辽宁省东北育才学校高三数学上学期第一次模拟考试试题理

1 开始结束输出是否0,0SSk?2SkSS22kkk辽宁省东北育才学校高三数学上学期第一次模拟考试试题理

数学试题（理科）

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.

1.已知集合2{|160}Axx，{5,0,1}B，则

A.AB B．BA C．{0,1}AB D．AB

2.复数ii-1)1(2等于

A．i1 B．i1 C．i1 D．i1

3.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k的值是6，

则输入的整数0S的可能值为

A.5 B.6 C.8 D.15

4.已知直线1sincos:yxl,且lOP于P,O为坐标原点,

则点P的轨迹方程为

A．122yx B．122yx C．1yx D．1yx

5.函数xexfxln)(在点))1(,1(f处的切线方程是

A.)1(2xey B.1exy C.)1(xey D.exy

6.“等式)2sin()sin(成立”是“、、成等差数列”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

7.在各项均为正数的等比数列na中，21a，542,2,aaa成等差数列，nS是数列na的前n项的和，则410SS

A.1008 B.2016 C.2032 D.4032

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是

A．90 B．92

C．98 D．104 2 9.半径为4的球面上有DCBA、、、四点，ADACAB、、两两互相垂直，则ADBACDABC、、面积之和的最大值为

A．8 B．16 C．32 D.64

10.设等差数列na的前n项和为nS，若0,0109SS，则993322122,2,2aaaa，中最大的是

A．12a B．552a C．662a D．992a

11.已知函数)()(()(321xxxxxxxf）（其中321xxx），)12sin(3)(xxxg，且函数)(xf的两个极值点为）（，．设2,23221xxxx，则

A．)()()()(gggg B．)()()()(gggg

C．)()()()(gggg D．)()()()(gggg

12.设双曲线)0,0(12222babyax的右焦点为F，过点F作x轴的垂线交两渐近线于点BA,两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若)ROBOAOP，（，8522，则双曲线的离心率为（ ）

A．332 B．553 C．223 D．89

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.若nS是数列na的前n项的和，且762nnSn，则数列na的最大项的值为___________.

14.设221(32)axxdx,则二项式261()axx展开式中的第4项为___________.

15. 已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则PCPD的最小值为___________.

3 16.已知函数xxaxf22)(1在]3,21[上单调递增，则实数a的取值范围_________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）

已知函数))(12(sin2)62sin(3)(2Rxxxxf

（I）求函数)(xf的最小正周期；

（Ⅱ）求使函数)(xf取得最大值的x的集合．

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥ABCDP-中，底面ABCD是菱形，60DAB，,1,ADPDABCDPD平面

点,EF分别为AB和PD中点.

(Ⅰ)求证：直线PECAF平面//；

(Ⅱ)求PC与平面PAB所成角的正弦值.

19.（本小题满分12分）

某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．

（I）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；

（II）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极安全”的人数，求的分布列及数学期望．

20.（本小题满分12分） FEBDCAP 4 如图，已知直线1:myxl过椭圆1:2222byaxC的右焦点F，抛物线：yx342的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于BA、两点，点BFA、、在直线4xg：上的射影依次为点EKD、、．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且BFMBAFMA21，，当m变化时，探求21的值是否为定值？若是，求出21的值，否则，说明理由.

21.（本小题满分12分）

设xm和xn是函数21()ln(2)2fxxxax的两个极值点,其中

mn,aR.

(Ⅰ) 求()()fmfn的取值范围;

(Ⅱ) 若12aee,求()()fnfm的最大值.

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图所示，已知⊙O的半径长为4，两条弦BDAC,相交于点E，若34BD，DEBE，E为AC的中点，AEAB2.

(Ⅰ) 求证：AC平分BCD；

(Ⅱ)求ADB的度数.

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线1C的参数方程为sin3cos2yx（其中为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为01sincos.

(Ⅰ) 分别写出曲线1C与曲线2C的普通方程；

(Ⅱ)若曲线1C与曲线2C交于BA,两点，求线段AB的长.

24.（本小题满分10分） 选修4－5：不等式选讲

已知函数|12|)(xxf. .ABCDEO 5 (Ⅰ)求不等式2)(xf的解集；

(Ⅱ)若函数)1()()(xfxfxg的最小值为a，且)0,0(nmanm，求nnmm1222的最小值. 6 东北育才高中部第三次模拟数学（理科）答案

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.C 2.D 3.C 4.A5.C 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B 11.D 12.A

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.12 14.31280x 15.525 16.[﹣1，1]

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.(Ⅰ) f(x)=3sin(2x－π6)+1－cos2(x－π12)

= 2[32sin2(x－π12)－12 cos2(x－π12)]+1

=2sin[2(x－π12)－π6]+1

= 2sin(2x－π3) +1

∴ T=2π2 =π

(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x－π3)=1,

有 2x－π3 =2kπ+π2

即x=kπ+ 5π12 (k∈Z)

∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ 5π12 , (k∈Z)}.

18.解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M.

∵点F为PD中点，∴CDFM21. …………2分

∵21k，∴FMABAE21，

∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM， ……4分

∵AFPECEMPEC平面，平面， MFEBACDP 7 ∴直线AF//平面PEC. ……………6分

(Ⅱ)60DAB，DEDC.

如图所示，建立坐标系，则

P(0,0,1),C(0,1,0),E(32,0,0),

A(32，12，0)，31(,,0)22B，

∴31,,122AP，0,1,0AB. …8分

设平面PAB的一个法向量为,,nxyz.

∵0nAB，0nAP，∴002123yzyx，取1x，则32z，

∴平面PAB的一个法向量为3(1,0,)2n. …………………………10分

设向量nPC与所成角为，∵(0,1,1)PC，

∴3422cos14724nPCnPC，

∴PC平面PAB所成角的正弦值为4214. .…………………………12分

19.

FEBACDyzxP 8

20.解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1， 抛物线的焦点坐标，∴∴b2=3

∴a2=b2+c2=4∴椭圆C的方程

（Ⅱ）易知m≠0，且l与y轴交于，

设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2） 由

∴△=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）＞0 ∴ 又由 9 ∴ 同理 ∴ ∵ ∴

所以，当m变化时，λ1+λ2的值为定值；

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）

方法1）∵ 当时，= = ∴点在直线lAE上， 同理可证，点也在直线lBD上；

∴当m变化时，AE与BD相交于定点