高中数学选修2-3排列组合

1 计数原理

【知识要点】

一、分类加法原理与分布乘法计数原理

1．加法原理：

完成一件事有n类办法，在第1类办法中有m

1种不同的方法，在第2类办法中有

m

2种不同的方法，„„，在第n类办法中有m

n种不同的方法，那么完成这件事一共

有N=m

1+m

2+„+m

n 种不同的方法。种不同的方法。

2．乘法原理：

完成一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m

1种不同的方法，第2步有m

2

种不同的方法，„„，第n步有m

n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m

1×m

2

ׄ×m

n种不同的方法。种不同的方法。

二、排列与组合

1．排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(mm(m≤≤n)n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n

个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(m(m≤≤n)n)元素的所有排列个元素的所有排列个

数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用m

nA表示，表示，

m

nA=n(n-1)=n(n-1)„„(n-m+1)=

)!(!

mnn

-,其中m,nm,n∈∈N,mN,m≤≤n,

注：一般地

0

nA=1，0！=1，n

nA=n! 。

2．组合与组合数：

一般地，从n个不同元素中，任取m(mm(m≤≤n)n)个元素并成一组，叫做从个元素并成一组，叫做从n个不同

元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子

集。从n个不同元素中取出m(mm(m≤≤n)n)个元素的所有组合的个数，叫做从个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个

元素的组合数，用m

nC表示：表示：

.

)!(!!

!)1()1(

mnmn

mmnnn

Cm

n

-=+--

=󰀀

规定：

1C0

=

n

组合数的基本性质：

（1）mn

nm

nCC-

=；

（2）1

1-

-+=n

nm

nm

nCCC；

解决排列与组合的应用题的一般方法有：解决排列与组合的应用题的一般方法有：

（1）特殊元素（位置）法）特殊元素（位置）法 （2）相邻问题的“捆绑法”）相邻问题的“捆绑法”

（3）不相邻问题“插空法”）不相邻问题“插空法” （4）正难则反）正难则反 “排除法”“排除法”

一、两个计数原理

1、某人计划按“石家庄—青岛—广州”的路线旅游，从石家庄到青岛可乘坐汽车、火车、飞

2 机3种交通工具，从青岛到广东可以乘坐汽车、火车、飞机、轮船4种交通工具，文此人可

选择的旅行方式有选择的旅行方式有 （ ）

A、7 种 B、8 种 C、10 种 D、12种

2、从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b 组成复数a+bi,其中虚数有其中虚数有 （ ）

A、30个 B、36个 C、42个 D、35个

3、（07全国）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一

天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各1人参加，则不同的选派方法有人参加，则不同的选派方法有 （ ）

A、40种 B、60种 C、100 种 D、120种

4、有4部机床，需要加工3个不同的零件，其不同的安排方法有个不同的零件，其不同的安排方法有 （ ）

A、4

3 B、3

4 C、3

4A D、4

4

5、有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加。名女同学中选人参加。

（1）若只需一个人参加，有多少种选法？）若只需一个人参加，有多少种选法？

（2）若需要老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？）若需要老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？

（3）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？

6、有0、1、2、…、8这9个数字个数字

（1）用这9个数字组成四位数，共有多少种不同的四位数？个数字组成四位数，共有多少种不同的四位数？

（2）用这9个数字组成四位的密码，共有多少个这样的密码？个数字组成四位的密码，共有多少个这样的密码？

二、排列数组合数的计算

3 1、计算：、计算：

（1）2

84

82AA

- （2）2

53

823CC

-

2、证明：、证明：

（1）11

1mm

nA-

-=mm

nnA （2）1

1mm

n

11

C++

+

++

=m

nC

nm

三、排列

1、有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。

（1）选其中5人排成一排；人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；人；

（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

（4）全体站成一排，女生必须站在一起；）全体站成一排，女生必须站在一起；

（5）全体站成一排，男生互不相邻；）全体站成一排，男生互不相邻；

（6）全体站成一排，甲、乙两人中间恰有3人。人。

2、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数。组成没有重复数字的数。

（1）能组成多少个六位数？）能组成多少个六位数？

（2）能组成多少个六位奇数？）能组成多少个六位奇数？

（3）能组成多少个被5整除的六位数？整除的六位数？

（4）能组成多少个比240135大的数？大的数？

四、组合

1、从7名男同学和5名女同学中，选出5个，分别求符合下列条件的选法总数有多少种。个，分别求符合下列条件的选法总数有多少种。

4 （1）A、B必须当选必须当选

（2）A、B必不当选必不当选

（3）A、B不全当选

（4）至少有2名女同学当选名女同学当选

（5）选出3名男同学和2名女同学，分别担任体育委员、文娱委员五种不同工作，但体育委

员必须男同学担任，文娱委员必须女同学担任。员必须男同学担任，文娱委员必须女同学担任。

2、课外活动小组共有13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从

中选5人主持某种活动，以下列条件各有多少种选法？人主持某种活动，以下列条件各有多少种选法？

（1）只有一名女生）只有一名女生

（2）两队长当选）两队长当选

（3）至少一名队长当选）至少一名队长当选

（4）既要有女生当选，又要有队长）既要有女生当选，又要有队长

五、排列组合的综合应用

排列组合的区别与联系：排列组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能配置的数目

问题，它们之间的主要区别在于是否考虑选出元素的先后顺序。不需要考虑先后顺序的是组

合问题，需要考虑先后顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，

因此，解决排列组合问题的基本思维是“先选元后排队”。

1、有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担

三项任务，不同的选法共有三项任务，不同的选法共有 （ ）

5 A、1260种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040种

2、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同

的分配方法共有的分配方法共有 （ ）

A、90种 B、180 种 C、270种 D、540种

3、有4个不同的球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内

（1）共有多少种方法？）共有多少种方法？

（2）恰有一个盒子不放球，共有几种放法？）恰有一个盒子不放球，共有几种放法？

（3）恰有两个盒子不放球，共有几种放法？）恰有两个盒子不放球，共有几种放法？

高考链接

1、（07广东）．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图是某汽车维修公司的维修点环形分布图,,公司在年初分配给公司在年初分配给AA、

B、C、D四个维修点某种配件各四个维修点某种配件各505050件．在使用前发现需将件．在使用前发现需将件．在使用前发现需将AA、B、C、D

四个维修点的这批配件分别调整为四个维修点的这批配件分别调整为404040、、4545、、5454、、6161件，但调整只能在件，但调整只能在件，但调整只能在

相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次((n件

配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为 （（ ））

A．18 B B．．17 C C．．16 D D．．15

2、（

09广东）．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中

选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两

项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）

Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种

3、（10年广东）.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不

固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色