角平分线的性质

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一. 根底知识

1．角的平分线的性质

(1)内容

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

(2)书写格式

如下列图，

∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD＝PE.

2．角的平分线的判定

(1)内容

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

(2)书写格式

如下列图，

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，

∴点P在∠AOB的角平分线上．

3．运用角的平分线的性质解决实际问题

运用角的平分线的性质的前提条件是角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．

在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．

运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．

4．运用角的平分线的判定解决实际问题 在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据某点到角两边的距离相等，那么常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．

解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题 能根据条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．

5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题 .

三角形的角平分线性质

三角形是几何学中重要的图形之一，它由三条边和三个内角组成。其中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。角平分线在三角形中具有一些特殊的性质和应用。本文将探讨三角形的角平分线性质，帮助读者更好地理解和运用。

1. 角平分线的定义

角平分线是源于一个角的顶点，将该角分成两个相等的角的线段。在三角形中，每个内角都有一条平分线，且这些平分线相互交于一个点，称为三角形的内心。三角形的内心是角平分线的交点，它与三角形的三个顶点的连线相交于三条边的中点。

2. 角平分线的性质

（1）内角的平分线相互垂直。

对于任意一个三角形，任意一个内角的平分线与另外两个内角的外角的平分线相互垂直。

（2）角平分线分割对边成比例。

对于任意一个三角形，角平分线将对边分割成两个部分，它们的比例等于另外两个边的比例。

（3）角平分线长度关系。 对于任意一个三角形，角平分线的长度与与之对应的边的长度的比例相等。即如果一个角的两个平分线分别与该角两边相交于点L和M，那么AL/BL=AM/BM。

（4）角平分线的外角等于直角。

对于任意一个三角形，角平分线的外角等于直角，也就是说，角平分线和对边构成的外角为90度。

3. 角平分线的应用

（1）三角形的内心是角平分线的交点，它是三角形内接圆的圆心。内接圆是与三角形的三条边都相切的圆。

（2）角平分线的性质可以用于解决一些与三角形相关的问题，例如角平分线定理、角平分线长度的计算以及面积的求解等。

（3）角平分线的长度关系可以应用于相似三角形的求解中，求解未知边长或角度大小等。

总结：

三角形的角平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。角平分线具有垂直关系、对边成比例、长度关系等性质。角平分线的应用包括解决与三角形相关的问题、内接圆的构造以及相似三角形的求解等。通过深入研究和理解角平分线的性质，我们能够更好地应用它们解决实际问题，在几何学中发挥重要作用。

第三节 角平分线的性质及应用

一、课标导航

课标内容 课标要求 目标层次

角平分线的性质 掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质

掌握角平分线的判定及角平分线的画法 ★

熟练运用角的平分线的性质解决问题 ★★

二、核心纲要

1．角平分线的性质定理

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

如下左图所示：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE．

注：考查点到线的距离相等时，可以考虑角平分线的性质．

2．角平分线的判定定理

到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

如下中图所示：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE,∴OC平分∠AOB．

注：用来证明一条线是一个角的平分线．

3．角平分线的画法

如下右图所示，已知：∠AOB．

作法；（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．

（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．

（3）作射线OC．∴射线OC即为所求．

4.三角形的角平分线

三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等．

5.与角平分线有关的辅助线模型

（1）在角的平分线上取一点向角的两边作垂线．（点垂线，垂两边，线等全等都出现）

如下左图所示，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，则CD=CE，△OCD≌△OCE．

（2）在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．（角分线，分两边，对称全等要记全） 如下图所示:在OA、OB上分别截取OD=OE，连接CD、CE，则△OCD≌△OCE．

（3）角平分线+垂线，全等必出现．

如下右图所示：延长DC交OB于点E，则△OCD≌△OCE．

本节重点讲解：两个定理，两个作法（角平分线的作法和与角平分线有关的辅助线）．

三、全能突破

基 础 演 练

1．如图12-3-1所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（ ）．

三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析

三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。在研究三角形的性质时，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。本文将详细解析三角形的角平分线与垂直平分线的性质，并通过几何证明来加深理解。

一、角平分线的性质

角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。在三角形中，每个角都可以有三条角平分线，它们分别连接角的顶点和对边上的点。下面将分别探讨三角形内、角平分线与三角形外、角平分线的性质。

1. 三角形内的角平分线性质

对于任意三角形ABC，以顶点A为例，AC为角A的对边，BD为角A的一条角平分线（B点在AC上）。则有以下结论：

（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。

这是角平分线的定义性质，也即∠BAD = ∠DAC。

（2）角平分线所在的边（线段BD）与对边（线段AC）成等角。

这一性质可以通过角平分线定义的推论得到，即∠ABD = ∠CBD。

（3）角平分线所在的边（线段BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成外角。

外角是指角的补角，也即∠ABC = ∠CBD + ∠ABD。 2. 三角形外的角平分线性质

接上述讨论，若角平分线BD延长到线段BC上的点E，则有以下结论：

（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。

这一性质是角平分线的定义性质，同前述。

（2）角平分线所在的射线（射线BD）与对边（线段AC）夹角的平分线是角平分线BD所在的边（线段BD）。

这一性质也即∠ABD是∠ACD的平分线，通过几何证明可得。

（3）角平分线所在的射线（射线BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成内角。

内角是指角的补角，也即∠DBE = ∠ABC + ∠CBD。这一性质可通过几何证明来得到。

二、垂直平分线的性质

垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与该线段垂直的线段。在三角形中，每条边都可以有一条垂直平分线，它们分别与对边相交于一个点，并且将对边分成两个相等线段。下面将讨论垂直平分线的性质。