角平分线的性质

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jz* 角的平分线的性质

一. 根底知识

1．角的平分线的性质

(1)内容

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

(2)书写格式

如下列图，

∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD＝PE.

2．角的平分线的判定

(1)内容

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

(2)书写格式

如下列图，

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，

∴点P在∠AOB的角平分线上．

3．运用角的平分线的性质解决实际问题

运用角的平分线的性质的前提条件是角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．

在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．

运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．

4．运用角的平分线的判定解决实际问题 在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据某点到角两边的距离相等，那么常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．

解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题 能根据条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．

5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题 .

11.3角平分线的性质

1．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、

QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是．

2．如图，在△ABC中，∠B=300，∠C=900，AD平分∠CAB，交CB于D，DE⊥AB于E，则∠BDE==．

3．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=．

4．如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于．

5．已知Rt△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD:CD=9:7，则D到AB边的距离为()．

(A)18(B)16(c)14(D)12

6．如图，MP⊥NP，MQ为∠NMP的角平分线，MT=MP，连结TQ，则下列结论不正确的是()．

(A)TQ=PQ(B)∠MQT=∠MQP(c)∠QTN=900(D)∠NQT=∠MQT

7．如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条

射线AE，AE就是角平分线．说明它的道理．

8．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC．求证：BE=CF．

9．如图，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．求证：∠CDE=∠CDF．10．如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．

(1)如果BE平分∠ABC，求证：点E是DC的中点；

(2)如果E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC．

11．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，下列结

论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是()．

CABDABCABCDEFOPABCDE角平分线的性质

【基础知识扫描】

1.三角形中到三边的距离相等的点是( )

A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条高的交点 C.三条中线的交点 D.三条角平分线的交点

2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°AD的平分∠BAC, ∠BAD=20°,则∠B的度数为( )

A. 40° B. 30° C. 60° D. 50°

第2题图 第3题图 第4题图 第6题图

3.如图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为( )

A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定

4.如图,AB∥CD,PB平分∠ABC,PC平分∠DCB,则 ∠P=

5.角平分线上的点到 相等.

【能力训练升级】

6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为

7.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,AB=5cm,AC=3cm,则S△ABD︰S△ACD=

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图

8.已知∠ABC,M求作一个角,使它等于21∠BAC（要求用尺规作图，并写出作法）;

9.如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC,求证:BE=CF

【探究创新实践】

10.如图,已知E是∠AOB的平分线上的一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D，你能得到哪些结论？并证明你的结论。

2.5 角平分线的性质

(一)教材分析

本节在研究轴对称图形的性质的基础上，研究线段的垂直平分线与角的平分线的性质、等腰三角形的性质，这些内容不仅是对已学过的线段、角、三角形等内容的补充和完善，而且是进一步研究全等三角形、四边形和圆等知识的基础，对学生的后继学习具有重要的作用。

（二）教学设计

学习目标

1、探索角平分线的性质，并利用性质解决相关的问题；

2、会用尺规作出已知角的平分线。

（三）学习活动

一、创设情境，导入新课

如右图所示，在一次军事演习中，红方侦查员发现蓝方指挥部在A区内，并且该指挥部到公路（实线）、铁路（虚线）的距离相等，距公路和铁路的交叉处B点700m，如果你是红方的指挥员，请你在右所示的作战地图上标出蓝方指挥部的位置。（比例尺为1:40000）

二、自主探究，归纳新知：

在纸上画∠BAC ,把它剪下来并对折，使角的两边重合，然后把纸铺平，独立解决以下问题：

1、角是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？

2、尝试用尺规作图的方法作出∠BAC的平分线AD。在AD上任取一点P，作出点P到∠BAC 两边的垂线段PM与PN，垂足分别为点M和点N，如果把∠BAC沿AD折叠，线段PM与PN重合吗？由此，你能得出什么结论？

1、在AD上另取另一点Q，重复上述操作，你还能得出同样的结论吗？

角平分线上的点，到这个角的两边的距离___________；角的内部到角两边距离相等的点__________________________。

小组合作：

①任意作一个锐角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线，你有什么发现？

②任意作一个直角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线，你有什么发现

③任意作一个钝 角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线，你有什么发现？

三、应用练习，巩固性质

1、三角形一内角的平分线与其相邻的外角的平分线所夹的角为_______度。