第九讲：角平分线的性质（二）
知识点：
角平分线的性质：
角平分线的判定：
例题讲解：
例1、（1）如图1，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC=PD，则∠1_____∠2；
（2）如图2，AB⊥BC于B，AD⊥DC于D，若CB=CD，且∠1=30°，则∠BCD=______；
（3）在R⊿tABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若DC=7，则D到AB 的距离是_______；
（4）如图3，在⊿ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则
⊿DEB的周长为________
（5）如图4，到三条直线a、b、c的距离相等的点共有______个。
例2、如图5，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上另一点，连接DF、EF。
求证：DF=EF
例3、如图6，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N。
求证：PM=PN
例4、如图7，已知AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：DE=DF
例5、如图8，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于O点，∠1=∠2。
（1）图中共有______对全等三角形；
（2）选择其中一对给予证明。
巩固：
1、如图，⊿ABC中，AD是它的角平分线，若23ACAB，求ACDABDSS的值。
2、PA、PB分别是⊿ABC外角∠MAC、∠NCA的平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BC于F，则BP是∠MBN的平分线吗？说明理由。
3、如图，在三角形ABC中，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．
求证：点P必在∠A的平分线上．
4、如图，在数学活动课上，小林提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CDM=35°，请你求出∠MAB的度数。
5、如图，在⊿ABC中，∠ABC=100°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20°。
11.3角平分线的性质
1．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、
QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是．
2．如图，在△ABC中，∠B=300，∠C=900，AD平分∠CAB，交CB于D，DE⊥AB于E，则∠BDE==．
3．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=．
4．如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于．
5．已知Rt△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD:CD=9:7，则D到AB边的距离为()．
(A)18(B)16(c)14(D)12
6．如图，MP⊥NP，MQ为∠NMP的角平分线，MT=MP，连结TQ，则下列结论不正确的是()．
(A)TQ=PQ(B)∠MQT=∠MQP(c)∠QTN=900(D)∠NQT=∠MQT
7．如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条
射线AE，AE就是角平分线．说明它的道理．
8．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC．求证：BE=CF．
9．如图，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．求证：∠CDE=∠CDF．10．如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．
(1)如果BE平分∠ABC，求证：点E是DC的中点；
(2)如果E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC．
11．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，下列结
论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是()．
CABDABCABCDEFOPABCDE角平分线的性质
【基础知识扫描】
1.三角形中到三边的距离相等的点是( )
A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条高的交点 C.三条中线的交点 D.三条角平分线的交点
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°AD的平分∠BAC, ∠BAD=20°,则∠B的度数为( )
A. 40° B. 30° C. 60° D. 50°
第2题图 第3题图 第4题图 第6题图
3.如图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为( )
A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定
4.如图,AB∥CD,PB平分∠ABC,PC平分∠DCB,则 ∠P=
5.角平分线上的点到 相等.
【能力训练升级】
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为
7.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,AB=5cm,AC=3cm,则S△ABD︰S△ACD=
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8.已知∠ABC,M求作一个角,使它等于21∠BAC（要求用尺规作图，并写出作法）;
9.如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC,求证:BE=CF
【探究创新实践】
10.如图,已知E是∠AOB的平分线上的一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D，你能得到哪些结论？并证明你的结论。
1 12.3 角的平分线的性质
一、教学分析
1．教学内容分析
本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第12.3节第一课时内容，是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用．作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．
2．教学对象分析
刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础．
3．教学环境分析
利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律．根据如今各学校实际教学环境及本节课的实际教学需要，我选择多媒体、投影仪等教学系统辅助教学，将有关教学内容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握．
二、教学目标
1、知识与技能：
1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。
2. 利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决问题．
2、过程与方法：
1.在探究作已知角的平分线和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。
2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.
3.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.
