-⨯-+-=+=+++++x x x x xx x x x xf x f x ，22224122224x x x=+=+⋅+ . 令1299100100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭t f f f ，所以99981100100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭t f f f ，两式相加得：299t = ， 所以1299991001001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f . 【点睛】本题主要考查求函数值以及倒序相加法求和，还考查了运算求解问题的能力，属于中档题.20.已知正三棱锥S ABC -，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的侧面积为120.（1）求三棱柱的高；（2）求棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比. 【答案】（1）10或5（2）19 或49【解析】 【分析】（1）设正三棱柱的高为h ，底面边长为x ，根据相似比有151512h x-=，再根据正三棱柱的侧面积为120，有3120xh =，两式联立求解.（2）根据面积之比等于相似比的平方，结合（1）的结论求解. 【详解】（1）设正三棱柱的高为h ，底面边长为x ，如图所示:则151512h x-=解得()4155x h =- 又因为正三棱柱的侧面积为120. 所以3120xh = 所以40xh =解得4,10x h == 或8,5x h == 所以三棱柱的高是10或5.（2）因为面积之比等于相似比的平方，所以棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比：1112151159S A B CS ABCS hS--⎛⎫-==⎪⎝⎭或1112154159S A B CS ABCS hS--⎛⎫-==⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查空间几何体中的截面以及相似比、侧面积等问题，还考查了平面与空间的转化求解问题的能力，属于中档题.21.三棱锥P ABC-的三视图如图所示，90ABC∠=︒.（1）求该三棱锥的表面积；（2）求该三棱锥内切球的体积.【答案】（1）48122+（2）()33642343π-【解析】【分析】（1）根据三视图可知，此三棱锥的底面是腰长为6的等腰直角三角形ABC，顶点P在底面上的摄影是底面直角三角形ABC斜边的中点，且三棱锥的高为4，要求表面积，再利用三视图，明确AB，BC，AC上的高即可.（2）根据三棱锥的体积等于以球心为顶点，三棱锥的四个面为底的小三棱锥的体积之和求解. 【详解】（1）如图所示：由三视图可知，此三棱锥的底面是腰长为6的等腰直角三角形ABC，且62AC=，顶点P 在底面上的摄影是底面直角三角形ABC 斜边的中点，且三棱锥的高为4，在PAB ∆中，AB 边上的高为5， 在PBC ∆中，边BC 上的高为5， 在PAC ∆中，边AC 上的高为4，所以该三棱锥的表面积11166265448222⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+ （2）设内切球的球心为O ，半径为r则由P ABC O ABC O PBC O PAB O PAC V V V V V -----=+++得(11166448323r ⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯解得127r -=，所以该三棱锥内切球的体积(3336443343V r ππ-==【点睛】本题主要考查三视图的应用，空间几何体的表面积，体积，组合体等，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.22.已知函数()()221+0,1g x ax ax b a b =-+≠<在区间[]2,3上有最大值4，最小值1，设()()g x f x x=. （1）求 ,a b 的值； （2）不等式()220xxf k -≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1,0a b ==；（2）0k ≤. 【解析】 试题分析：(1)由题意得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得1,0a b ==； (2)不等式恒成立转化为122?22xx x k +-≥，结合二次型复合函数的性质和恒成立的条件可得实数k 的取值范围是0k ≤.试题解析：解：（1）()()2g 11x a x b a =-++-， 当0a >时, ()g x 在[]2,3上增函数，故()()34414121110g a b a a g a b a b ⎧=++-==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=++-==⎪⎩⎩⎩，当0a <时, ()g x 在[]2,3上为减函数，故()()24411131143g a b a a g a b a b ⎧=++-==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=++-==⎪⎩⎩⎩，1,1,0b a b <∴==.（2）()()2121,2g x x x f x x x =-+=+-,不等式()2?20x x f k -≥化为122?22x x x k +-≥，21112?22x x k ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，令12x t =，则221k t t ≤-+，[]11,1,,22x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦，记()221t t t ϕ=-+，()min 0,0t k ϕ∴=∴≤.点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．。

银川唐徕回民中学2019-2020学年度高三年级8月月考理科数学一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（ ）}1|2||{≤-=x x A }6|{2<+=x x x B =⋂B A A. (-3,3] B.(-2,3] C. [1,2) D.[1,3)2.若复数z 满足z(1+i)=-2i,则在复平面内对应的点在（）z A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3.如图，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是，其中OA=AB=4，则该直观ABC ∆图所表示的平面图形的面积为（ ）。

16 B. 8C.16D.8224.若x>y,则（ ）A. Lg(x-y)>0B. |x|-|y|>0C.D.y x ππ<033<-x y 5.已知向量，则下列向量中与成夹角的是（ ）)1,0,1(=︒60A.（0，1，-1） B.（-1,0,1） C. （1，-1，0） D.（-1,1,0）6.设m,n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）βα,A. 若，且，则βα⊂⊥n m ,n m ⊥βα⊥B. 若，且，则βα⊂⊂n m ,αβ||,||n m βα||C.若，且，则βα⊂⊥n m ,βα⊥n m ⊥D.若，且，则βα||,||n m βα||nm ||7.若正数a,b 满足，则当ab 取最小值时，b 的值为（）ab b a =+21A. B. C. D.424222228.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）02],3,41[2≤---∈∀a x x A. B. C. D.6≥a 7≤a 8≤a 8≥a 9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. 2 C. D. 4323410.下列四个命题中，真命题的个数为（ ）①命题“”的否定为“”01,2>++∈∀x x R x 01,0200≤++∈∃x x R x ②命题“P 且q 为真，则p,q 有且只有一个为真命题”③命题“”的逆否命题为“”1,0232==+-x x x 则若023,12≠+-≠x x x 则若④命题“已知”的充分不必要条件是2||||4,,22≥+≥+∈b a b a R b a A. 1 B. 2 C. 3 D.411.在中，，分别以直角三角形的三边AB ，BC ，AC 为旋ABC ∆22,==⊥AB AC BC AB转轴旋转而成的空间几何体的表面积分别记为，则（ ）321,,S S S A. B. C. D.321S S S <<312S S S <<123S S S <<132S S S <<12.体积为的三棱锥的顶点都在球O 的表面上，，PA=2，3ABC P -ABC 平面⊥PA ，则球O 的体积的最小值为（ ）π32ABC =∠ A. B. C. D.π377π31919π3728π31976二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13.长方体，底面ABCD 为正方形，AB=1，，则异面直线1111D C B A ABCD -31=AA 与所成角的余弦值为________1DB 1AD 14.曲线C 的参数方程为直线l 的方程为，PM 分别)(sin cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 052=--y x 为曲线C 和直线l 上的点，则|PM|的最小值为_________15.若是实数，且x+2y+3z=6,则最小值为_________,最小+∈R z y x ,,222z y x ++z y x 321++值为____________16. 正八面体由八个全等的正三角形围成的空间几何体，如图所示，关于正八面体ABCDEF 有以下结论：（1）AC 平面BEDF ，且BD 平面AECF⊥⊥（2）平面EAD 平面ADF⊥（3）CE 与AD ，AB ，BF ，DF ，所成角都是3π（4）平面BEC||平面ADF（5）内切球，外接球和棱切球的表面积之比为6:3:2（6）四边形AECF 为正方形其中所有正确的结论是_____________三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.每个试题考生都必须作答，答案写在答题卡上17.(本小题满分10分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PDC 平面⊥ABCD ，PC PD ，BC=1，PC=PD=，E 为PB 的中点⊥2（1）求证：PD||平面ACE（2）求直线PA 与平面ACE 所成夹角的正弦值θ18.(本小题满分12分)设函数f(x)=|x-1|+|x+1|,f(x)<4的解集为S（1）求S（2）当a,b 时，求证：|ab+4|>2|a+b|S ∈19.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为，,为直线的1C )(sin cos 1为参数t t y t x ⎩⎨⎧=+=ααα1C 倾斜角，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为2C ，曲线与曲线相交于点A,B 两点θθρ2cos 1cos 4-=1C 2C （1）当时，求曲线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程πα43=1C 2C （2）当α变化时，求|AB|的最小值20.(本小题满分12分)如图在直三棱柱，是等腰直角三角形，AC=BC=1,=2,点D 是侧棱111C B A ABC -ABC ∆1AA 上的一点1AA （1）证明：当点D 是的中点时，1AA BCD1平面⊥DC （2）若二面角的余弦值为，求二面角的余弦值C BCD --129293C D C B --121.(本小题满分12分)在平面内，动点M 到定点与到定点的距离之比为2:1)0,2(1F )0,1-(1F （1）求动点M 的轨迹C 的方程（2）已知O 为坐标原点，过点O 的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为N ，求N 的轨迹方程22.(本小题满分12分)已知函数a ax ax x x x f -+--=2ln )(2（1）当时，判断f(x)的定义域上的单调性21=a （2）对任意的，都有恒成立，求实数a 的取值范围),1[+∞∈x 1)(≤x f （3）证明：)(12ln 11217151311*N n n n ∈++<-+++++。

宁夏银川市2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．1021B ．2021C ．919D ．1819【答案】A 【解析】分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知1112n n a a +-=，进而可知121n a n =-，利用裂项相消法求和即可． 详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴1112n na a +-=， 又∵31a =5，∴()3112n 32n 1n a a =+-=-，即121n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫=-=- ⎪-+⎝⎭，∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111111110112335192122121L ⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A ．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为m =（ ） A ．1 B ．2CD ．3【答案】A 【解析】【分析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径为5,因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25,所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =.故选：A 【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.3．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】做出函数(),()f x g x 的图象，问题转化为函数(),()f x g x 的图象在[5,5]-有7个交点，而函数(),()f x g x 在[5,0]-上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】作出函数(),f x ()g x 的图象如图所示，由图可知方程()()f x g x =在[5,0]-上有3个不同的实数根， 则在[0,5]上有4个不同的实数根， 当直线y kx =经过(4,1)时，14k =；当直线y kx =经过(5,1)时，15k =， 可知当1154k ≤<时，直线y kx =与()f x 的图象在[0,5]上有4个交点， 即方程()()f x g x =，在[0,5]上有4个不同的实数根. 故选:D. 【点睛】本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.4．若函数()x f x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ） A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)e【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，可转化为曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点，可转化为方程2ln ax x -=有两解，构造函数2ln ()xh x x+=，利用导数研究函数单调性，分析即得解 【详解】函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在ln y x =上，即曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点， 即方程2ln ax x -=有两解，即2ln xa x+=有两解， 令2ln ()xh x x +=，则21ln ()xh x x --'=，则当10x e<<时，()0h x '>；当1x e >时，()0h x '<，故1x e =时()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值， 当0x →时，()h x →-∞；当x →+∞时，()0h x →， 所以0a e <<满足条件． 故选：D本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.5．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．15【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数. 【详解】输入的a ，b 分别为176,320,根据流程图可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数，按流程图计算320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16,易得176和320的最大公约数为16， 故选:A. 【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.6．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线240x y +-=与y 轴交于点A ，线段2AF 与E 交于点B .若1||AB BF =，则E 的方程为（ ）A ．2214036x y +=B ．2212016x y +=C ．221106x y +=D ．2215x y +=【答案】D 【解析】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以1222a BF BF AF =+==a =，故可得椭圆的方程.【详解】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以1222a BF BF AF =+==，得a =，1b ∴=，所以椭圆的方程为2215x y +=.故选：D 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.7．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可. 【详解】解：①：m 、n 也可能相交或异面，故①错 ②：因为αβ⊥，m β⊥，所以m α⊂或//m α， 因为m α⊄，所以//m α，故②对 ③：//n β或n β⊂，故③错 ④：如图因为αβ⊥，l αβ=I ，在内α过点E 作直线l 的垂线a ， 则直线a β⊥，a l ⊥又因为//m α，设经过m 和α相交的平面与α交于直线b ，则//m b 又m l ⊥，所以b l ⊥因为a l ⊥，b l ⊥，,b a αα⊂⊂ 所以////b a m ，所以m β⊥，故④对. 故选：C 【点睛】考查线面平行或垂直的判断，基础题. 8．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意可得：131255i i i -=--. 共轭复数为3155i +，故选A. 考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系9．若2nx x ⎛+ ⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由二项式系数性质，()n a b +的展开式中所有二项式系数和为2n 计算．【详解】2nx ⎛ ⎝的二项展开式中二项式系数和为2n，232,5n n ∴=∴=． 故选：C ． 【点睛】本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键．10．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ） A ．98B ．78C ．12D ．6256【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，进而可求得随机变量X 的数学期望值. 【详解】由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，则()353810056C P X C ===，()21533830156C C P X C ===，()12533815256C C P X C ===，()33381356C P X C ===. 因此，随机变量X 的数学期望为()103015190123565656568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题. 11．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A ．12ω=B．82f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()f x ，在()0,π上是单调函数，确定 01ω<≤，然后一一验证， A.若12ω=，则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，由02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得34πϕ=，但13sin 84822πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫= ⎪⎭⎪⎝⎭⎝f .B.由8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，确定()222sin 33π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再求解8f π⎛⎫-⎪⎝⎭验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算54f π⎛⎫⎪⎝⎭是否为0. 【详解】因为函数()f x ，在()0,π上是单调函数， 所以2T ≥π ，即22ππω≥，所以 01ω<≤ ，若12ω=，则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，又因为02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1sin 0222ππϕ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪⎝=⎪⎝⎭⎭f ，解得34πϕ=，而13sin 84822πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫=⎪⎭⎪⎝⎭⎝f ，故A 错误. 由2sin 022πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，不妨令2ωπϕπ+= ，得2πωϕπ=-由sin 882ππωϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，得 2+84ππωϕπ⨯+=k 或32+84ππωϕπ⨯+=k 当2+84ππωϕπ⨯+=k 时，2=23k πω+，不合题意. 当32+84ππωϕπ⨯+=k 时，22=33k πω+，此时()222sin 33π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x所以222272sin 2sin 2sin 838338312ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=⨯-+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f B 正确. 因为22,,0,2333ππππ⎡⎤⎡⎤∈--+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x ，函数()f x ，在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增，故C 错误. 525232sin 2sin 043432f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.12．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．32【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。

宁夏银川市2019-2020学年高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题 D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B 【解析】 【分析】由2xy =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解 【详解】由函数2xy =是R 上的增函数，知命题p 是真命题． 对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>； 当10x +<，即1x <-时，11x x +=--， 由1x x --≤，得12x =-，无解，因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B 【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题. 2．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果. 【详解】 函数()1ln1x f x x -=+的定义域为{|1}x x ≠±，当12x =时，1()ln 302f =-<，排除B 和C ； 当2x =-时，(2)ln 30f -=>，排除A. 故选：D. 【点睛】本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A 51 B ．2C 3D 5【答案】A 【解析】 【分析】设(,)M a b ，则MF 的中点坐标为(,)22a c b+，代入双曲线的方程可得,,a b c 的关系，再转化成关于,a c 的齐次方程，求出ca的值，即可得答案. 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ，右焦点为(c,0)F ，M 所在直线为x a =，不妨设(,)M a b ，∴MF 的中点坐标为(,)22a cb +.代入方程可得2222221a c b a b +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，∴22()544a c a +=，∴2240e e +-=，∴1e =（负值舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造,a c 的齐次方程.4．已知双曲线22214x y b-=（0b >0y ±=，则b =（ ）A ．BC ．2D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程22214x y b-=（0b >）0y ±=得到b a =. 【详解】因为双曲线22214x y b -=（0b >），所以2a =0y ±=，所以2b ba ==，所以b =故选：A. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A 【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.6．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，22PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．32π C ．12πD ．24π【答案】C 【解析】 【分析】首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【详解】取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，PB PC =Q ，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且112OG PH ==． 设AB x =，22PB =Q 211822AO PA x ∴==+ 1222AG BC x ==Q ，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=， 即222211822x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：2x =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：()()2221122422322x AO +=+==，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．故选：C . 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.7．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是⎡⎣；②函数4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】化()f x )4x π-可判断①，求出4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式可判断②，由,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得353[,]444x πππ-∈，结合正弦函数得图象即可判断③，由()()()12f x f x f x ≤≤得12min 2Tx x -=可判断④.【详解】由题意，())4f x x π=-，所以()f x ∈⎡⎣，故①正确；4f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭)]44x ππ+-=)2x π+=x 为偶函数，故②错误；当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，353[,]444x πππ-∈，()f x 单调递减，故③正确；若对任意x ∈R ，都有 ()()()12f x f x f x ≤≤成立，则1x 为最小值点，2x 为最大值点，则12x x -的最小值为23T π=，故④正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题. 8．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题1．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 2．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．23．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于A ．11B ．12C ．13D ．144．12+与12-，两数的等比中项是A ．1B ．1-C ．1±D ．21 5．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为 A ．50 B ．49C ．48D ．47 6．已知等比数列{a n }的公比为2,前4项的和是1,则前8项的和为A ．15．B ．17．C ．19．D ．217．已知数列{}n a 的前n 项和()21n S n n =+则5a 的值为A ．80B ．40C ．20D ．10 8．f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是A ．a ≤0B ．a <-4C ．-<<40aD ．-<≤40a9．在等差数列{}n a 中，设n a a a S +++=...211，n n n a a a S 2212...+++=++，n n n a a a S 322123...+++=++，则,,,321S S S 关系为( )A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．都不对 10．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=A ．12B ．10C ．31log 5+D ．32log 5+11．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是( )A ．ba 11< B ．b a 11> C ．2a b > D ．22a b > 12．不等式201x x -+≤的解集是A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．(12]-，二、填空题 13．在△ABC 中，sinA ＝2cosBsinC ，则三角形为_____14．等差数列{}n a 中,,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________．15．两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a ＝___________． 16．等差数列中,若),(n m S S n m ≠=则n m S +＝_______．三、解答题：17．(本小题满分10分)已知ABC ∆的周长为2＋1，且sinA ＋sinB ＝2sinC ．求边AB 的长18．(本小题满分12分)三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则成等差数列，求这三个数．19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0．20．(本小题满分12分)设,4,221==a a 数列}{n b 满足：,1n n n a a b -=+122n n b b +=+，(1)求证：数列}2{+n b 是等比数列(要指出首项与公比)，(2)求数列}{n a 的通项公式．21．(本小题满分12分)求和：12...321-++++n nxx x22．(本小题满分12分)设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择（注释）1、设}{n a 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80，则131211a a a ++=（）A ．120B ．105C ．90D ．752、命题“对任意x R ∈,都有20ax bx c ++<” 的否定为A 、存在0x R ∈,使得2000ax bx c ++≥; B 、不存在x R ∈,使得20ax bx c ++≥;C 、存在0x R ∈,使得2000ax bx c ++<; D 、对任意x R ∈,都有 20ax bx c ++≥；3、如果命题“()p q ⌝∨”是假命题，则下列说法正确的是( )A. p q 、均为真命题B. p q 、中至少有一个为真命题C. p q 、均为假命题D. p q 、中至少有一个为假命题4、已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ）（A ）1a b >-（B ）1a b >+（C ）||||a b >（D ）22a b >5、设{1,2}M =，2{}N a=，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6、下列命题正确的是（ ）<．对任意的实数x ,都有321x x x ≥-+恒成立.C. 224()2y x x R x =+∈+的最小值为2 D. 2(2),(2)y x x x =-≥的最大值为27、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+<-13123|12|x x x 的解集为 .8、若,10,1<<>>a y x 那么下列各式中正确的是（ ）A ．a a y x --> B. y x a a log log > C. y x a a < D. y x a a >9、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若371112a a a ++=，则13S 等于（ ）()A 52 ()B 54 ()C 56 ()D 5810、在等差数列{}n a 中，已知1684=+a a ，则102a a +为 （ ）A. 12B. 16C. 20D. 2411、已知数列{}n a 满足点(,)()n n a n N *∈都在曲线2log y x =的图象上,则24816a a a a +++=( )A.9 B10 C20 D3012、等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中的最大的是（ ）A ．10SB ．11SC ．20SD ．21S二、填空题（注释）13、已知数列{}n a 中1a =1，其前n 项的和为n S ，且点1(,)n n P a a +在直线l ：20x y --=上．则10S =________________．14、设{}n a 为等差数列，公差2-=d ，n S 为其前n 项和，若1110S S =15、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，d a 91=，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k=16、若数列{}n a 中，13a =，14(2)n n a a n -+=≥，则2013a =________．三、解答题（注释）17、已知数列{}n a ，2n a ≠，15823n n n a a a +-=-，13a =（1）证明：数列1{}2n a -是等差数列． （2）设2n n b a =-，数列1{}n n b b +的前n 项和为n S ，求使21(21)2(23)2192n n n n S n +++⋅⋅>-⋅+成立的最小正整数n ． 18、为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门将某校12名学生分为两组进行问卷调查.第一组的得分情况为5,6,7,8,9,10;第二组的得分情况为4,6,7,9,9,10.(1)根据以上数据,判断两组中哪组更优秀?(2)把第一组的6名学生的得分看成一个总体.用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.19、为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？20、某厂产值第二年比第一年增长%p ，第三年比第二年增长%q ，又这两年的平均增长率为S%，则S 与2p q +的大小关系是A ． 2p q S +>B ．2p q S +=C 2p q S +≤D 2p q S +≥21、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小。

宁夏银川唐徕回民中学2019－2020学年高二12月数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是11,2，则a 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．抛物线24x y =的焦点是 A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)3．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．84．下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题C ．命题“x R ∃∈，”的否定是：“x R ∀∈，”D ．已知，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件5．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ）A ．1)-B ．(-C ．(1)-D ．(1,-6．设0,0a b >>3a 与23b 的等比中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．.某汽车公司的A,B 两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车,若A 厂每小时可装配1辆甲型车和2辆乙型车,B 厂每小时可装配3辆甲型车和1辆乙型车.现要装配40辆甲型车和40辆乙型车,若要使所费的总工作时数最少,则这两个装配厂的工作时数分别为( ) A ．16,8B ．15,9C ．17,7D ．14,108．已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1、F 2， 点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为( )A ．43B ．53C D9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与抛物线在第一象限内交于点A ，若4AF =，则p =（ ）A ．2B ．1C D ．410．已知双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，过左焦点1F 交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段1F P ，则双曲线的离心率是（ ）A B ．2+C ．1+D ．11．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．3B ．6C ．4D 12．已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点(0,2)K -，则PF PK的最小值为（ ）A ．2 BC ．2D ．12二、填空题13．已知函数2()(1)f x ax ab x b =+--，如果不等式()0f x >的解集为()1,3-，那么不等式()20f x -<的解集为________________.14．命题“x R ∃∈，22390x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是________．15．一条渐近线方程是0x +=的双曲线，它的一个焦点与方程是216y x =的抛物线的焦点相同，此双曲线的标准方程是_______________ ；16．已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ．三、解答题17．已知a R ∈，命题p ：“[]0,2,240xxx a ∀∈-+≤均成立”，命题q ：“函数()()2ln 2f x x ax =++定义域为R ”.（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围. 18．ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且b =ABC ∆面积的取值范围．19．如图，已知直线与抛物线()220y px p =>交于,A B 两点，且,OA OB OD AB⊥⊥交AB 于点D ，点D 的坐标为()2,1，求p 的值.20．已知数列{}n a 的前n 项和为1,2n S a =-，且满足()*1112n n S a n n N +=++∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()3log 1n n b a =-+，求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，并求证34nT <. 21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90ACB ∠=，EA ⊥平面ABCD ，//EF AB ，//FG BC ，//EG AC ，2AB EF =.（1）若M 是线段AD 的中点，求证：//GM 平面ABFE ； （2）若22AC BC AE ===，求二面角A BF C --的余弦值.22．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b >>)的短轴长为2，离心率为2．过点M （2,0）的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程； （2）求OA OB ⋅的取值范围；（3）若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点.参考答案1．A 【分析】由方程与不等式关系可求得a 值. 【详解】由方程与不等式关系得：1-和12为方程()()110-+=ax x 的两根， 1102a ∴-=，解得2a =， 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解集，不等式与方程的关系，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出p 即得焦点坐标. 【详解】焦点在y 轴上，又2p =，故焦点坐标为()0,1，故选D . 【点睛】求圆锥曲线的焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标. 3．D 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力． 4．C 【详解】试题分析：因为命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题“若a b <，则22am bm <”是假命题,所以选项A 不正确;命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”至少有一个为真命题,所以选项B 不正确； 命题“x R ∃∈，”的否定是：“x R ∀∈，”，选项C 正确；已知，则“1x >”是“2x >”的必要不充分条件，所以选项D 不正确；故选C.考点：命题与充要条件. 5．B 【分析】先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】()()0,2,3,1m n =-=()23,3m n ∴+=-()()333-=--故选B 【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位. 6．D 【解析】3a 与23b 的等比中项，∴2223333a b a b +⨯===， ∴21a b +=，∴21214(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =且21a b +=，即11,24a b ==时等号成立．选D ．7．A 【解析】 【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最小值取法，即得结果. 【详解】设A 厂工作x 小时， B 厂工作y 小时，总工作时数为z ，则目标函数为z x y =+，约束条件为340,240,0,0.x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩作出可行域如图所示，由图知当直线y x z =-+经过Q 点时，z 取得最小值，由340,240,x y x y +=⎧⎨+=⎩可得()16,8Q ，故A 厂工作16小时，B 厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少.选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 8．C 【解析】不妨1212,2,MF MF MF MF>-=12F F =又12;MF MF ⊥所以2221212||||MF MF F F +=，即22121212()2||MF MF MF MF F F -+⨯=；所以12124212,4,MF MF MF MF +⨯=∴⨯=则M 到x 轴的距离1212MF MF F F ⨯==故选C 9．A 【解析】 【分析】过A 作AB ⊥x 轴于B 点，Rt △ABF 中，的直线，由∠AFB 3π=且|AF |＝4，得|BF |＝2，从而求得A 的横坐标．再由抛物线的焦半径公式可得p 的值即可． 【详解】解：过A 作AB ⊥x 轴于B 点，过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F的直线， 则在Rt △ABF 中，∠AFB 3π=，|AF |＝4，∴|BF |12=|AF |＝2， 则x A ＝22p+，∴|AF |＝x A 2p+=2+p ＝4，得p ＝2．故选：A ．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题． 10．B 【分析】由题意知：212PF F F ⊥，1260PF F ∠=，算出21,4PF PF c ==，由双曲线定义得出关于,a c 的等式，求解出离心率. 【详解】设直线1F P 与y 轴交点Q ，则点Q 为线段1F P 的中点，则2//OQ PF ，212PF F F ∴⊥， 直线1F P，1260PF F ∴∠=，12212,,4F F c PF PF c ∴===，由双曲线的定义知：42c a -=，解得离心率2ce a==故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的计算，属于基础题. 11．B 【分析】设1AA c =，AB a =，AC b =，根据向量线性运算法则可表示出1AB 和1BC ；分别求解出11AB BC ⋅和1AB ，1BC ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>，即可得所求角的余弦值. 【详解】设棱长为1，1AA c =，AB a =，AC b = 由题意得：12a b ⋅=，12b c ⋅=，12a c ⋅= 1AB a c =+，11BC BC BBb ac =+=-+()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++= 又()222123AB a c a a c c =+=+⋅+=()222212222BC b a cb ac a b b c a c =-+=++-⋅+⋅-⋅=11111116cos ,66AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅即异面直线1AB 与1BC 本题正确选项：B 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题. 12．C 【解析】 【分析】先记点P 到抛物线准线的距离为d ，根据抛物线的定义，将PFPK化为d PK ，再设直线PK的方程为2y kx =-，因此求dPK的最小值，即是求k 的最小值，由此可得，直线PK 与抛物相切时，k 最小，联立直线与抛物线方程，结合判别式，即可求出结果. 【详解】记点P 到抛物线准线的距离为d ， 由抛物线定义可得d PF =，因此求PFPK的最小值，即是求dPK 的最小值，设直线PK 的方程为2y kx =-，倾斜角为θ易知sin dPKθ=，tan θk ，因此当k 取最小值时，dPK最小；当直线PK 与抛物线相切时，k 最小；由282x y y kx ⎧=⎨=-⎩可得28160x kx -+=，由264640k -=得1k =，即tan 1θ=±，所以sin 2θ=，即1d PK =.因此，PF PK故选C【点睛】本题主要考查抛物线定义、以及直线与抛物线位置关系，熟记定义以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型. 13．31{|}22x x x <->或 【分析】先得到不等式()0f x <的解集为(,1)(3,)-∞-+∞，再确定()20f x -<的解为21x -<-或23x ->，解得答案. 【详解】不等式()0f x >的解集为()1,3-，则不等式()0f x <的解集为(,1)(3,)-∞-+∞()20f x -<的解为：21x -<- 或23x ->解得答案：31{|}22x x x <->或 故答案为：31{|}22x x x <->或【点睛】本题考查了解不等式，将2x -看成整体可以简化运算，是解题的关键.14．-⎡⎣【分析】由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知0∆≥，解不等式求得结果. 【详解】若原命题为假命题，则其否定“x R ∀∈，22390x ax -+≥”为真命题29720a ∴∆=-≤，解得：a -≤≤a ∴的取值范围为-⎡⎣故答案为：-⎡⎣【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否定之间的真假关系将问题转化为恒成立的问题.15．221124x y -=【分析】根据抛物线216y x =得到双曲线的焦点，即c 的值，然后根据渐近线，得到双曲线方程. 【详解】因为抛物线216y x =， 所以其焦点为()4,0，因为双曲线的一条渐近线是0x +=，所以，设双曲线方程为2213x y λλ-=，所以316λλ+=，4λ=故所求的双曲线方程为221124x y -=.【点睛】本题考查通过双曲线的渐近线和焦点求标准方程，属于简单题. 16．1x =- 【解析】试题分析：由222122{202422y pxy py p y y p p p y x =∴--=∴+==∴==-，准线1x =-考点：抛物线方程及性质17．（1）0a ≤；（2）a ≤-或0a <<【分析】（1）由条件转化得：42x x a ≤-在[]0,2x ∈上恒成立，只需求42x x -的最小值，即可得a 的范围；（2）由题目条件分析可得，命题,p q 一真一假，列出相应的不等式组求解即可.【详解】（1）设[]2,1,4xt t =∈，则2a t t ≤-在[]1,4t ∈上恒成立，令()221124g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则()g t 在[]1,4单调递增， ()()min 10g t g ∴==，故0a ≤.（2）当命题q 为真命题时，220x ax ++>在R 上恒成立，280a ∴∆=-<，解得：a -<<命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，∴命题,p q 一真一假，0a a a ≤⎧⎪∴⎨≥≤-⎪⎩0a a >⎧⎪⎨-<<⎪⎩，解得：a ≤-或0a <<【点睛】本题主要考查了含有逻辑联结词的命题真假的判断，函数的定义域，不等式的恒成立问题，属于基础题.18．(1) 60B =︒；(2) ,24⎛ ⎝⎦【分析】（1）根据正弦定理边角互化，将等式化简为sin sin 2A CB +=，再利用A BC π++=,以及二倍角公式化解求角B 的值； （2）根据正弦定理，sin sin sin a b cA B C ==，表示,a c ，再利用面积公式1sin 2S ac B =，利用两角和的正弦公式和降幂公式化简，最后根据角的范围求取值范围. 【详解】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ++=︒，可得sincos 22A C B+=，故cos2sin cos 222B B B =． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此60B =︒． （2）根据正弦定理2sin sin sin a c bA C B====，可得2sin ,2sin a A c C == 因为A B C π++=，所以()sin sin sin 3C A B A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,这样11sin 2sin 2sin sin 22323S ac B A A A A ππ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,而1sin sin 322S A A A A A π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23sin cos sin 222426A A A A π⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭ ABC ∆是锐角三角形，所以62A ππ<<,52,666A πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤∴-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,sin 24262A π⎛⎛⎫+-∈ ⎪ ⎝⎭⎝.【点睛】本题重点考查了正弦定理边角互化解三角形，以及利用边角互化把边转化为角，转化为三角函数给定区间求取值范围的问题，本题的易错点是忽略锐角三角形的条件，或是只写出02A π<<，这样即便函数化简正确，取值范围也错了.19．54【分析】由题知，直线AB 的斜率为2-，从而求得直线AB 方程为25y x =-+；又OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，联立2225y pxy x ⎧=⎨=-+⎩得250y py p +-=，利用根与系数关系代入计算求出p 值. 【详解】()2,1D ，12OD k ∴=， OD AB ⊥，2AB k ∴=-，则直线AB 的方程为：()122y x -=--，即25y x =-+，设A B 、两点的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，联立2225y px y x ⎧=⎨=-+⎩，消x 得：250y py p +-=，125y y p ∴=-，OA OB ⊥，22121212122550224y y OA OB x x y y y y p p p ∴⋅=+=⋅+=-=， 54p ∴=. 【点睛】本题主要考查了直线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.解决直线与抛物线的位置关系，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”、“整体代入”等解法.20．（1）13nn a =-；（2）见解析【分析】（1）由n a 与n S 关系得：132n n a a +=-，构造新数列{}1n a -为等比数列，利用等比数列通项公式求出n a ； （2）由n a 求出n b n =，则()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用“裂项相消法”求出n T 即可证明. 【详解】（1）()*1112n n S a n n N +=++∈， ∴当1n =时，21222a -=+，解得28a =-，当2n ≥时，1111122n n n n n a S S a n a n -+⎛⎫=-=++-+ ⎪⎝⎭， 化简得：132n n a a +=-，()()11312n n a a n +∴-=-≥， 又()211931a a -=-=-，()()1131n n a a n N*+∴-=-∈，∴数列{}1n a -为等比数列，首项为3-，公比为3，13n n a ∴-=-，即13n n a =-；（2）()3log 1n n b a n =-+=，()211111222n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭， 1111111111123243511211113122124n T n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭…【点睛】本题主要考查了n a 与n S 的关系，等比数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，考查学生的运算求解能力，属于中档题. 21．（1）详见解析；（2）12. 【详解】 （1）//EF AB ，//FG BC ，//EG AC ，90ACB ∠=，90EGF ∴∠=，ABC EFG ∆~∆，由于2AB EF =，因此2.BC FG =连接AF ，由于//FG BC ，12FG BC =，在平行四边形ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则//AM BC ，且12AM BC =， 因此，//FG AM 且FG AM =，所以四边形AFGM 为平行四边形，//GM FA ∴，又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，//GM ∴平面ABFE ； （2），90CAD ∴∠=，又EA ⊥平面ABCD ，AC ∴、AD 、AE 两两垂直．分别以AC 、AD 、AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、()2,2,0B -、()2,0,0C 、()0,0,1D ， 故()2,2,0AB =-，()0,2,0BC =，又12EF AB =，()1,1,1F ∴-，()1,1,1BF =-. 设平面BFC 的法向量()111,,m x y z =， 则0{m BC m BF ⋅=⋅=，1110{y x z =∴=，取11z =，得11x =，所以()1,0,1m =，设平面ABF 的法向量222(,,)n x y z =，则0{0n AB n BF ⋅=⋅=，∴222{0x y z ==，取21y =，得21x =，所以()1,1,0n =，所以1cos ,2m n m n m n ⋅〈〉==⋅ 故二面角A BF C --的余弦值为12. 考点：1.直线与平面平行；2.利用空间向量法求二面角22．（1）2212x y +=.（2）3[2,)2-.（3）直线l 过定点(1,0).【详解】（1）易知1b =，c e a ==得2222222a c a b ==-,故22a =.故方程为2212x y +=.（2）设l ：(2)y k x =-，与椭圆C 的方程联立,消去y 得 2222(12)8820k x k x k +-+-=.由△＞0得2102k ≤<. 设1122(,),(,)A x y B x y ,则22121222882,1212k k x x x x k k-+==++. ∴1212OA OB x x y y ⋅=+222212121212(2)(2)(1)2()4x x k x x k x x k x x k =+--=+-++=222102751212k k k-=-++ 2102k ≤<，∴2777212k <≤+， 故所求范围是3[2,)2-.（3）由对称性可知N 22(,)x y -，定点在x 轴上. 直线AN ：121112()y y y y x x x x +-=--，令0y =得:22221121221121212121212216416()22()1212184412k k y x x x y x y x x x x k k x x k y y y y x x k---+-+++=-====+++--+,∴直线l 过定点(1,0).。

银川唐徕回民中学2019-2020学年度第一学期12月高三理科数学试卷理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合2{|20}A x R x x =∈+-<，2{|0}1x B x R x -=∈≤+，则A B ⋂=（ ） A. [1,1]- B. (1,1)- C. [1,1)-D. (1,1]-【答案】B 【解析】试题分析：因为2{|20}A x R x x =∈+-<{}|21x x =-<<，2{|0}1x B x R x -=∈≤+{}|12x x =-<≤，所以A B ⋂={}|11x x -<<=(1,1)-，故选B ． 考点：1、集合的表示；2、集合的交集． 2.若复数3434iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数z ，再确定复数z 在复平面内对应的点所在象限即可. 【详解】解:因为复数3434iz i-=+， 所以55(34)34345i z i i -===-+, 则复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-, 即复数z 在复平面内对应的点所在象限为第四象限, 故选:D.【点睛】本题考查了复数的模及除法运算，重点考查了复数在复平面内对应的点所在象限，属基础题. 3.等比数列{}n a 中，244,2a a ==，则6a =（ ） A. 1-B. 0C. 1D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质，若2p q m n k +=+=，则2p q m n k a a a a a ==，将已知条件代入运算即可.【详解】解：因为等比数列{}n a 中，244,2a a ==，由等比数列的性质可得2426a a a =，所以2462414a a a ===， 故选：C.【点睛】本题考查了等比数列的性质，重点考查了运算能力，属基础题. 4.已知在ABC ∆中，若9,12,45a b A ==∠=︒，则此三角形（ ） A. 无解 B. 有一个解C. 有二个解D. 解的个数不确定【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理sin sin a b A B =∠∠可得sin B ∠=，则B Ð有两个解，即此三角形有两个解，得解.【详解】解：已知在ABC ∆中，若9,12,45a b A ==∠=︒，由正弦定理sin sin a b A B =∠∠可得sin sin b A B a ∠∠==，又123<<，即sin 3B ∠=，则B Ð有两个解， 即此三角形有两个解， 故选：C.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形解的个数问题，属基础题.5.下列命题错误的个数是（ ）①在ABC ∆中，sin sin A B >是A B >的充要条件；②若向量,a b r r 满足0a b <r rg ，则a r 与b r 的夹角为钝角；③若数列{}n a 的前n 项和234n S n n =-，则数列{}n a 为等差数列；④若a R ∈，则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】对于①，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B=可得，sin sin A B >是A B >的充要条件； 对于②，若向量,a b r r 满足0a b <r rg ，则a r 与b r 的夹角为钝角或a r 与b r 反向共线；对于③，由已知可得67n a n =-，则数列{}n a 为等差数列； 对于④，由“11a<”的充要条件为 “1a >或0a <”，再判断即可得解. 【详解】解：对于①，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B=，则sin sin A B >的充要条件为a b >，由三角形的性质可得a b >的充要条件为A B >，即在ABC ∆中，sin sin A B >是A B >的充要条件，即①正确； 对于②，若向量,a b r r 满足0a b <r r g ，则a r 与b r 的夹角为钝角或a r 与b r 反向共线，即②错误；对于③，若数列{}n a 的前n 项和234n S n n =-，则当2n ≥时，221343(1)4(1)67n n n a S S n n n n n -=-==---+-=-，当1n =时，111a S ==-满足上式，即67n a n =-，则1676(1)76n n a a n n --=---+=，则数列{}n a 为等差数列，即③正确；对于④，由“11a <”的充要条件为“10a a->”，即“1a >或0a <”，又“1a >或0a <”是“1a >”的必要不充分条件，即“11a<”是“1a >”的必要不充分条件，即④正确. 命题错误的个数是1个， 故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理及向量的夹角，重点考查了等差数列及充要条件，属中档题. 6.函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路，，1）由函数的定义域，判断图象的左，右位置，由函数的值域，判断图象的上，下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．7.已知实数x ，y 满足约束条件31010330x y x y x y --⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩…，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 1B.12C.43D.53【答案】C 【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数2z x y =-对应的直线进行平移并观察z 的变化，即可得到2z x y =-的最大值．【详解】作出题中不等式组表示的平面区域，如图阴影所示，当直线2z x y =-过A 时，z 最大，此时A 点坐标满足310330x y x y --=⎧⎨+-=⎩ 解A(12,3) 此时z 的最大值为43故选C【点睛】本题着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划，考查数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．8.已知两点(0,3)A -，(4,0)B ，若点P 是圆2220x y y +-=上的动点，则△ABP 面积的最小值是A.112B. 6C. 8D.212【答案】A 【解析】 【分析】求得圆的方程和直线AB 方程以及AB ，利用三角换元假设()cos ,1sin P q q +，利用点到直线距离公式和三角函数知识可求得min d ，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】由题意知，圆的方程为：()2211x y +-=，5AB ==直线AB 方程为：143x y +=-，即34120x y --= 设()cos ,1sin P q q +∴点P 到直线AB 的距离：()5sin 163cos 4sin 1655d θϕθθ-+--==，其中3tan 4ϕ= ∴当()sin 1θϕ-=-时，min 115d =()min min 11122ABP S AB d ∆∴=⋅= 本题正确选项：A【点睛】本题考查点到直线距离的最值的求解问题，关键是能够利用三角换元的方式将问题转化为三角函数的最值的求解问题.9.设A ，B ，C 是半径为1的圆上三点，若AB =AB AC ⋅u u u v u u u v的最大值为（ ）A. B.32C. 3D.【答案】B 【解析】【详解】此题考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积、两角和与差正余弦公式的灵活应用、三角函数求最值问题的综合知识；设圆的圆心是O ，在等腰AOB ∆中，1,OA OB AB ===12060AOB ACB ∠=⇒∠=o o ，根据正弦定理得：222sin sin ACR AC B B==⇒=所以12cos(120)cos )2AB AC B B B B B ⋅=⨯-=-o u u u v u u u v23sin cos B B B =33(1cos 2)260)22B B B =-=+o ，当105B =o 时，AB AC ⋅uu u r uuu r 的最大值为32，选B10.将函数2()cos cos f x x x x =+的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间是（ ） A. ,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. -,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】由题题意，化简三角函数的解析式为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据三函数的图象变换，求得()g x 的解析式，利用三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意可得()21cos cos sin 262f x x x x x π⎛⎫=+==++ ⎪⎝⎭，把()f x 的图象向左平移6π个单位， 可得()111sin[2()]sin(2)cos 2662222g x x x x πππ=+++=++=+， 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得,2k x k k Z πππ-≤≤∈，即函数的单调递增区间为[,],2k k k Z πππ-∈，令0k =时，函数的单调递增区间为[,0]2π-，故选A【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，得出函数的解析式，结合图象求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题. 11.设函数9()sin(2)([0,])48f x x x ππ=+∈，若方程()f x a =恰好有三个根，分别为123,,x x x （123x x x <<），则123x x x ++的取值范围是（ ） A. 95[,)84ππB. 511[,)48ππ C. 313[,)28ππ D. 715[,)48ππ 【答案】B 【解析】因为908x π≤≤，所以52442x πππ≤+≤，则由题意可知 12224422x x πππ+++=，即124x x π+=，同时3952442x πππ≤+<，即398x ππ≤<，故1239484x x x ππππ+≤++<+，即12351148x x x ππ≤++<，应选答案B ．点睛：解答本题的关键是要充分借助题设条件信息及方程的三个实数根的几何特征，巧妙借助图形的对称性与直观性，建立不等式使得问题巧妙获解．12.若曲线1y =()24y k x =-+有两个交点，则k 的取值范围是（ ）A. 50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 13,34⎛⎤⎥⎝⎦D. 53,124纟çúçú棼【答案】D 【解析】 【分析】曲线1y =与直线()24y k x =-+有两个交点等价于曲线22(1)4,1x y y +-=≥与直线()24y k x =-+有两个交点，再作图像观察交点个数即可得解.【详解】解：由1y =22(1)4,1x y y +-=≥， 又直线()24y k x =-+过定点()2,4，又曲线1y =()24y k x =-+有两个交点等价于曲线22(1)4,1x y y +-=≥与直线()24y k x =-+有两个交点，曲线22(1)4,1x y y +-=≥与直线()24y k x =-+的位置关系如图所示，当直线过点()2,1A-时，此时直线斜率4132(2)4k -==--，当直线与曲线相切时，圆心()0,1到直线的距离为2，2=，解得512k =， 综上可得k 的取值范围是53,124纟çúçú棼， 故选：D.的【点睛】本题考查了直线斜率公式及直线与圆的位置关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线2450x y -+=的倾斜角为α，则sin α=_______.【解析】 【分析】由直线斜率与倾斜角的关系可得1tan 2k α==，再求解即可. 【详解】解：由直线2450x y -+=， 则1tan 2k α==， 则sin 1cos 2αα=， 又22sin cos 1αα+=， 得21sin 5α=， 又sin 0α>，所以sin α，【点睛】本题考查了直线倾斜角的求法，重点考查了直线斜率与倾斜角的关系，属基础题. 14.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点()(),*n n a n N ∈在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为______． 【答案】1n n + 【解析】 【分析】 点()()*,n n a n N∈在直线2y x =上，可得2na n =；利用等差数列的求和公式求得n S ，再利用裂项相消的方法求和即可得到结果. 【详解】点()()*,n n a n N∈在直线2y x =上 2nan ⇒=()()2212n n n S n n +==+ ()111111n S n n n n ∴==-++ 则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为：11111111223111nn n n n -+-++-=-=+++L L 本题正确结果：1nn + 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项相消法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知圆221:20C x y kx y +-+=与圆222:40C x y ky ++-=的公共弦所在的直线恒过定点(),P a b ，且点P 在直线20mx ny --=上，则mn 的取值范围是_____. 【答案】1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】先将两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为(2)40kx k y +--=，再求出公共弦所在的直线恒过定点()2,2-，然后结合二次函数值域的求法求解即可.【详解】解：由圆221:20C x y kx y +-+=与圆222:40C x y ky ++-=，将两圆的方程相减可得(2)40kx k y +--=， 即公共弦所在的直线方程为(2)40kx k y +--=，又(2)40kx k y +--=可变形为()2(2)0k x y y +-+=，令020x y y +=⎧⎨+=⎩，即22x y =⎧⎨=-⎩，则公共弦所在的直线恒过定点()2,2-，即()2,2P -， 又点P 在直线20mx ny --=上， 则1m n +=，则2111(1)()244mn m m m =-=--+≤， 即mn取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了两圆的公共弦所在直线方程的求法，重点考查了直线过定点及二次函数值域的求法，属中档题.16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，设S 为ABC ∆的面积，且满足)222S a c b =+-，若b =B =______；)12a c +的取值范围是______.【答案】 (1). 3π(2). (3⎤⎦ 【解析】 【分析】由三角形的面积公式及余弦定理可得tan B =，再求B ，再由正弦定理sin sin sin a c bA C B==，得)12a c +=)4A π+，再求值域即可.【详解】解：由)2224S a c b =+-，则)2221sin 2ac B a c b =+-，则sin B B ==，的即tan B = 即3B π=；由正弦定理sin sin sin a c bA C B==， 则2sin ,2sin a A c C ==，则)12a c -+=)21sin 4sin A C -+=)221sin 4sin()3A A π-+-=cos ))4A A A π+=+，又20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则11,4412A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()34A π+∈-，即)12a c +的取值范围是(3⎤⎦，故答案为：3π，(3⎤⎦. 【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理的综合应用，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.三、解答题（共70分）17.已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，且533S a =，468a a +=． （1）求n a ． （2）设2n nn b a =⋅，求数列{}n b 前n 项和n T ．【答案】(1) ()23n a n =- (2) 2(4)216n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】(1)由数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，解得30a =，又由46582a a a +==，解得2d =， 即可求得数列的通项公式；(2)由（1）得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n 项和．【详解】(1)由题意，数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，又533S a =，30a ∴=， 由46582a a a +==，得54a =，所以5324a a d -==，解得2d =，的所以数列的通项公式为()()3323n a a n d n =+-=-． (2)由（1）得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，()()()234122120232n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅L ， ()()()()3412221242322n n n T n n ++=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅L ，两式相减得()()2341222222232n n n n T T n ++-=⋅-++++-⋅L ，()1228128(3)2(4)21612n n n n n -++--+-⋅=-⋅+=-，即2(4)216n n T n +=-⋅+．【点睛】本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 18.如图，在ABC ∆中，3B π=，2BC =.（1）若AC =求AB 的长；（2）若AC 的垂直平分线DE 与,AB AC 分别交于,D E两点，且DE =，求角A 的大小. 【答案】（1）3；（2）4π. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，从而解得AB 的长； （2）连接CD ，由题设，有2BDC A ∠=∠，在BCD ∆中，由正弦定理化简可得sin 2ACD =，在直角DEC ∆中，DE CDsin A =，化简得到cos A ，从而求角A 的大小【详解】(1)在ABC ∆中，由余弦定理有2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，即2230AB AB --=，解得3AB =.（2）如图，连接CD ，由题设，有2BDC A ∠=∠，在BCD ∆中，由正弦定理有CD BC 2sin 60sin 2A sin 2A︒==，故CD =在直角DEC ∆中，DE CDsin 2cos 2A A ===，所以cos A = 而(0,)A π∈ ，故4A π=.【点睛】本题主要考查正弦定理以及余弦定理在求三角形边长和内角中的应用，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60,BAD Q ∠=︒为AD 的中点，2PA PD AD ===.（1）求证：AD ⊥平面PQB ；（2）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ； （3）若//PA 平面MQB ，平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M BQ C --的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）13（3）3π【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理，分别证明AD BQ ⊥，AD BP ⊥即可； （2）利用//PA 平面MQB ，可得//MN PA ,再利用比例关系即可得解；（3）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面MQB 和平面ABCD 的一个法向量，再结合向量的夹角公式求解即可.【详解】解：（1）由底面ABCD 为菱形，60,BAD Q ∠=︒为AD 的中点，则AD BQ ⊥, 又PA PD AD ==，则AD PQ ⊥， 又BQ QP Q ⋂=,由线面垂直的判定定理可得AD ⊥平面PQB ； （2）当13t =时，//PA 平面MQB ， 证明如下：连接AC 交BQ 于N ,连接MN ， 因为//AQ BC ,所以，12AN AQ NC BC == 因为//PA 平面MQB ，PA ⊂平面PAC ， 平面MQB ⋂平面PAC MN =， 所以//MN PA ,所以12PM AN MC NC ==, 所以13PM PC =,故13t =；（3）因为AD PQ ⊥,平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，则PQ ⊥平面ABCD ， 建立如图所示的看见直角坐标系，由2PA PD AD ===，则有(1,0,0),A B P , 设平面MQB 的一个法向量为(,,)n x y z =r，由(1,0,PA QB ==u u u r u u u r ,且n PA ⊥r u u u r , n QB ⊥r u u u r ,可得00x ⎧=⎪=，取1z =，则n =r ，取平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =u r，则11cos ,212m n m n m n ⋅〈〉===⨯u r ru r r u r r ，故二面角M BQ C --的大小为3π.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理及线面平行的性质定理，重点考查了利用空间向量求面面角，属中档题. 20.已知过原点O 的动直线l 与圆C ：22(1)4x y ++=交于,A B 两点.（1）若||AB =，求直线l方程；（2）x 轴上是否存在定点00(),M x ，使得当l 变动时，总有直线,MA MB 的斜率之和为0？若存在，求出0x 的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）y x =；（2）03x =. 【解析】试题分析：，1，先求出圆心C，-1，0）到直线l 的距离为12，利用点到直线距离公式能求出直线l 的方程． ，2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线MA，MB 的斜率分别为k 1，k 2．设l 的方程为y=kx ，代入圆C 的方程得（k 2+1，x 2+2x -3=0，由此利用韦达定理，结果已知条件能求出存在定点M，3，0），使得当l 变动时，总有直线MA，MB 的斜率之和为0. 试题解析：，Ⅰ）设圆心C 到直线l 的距离为d ，则的12d === 当l 的斜率不存在时，1d =，不合题意 当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx =，由点到直线距离公式得12=解得3k =±，故直线的方程为3y x =± ，Ⅱ）存在定点M ，且03x =，证明如下： 设()()1122,,,A x y B x y ，直线MA ，MB 的斜率分别为12,k k .当l 的斜率不存在时，由对称性可得AMC BMC ∠=∠，120k k +=，符合题意 当l 的斜率存在时，设的方程为y kx =，代入圆的方程整理得()221230k x x ++-= ∴12221x x k +=-+，12231x x k =-+， ∴()()()120121212102010202kx x kx x x y y k k x x x x x x x x -++=+=----()()()()021020261x k x x x x k -=--+当0260x -=，即03x =时，有120k k +=， 所以存在定点()3,0M 符合题意，03x =. 21.设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，试判断()f x 零点的个数；（Ⅲ）当1a =时，若对(1,)x ∀∈+∞，都有(41ln )()10k x x f x --+-<（Z k ∈）成立，求k 的最大值.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）两个；（3）0. 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数，由()2110f f e ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<，利用零点存在定理可得结果；（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立，()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭，利用导数求出13ln ln 4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围，从而可得结果.【详解】（1）()()2ln 0f x ax x x =-->Q ，∴()11'ax f x a x x-=-= 当0a ≤时，()'0f x <在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+是单减函数.当0a >时，令()'0f x =，解之得1x a=. 从而，当x 变化时，()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：由上表中可知，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是单增函数.综上，当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+； 当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数； 又22110f e e⎛⎫=>⎪⎝⎭，()110f =-<，()2240f e e =->. ∴()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<； 故()f x 在()0,∞+有两个零点.（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫⇔--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭.令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，只需()()min 14k F x k Z <∈； 又()()2222131ln 2ln '0f x x x x F x x x x x x---=-+===， 由（2）知，()'0F x =在()1,+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在()01,x 上单减，在()0,x +∞上单增；∴()()()000min 00ln 3ln *x F x F x x x x ==++ 又()1ln3'309F -=<，()()21ln22ln4'401616F --==>，∴()()'3'40F F ⋅<，∴()03,4x ∈且002ln 0x x --=，即00ln 2x x =-代入()*式，得()()()00000min 00023121,3,4x F x F x x x x x x x -==-++=+-∈.而0011t x x =+-在()3,4为增函数，∴713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 而()713,0,11216⎛⎫⊂⎪⎝⎭，∴()()min 10,14F x ∈，0,k ∴≤即所求k 的最大值为0.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的普通方程并求曲线C 上一动点P 到定点()0,1Q 的最远距离； （2）设,A B 是曲线C 上两动点，且OA OB ⊥，求2211OAOB+的值.【答案】（1）2214x y +=，（2）54【解析】 【分析】（1）由曲线C 的参数方程消去参数α，即可的普通方程，再设(2cos ,sin )P αα，然后结合两点距离公式求解即可.（2）将曲线C 的普通方程化为极坐标方程，再结合OA OB ⊥求解即可.【详解】解：（1）由曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）， 则曲线C 的普通方程为2214x y +=， 设曲线C 上一动点(2cos ,sin )P αα，又()0,1Q ，则PQ ， 又[]sin 1,1α∈-，即当1sin 3α=-时，PQ . （2）将cos ,sin x y ρθρθ==代入到曲线C 的普通方程2214x y +=， 得22413sin ρθ=+， 设22413sin OA θ=+， 因为OA OB ⊥， 则22413cos OB θ=+， 所以22221113sin 13cos 5444OA OB θθ+++=+=， 即221154OA OB +=.【点睛】本题考查了曲线普通方程、参数方程与极坐标方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题. 23.已知,,a b c 为正实数.（1）求证：()()()8a b b c c a abc +++≥；（2）求222222log ()log ()log ()log log log z a b b c c a a b c =+++++---的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）直接利用基本不等式即可证明；（2）原等式化简可得2()()()log a b b c c a z abc +++=，由（1）的结论，即可得到答案．【详解】（1）因为,,a b c R +∈，由基本不等式可得a b +≥，b c +≥，c a +≥，三式相乘可得：()()()8a b b c c a abc +++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立.（2）222222log ()log ()log ()log log log z a b b c c a a b c =+++++---2()()()log a b b c c a abc+++=， 由（1）可得2log 83z ≥=，当且仅当a b c ==时，z 取最小值为3.【点睛】本题考查基本不等式在证明不等式成立以及求最小值中的应用，在利用基本不等式时，注意使用的前提条件，属于中档题.。

银川唐徕回民中学2019－2020学年第一学期12月月考高二数学试卷（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a 的值为（）A 、2B 、2-C 、12D 、12-2、抛物线24x y =的焦点坐标是（） A 、()0,1-B 、()0,1C 、()1,0D 、()1,0-3、已知等比数列{}n a 中有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=（） A 、2 B 、4C 、8D 、16 4、下列说法中，正确的是（）A 、命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B 、命题“p q ∨”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题C 、命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是：“2,0x R x x ∀∈-≤” D 、已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件 5、若向量()()0,2,3,1a b =-=，则与2a b +共线的向量可以是（）A 、)1-B 、(-C 、()1-D 、(1,-6、设0,0a b >>3a与23b的等比中项，则21a b+的最小值为（）A 、5B 、6C 、7D 、87、某汽车公司的,A B 两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可装配1辆甲型汽车和2辆乙型汽车，B 厂每小时可装配3辆甲型汽车和1辆乙型汽车。

现要装配40辆甲型汽车和40辆乙型汽车，若要使所费的总工作时数最少，则这两个装配厂的工作时数分别为 （ ） A 、16，8 B 、15，9 C 、17，7 D 、14，108、双曲线2212y x -=的焦点为12,F F ，点M 在双曲线上，且120MF MF =，则点M 到x 轴的距离为（ ）A 、43B 、53C 、3D 、239、过抛物线()220y px p =>的焦点F 作斜率为3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A ，若4AF =，则p =（）A 、2B 、1C 、3D 、410、已知双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，过左焦点1F 作斜率为3的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段1F P ，则双曲线的离心率是（） A 、3B 、23+C 、13+D 、2311、三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（） A 、3B 、6 C 、3 D 、3 12、已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点()0,2K -，则PF PK的最小值为（ ）A 、2B 、2C 、22D 、12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知函数()()21f x ax ab x b =+--，如果不等式()0f x >的解集为()1,3-，那么不等式()20f x -<的解集为 。

2020年宁夏银川市唐徕回民中学高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−3<x <8},B ={x|−2<x <9}，则A ∩B =( )A. {x|−3<x <8}B. {x|−3<x <9}C. {x|−2<x <8}D. {x|−2<x <9}2. 复数z 满足(2+i )z =5，则|z +i |=( )A. √2B. 2C. √5D. 2√23. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a 11−a 12=5，则S 20=( )A. 20B. 10C. 4D. 504. 某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y ̂=0.6x +1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )A. 66%B. 67%C. 79%D. 84%5. 已知sin 2α=2425，0<α<π2，则√2cos(π4−α)的值为( )A. 15B. −15C. ±15D. 756. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. √3B. 2C. √5D. √67. 函数f(x)=e x −e −xx 2的图象大致为( )A.B.C.D.8.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两).问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为()A. 90，86B. 94，82C. 98，78D. 102，749.已知正四棱锥S−ABCD的侧棱长与底面边长都等于2，点E是棱SB的中点，则直线AE与直线SD所成的角的余弦值为()A. √22B. √23C. √32D. √3310.已知实数x，y满足{x−2y+3≤0x+4y−9≤0x+y≤0，则2x−y的最大值为()A. −9B. −3C. −1D. 011.设函数f(x)=sin2x，将y=f(x)的图像向左平移π8个单位，再将图像上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的3倍得到y=g(x)的图像，则y=g(x)在[−π12,π4]上的最大值为()A. 3B. 3√22C. √22D. 112.已知f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)，则满足不等式f(x)>x2f(1x)的x的取值范围是()A. (0,1]B. (0,1)C. (12,2] D. (12,2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若抛物线x2=4y上的点A到焦点的距离为10，则A到x轴的距离是______．14.若数列{a n}满足a n+1−2a n=0(n∈N∗)，a1=2，则{a n}的前6项和等于____.15.已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在表面积为16π的球O的球面上，且PA=PB=PC=√3，∠ABC=90∘，连接OP交AC于M，则PM的长为________．16.若f(x)={ax,x⩾1−x+3a,x<1是R上的单调函数，则实数a的取值范围为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中acosB+bcosA=2csinC．(1)求∠C的大小；(2)若b=2√3，c=√19，求△ABC的面积S．18.某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人．为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，再将两组的分数分成5组：[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰为一男一女的概率；(Ⅱ)若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90％的把握认为“数学尖子生与性别有关”？附：随机变量k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(k2≥k0)0.250.150.100.050.025k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024数学尖子生非数学尖子生合计男生女生合计19.圆锥PO如图1所示，图2是它的正(主)视图．已知圆O的直径为AB，C是圆周上异于A、B的一点，D为AC的中点(1)求该圆锥的侧面积S；(2)求证：平面PAC⊥平面POD；(3)若∠CAB=60°，在三棱锥A−PBC中，求点A到平面PBC的距离．20. 已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)左、右焦点，点P(1,y 0)在椭圆上，且PF 2⊥x 轴，△PF 1F 2的周长为6； (Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点T(0,1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数λ，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λTA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−7恒成立？请说明理由．21. 已知g(x)=e 2x−2−ax 2+(2a −2)x −a +1(x ≠0,a ∈R)．(1)当a =2时，求函数g(x)在(1,g(1))处的切线方程； (2)若x ≥1时，g(x)≥0，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{x =3+5cosθy =−4+5sinθ(θ为参数)，以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l与曲线C相交于M，N两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.函数f(x)=|2x−2|+|x+3|(1)求不等式f(x)≥2x+5的解集；(2)若f(x)的最小值为k，且实数a、b、c满足a(b+c)=k，求证：2a2+b2+c2≥8．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．根据集合交集的定义计算，即可得到答案．解：因为集合A={x|−3<x<8},B={x|−2<x<9}，则A∩B={x|−2<x<8}．故选C．2.答案：B解析：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模求法．解：由(2+i)z=5得，z=52+i =5(2−i)(2+i)(2−i)=2−i，则|z+i|=|2−i+i|=2，故选B．3.答案：D解析：本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，属于基础题．由3a11−a12=5化简得2a1+19d=5，再根据等差数列的前n项和公式求解即可．解：设等差数列{a n}的公差为d，由3a11−a12=5得3(a1+10d)−(a1+11d)=5，即2a1+19d=5，所以S20=20a1+20×192d=10(2a1+19d)=50.故选D．4.答案：D解析：本题考查线性回归方程，基础题．把x =5代入回归直线方程可求出人均消费额，进而可求人均消费额占人均工资收入的百分比． 解：∵y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y =0.6x +1.2， 该城市居民人均工资水平为x =5，∴可以估计该市的职工人均消费额y =0.6×5+1.2=4.2，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为4.25=84%， 故选D ．5.答案：D解析：本题考查的是两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，属于基础题． 解：因为sin 2α=2425，所以(sin α+cos α)2=1+sin 2α=4925． 因为0<α<π2，所以sin α+cos α=75．所以√2cos (π4−α)=√2×√22(cos α+sin α)=75．故选D ．6.答案：C解析：求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得a ，b 的关系，再由双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到．本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查直线和曲线相切的条件，考查运算能力，属于基础题．解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，代入抛物线方程y=x2+1，得x2±bax+1=0，由相切的条件可得，判别式b2a2−4=0，即有b=2a，则c=√a2+b2=√4a2+a2=√5a，则有e=ca=√5．故选C．7.答案：B解析：本题考查由函数解析式判断函数图象，属于基础题．利用函数的奇偶性以及函数值的大小、正负情况可以排除错误答案，选出正确选项．解：因为函数f(x)=e x−e−xx2的定义域是{x|x≠0}，且f(−x)=e −x−e xx2=−e x−e−xx2=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A；当x>0时，e x−e−x>0，即f(x)>0，排除D;当x→+∞时，e−x→0，由指数函数y=e x和二次函数y=x2的图象特征，可知此时f(x)→+∞，排除C;故选B．8.答案：C解析：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：第一次执行循环体后，y=90，s=867+15，不满足退出循环的条件，故x=90；第二次执行循环体后，y=86，s=907+433，不满足退出循环的条件，故x=94；第三次执行循环体后，y=82，s=947+413，不满足退出循环的条件，故x=98；第四次执行循环体后，y=78，s=27，满足退出循环的条件，故x=98，y=78．故选：C．9.答案：D解析：解：如图，连接AC，BD，交于O，连接EO，∴EO//SD，则直线AE与直线SD所成的角为∠AEO．∵正四棱锥S−ABCD的侧棱长与底面边长都等于2，∴AO=√2，AE=√3，在Rt△AOE中，EO=√AE2−AO2=√(√3)2−(√2)2=1．∴cos∠AEO=EOAE =√3=√33．故选：D．由题意画出图形，连接AC，BD，交于O，连接EO，可得EO//SD，则∠AEO为直线AE与直线SD 所成的角，求解直角三角形得答案．本题考查异面直线所成的角，关键是由异面直线所成角的定义找出角，是中档题．10.答案：B解析：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x−y过y轴的截距最小，即z最大值，从而求解．解：由约束条件作出图形：易知可行域为图中阴影部分，验证当直线过点A(−1,1)时，z取得最大值z=−1×2−1=−3，故选B．11.答案：A解析：本题考查了正弦函数的图象与性质和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于基础题．先由三角函数图象变换得出g(x)，再由正弦函数性质得出最大值．解：由y=f(x)的图象向左平移π8个单位得到y=sin[2(x+π8)]=sin(2x+π4)，再将图象上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的3倍得到g(x)=3sin(2x+π4)，再由x∈[−π12,π4]得π12≤2x+π4≤3π4，故g(x)的最大值为3．选A．12.答案：B解析：解：设g(x)=f(x)x，∴g′(x)=xf′(x)−f(x)x2，∵f(x)>xf′(x)，∴g′(x)<0，在(0,+∞)恒成立，∴g(x)在(0,+∞)单调递减，∵f(x)>x 2f(1x )， ∴f(x)x>f(1x )1x，∴g(x)>g(1x )，∴x <1x ， 解得0<x <1， 故选：B ． 构造函数g(x)=f(x)x，求函数的导数，利用函数的单调性即可求不等式．本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：9解析：解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1) 根据抛物线定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等， ∴y p +1=10，求得y p =9， 故答案为：9先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=10，求得y p 即可．本题主要考查了抛物线的简单性质和抛物线的定义的应用．抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，常可用来解决涉及抛物线焦点的直线或焦点弦的问题．14.答案：126解析：本题考查等比数列的判断以及等比数列的前n 项和公式，属于基础题． 因为a n+1−2a n =0，所以a n+1a n=2，故{a n }为等比数列，再运用等比数列的前n 项和公式求解，即可得到答案．解：因为a n+1−2a n =0， 所以a n+1a n=2，故{a n }为等比数列， 所以其前6项和为2×(1−26)1−2=126．15.答案：34解析：本题考查三棱锥的结构特征，以及球的表面积，属于中档题． 先求出球的半径，再由题意可得球心位置，利用勾股定理进行求解． 解：设球O 的半径为R ，由球的表面积为4πR 2=16π，故R =2， 由PA =PB =PC =√3，可知点P 在平面ABC 内的射影恰好是△ABC 的外心M ， 显然PM <2，则球心O 在PM 的延长线上，由勾股定理可得PB 2−PM 2=OB 2−OM 2， 即3−PM 2=4−(2−PM)2， 解之得PM =34． 故答案为34．16.答案：[12,+∞)解析：本题考查的知识点是分段函数的单调性，其中根据已知构造关于a 的不等式组，是解答的关键． 若f(x)={−x +3a,x <1ax,x≥1是R 上的单调函数，根据第二段函数为减函数，故第一段也应该为减函数，且x =1时，第二段的函数值不小于第一段的函数值，进而构造关于a 的不等式组，解不等式组可得实数a 的取值范围．解：∵f(x)={−x +3a,x <1ax,x≥1是R 上的单调函数，∴{−1+3a ≥a a>0,解得：a ≥12，故实数a的取值范围为[12,+∞)，故答案为[12,+∞)．17.答案：解：(1)根据题意，△ABC中，有acosB+bcosA=2csinC，则有acosB+bcosA=a×a2+c2−b22ac +b×b2+c2−a22bc=2c22c=c，则有c=2csinC，变形可得：sinC=12，又由0<C<π，则C=π6或5π6；(2)根据题意，b=2√3，c=√19，分2种情况讨论：①当C=π6时，有19=a2+12−2a×2√3cosπ6，解可得a=7，此时S=12absinπ6=7√32；②当C=5π6时，有19=a2+12−2a×2√3cos5π6，解可得a=1，此时S=12absin5π6=√32．解析：本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理与和余弦定理的应用，注意求出C的值有2种情况，属于中档题．(1)根据题意，由余弦定理分析可得acosB+bcosA=a×a2+c2−b22ac +b×b2+c2−a22bc=2c22c=c，进而可得c=2csinC，变形可得：sinC=12，由C的范围分析可得答案；(2)根据题意，有(1)的结论，分C=π6或5π6讨论，分别求出a的值，进而由三角形面积公式计算可得答案．18.答案：解：(Ⅰ)由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名．分数小于110分的学生中，男生有60×0.05=3(人)，记为A1，A2，A3；女生有40×0.05=2(人)，记为B1，B2．从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1,A2)，(A1,A3)，(A2,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，故所求的概率P=610=35．(Ⅱ)由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生有“数学尖子生”60×0.25=15(人)，女生有“数学尖子生”40×0.375=15(人)．据此可得2×2列联表如下：所以得K2的观测值k=100×(15×25−15×45)260×40×30×70=2514≈1.79．因为1.79<2.706.所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”．解析：解析：本题考查古典概型及独立性检验，同时考查分层抽样及频率分布直方图，属基础题．(Ⅰ)由直方图及分层抽样得男生和女生抽取的人数，然后利用古典概型求解即可;(Ⅱ)由已知得2×2列联表，然后计算K2的观测值即可求解．19.答案：(1)解：由正(主)视图可知圆锥的高PO=√2，圆O的直径为AB=2，故半径r=1．∴圆锥的母线长PB=√PO2+OB2=√3，∴圆锥的侧面积S=πrl=π×1×√3=√3π.(4分)(2)证明：连接OC，∵OA=OC，D为AC的中点，∴OD⊥AC．∵PO⊥圆O，AC⊂圆O，∴PO⊥AC．∵OD∩PO=O，∴AC⊥平面POD．又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面POD…(8分)(3)解：∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，又∠CAB =60°，∴S △CAB =√32∵PO =√2∴三棱锥A −PBC 的体积为13⋅√32⋅√2=√66，△PBC 中，BC =PB =PC =√3，∴S △PBC =34√3， 设点A 到平面PBC 的距离为h ，则13⋅34√3ℎ=√66，∴ℎ=2√23. (12分)解析：(1)确定圆的半径，求出圆锥的母线长，可得圆锥的侧面积S ；(2)连接OC ，先根据△AOC 是等腰直角三角形证出中线OD ⊥AC ，再结合PO ⊥AC 证出AC ⊥POD ，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD ⊥平面PAC ； (3)若∠CAB =60°利用等体积转化，可求出距离，本题考查三视图，考查面面垂直，考查侧面积与体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由题意，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，c =1，∵△PF 1F 2的周长为6，∴|PF 1|+|PF 2|+2c =2a +2c =6， ∴a =2，b =√3， ∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)假设存在常数λ满足条件．(1)当过点T 的直线AB 的斜率不存在时，A(0,√3)，B(0,−√3)， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λTA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3+λ[(√3−1)(−√3−1)]=−3−2λ=−7， 当λ=2时，OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λTA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−7． (2)当过点T 的直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +1， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{x 24+y 23=1y =kx +1，化简，得(3+4k 2)x 2+8kx −8=0， ∴x 1+x 2=−8k4k 2+3，x 1x 2=−84k 2+3，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λTA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2+λ[x 1x 2+(y 1−1)(y 2−1)]=(1+λ)(1+k 2)x 1x 2+k(x 1+x 2)+1 =−8(1+λ)(1+k 2)4k 2+3−8k 24k 2+3+1=(−8)[(λ+2)k 2+1+λ]4k 2+3+1=−7，∴λ+24=1+λ3=1，解得λ=2，即λ=2时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λTA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB⃗⃗⃗⃗⃗ =−7， 综上所述，存在常数λ=2，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λTA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−7恒成立．解析：(Ⅰ)由题意，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，c =1，|PF 1|+|PF 2|+2c =2a +2c =6，由此能求出椭圆的标准方程．(Ⅱ)假设存在常数λ满足条件．当过点T 的直线AB 的斜率不存在时，求出当λ=2时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λTA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB⃗⃗⃗⃗⃗ =−7；当过点T 的直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +1，联立{x 24+y 23=1y =kx +1，得(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，由此利用韦达定理、向量的数量积公式，结合已知条件推导出存在常数λ=2，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λTA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB⃗⃗⃗⃗⃗ =−7恒成立． 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(1)根据题意，当a =2时，g(x)=e 2x−2−2x 2+2x −1，则g(1)=0，其导数g′(x)=2e 2x−2−4x +2，则切线的斜率k =g′(1)=0，则切线的方程为y =0；(2)若x ≥1，则e 2x−2≥e 0=1，又由g′(x)=2e 2x−2−2ax +2a ，令ℎ(x)=g′(x)=2e 2x−2−2ax +2a ，(x ≥1)，则ℎ′(x)=4e 2x−2−2a ，分2种情况讨论：①当a ≤2时，ℎ′(x)=4e 2x−2−2a ≥0，ℎ(x)即g′(x)在[1,+∞)上为增函数，则有g′(x)≥g′(1)=0，则g(x)在[1,+∞)上为增函数；故有g(x)≥g(1)=0成立； ②当a >2时，令ℎ′(x)=4e 2x−2−2a =0，解可得，当时，ℎ′(x)<0，g′(x)在上为减函数，g′(x)<g′(1)=0，故g(x)在上递减，g(x)<g(1)=0，不符合题意；综上可知：a 的取值范围是(−∞,2]．解析：本题考查导数的几何意义及单调性解决取值问题，属于较难题． (1)利用导数几何意义解决问题； (2)求导解决函数的取值问题．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3+5cosθy =−4+5sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −3)2+(y +4)2=25，转换为极坐标方程为ρ2+8ρsinθ−6ρcosθ=0，化简为ρ=6cosθ−8sinθ． (2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l ，整理得参数方程为{x =2+√22t y =√22t(t 为参数)，把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得：t 2+3√2t −8=0， 所以t 1+t 2=−3√2，t 1t 2=−8， 所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√18+328=5√28．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.答案：解：(1)f(x)=|2x −2|+|x +3|={3x +1,x >1−x +5,−3≤x ≤1−3x −1,x <−3．∵f(x)≥2x +5，∴{3x +1≥2x +5x >1或{−x +5≥2x +5−3≤x ≤1或{−3x −1≥2x +5x <−3， ∴x ≥4或−3≤x ≤0或x <−3， ∴x ≤0或x ≥4，∴不等式的解集为{x|x ≤0或x ≥4}． (2)由(Ⅰ)知f(x)min =k =4． ∴a(b +c)=k =4，∴ab +ac =4，∴2a 2+b 2+c 2=(a 2+b 2)+(a 2+c 2)≥2ab +2ac =8， 当且仅当a =b =c =±√2时取等号， ∴2a 2+b 2+c 2≥8．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(1)将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≥2x+5，分别解不等式组即可；(2)先根据(1)求出f(x)的最小值k，然后由2a2+b2+c2=(a2+b2)+(a2+c2)利用基本不等式求出2a2+b2+c2的最小值即可．。

2020年宁夏银川市唐徕回民中学高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设全集U =R ，集合A ={x|x+1x−2≥0}，B ={x|0<x +1<4}，则A ∩B 等于( )A. [−1,3)B. (0,2]C. (1,2]D. (2,3)2. 已知复数z =i ，则|1+i z|=( )A. 1+iB. 1−iC. √2D. 13. 各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4=4，则a 1a 5+a 3的值为( )A. 5B. 3C. 6D. 84. 10名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场).规定两人对局，胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45，则第二名选手的得分是( )A. 12B. 13C. 16D. 175. 当a ≥b >0时，双曲线x 2a2−y 2b 2=1的离心率e 的取值范围是( )A. (0,√22] B. [√22,1) C. (1,√2] D. [√2,+∞)6. 如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是( )A. 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B. 1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C. 2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D. 2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率 7. 函数f(x)=e x +e −x x 2+1是( )A. 奇函数B. 可能是奇函数，也可能是偶函数C. 偶函数D. 非奇非偶函数8. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A. (kπ−π6,kπ+π3)，k ∈Z B. (2kπ−π6,2kπ+π3)，k ∈Z C. (2kπ+π3,2kπ+5π6)，k ∈Z D. (kπ+π3,kπ+5π6)，k ∈Z9. 某地铁站有A 、B 、C 三个自动检票口，甲乙两人一同进站，则他们选择同一检票口检票的概率为( )A. 19B. 16C. 13D. 2310. 如图，E 为正方体的棱AA 1的中点，F 为棱AB 上的一点，且∠C 1EF =90°，则AF ：FB =( )A. 1：1B. 1：2C. 1：3D. 1：411. 已知直线l 过抛物线x 2=6y 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点P ，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB|=( )A. 8B. 9C. 11D. 1612. 已知f (x )=|lnx |，若0<a <b 且f (a )=f (b )，则下列说法正确的是( )A. 0<ab <1B. ab =1C. ab >1D. ab 与1的大小不确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,−3)，b⃗ =(m,2)，若a⃗⊥(a⃗+b⃗ )，则m=______．)6的展开式中常数项等于______，有理项共有______项．14.二项式(√x+1x15.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=BB1=2，点E为棱A1B1上一点，A1E=2EB1，则异面直线AE和B1C所成的角的大小是______．16.设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n=n2−n+2n−1(n∈N∗)，则d+q的值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的三个角∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c.∠A=2π，a=2√7，b=2．3(Ⅰ)求cos B；(Ⅱ)求c的长及△ABC的面积．18.如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD//BC//FE，AB⊥AD，G为EC的中点，AD．AF=AB=BC=FE=12(Ⅰ)求证：BF//平面CDE；(Ⅱ)求证：平面AGD⊥平面CDE；(Ⅲ)求直线CE与平面ADEF所成角的大小．19.某省2021年开始将全面实施新高考方案，在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：原始分9190898887858382转换分10099979594918886人数11212111现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布N(75.8，36)．若Y~N(μ，σ2)，令η=Y−μ，则η~N(0，1)，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低σ分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求P(ξ＝k)取得最大值时k的值．附：若η~N(0，1)，则P(η≤0.8)≈0.788，P(η≤1.04)≈0.85．20.设函数f(x)=12ax2−1−lnx，其中a∈R.(1)若a=0，求过点(0,−1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程；(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2.①求a的取值范围；②求证：f′(x1)+f′(x2)<0．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，离心率为e.椭圆上一点C满足：C在x轴上方，且CF1⊥x轴．(1)若OC//AB，求e的值；(2)连结CF2并延长交椭圆于另一点D若12≤e≤√22，求|CF2||F2D|的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2−35ty=−2+45t(t为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ=tanθ．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2交于A，B两点，点P的极坐标为(2√2,−π4)，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|−|x+32|，∀a，b∈[1,+∞)，|a+b|≤m|ab+1|．(1)解不等式f(x)≤2；(2)证明：∀x∈R，f(x)≥−1−m．【答案与解析】1.答案：D解析：解：由A中的不等式变形得：(x+1)(x−2)≥0，且x−2≠0，解得：x≤−1或x>2，即A=(−∞,−1]∪(2，+∞)，由B中的不等式解得：−1<x<3，即B=(−1,3)，则A∩B=(2,3)．故选：D．求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：本题主要考查复数的基本运算，结合复数的模长公式以及复数的运算法则是解决本题的关键，属于基础题．根据复数的模长公式以及复数的运算法则进行化简即可．解：已知复数z=i，则1+iz =1+ii=1−i，则|1−i|=√2．故选C．3.答案：C解析：本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．各项均为正数的等比数列{a n}中，可得：a2a4=a1a5=a32，即可得出．解：各项均为正数的等比数列{a n}中，可得：a2a4=a1a5=a32=4，解得a3=2．∴a1a5+a3=4+2=6．故选：C．4.答案：C解析：本题主要考查的是简单的合情推理的有关知识，属于中档题．由题意，每场产生2分，每个选手需要进行10−1=9场比赛，则全胜的得18分，而最后五个选手之间至少共得20分，所以第二名的队得分至少为20×45=16分．解：每个选手需要进行9场比赛，则全胜的队得：9×2=18(分)，∵两人对局者胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，故每场产生两分，且得分均为整数，而最后五队之间比赛场次为(5−1)×52=10场，至少共得：10×2=20(分)，所以第二名的队得分至少为20×45=16分．又得分均为整数，则第二名选手的得分不可能为17分．故选C．5.答案：C解析：本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．根据a≥b>0，即可求出离心率e的取值范围．解：双曲线x2a2−y2b2=1的离心率e=ca=√1+(ba)2，∵a≥b>0，∴0<ba≤1，∴1<e≤√2，故选C．6.答案：D解析：解：对于A，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例．所以西安所占比例为3287>13，故A正确；对于B，由曲线图可知.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确：对于C，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213−116=97例，故C正确：对于D，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了98−8888=544，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了88−7474=737，显然737>544，故D错误．故选：D．根据图表中包含的信息对照选项分析即可判断真假．本题主要考查学生的数据分析能力和图形阅读理解能力，属于基础题．7.答案：C解析：定义域为x∈R,f(−x)=e −x+e x(−x)2+1,f(−x)=f(x)，所以函数为偶函数．8.答案：D解析：本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，着重考查三角恒等变换与正弦函数的单调性，属于中档题．根据函数图像求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性求单调区间．解：由图知，A=2，，故2πω=π，解得ω=2，又因为函数f(x)过(π12,0)，代入得sin(π12×2+φ)=0，∴π6+φ=kπ(k∈Z)，令φ=−π6，则f(x)=2sin(2x −π6)，由2kπ+π2≤2x −π6≤2kπ+3π2，k ∈Z ，解得kπ+π3≤x ≤kπ+5π6，k ∈Z ，故选D ．9.答案：C解析：他们选择检票口检票的种数有n =3×3=9，他们选择同一检票口检票的种数有m =3，由此能求出他们选择同一检票口检票的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题解：某地铁站有A 、B 、C 三个自动检票口，甲乙两人一同进站， 他们选择检票口检票的种数有n =3×3=9， 他们选择同一检票口检票的种数有m =3， ∴他们选择同一检票口检票的概率p =m n=39=13． 故选：C ．10.答案：C解析：解：解：设正方体的棱长为：2，由题意可知C 1E =√12+(2√2)2=3， ∠C 1EF =90°，所以设AF =x ，12+x 2+C 1E 2=22+22+(2−x)2， 解得：x =12，所以AF ：FB =12：32=1：3； 故选：C ．设出正方体的棱长，求出C 1E ，利用∠C 1EF =90°，通过C 1F 求出x 的值，即可得到结果．本题是基础题，考查正方体的变的计算，考查直角三角形的利用，长方体的性质，考查计算能力．11.答案：A解析：本题主要考查的是抛物线的定义及标准方程，可先由向量关系及抛物线定义得到直线与抛物线的交点坐标，再结合焦点弦长公式得到所求．解：由题意不妨设直线的倾斜角为锐角，过B 作准线的垂线BB 1，垂足为B 1，由AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 得F 为AP 中点，过A 作准线的垂线AA 1，则|AA 1|=2p =6，所以A 的纵坐标为6−32=92，则横坐标为√6×92=3√3，设直线AB 的方程为y =kx +32，则{x 2=6y y =kx +32消元得到x 2−6kx −9=0，所以x 1x 2=−9，x 1+x 2=6k ，所以x 2=−√3，y 2=12，所以AB =|y 1+y 2|+3=12+92+3=8; 故选A ．12.答案：B解析：本题考查对数函数图像的变换，函数与方程的应用，熟练掌握数形结合的思想方法、对数的图象和性质是解题的关键．先画出函数f(x)=|lnx|的图象，利用对数的性质即可得出ab 的关系式． 解：∵f(x)=|lnx|={−lnx,0<x <1lnx,x ≥1，画出f(x)的图象：∵0<a<b且f(a)=f(b)，∴0<a<1<b，−lna=lnb，∴ln(ab)=0，∴ab=1．故选B．13.答案：−4解析：解：a⃗+b⃗ =(m+1,−1)；∵a⃗⊥(a⃗+b⃗ )；∴a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=m+1+3=0；∴m=−4．故答案为：−4．可求出a⃗+b⃗ =(m+1,−1)，根据a⃗⊥(a⃗+b⃗ )即可得出a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=0，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算．14.答案：15 4解析：解：二项式(√x+1x )6的展开式的通项公式为T r+1=C6r×(√x)6−r×(1x)r=C6r⋅x6−3r2令6−3r2=0，求得r=2，可得展开式中常数项为C62=15，令r=0，1，2，3，4，5，6；可得6−3r2=3，32，0，−32，−3，−92，−6；所以其有理项有4项．故答案为：15，4．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．再把r的所有取值分别代入幂指数即可求出其有理项的个数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15.答案：90°解析：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AB =3，BC =BB 1=2，点E 为棱A 1B 1上一点，A 1E =2EB 1，∴A(2,0，0)，E(2,2，2)，B 1(2,3，2)，C(0,3，2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)， 设异面直线AE 和B 1C 所成的角为θ， 则cosθ=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0，∴θ=90°．∴异面直线AE 和B 1C 所成的角为90°． 故答案为：90°．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 和B 1C 所成的角．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．16.答案：4解析：解：因为{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，因为{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1， 所以{a n }的通项公式a n =a 1+(n −1)d ，所以其前n 项和：n[a 1+a 1+(n−1)d]2=d 2n 2+(a 1−d2)n ，{b n }中，当公比q =1时，其前n 项和S n =nb 1，所以{a n +b n }的前n 项和S n =d2n 2+(a 1−d2)n +nb 1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，显然没有出现2n ，所以q ≠1，则{b n }的前n 项和为：b 1(q n −1)q−1=b 1q n q−1−b 1q−1，所以S n =d2n 2+(a 1−d2)n +b 1q n q−1−b1q−1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由两边对应项相等可得：{d2=1a 1−d 2=−1q =2b 1q−1=1解得：d =2，a 1=0，q =2，b 1=1，所以d +q =4， 故答案为：4．由{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；求出等差数列的前n 项和的表达式；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1，讨论当q 为1和不为1时的前n 项和的表达式，由题意可得q ≠1，由对应项的系数相等可得d ，q 的值，进而求出d +q 的值．本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n 项和求通项的性质，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，因为a sinA =b sinB ，∠A =2π3，a =2√7，b =2．所以2√7sin 2π3=2sinB ．所以sinB =√2114．因为sin 2B +cos 2B =1，∠B ∈(0,π3)， 所以解得：cosB =5√714； (Ⅱ)因为a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 所以(2√7)2=22+c 2−2×2c ×cos 2π3．所以c =4，c =−6(舍)．所以S △ABC =12bcsinA =12×2×4×sin2π3=2√3．解析：(Ⅰ)由已知及正弦定理可求sin B ，结合范围∠B ∈(0,π3)，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值．(Ⅱ)由余弦定理即可解得c 的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：(Ⅰ)证明：∵BC//FE，BC=FE，∴四边形BCEF是平行四边形．∴BF//CE．∵BF⊄平面CDE，CE⊂平面CDE，∴BF//平面CDE．(Ⅱ)证明：过点E作EP⊥AD于P，连接CP、AC、AE，设AF=a，则EP=PD=PC=a，AC=AE=CD=DE=√2a．∴△CDE，△ACE为等腰三角形．∵G为EC的中点，∴DG⊥CE，AG⊥CE．又AG⊂平面ADG，DG⊂平面ADG，AG∩DG=G，∴CE⊥平面ADG．∵CE⊂平面CDE，∴平面AGD⊥平面CDE．(Ⅲ)∵BA⊥AF，BA⊥AD，AF∩AD=A，∴BA⊥平面ADEF．∴∠BFA即为直线BF与平面ADEF所成角．=1，∵tan∠BFA=ABAF∴∠BFA=45°．∵BF//CE，∴直线CE与平面ADEF所成的角为45°．解析：(I)由BC//FE，BC=FE可得四边形BCEF是平行四边形，故而BF//CE，于是BF//平面CDE；(II)过点E作EP⊥AD于P，连接CP、AC、AE，通过计算可得AC=AE=CD=DE，由等腰三角形的性质得出AG⊥CE，DG⊥CE，于是CE⊥平面ADG，故而平面AGD⊥平面CDE；(III)证明AB⊥平面ADEF，又BF//CE，于是直线CE与平面ADEF所成角等于BF与平面ADEF所成的角，故∠BFA即为所求的角．本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．19.答案：解：（1）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，根据条件得P(X =0)=C 50C 53C 103=10120=112，P(X =1)=C 51C 52C 103=50120=512，P(X =2)=C 52C 51C 103=50120=512，P(X =3)=C 53C 50C 103=10120=112，则随机变量X 的分布列为数学期望E(X)=0×112+1×512+2×512+3×112=32．（2）①设该划线分为m ，由Y ∽N (75.8,36)得μ=75.8，σ=6， 则η=Y−μσ=Y−75.86，则Y =6η+75.8，依题意，P(Y ≥m)≈0.85，即P(6η+75.8 ≥ m)=P(η ≥m−75.86)≈0.85因为当η∽N (0,1)时，P(η≤1.04)≈0.85，所以P(η≥−1.04)≈0.85， 所以m−75.86≈−1.04，故m ≈69.56，取m =70．②由①讨论及参考数据得P(Y ≥71)=P(6η+75.8≥71)=P(η≥−0.8)=P(η≤0.8)≈0.788， 即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788，故ξ∽B (800,0.788)，P(ξ=k)=C 800k0.788k (1−0.788)800−k ．由{P(ξ=k) ≥ P(ξ=k −1),P(ξ=k) ≥ P(ξ=k +1),即{C 800k 0.788k (1−0.788)800−k ≥ C 800k−10.788k−1(1−0.788)801−k ,C 800k 0.788k (1−0.788)800−k ≥ C 800k+10.788k+1(1−0.788)799−k ,解得630.188≤k ≤631.188， 又k ∈N ，所以k =631，所以当k =631时，P(ξ=k)取得最大值.解析：本题考查离散型随机变量的分布列与期望和正态分布，是中档题.（1）根据题意判断出随机变量X 的取值，求出其对应的概率，写出分布列，求出其数学期望即可； （2）①根据Y ∽N (75.8,36)得μ=75.8，σ=6，由η=Y−μσ=Y−75.86得Y =6η+75.8，根据题意得到P(6η+75.8 ≥ m)=P(η ≥m−75.86)≈0.85，结合题干数据和正态分布的对称性即可求出m 的值；②首先任意抽取一个学生，利用正态分布的性质求出每个学生生物统考成绩原始分不低于71分的概率，然后写出P(ξ=k)的表达式，根据题意列式{P(ξ=k) ≥ P(ξ=k −1),P(ξ=k) ≥ P(ξ=k +1),其中p =0.788,解出k 的取值范围并结合k ∈N ，即可求解.20.答案：解：(1)当a =0时，f(x)=−1−lnx ，f ′(x)=−1x ．设切点为T(x 0,−1−lnx 0)，则切线方程为：y +1+lnx 0=−1x 0( x −x 0).因为切线过点(0,−1)，所以−1+1+lnx 0=−1x 0(0−x 0)，解得x 0=e ．所以所求切线方程为y =−1e x −1． (2)f (x )的定义域为(0,+∞)， ①f ′(x)=ax −1x =ax 2−1x，x >0．(i) 若a ≤0，则f ′(x)<0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减， 从而函数f(x)在(0,+∞)上至多有1个零点，不合题意． (ii)若a >0，由f ′(x)=0，解得x =√a 负值舍去)．当0<x <√a 时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x >√a 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min =f(a )=12−a 1=−12−a ．要使函数f(x)有两个零点，首先−12−√a <0，解得0<a <e ． 当0<a <e 时，√a >√e >1e ．因为f(1e )=a2e 2>0，故f(1e )⋅f(√a )<0．又函数f(x)在√a )上单调递减，且其图象在√a )上不间断， 所以函数f(x)在区间√a )内恰有1个零点． 考察函数g(x)=x −1−lnx ，则g ′(x)=1−1x =x−1x．当x ∈(0,1)时，g ′(x)<0，函数g(x)在(0,1)上单调递减； 当x ∈(1,+∞)时，g ′(x)>0，函数g(x)在(1,+∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(1)=0，故f(2a )=2a −1−ln 2a ≥0．因为2a√a=2−√a a >0，故2a >√a ．因为f(a )⋅f(2a )≤0，且f(x)在(a +∞)上单调递增，其图象在(a +∞)上不间断， 所以函数f(x)在区间(√a 2a ]上恰有1个零点，即在(√a +∞)上恰有1个零点． 综上所述，a 的取值范围是(0,e)．②由x 1，x 2是函数f(x)的两个零点(不妨设x 1<x 2)，得 {12ax 12−1−lnx 1=012ax 22−1−lnx 2=0， 两式相减，得 12a(x 12−x 22)−ln x1x 2=0， 即12a(x 1+x 2) (x 1−x 2)−ln x1x 2=0，所以a(x 1+x 2)=2lnx 1x 2x1−x 2．f ′(x 1)+f ′(x 2)<0等价于ax 1−1x 1+ax 2−1x 2<0，即a(x 1+x 2)−1x 1−1x 2<0，即2lnx 1x 2x 1−x 2−1x 1−1x 2<0，即2ln x 1x 2+x 2x 1−x 1x 2>0．设ℎ(x)=2lnx +1x −x ，x ∈(0,1)， 则ℎ′(x)=2x −1x2−1=−(x−1)2x 2<0，所以函数ℎ(x)在(0,1)单调递减，所以ℎ(x)>ℎ(1)=0．因为x 1x 2∈(0,1)，所以2ln x 1x 2+x 2x 1−x1x 2>0，即f ′(x 1)+f ′(x 2)<0成立．解析：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性、函数的极值，考查转化思想以及计算能力，属于难题．(1)当a =0时，对f(x)求导，设切点为T(x 0,−1−lnx 0)，可得切线方程，结合切线过点(0,−1)，代入切线方程解得x 0=e ，推出切线方程； (2)①f ′(x)=ax −1x =ax 2−1x，x >0；(i) 若a ≤0，不合题意；(ii)若a >0，求出函数的f(x)min ，当0<a <e 时，函数f(x)在区间√a )内恰有1个零点，在(√a +∞)上恰有1个零点，利用函数的零点个数推出a 的取值范围是(0,e)．②由x 1，x 2是函数f(x)的两个零点(不妨设x 1<x 2)，得 {12ax 12−1−lnx 1=012ax 22−1−lnx 2=0转化求解即可．21.答案：解：(1)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2c ，由CF 1⊥x 轴，则C(−c,y 0)，y 0>0， 由C 在椭圆上，则y 0=b 2a，则C(−c,b 2a )，由OC//AB ，则−b 2ac=k OC =k AB =−ba ，则b =c ， e =c a=√b 2+c2=√22， e 的值为√22；(2)设D(x 1,y 1)，设CF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 2D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， C(−c,b 2a )，F 2(c,0)，故CF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2c,−b 2a)，F 2D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1−c,y 1)， 由CF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 2D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2c =λ(x 1−c)，−b 2a =λy 1，则D(λ+2λc,−b2λa )，由点D 在椭圆上，则(λ+2λ)2·e 2+b 2λ2a 2=1，整理得：(λ2+4λ+3)e 2=λ2−1， 由λ>0，e 2=λ2−1(λ2+4λ+3)=λ−1λ+3=1−4λ+3，由12≤e ≤√22，则14≤e 2≤12，则14≤1−4λ+3≤12， 解得：73≤λ≤5， ∴|CF 2||F 2D|的取值范围[73,5]．解析：本题考查椭圆的简单几何性质，椭圆的离心率公式，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．(1)由CF 1⊥x 轴，则C(−c,b 2a )，根据直线的斜率相等，即可求得b =c ，利用离心率公式即可求得e的值；(2)根据向量的坐标运算，求得D 点坐标，代入椭圆方程，求得e 2=λ2−1(λ2+4λ+3)=1−4λ+3，由离心率的取值范围，即可求得λ的取值范围．22.答案：解：(1)曲线曲线C 1的参数方程为{x =2−35t y =−2+45t (t 为参数)， 转化为普通方程：4x +3y −2=0．曲线曲线C 2的极坐标方程为ρcosθ=tanθ．整理得：ρcosθ=sinθcosθ，转化为直角坐标方程为：y =x 2．(2)把曲线C 1的参数方程为{x =2−35t y =−2+45t (t 为参数)，代入y =x 2． 得9t 2−80t +150=0，设：t 1和t 2是A 、B 对应的参数，则：t 1+t 2=809，t 1t 2=503， 所以：1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA|⋅|PB|， =|t 1+t 2||t 1t 2|=815． 解析：(1)首先把曲线的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程．(2)把曲线把曲线C 1的参数方程为{x =2−35t y =−2+45t(t 为参数)，代入y =x 2.得9t 2−80t +150=0，设：t 1和t 2是A 、B 对应的参数，进一步利用根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标的转化，极坐标方程和直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系得应用，一元二次方程根和系数的关系的应用，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|2x −1|−|x +32|={ 52−x,x <−32−3x −12,−32≤x ≤12x −52,x >12， 根据题意，{x <−3252−x ≤2或{−32≤x ≤12−3x −12≤2或{x >12x −52≤2，解之得−56≤x ≤92，故解集为[−56,92]．(2)当x ∈(−∞,12)时，函数f(x)单调递减，当x ∈(12,+∞)时，函数f(x)单调递增．∴当x =12时，函数f(x)min =−2．由题知|a+b||ab+1|≤m ，即a+b ab+1≤m ，∵(a +b)−(ab +1)=(a −1)(1−b)≤0，则a +b ≤ab +1，∴a+b ab+1≤1．∴m ≥1，∴−m −1≤−2，∴f(x)≥−1−m ．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明，属基础题．(1)f(x)=|2x −1|−|x +32|={ 52−x,x <−32−3x −12,−32≤x ≤12x −52,x >12，然后分段解不等式f(x)≤2； (2)求出f(x)的最小值，证明f(x)min ≥−1−m ，即可．。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案答案一、选择题CDDAB BBDAC CA 二、填空题 13．4 14．60° 15．6162- 16．2·3n －1 (n ≤2010) 三、解答题17．解：设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＜0)}＝{x |3a ＜x ＜a (a ＜0)}B ＝{x |x 2＋2x －8＞0}＝{x |x ＜－4或x ＞2} ………4分 ∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴q 是p 必要不充分条件， ∴A ≠⊂B ……………………6分 所以3a ≥2或a ≤－4，又a ＜0，所以实数a 的取值范围是a ≤－4． …………………10分 18．证明：(1)a n ＋1＝S n ＋1－S n ∴S n ＋1－S n ＝n S nn 2+(n ≥1) ………………2分 ∴n S n S n n ⋅=++211∵01111≠==a S ，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为以1为首项， 2为公比的等比数列…6分 (2)12n n S n-=∴12-⋅=n n n S ∴()nn n S 211⋅+=+……8分 而n n a n 21+=+()112222--⋅+=⋅⋅+=n n n n n nn S 即()()2212≥⋅+=-n n a n n ……10分n ＝1时，a 1＝1，代入符合 ∴()()1212≥⋅+=-n n a n n 即()nn n a 214⋅+=∴n n a S 41=+……12分(1)111//,,MN AC AC BD AC BB AC BB D D ⊥⊥∴⊥而平面……………2分PB MN PB AC ⊥∴⊥∴…………4分(2)依题意得5,211===N B M B MN则等腰三角形MN B 1中MN 边上的高23215=-=H …………6分 设点B 到平面MN B 1的距离为d ,则有131311BB S d S BMN MN B ⋅=⨯⨯∆∆……8分 由2112123221⨯⨯⨯=⨯⨯⨯d 得32=d 所以点B 到平面B 1MN 的距离为32…………12分 20．解：(Ⅰ)由正弦定理，可得a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2RsinC将上式代入已知的ca bC B +-=2cos cos 得CA B C B sin sin 2sin cos cos +-=……2分 即2sinAcos B ＋sinC cos B ＋cosC sinB ＝0， 即2sin AcosB ＋sin (B ＋C )＝0………4分 ∵A ＋B ＋C ＝π，因为A ＋B ＋C －π，所以sin (B ＋C )＝sinA ， 故2sinAcosB ＋sinA ＝0．因为sinA ≠0，故cosB ＝21-， 又因为B 为三角形的内角，所以B π32=………6分 (Ⅱ)将b ＝13，a ＋c ＝4，π32=B 代入余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB 的变形式： b 2＝(a ＋c )2－2ac －2accosB ．………………9分 所以⎪⎭⎫⎝⎛--=21121613ac 即得ac ＝3， 所以S △ABC ＝12acsin B ＝343．……………………12分．21．解：(1)322322982=∴==∴=a c a c e …………2分(2)假设存在这样的直线l ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)则192121=+x y ，192222=+x y 作差得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＋9(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0……6分∵x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝3 设直线l 的斜率为k ，则k ＝3……8分 ∴直线l 的方程为y ＝3x ＋3……10分检验：⎩⎨⎧=++=993322x y x y 整理得x 2＋x ＝0 显然Δ＞0 检验成立，所以存在这样的直线l (12)22．解：(1)f (x )的定义域为(1，＋∞)()()()1221212---=---='x x x x x x f 令()0>'x f ∴f (x )的单调递增区间为(1，2)………4分 (2)∵f (x )＝2ln (x －1)－(x －1)2∴f (x )＋x 2－3x －a ＝0⇔x ＋a ＋1－2 ln (x －1)＝0． 即a ＝2ln (x －1)－x －1， 令h (x )＝2ln (x －1)－x －1， ∵()13112--=--='x xx x h ………6分 且x ＞1，由h '(x )＞0得1＜x ＜3，h '(x )＜0得x ＞3．∴h (x )在区间[2，3]内单调递增，在区间[3，4]内单调递减．……………8分 ∵ h (2)＝－3，h (3)＝2ln2－4，h (4)＝2ln3－5， 又h (2)＜h (4)…………10分故f (x )＋x 2－3x －a ＝0在区间[2，4]内恰有两个相异实根⇔h (4)≤a ＜h (3) 即2ln 3－5≤a ＜2ln2－4．综上所述，a 的取值范围是[2ln3－5，2ln2－4)．……12分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案（共100分, 考试时间120分钟）第Ⅰ卷一、 选择题（每小题3分，共36分. 每小题只有一项是符合题目要求）1．抛物线y 2＝4x ，经过点P(3，m)，则点P 到抛物线焦点的距离等于( )A.94 B ．4C.134D ．32．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．－14B ．－4C ．4 D.143．命题：“若a 2＋b 2＝0(a ，b ∈R)，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( )A ．若a≠b≠0(a ，b ∈R)，则a 2＋b 2≠0B ．若a ＝b≠0(a ，b ∈R)，则a 2＋b 2≠0C ．若a≠0且b≠0(a ，b ∈R)，则a 2＋b 2≠0D ．若a≠0或b≠0(a ，b ∈R)，则a 2＋b 2≠04.“m>n>0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( )A ．充分而不必要条件B ． 充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x ＋2y ＋10＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．5B ．4C.1155D.1156．设a ∈R ，则a ＞1是1a＜1的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为 ( )A3 B ．3或253C.15D.15或5153A ．1 B.15 C. 75D. 359. 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，求该双曲线的离心率是( ) A. 5 B.62C ．233D. 210．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF|＝5，则△MPF 的面积为( )A ．5 6 B.2534C ．20D ．1011．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．312．已知椭圆221:12x y C m n +=+与双曲线222:1x y C m n-=共焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为 ( )A ．(2B ．(0,2C ．(0,1)D ．1(0,)2数 学（理）第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）13．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是 ；14．设实数,x y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值是 ；15．经过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →=;16．已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)，过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点，则我们知道1|AF|＋1|BF|为定值，请写出关于椭圆的类似的结论： _____________________________________ ___________；当椭圆方程为x 24＋y 23＝1时，1|AF|＋1|BF|＝___________.三、解答题：（本大题共5小题，共52分） 17．(本小题满分10分)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0.若┐p 是┐q 的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分10分）（1）求与椭圆2212516x y +=共焦点的抛物线的标准方程.(2)已知两圆()221:42C x y ++=，()222:42C x y -+=，动圆M 与两圆一个内切，一个外切，求动圆圆心M的轨迹方程．19．（本小题满分10分）如图，已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，60PDA ∠=︒. （1）求DP 与CC 1所成角的大小； （2）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小.20．（本小题满分10分）如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，AB=2，BC =PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD.（1）求证：PD AC ⊥；（2）在棱PA 上是否存在一点E ，使得二面角E —BD —A 的大小为45︒，若存在，试求AEAP的值，若不存在，请说明理由.1A已知圆C 的方程为224x y +=，过点M （2，4）作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>的右顶点和上顶点.（1）求椭圆T 的方程；（2）已知直线l 与椭圆T 相交于P ，Q 两不同点，直线l 方程为0)y kx k =>，O 为坐标原点，求OPQ ∆面积的最大值.数 学（理）答案一、选择题：BADBC ABCCD DA 二、填空题：13. 存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0 14.3215. －1316. 过椭圆的焦点F 的动直线交椭圆于A 、B 两点，则1|AF|＋1|BF|为定值 43三、解答题：17.解析：解|4x －3|≤1得12≤x≤1.解q 得a≤x≤a ＋1.由题设条件得q 是p 的必要不充分条件，即p ⇒q ，qp.∴[12，1][a ，a ＋1]．18.（1）212y x =或212y x =-（2）221214x y -=19. 解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''． 在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．设(1)(0)DH m m m =>，，， 由已知60DH DA <>=，，由cos DA DH DA DH DA DH =<>， 可得2m =2⎛ （Ⅰ）因为cos DH CC '<>=，所以45DH CC '<>=，（Ⅱ）平面AA D D ''因为201101cos 2DH DC +⨯+⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，． 可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30．20．解析：取AB 中点H ，则由PA ＝PB ，得PH ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ∩平面ABCD=AB ，所以PH ⊥平面ABCD ．以H 为原点，建立空间直角坐标系H －xyz （如图）．则(1,0,0),(1,0,0),(A B D C P -- （I ）证明：∵(1,2,3),(2,PD AC =-=-, ∴(0PD AC ⋅=⋅-=，∴PD AC⊥，即PD ⊥AC ． ………．．6分（II ） 假设在棱PA 上存在一点E ，不妨设AE =λAP (01)λ<<， 则点E的坐标为(1)λ-， ………．．8分 ∴(2,0,3),(2,2,0)BE BD λλ=-= 设(,,)n x y z =是平面EBD 的法向量，则n BE n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩00n BE n BD ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩(2)00200x y z x y z λ⎧-+⋅+=⎪⇒⎨+⋅=⎪⎩z x y ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩， 不妨取x=EBD 的一个法向量2(3,)n λλ-=--．又面ABD 的法向量可以是HP =（0,0, ，要使二面角E-BD-A 的大小等于45°，则0(cos 45|cos ,|(HP nHP n HP n ⋅=<>==⋅可解得12λ=，即AE =12AP 故在棱PA 上存在点E ，当12AE AP =时，使得二面角E-BD-A 的大小等于45°．21．解析：（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：2x =，设另一条切线方程为：4(2)y k x -=-则：2=，解得：34k =，此时切线方程为：3542y x =+ 切线方程与圆方程联立得：68,55x y =-=，则直线AB 的方程为22=+y x 令0=x ，解得1=y ，∴1=b ；令0y =,得2x =,∴2=a故所求椭圆方程为1422=+y x （Ⅱ）联立221.4y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得()08384122=+++kx x k ，令),(11y x P ，),(22y x Q ，则2214138k k x x +-=+，221418k x x +=， 0)41(32)38(22>+-=∆k k ，即：0122>-k原点到直线l的距离为=d ，12|||PQ x x =-，∴121||22OPQS PQ d x x ∆=⋅=-===1=≤当且仅当2k =时取等号，则OPQ ∆面积的最大值为1．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共150分.考试时间120分钟第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。

2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：DDCAC DBADD 二、填空题 11．{x |－2＜x ＜1} 12．)(x f ＝－x 2－2x －3 13．[2,3] 14．(2)(3)(4)三、解答题：本小题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题12分)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |(m －1)x －1＝0}，且A ∩B ＝B ，求由实数m 为元素所构成的集合M ． 解：∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ……(2分)又A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}……(4分)∴①当m －1＝0，即m ＝1时，B ＝Ø，满足B ⊆A ；……(6分)当m －1≠0时，②若B ＝{2}时，有11-m ＝2，得m ＝23……(8分) ③若B ＝{3}时，有11-m ＝3，得m ＝34……(10分)∴M ＝{1，23，34} ……(12分)16．(本题满分12分)(1)已知5log 3＝2a ，b3 ＝7，用a ，b 表示9log 35． (2)计算：25lg ＋328lg ＋5lg ×20lg ＋2)2(lg ． 解：(1)由于b3＝7可化成7log 3＝b ，………………(2分) 所以9log 35＝35log 9log 33＝5log 7log 233+＝ab 22+ ……(6分)(2)原式＝25lg ＋22lg ＋5lg ×(22lg ＋5lg )＋2)2(lg＝2＋2)5(lg ＋2lg 25lg ＋2)2(lg …………(12分) ＝2＋2)2lg 5(lg +＝2＋1＝317．(本题满分14分)已知)(x f ＝1212+-x x(1)判断)(x f 的奇偶性； (2)求)(x f 的值域；(3)判断并用定义证明)(x f 在(－∞，＋∞)上的单调性． 解：(1))(x f 的定义域为(－∞，＋∞)，且)(x f -＝1212+---x x ＝x x 2121+-＝1212+-x x ＝－)(x f所以，)(x f 为R 上的奇函数，……………………………………………(4分)(2)由y ＝1212+-x x 得x 2＝y y-+11………………………………(6分)∵x2＞0 ∴yy-+11＞0 ∴－1＜y ＜1………………………………(8分) 所以，)(x f 的值域为{y |－1＜y ＜1}.…………………………(9分) (3))(x f 在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．……………………(10分) 证明：设任意的1x ，2x ∈R ，且1x ﹤2x ，则 )(1x f －)(2x f ＝121211+-x x －121222+-x x ＝)12)(12()12)(12(2121+++-x x x x －)12)(12()12)(12(2112+++-x x x x ＝)12)(12()22(22121++-x x x x 又∵1x ﹤2x ∴12x＜22x，所以)(1x f ＜)(2x f ，故)(x f 在(－∞，＋∞)上是单调递增函数18．(本小题14分)某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元∕件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)，可近似看做一次函数b kx y +=的关系(图象如下图所示)．(1)根据图象，求一次函数b kx y +=的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为s 元．①求s 关于x 的函数表达式；②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价． 解：(1)由图象可知，⎩⎨⎧+⨯=+⨯=b k b k 700300600400，解得，⎩⎨⎧=-=10001b k所以y ＝－x ＋1000(500≤x ≤800)． (4))(2)①由(1)，s ＝xy －500y ＝(－x ＋1000)(x －500)＝－x 2＋1500x －(500≤x ≤800)……………………………………………………(9分)②由①可知，s ＝－2)750(-x ＋62500，其图像开口向下，对称轴为x ＝750，所以当x ＝750时，m ax s ＝62500即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件…………(14分)19．(本小题满分14分)已知函数y ＝x a (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记)(x f ＝2+xxa a ． (1)求a 的值；(2)证明)(x f ＋)1(x f -＝1； (3)求)20111(f ＋)20112(f ＋)20113(f ＋…＋)20112010(f 的值. 解：(1)函数y ＝xa (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，∴a ＋2a ＝20，得a ＝4，或a ＝－5(舍去)………………(4分)(2)证明：由(1))(x f ＝244+x x∴)(x f ＋)1(x f -＝244+x x ＋24411+--x x ＝244+x x ＋24444+xx ＝244+x x ＋4424+⨯x ＝244+x x ＋242+x ＝1…………………………………………(9分) (3)由(2)知)20111(f ＋)20112010(f ＝1，)20112(f ＋)20112009(f ＝1，…，)20111005(f ＋)20111006(f ＝1 ∴)20111(f ＋)20112(f ＋)20113(f ＋…＋)20112010(f＝)20111(f ＋)20112010(f ＋)20112(f ＋)20112009(f ＋…＋)20111005(f ＋)20111006(f＝1＋1…＋1＝1005…………………………………………(14分)20．(本小题满分14分)定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意x ∈D ，存在常熟M ＞0，都有|)(x f |≤M成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界．(1)判断函数)(x f ＝222+-x x ，x ∈[0,2]是否是有界函数，请写出详细判断过程； (2)试证明：设M ＞0，N ＞0，若)(x f ，)(x g 在D 上分别以M ，N 上界，求证：函数)(x f ＋)(x g 在D 上以M ＋N 为上界；(3)若函数)(x f ＝1＋⋅a x )21(＋x⎪⎭⎫⎝⎛41在[0,＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．解：(1))(x f ＝222+-x x ＝1)1(2+-x ，当x ∈[0,2]时，1≤)(x f ≤2则|)(x f |≤2，由有界函数定义可知)(x f ＝222+-x x ，x ∈[0,2]是有界函数…………(4分) (2)由题意知对任意x ∈D ，存在常数M ＞0，都有|)(x f |≤M 成立即M -≤)(x f ≤M ……………………………………………………(5分) 同理N -≤)(x g ≤N (常数N ＞0)……………………………………(6分) 则)(N M +-≤)(x f ＋)(x g ≤M ＋N ……………………………………(7分)即|)(x f ＋)(x g |≤M ＋N ∴)(x f ＋)(x g 在D 上以M ＋N 为上界………………(8分) (3)由题意知，|)(x f |≤3在[1，＋∞)上恒成立．－3≤)(x f ≤3，－4－x ⎪⎭⎫ ⎝⎛41≤a ·x )21(≤2－x⎪⎭⎫⎝⎛41……∴－4·x 2－x)21(≤a ≤2·x 2－x)21(在[0，＋∞)上恒成立∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-x x)21(24≤a ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅x x)21(22……设x2＝t ，)(t h ＝t t 14--，)(t p ＝tt 12-，由x ∈[0,＋∞)得t ≥1， 设1≤1t ＜2t ,)(1t h －)(2t h ＝212112)14)((t t t t t t --＞0)(1t p －)(2t p ＝212121)12)((t t t t t t +-＜0所以)(t h 在[1，＋∞)上递减，)(t p 在[1，＋∞)上递增，…………………(12分) (单调性不证，不扣分).)(t h 在[1，＋∞)上的最大值为)1(h ＝－5，)(t p 在[1，＋∞)上的最小值为)1(p ＝1所以实数a 的取值范围为[－5,1]．…………………………………………(14分)2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案1．设集合{1,0,1}A =-,B={1,4},则A ∪B=（ ）A ．{1}B ．{-1,0,4}C ．{-1,0,1,4}D ．{0,1,4}2．下列各式： 1{0,1,2}∈①； {0,1,2}∅⊆②； {1}{0,1,2}∈③； {0,1,2}{2,0,1}=④，其中错误的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．函数f(x)＝lg(1)x -的定义域为( )A ．[0,1]B ．(－1,+ ∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，1) 4. 下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是A. y ＝xx 2B. y ＝()323x C. y ＝x10lgD.2log 2x y =5. 函数y=log a x (0<a<1)的图象大致是6. 若函数()(21)1f x a x =-+在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是 ( ) A. ),21(+∞- B. )21,(--∞ C. ),21(+∞ D. )21,(-∞ 7. 已知2log 3a = ，12log 5b = ，0.31()2c = 则（ ）．A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c << 8．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ． )2()1()23(f f f <-<- B. )1()23()2(-<-<f f fC. )23()1()2(-<-<f f f D. )2()23()1(f f f <-<-9．已知函数()2,,xf x x R =∈，若()22()f a f a ->，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)10. 阅读下列一段材料，然后解答问题对于任意实数x ，符号[x]表示 “不超过x 的最大整数”，在数轴上，当x 是整数，[x]就是x,当x 不是整数时，[x]是点x 左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss ）函数.如[-2]=-2,[-1.5]=-2,[2.5]=2 。

银川唐徕回民中学2019-2020学年度10月月考高三年级理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则z =（ ）A. 2B.C. 1D.2【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件，结合复数的运算可得1z i =+，由模长公式可得答案． 【详解】∵(1)2z i i ⋅+=， ∴()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，故z ==故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的相关概念，考查计算能力，属于基础题.2.已知集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={x|y=lg （x ﹣2）}，则A∩（∁R B ）=（ ） A. （2，4） B. （﹣2，4）C. （﹣2，2）D. （﹣2，2]【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合B,再进行补集和交集的运算即可． 【详解】B ={x |x ＞2}； ∴∁R B ={x |x ≤2}；∴A ∩（∁R B ）=（﹣2，2]． 故选D ．【点睛】本题考查描述法表示集合，交集和补集的运算． 3.命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为（ ） A. 2,240x R x x ∀∈-+≥ B. 2000,240x R x x ∃∈-+> C. 2,240x R x x ∀∉-+≥ D. 2000,240x R x x ∃∉-+>【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，直接进行判断可得答案.【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词∀换为存在量词∃，不等号≤换为＞，可得命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为“2000,240x R x x ∃∈-+>”，故选：B.【点睛】本题主要考查全称命题和特称命题的否定的书写问题，属于基础题，熟悉全称命题的否定方法是解题的关键.4.已知123a -=，31log 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a c b >> B. c a b >>C. a b c >>D. c b a >>【答案】B 【解析】根据指数函数的性质可知123(0,1)a -=∈，根据对数函数的性质可知31log 02b =<，112211log log 132c =>=，所以c a b >>，故选B. 5.函数1ln 22y x x =+-的零点所在的区间是（ ） A. 11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. ()12，C. ()e 3，D. ()2e ，【答案】B 【解析】 【分析】应用函数零点存在性定理判断.【详解】易知函数f （x ）=1ln 22x x +-在定义域上连续， 且f(1e )=1 e -52<0 , f （1）= -1<0 , f(2)=1ln 2>02 ,()13f e =+e-2=e-022> ,根据函数零点存在性定理，可知零点所在区间为()1,2，故选B.【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，判断函数零点所在区间有三种常用方法，①直接法，解方程判断，②定理法，③图象法. 6.已知a 、b 都是实数，那么“a b >”是“ln ln a b >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】 分别判定“a b >”与“ln ln a b >”的充要条件,再分析即可.【详解】当a b >时有0a b >≥,当ln ln a b >时有0a b >>.故“a b >”是“ln ln a b >”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,需要根据题意先求出两个命题的充要条件再分析.属于基础题.7.函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①－3是函数y ＝f(x)的极值点； ②－1是函数y ＝f(x)的最小值点； ③y ＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增； ④y ＝f(x)在x ＝0处切线的斜率小于零． 以上正确命题的序号是( ) A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】C 【解析】【详解】试题分析：根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 根据导函数图象可知：当x ∈（-∞，-3）时，f'（x ）＜0，在x ∈（-3，1）时，()0f x '≥ ∴函数y=f （x ）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故③正确； 则-3是函数y=f （x ）的极小值点，故①正确；∵在（-3，1）上单调递增∴-1不是函数y=f （x ）的最小值点，故②不正确； ∵函数y=f （x ）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故④不正确. 故选C.考点：利用导数研究曲线上某点切线斜率；函数的单调性与导数的关系；函数极值的判定. 8.已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足(2)()f x f x +=，当[)0,1x ∈时，()41=-x f x ，则( 5.5)-f 的值为（ ） A. 2 B. 1-C. 12-D. 1【答案】D 【解析】 【分析】先由题意，得到函数()f x 以2为周期，再由已知解析式，即可求出结果.【详解】因为函数()f x 满足(2)()f x f x +=，所以函数()f x 以2为周期， 因此( 5.5)( 5.532)(0.5)-=-+⨯=f f f ，又当[)0,1x ∈时，()41=-xf x ，所以0.5( 5.5)(0.5)411-==-=f f .故选：D【点睛】本题主要考查由函数周期性求函数值，熟记函数周期性的概念即可，属于基础题型. 9.函数()log 31a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上（其中,0m n >），则12m n+的最小值等于（ ）A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数的性质可得定点(2,1)A --，得到22m n +=，再把式子化为112()(2)2m n m n++，利用基本不等式，即可求解.【详解】由对数函数的性质可得，函数()log 31a y x =+-点的图象恒过定点(2,1)A --， 又因为点A 在直线20mx ny ++=，所以22m n +=，则1211214141()(2)[4()](42)(44)42222n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⋅=+=， 当且仅当4n m m n=，即11,2n m ==等号成立，所以12m n+的最小值为4，故选D.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及基本不等式求最小值，其中解答中熟记对数函数的性质，合理化简，准确使用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10.函数3()2xy x x =-的图像大致是（ ）A B.C. D.【答案】B 【解析】 试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C ；当时，，，故，故排除A 、D ， 故选B考点：函数的图象.11.若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x 等于（ ） A. 4 B. 2C. eD. 1【答案】A 【解析】 【分析】先由题意，分别得到1x 是函数xy e =与4y x =交点P 的横坐标；2x 是函数ln y x =与4y x=交点Q 的横坐标；根据反函数的对称性，以及函数4y x=的对称性，可得P ，Q 两点关于直线y x =对称，进而可得出结果.【详解】因为1x 是方程4x xe =的解，所以1x 是函数xy e =与4y x=交点P 的横坐标； 又2x 是方程ln 4x x =的解，所以2x 是函数ln y x =与4y x=交点Q 的横坐标； 因为函数xy e =与ln y x =互为反函数，所以函数xy e =与ln y x =图像关于直线y x =对称， 又4y x=的图像关于直线y x =对称， 因此，P ，Q 两点关于直线y x =对称，所以有1221x y x y =⎧⎨=⎩，因此12114==x x x y . 故选：A【点睛】本题主要考查反函数的应用，熟记反函数的性质即可，属于常考题型. 12.记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.31, 1.32=-=-，设函数，若方程()1log a f x x -=有且仅有3个实数根，则正实数a 的取值范围为（ ） A. (]3,4 B. [)3,4 C. [)2,3 D. (]2,3【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：方程，所以方程()1log a f x x -=有且仅有个实数根，即有且仅有个实数根，即函数和函数的图象有三个不同的交点，分别作出两函数的图象，如图所示，要使得函数和函数的图象有三个不同的交点，则，解得，故选B.考点：方程的根的个数的判断与函数的应用．考点：方程根的个数的判断.【方法点晴】本题主要考查了方程的根的个数以及的应用，其中解答中涉及到取整函数的性质和对数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了数形结合思想和学生的分析问题和解答问题的能力，其中解答中把方程有且仅有个实数根，转化为函数和函数的图象有三个不同的交点，正确作出函数的图象是解答的关键，属于中档试题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13.已知幂函数()y f x =的图象过点(2，则()16f =______． 【答案】4 【解析】 【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求(16)f 的值【详解】解：由题意令()a y f x x ，由于图象过点(2,2)，得22a =，12a =12()y f x x ∴==12(16)164f ∴==故答案为：4．【点睛】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值，属于基础题．14.函数3()3=++f x ax bx ，其中,a b 为常数，若(7)7-=-f ，则(7)f =_____. 【答案】13 【解析】 【分析】设3()()3=-=+g x f x ax bx ，根据函数奇偶性的定义，判断函数3()g x ax bx =+为奇函数，进而可求出结果.【详解】因为3()3=++f x ax bx ，设3()()3=-=+g x f x ax bx ， 因此33()()()()-=-+-=--=-g x a x b x ax bx g x ， 即函数3()g x ax bx =+为奇函数，若(7)7-=-f ，则(7)(7)310-=--=-g f ，因此(7)(7)3(7)10=-=-=g f g ，故(7)10313=+=f . 故答案为：13【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记函数奇偶性的概念即可，属于基础题型. 15.已知函数32()(,)f x x ax b a b R =-++∈图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数的取值范围是______. 【答案】【解析】试题分析：因为32()(,)f x x ax b a b R =-++∈，所以；由题意得恒成立，即恒成立，则，解得.考点：导数的几何意义、一元二次不等式.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD AC ⊥，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且3CD PD +=.若四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为_____；当四棱锥P ABCD -的体积取得最大值时，二面角A PC D --的正切值为_______.【答案】 (1). 6π (2). 5【解析】 【分析】(1)．要求球O 的表面积的最小值，需求出球O 的表面积的算式，为此又需求出球O 的半径，从而根据算式的特点，用函数的单调性或不等式求出最小值．(2)．列出四棱锥P ABCD -的体积的算式，求出体积取得最大值时变量的取值，从而求出二面角A PC D --的正切值．【详解】(1)．设()03CD x x =<<，则3PD x =-.∵AB ⊥平面PAD ， ∴AB PD ⊥，又PD AC ⊥， ∴PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点，从而球O 的表面积为()()22222343126x x x x πππ⎛⎫++-⎪⎡⎤=-+≥⎣⎦⎝⎭.(2)．四棱锥P ABCD -的体积()()213033V x x x =⨯-<<， 则22V x x '=-+，当02x <<时，0V '>；当23x <<时，0V '<. 故()max 2V V =，此时2AD CD ==，1PD =. 过D 作DH PC ⊥于H ，连接AH ， 则AHD ∠为二面角A PC D --的平面角. ∵2555DH ==，∴tan 5AD AHD DH ∠==【点睛】本题考查四棱锥的体积与球体的表面积，考查函数与方程的数学思想以及直观想象的数学核心素养.当棱锥中有线面垂直的条件时，可考虑将棱锥补形成长方体，简化思考便于计算． 找二面角平面角的常用方法有：定义法，三垂线法．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.设p ：实数x 满足22540x ax a -+<（其中0)a >，q ：实数x 满足25x <． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()2,4；（2）5,24⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）通过解不等式化简命题p 和q ，若p q ∧为真，则p 真且q 真，即可得出；（2）将条件“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”转化为“q 是p 的充分不必要条件”，再利用集合思想得到命题p 和q 所对应集合的关系，从而求出a 的范围. 【详解】解：因为p ：实数x 满足22540x ax a -+<（其中0)a > 所以:4p a x a <<，（1）1a =时，则:14p x <<，因为p q ∧为真，则p 真q 真，所以2514x x <⎧⎨<<⎩，解得24x <<，所以()2,4x ∈；（2）根据题意因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件， 则有245a a ⎧⎨>⎩，该不等式组解集为524a <，故5,24a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查真值表和充分条件和必要条件的应用，条件“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”转化为“q 是p 的充分不必要条件”是解决本题的关键，注意要熟练掌握不等式的解法．18.如图（1）所示，在BCD ∆中，AD 是BC 边上的高，且45ACD ∠=，2AB AD =，E 是BD 的中点．现沿AD 进行翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD ，得到的图形如图（2）所示．（1）求证：AB CD ⊥；（2）求直线AE 与平面BCE 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析（245【解析】 【分析】（1）由题意，先根据面面垂直的性质定理，得到AB ⊥平面ACD ，再由线面垂直的性质，即可得出AB CD ⊥；（2）以A 为原点，AC ，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间坐标系，设1AC =，求出直线AE 的方向向量，以及平面BCE 的一个法向量，由向量夹角公式，以及线面角与向量夹角的关系，即可得出结果.【详解】（1）由图（1）知，在图（2）中，AC AD ⊥，AB AD ⊥， ∵平面ACD ⊥平面ABD ，平面ACD平面ABD AD =，AB平面ABD ，∴AB ⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ， ∴AB CD ⊥；（2）以A 为原点，AC ，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间坐标系，不妨设1AC =，则(0,2,0)B ，()1,0,0C ，()0,0,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ， ∴10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()120BC =-，，，10,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭BE ， 设平面BCE 的法向量(,,)n x y z =，则00n BC n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20102x y y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令1y =，得2x =，2z =，则(2,1,2)n =是平面BCE 的一个法向量， 设直线AE 与平面BCE 所成的角是θ， 则45sin cos ,53θ⋅=<>===⨯AE n AE n AE n， 故直线AE 与平面BCE 所成角的正弦值为515． 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求直线与平面所成的角，熟记线面垂直，面面垂直的性质定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.19.利用函数的单调性（利用导数），证明下列不等式 （1）sin tan ((0,))2x x x x π<<∈（2）1(0)xe x x >+≠【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）构造函数()sin f x x x =-，()tan =-g x x x ，利用导数分析在(0,)2π上的单调性，即可证出；（2）构造函数()1xh x e x =--，利用导数分析函数的单调性，找出最值即可证出． 【详解】解：（1）设()sin f x x x =-，()tan =-g x x x ， ()1cos f x x '∴=-，21()1g x cos x'=-， (0,)2x π∈，0cos 1x ∴<<，()0f x '∴>，()0g x '>，∴函数()f x 和函数()g x 在(0,)2π上都是单调递增函数，()(0)0f x f ∴>=，()(0)0g x g >=，即sin x x >，tan x x >， sin tan x x x ∴<<，(0,)2x π∈；（2）设函数()1xh x e x =--，()1x h x e '∴=-，令()0h x '=得：10x e -=，0x =， 列表：∴当0x =时，()h x 取最小值，()(0)0min h x h ==， ∴当0x ≠时，恒有()0h x >，即1(0)xe x x >+≠．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及构造函数方法，属于中档题． 20.已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 【答案】（1）3；（2）2． 【解析】试题分析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，用点斜式求得直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k 的值，可得满足条件的k 的范围．（2）由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解试题解析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在， 设过点A （0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0． 由已知可得圆C的圆心C 的坐标（2，3），半径R=1．1=，解得：12k k ==．k <<，过点A （0，1）的直线与圆C ：()()22231x y -+-=相交于M ，N 两点．（2）设M ()11,x y ；N ()22,x y ，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程()()22231x y -+-=，可得()()2214170kxk x +-++=，∴()121222417,11k x x x x k k++==++， ∴()()()2212121212212411111k k y y kx kx k x x k x x k ++=++=+++=+， 由2121221248·121k k OM ON x x y y k++=+==+，解得 k=1， 故直线l 的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以|MN|=2 考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算21.已知函数()()ln 1f x x x ax a R =-+∈. （1）讨论()f x 在()1,+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在()1,x ∈+∞，使()()()13f x e a <--，求实数a 的取值范围.（e 为自然对数的底数，其值为2.71828……） 【答案】（1）见解析；（2）()2,+∞ 【解析】 【分析】（1）构造函数()1ln g x x x=+，先将讨论()f x 在()1,+∞上的零点个数问题，转化为讨论直线y a =与曲线()y g x =的交点个数问题，用导数方法研究函数()1ln g x x x=+单调性，求出值域，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，由()0f x '=求出零点，得到()()11min 1a a f x f ee --==-，再由题意得到()()1113a ee a --<--成立，构造函数()()()1131x h x e e x -=+---，用导数方法研究其单调性，进而可求出结果.【详解】（1）由()ln 10f x x x ax =-+=得1ln a x x =+，令()1ln g x x x=+， 因此讨论()f x 在()1,+∞上的零点个数，即是讨论直线y a =与曲线()y g x =的交点个数，∵()22111x g x x x x-'=-=，()0g x '>在()1,+∞上恒成立， 故()1ln g x x x=+在()1,+∞上单调递增，()()1,g x ∈+∞，又()g x 连续不断，所以当1a ≤时，()f x 在()1,+∞上无零点； 当1a >时，()f x 在()1,+∞上存在一个零点.（2）当1a >时，由（1）得()f x 在()1,+∞上存在一个零点， 由()ln 10f x x a '=+-=得1a x e -=， 由（1）可得()f x 在()11,a e -上单调递减，在()1,a e-+∞上单调递增；所以()()11min 1a a f x f ee--==-，又存在()1,x ∈+∞，使()()()13f x e a <--成立， 所以，只需()()1113a e e a --<--成立，即()()11310a e e a -+--->不等式成立，令()()()1131x h x ee x -=+---， 则()11x h x ee -'=+-，易知()110x h x e e -'=+->在()1,x ∈+∞上恒成立，故()()()1131x h x ee x -=+---在()1,x ∈+∞上单调递增又()20h =，所以()02h x x >⇒>. 故实数a 的取值范围为()2,+∞.【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数的零点、以及根据不等式能成立求参数的问题，熟练掌握导数的方法研究函数单调性、最值等即可，属于常考题型.(二)选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答。

高三第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．集合A={1，2}，B=｛1，2，3｝，P={b a x x ⋅=|，∈a A ，∈b B}，则集合P 的元素的个数为（ ）A ．3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 若i 是虚数单位，则复数ii+-12的实部与虚部之积为（ ） A.43 B. 43-C. 43iD. 43-i3. 若α，β表示两个不同的平面，b a ,表示两条不同的直线，则α//a 的一个充分条件是（ ） A ．βα⊥，β⊥a B. α∩β=b ，b a // C. b a //，α//b D. α//β，β⊂a4. 设双曲线()019222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为（ ） A ．4B. 3C. 2D. 15. 若cos231=θ，则sin 4θ+cos 4θ的值为（ ） A ．1813B.1811 C. 95D. 16. 在矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ） A ．32 B.21 C. 31D.41 7. 执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数 ①()x x f sin = ②()x x f cos = ③()||x e x f = ④()|ln |x x f = 则输出的函数的个数为（ ）A ． 0个B. 1个C. 2个D. 3个8. 设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，那么抛物线C 的准线与AB 为直径的圆的位置关系是（ ）A ．相离 B. 相切 C. 相交但不经过圆心D. 相交且经过圆心9. 1||=，2||=，b a c +=，a c ⊥，则与b 的夹角等于（ ） A ．300B. 600C. 1200D. 90010. 某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为21，则该几何体的俯视图可以是（ ）11. 点P 是函数()()0sin 2>+=ωϕωx y 的图象的最高点，M ，N 是与点P 相邻的且该图像与x 轴的两个交点，若0=⋅PN PM ，则ω的值为（ ）A ．8πB.4πC. 4D. 812. 已知函数()()0|11|>-=x xx f ，当b a <<0， 若()()b f a f =时，则有A. 1>abB. 1≥abC. 21≥ab D. 21>ab 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．在△ABC 中，b =1，c =3，∠C=32π，则①a =________；②∠B=________. 14. 已知变量y x ,满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-≤+0026y x y x y x ，若目标函数y ax z +=（其中0>a ）仅在点（4，2）处取得最大值，则a 的取值范围是__________.15. 已知M （00,y x ）是抛物线()022>=p px y 上的一点，过点M 的切线方程的斜率可通过以下方法求解：在px y 22=两边同时对x 求导，得ypy p y y ='⇒='⋅22，则过M 点的切线的斜率为0y p k =，类比上述方法求出双曲线1222=-y x 在点Q （2，2）处的切线方程为___________________.16. 已知()()0|cos ≥=x x x f ｜，)(x g y =是经过原点且与()x f 图像恰有两个交点的直线，这两个交点的横坐标分别为α，β（0<α<β），那么下列结论中正确的有______.①()()0≤-x g x f 的解集为[α，）∞+ ②()()x g x f y -=在（0，α）上单调递减 ③0cos cos =+αββα④当π=x 时，()()x g x f y -=取得最小值三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本大题满分12分）等比数列{}n a 中，1a ，2a ，3a 分别是下表一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中任何两个数不在下表同一列，且1a <2a <3a ，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足n n n a a b ln +=，求数列{}n b 前n 项和n S .18．（本大题满分12分）唐徕回中随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图，其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，（1）求直方图中的x 的值；（2）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请住校，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住校；（3）学校规定上学时间在[0，20)的学生只能步行，上学时间在[20，40)的学生只能骑自行车，现在用分层抽样方法从[0，20)和[20，40)中抽取6名学生，再从这6名学生中任意抽取两人，问这两人都骑自行车的概率是多少？ 19．（本大题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=AB 22， （1）证明：BC 1//平面A 1CD ；（2）AA 1=2，求三棱锥C —A 1DE 的体积.20．（本大题满分12分）设函数()()0≠⋅=k ex x f kx(kxkxke e =')()（1）求曲线()x f y =在点（0，()0f ）处的切线方程； （2）求函数()x f 的单调区间.21．（本大题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，过点A （-a ，0），B （0，b ）的直线的倾斜角为6π，原点到该直线的距离为22， （1）求椭圆的方程；（2）直线2+=kx y 与椭圆交于P ，Q 两点，点S 是P ，Q 两点的中点，问是否存在实数k ，使得PQ SO k k ⋅为一个定值，若存在，请证明，若不存，请说明理由.请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。