第九讲：角平分线的性质（二）
知识点：
角平分线的性质：
角平分线的判定：
例题讲解：
例1、（1）如图1，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC=PD，则∠1_____∠2；
（2）如图2，AB⊥BC于B，AD⊥DC于D，若CB=CD，且∠1=30°，则∠BCD=______；
（3）在R⊿tABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若DC=7，则D到AB 的距离是_______；
（4）如图3，在⊿ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则
⊿DEB的周长为________
（5）如图4，到三条直线a、b、c的距离相等的点共有______个。
例2、如图5，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上另一点，连接DF、EF。
求证：DF=EF
例3、如图6，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N。
求证：PM=PN
例4、如图7，已知AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：DE=DF
例5、如图8，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于O点，∠1=∠2。
（1）图中共有______对全等三角形；
（2）选择其中一对给予证明。
巩固：
1、如图，⊿ABC中，AD是它的角平分线，若23ACAB，求ACDABDSS的值。
2、PA、PB分别是⊿ABC外角∠MAC、∠NCA的平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BC于F，则BP是∠MBN的平分线吗？说明理由。
3、如图，在三角形ABC中，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．
求证：点P必在∠A的平分线上．
4、如图，在数学活动课上，小林提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CDM=35°，请你求出∠MAB的度数。
5、如图，在⊿ABC中，∠ABC=100°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20°。
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----完整版学习资料分享---- 初二数学第十一章 第3节 角平分线的性质人教新课标版
一、学习目标：
1. 了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；
2. 掌握角平分线的性质和判定；
3. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。
二、重点、难点：
重点：角平分线的性质和判定。
难点：角平分线的性质和判定的综合应用。
三、考点分析：
对角平分线的定义及角平分线的作法进行单独命题在中考中是比较少见的，但这两个知识点属于基础知识，出题者往往将其与线段的垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识综合在一起进行命题，题型多为作图题，属中档难度题。
角平分线的性质是本章的重要内容，它是除了用三角形全等证明线段相等之外的又一个证明线段相等的重要方法。中考命题中，多将角平分线的作法及性质与其他知识点结合在一起进行考查，题型多为选择、填空、作图题，分值在3~6分。这就要求学生必须熟练掌握用尺规作图法作角平分线的要领，并会应用角平分线的定义、性质解决相关问题。
1. 角平分线的定义
2. 角平分线的尺规作法
3. 角平分线的性质
4. 角平分线的判定
知识点一 作角平分线
例1：如图，已知点C为直线AB上一点，过C作直线CM，使CMAB于C。
思路分析：
由于AB是直线，要求作CMAB，实际上就是要作平角ACB的平分线。根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM。
解答过程：
作法：
1、以C为圆心，适当的长为半径画弧，与CA、CB分别交于点D、E；
2、分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，使两弧交于点M；
3、作直线CM。
所以，直线CM即为所求。 WORD完整版----可编辑----教育资料分享
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解题后的思考：
此题要求“大于12DE的长为半径”的理由是：半径如果小于12DE，则两弧无法相交；而半径如果等于12DE，则两弧交点位于C点处，无法作出直线CM。
11.3角平分线的性质
1．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、
QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是．
2．如图，在△ABC中，∠B=300，∠C=900，AD平分∠CAB，交CB于D，DE⊥AB于E，则∠BDE==．
3．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=．
4．如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于．
5．已知Rt△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD:CD=9:7，则D到AB边的距离为()．
(A)18(B)16(c)14(D)12
6．如图，MP⊥NP，MQ为∠NMP的角平分线，MT=MP，连结TQ，则下列结论不正确的是()．
(A)TQ=PQ(B)∠MQT=∠MQP(c)∠QTN=900(D)∠NQT=∠MQT
7．如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条
射线AE，AE就是角平分线．说明它的道理．
8．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC．求证：BE=CF．
9．如图，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．求证：∠CDE=∠CDF．10．如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．
(1)如果BE平分∠ABC，求证：点E是DC的中点；
(2)如果E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC．
11．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，下列结
论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是()．
角的平分线的性质
一.基础知识
1角的平分线的性质
(1) 内容
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
(2) 书写格式
如图所示，
•••点P在/ AOB勺角平分线上，PD丄OA PEL OB
••• PD= PE
2. 角的平分线的判定
(1) 内容
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
(2) 书写格式
如图所示，
•/ PDL OA PEL OB PD= PE
•••点P在/ AOB勺角平分线上.
3. 运用角的平分线的性质解决实际问题
运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的 距离.
在运用角的平分线的性质解决实际问题时， 题目中常常出现求到某个角的两边距离相等
的点的位置，只要作出角的平分线即可.
运用角平分线的性质解决实际问题时， 一定要把实际问题中道路、 河流等抽象成数学图 形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角 的平分线上的点，这个过
程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法.
4•运用角的平分线的判定解决实际问题
在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为 数
学问题，即建立数学模型（角的平分线）•然后根据已知某点到角两边的距离相等， 则常常联 想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题.
解技巧 巧用角的平分线的性质和判定解决问题 能根据已知条件联想到角的平分线
的性质或判定是解决问题的关键.找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离 相等或要找到到两条直线的距离相等的点.
5•综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题
角的平分线的性质和判定的关系如下:
go的¥分线上
点到用两边的距离机竽
对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和
“判定”恰好是条件和结论的互换， 在应用时不要混淆， 性质是证两条线段相等的依据， 判
