专题二 数列通项公式的求法

数列通项公式的十种求法

一、公式法

例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。

解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列{}na的通项公式为2nan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。 例3 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn

构造法求数列通项的八种技巧(二)

【必备知识点】

◆构造四:同型构造法

所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构

相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.

模型一：an+1=n

n+1⋅a

n左右同乘n+1(n+1)a

n+1=n⋅a

n,构造b

n=n⋅a

n,则b

n+1=b

n,b

n为常数数列.

模型二：an+1=n+1

n⋅a

n左右同除n+1a

n+1

n+1=a

n

n,构造b

n=a

n

n,则b

n+1=b

n,b

n为常数数列.

模型三：an+1=n+2

n⋅a

n左右同除n+2n+1a

n+1

(n+1)(n+2)=a

n

n(n+1),构造b

n=a

n

n(n+1),则b

n+1=b

n

,b

n为常数数列.

模型四：nan+1=2(n+1)a

n左右同除nn+1a

n+1

n+1=2a

n

n,构造b

n=a

n

n,则b

n+1=2b

n,b

n为等比数列.

模型五：an+1=n+2

n⋅S

n⇒S

n+1-S

n=n+2

n⋅S

n⇒S

n+1=2n+2

n⋅S

n左右同除n+1S

n+1

n+1=2S

n

n,构造b

n=

S

n

n,则b

n+1=2b

n,b

n为等比数列.

模型六：an+1=n+1

n⋅a

n+n+1左右同除n+1a

n+1

n+1=a

n

n+1,构造b

n=a

n

n,则b

n+1=b

n+1,b

n为等差数

列.

模型七：an+1=2a

n+2n+1左右同除2n+1a

n+1

2n+1=a

n

2n+1,构造b

n=a

n

2n,则b

n+1=b

n+1,b

n为等差数列.

模型八：an-a

n+1=a

na

n+1左右同除anan+11

an+1-1

an=1,构造b

n=1

an,则b

n+1-b

n=1,b

n为等差数列.

看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类

数列的通项公式求法

一、累加法：一阶递推数列，系数相等

1.（全国高考）已知数列na满足a1=1,an=an-1+3n-1 (n2) ; 求an.

2.已知数列na满足a1=1, an=an-1+)2(,)1(1nnn, 求an

3.已知数列na满足a1=1, an+1=an+lg)11(n 求an

4.已知数列na满足a1=1,

nnnnaaa11, 求an

二．累乘法： 形如)(1nfaann

1.数列na中，0)1(,0,121211nnnnnnaaaanaa且求数列的通项公式an

2.已知数列na中，a1=1,nnnannaa求,21

3.已知数列na满足nnnaanSa求,,2121

三．构造等比数列：一阶递推数列，系数不相等

1.已知数列na满足a1=2，231nnaa, 求an

2.已知数列na满足a1=1, 1211nnaa,求an

3,设二次方程36260112满足，有两根xaxann

试用1nnaa表示 (2) 当的通项公式。时，求naa671 四、公式法：)2(,)1(,11nSSnSannn

1.已知数列na满足前n项和Sn=n2+1,数列12nnab,且前n项和为Tn,设nnnTTc12.

(1)求na和nb的通顶公式； （2）判断nc的单调性。

2.已知数列,6921nSnannn项和的前则数列na的通项公式为______________

3.（全国高考）已知数列na满足：nnSaa31,111

(1)求an;

(2) 求naaa242

4.已知数列na满足 an>0,其前n项和为Sn,2111322,32nnnaSSa且满足

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、

累乘法、

待定系数法、

阶差法（逐差法）、

迭代法、

对数变换法、

倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、

数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、

特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：1()nnaafn ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()nnaafn(2)n，

则 21321(1)(2)

()nnaafaafaafn

两边分别相加得 111()nnkaafn 例1 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列{}na的通项公式为2nan。

例2 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn