高中数学_3.1.1方程的根与函数的零点(

1 3．1.1 方程的根与函数的零点

[学习目标] 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系．

[知识链接]

考察下列一元二次方程与对应的二次函数：

(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；

(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；

(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.

你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？

[预习导引]

1．函数的零点

对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2．方程、函数、图象之间的关系；

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

3．函数零点存在的判定方法

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

温馨提示：判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数

y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)＜0不一定成立．

要点一 求函数的零点

例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝x2＋7x＋6；

(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；

(3)f(x)＝2x－1－3；

(4)f(x)＝x2＋4x－12x－2. 2 规律方法

求函数零点的两种方法：

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；

(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

跟踪演练1

判断下列说法是否正确：

(1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(2,0)；

(2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.

- 1 - 课题：3.1.1方程的根与函数的零点

课型：复习 设计：高忠芬 审核：毕方波 使用： 时间：月 日 学习札记

◇ 预习目标◇

1、会用函数图象的交点解释方程的根的意义.

2、能结合二次函数的图象与x轴的交点的个数，判断一元二次方程的根的存在性和根的个数.

3.了解函数的零点与对应方程根的联系.

4、理解零点的意义，会求简单函数的零点.

◇问题引导，自我探究◇

预习课本86-88

1、结论：一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的根的个数及其判别式与二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的开口方向和顶点位置之间联系：设二次方程为ax2+bx+c=0（a≠0），相应的二次函数为y=ax2+bx+c（a≠0），其判别式Δ=b2－4ac，我们有：

（1）当Δ〉0时 ；

（2）当Δ=0时 ；

（3）当Δ＜0时 。.

2、对于函数()yfx，我们把使()0fx的实数x叫做函数()yfx的

3、方程()0fx有实数根 



4、勘根定理：

。

第1页（共4页）

锦山蒙中高一数学导学案 姓名：

课题： 3.1.1方程的根与函数的零点

目标：（1）了解函数的零点与方程根的联系；

（2）理解并会应用函数在某区间上存在零点的判定.

重点：函数的零点与方程的根之间的联系.

难点：掌握零点存在的判定定理.

一、复习回顾

复习1：一元二次方程2ax+bx+c=0 (a0)的解法.

判别式= .

当 0，方程有两根，为1,2x ；

当 0，方程有一根，为0x ；

当 0，方程无实根.

复习2：方程2ax+bx+c=0 (a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象之间有什么关系？

判别式 一元二次方程的根个数 二次函数图象

0

0

0

二、新知探究

【探究一】函数零点与方程的根的关系

问题：

① 方程2230xx的解为 ，函数223yxx的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

② 方程2210xx的解为 ，函数221yxx的图象与x轴有 个交点，第2页（共4页）

坐标为 .

③ 方程2230xx的解为 ，函数223yxx的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

根据以上结论，可以得到：

一元二次方程20(0)axbxca的根就是相应二次函数20(0)yaxbxca的图象与x轴交点的 .

你能将结论进一步推广到()yfx吗？

1 《方程的根与函数的零点》的助学案

高一（8）班 授课教师

学习目标：1.掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系；

2零点的概念及零点存在性的判定

学习难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.

预习案：先来画出几个具体的一元二次方程对应的二次函数的图象，并观察二次函数与x轴交点个数？○1方程0322xx与函数322xxy;○2方程0122xx与函数122xxy;○3方程0322xx与函数322xxy

填下表？

函数 322xxy 122xxy 322xxy

函数图象

函数与x轴交点

f(x)=0的根

探究案：

探究1：对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的零点。

注意：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的。

练习：求函数xxy43的零点

2 是不是所有的二次函数)0(2acbxaxy都有零点？

acb42 02cbxax的实根 )0(2acbxaxy图像与x轴交点 )0(2acbxaxy有几个零点

>0

=0

<0

探究2:观察二次函数32)(2xxxf的图象：

○1在区间1,2上有零点吗？______；)2(f_______，)1(f_______,)2(f•)1(f_____0 （＜或＞）．

○2 在区间4,2上有零点______；)2(f•)4(f____0 （＜或＞）．

观察下面函数)(xfy的图象

○1 在区间ba,上______(有/无)零点；)(af•)(bf_____0（＜或＞）．