2024年北京市朝阳区高考数学二模试卷+答案解析

第1页，共18页2024年北京市朝阳区高考数学二模试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。1.已知集合，，则()A.B.C.D.

2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是()A.B.C.D.

3.设等差数列的前n项和为，若，，则()

A.60B.80C.90D.100

4.已知抛物线C：的焦点为F，点P为C上一点.若，则点P的横坐标为()

A.5B.6C.7D.8

5.已知函数存在最小值，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.

6.已知，是两个互相垂直的平面，l，m是两条直线，，则“”是“”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.在平面直角坐标系xOy中，锐角以O为顶点，Ox为始边.将的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点，若，则()A.B.C.D.

8.假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力f满足公式，其中是空气密度，S是该飞行器

的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数其大小取决于多种其他因素，反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率当，S不变，v比原来提高时，下列说法正确

的是()A.若C不变，则P比原来提高不超过B.若C不变，则P比原来提高超过

C.为使P不变，则C比原来降低不超过D.为使P不变，则C比原来降低超过

9.已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上

一点，线段FA与双曲线C的右支交于点若，，则双曲线C的离心率为()第2页，共18页A.B.C.D.

10.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛

积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第

一层有ab个小球，第二层有个小球，第三层有

个小球⋯⋯依此类推，最底层有cd个小球，共有n层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个

数为240，则该垛积的第一层的小球个数为()A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.复数z满足，则z的虚部是______.

12.已知向量，，且，则实数______.

13.在的展开式中，若各二项式系数的和等于64，则______，此时的系数是______用数字作答

14.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的一个取值为______.

15.设n为正整数，已知函数，，，当时，记，其中给出下

列四个结论：①，；②，；③若，则；④若，则，

其中所有正确结论的序号是______.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.本小题13分在中，为锐角，且Ⅰ求的值；Ⅱ再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求条件①；条件②：

；第3页，共18页条件③：

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.17.本小题13分

科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计，2023年1月至12月A，B两地区电动汽

车市场各月的销售量数据如下：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月

A地区单位：万辆B地区单位：万辆10

月销量比

月销量比是指：该月A地区电动汽车市场的销售量与B地区的销售量的比值保留一位小数Ⅰ在2023年2月至12月中随机抽取1个月，求A地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的概率；Ⅱ从2023年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1个

月的月销量比低于5的概率；Ⅲ记2023年1月至12月A，B两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为，，试判断与

的大小结论不要求证明18.本小题14分

如图，六面体是直四棱柱被过点的平面所截得到的几何体，

底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，，Ⅰ求证：；

Ⅱ求平面与平面ABCD的夹角的余弦值；

Ⅲ在线段DG上是否存在一点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理

由.第4页，共18

页19.本小题15分

已知椭圆E的两个顶点分别为，，焦点在x轴上，且椭圆E过点Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ设O为原点，不经过椭圆E的顶点的直线l与椭圆E交于两点，，直线BP

与直线OC交于点H，点M与点Q关于原点对称.

求点H的坐标用，表示；

若A，H，M三点共线，求证：直线l经过定点.20.本小题15分已知函数Ⅰ求曲线在点处的切线方程；Ⅱ若恒成立，求a的值；Ⅲ若有两个不同的零点，且，求a的取值范围.

21.本小题15分

设n为正整数，集合对于，设集合Ⅰ若，，写出集合，；Ⅱ若，且s，满足，令，求证：；Ⅲ若，且，求证：第5页，共18页答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合，，则故选：

求出集合B，利用交集定义能求出

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D

【解析】解：，在定义域R上不单调，A，B不符合题意；

为非奇非偶函数，C不符合题意；

在定义域R上单调递增且为奇函数，D符合题意．故选：

由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断．

本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．3.【答案】D

【解析】解：等差数列中，，，则公差，则故选：

结合等差数列的性质先求出公差d，然后结合等差数列的求和公式即可求解．

本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．4.【答案】C

【解析】解：由题意，抛物线，则，由抛物线定义知，设，则，所以，故点P的横坐标为故选：第6页，共18页由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，即可得到结论．

本题考查了抛物线的性质，属于基础题．5.【答案】A

【解析】解：因为当时，，易知函数在上单调递减，在上单调递增；且，当时，，易知函数在上单调递增，

要使函数存在最小值，则必有，解得故选：

结合二次函数和指数函数的性质，作出图象，结合图象求解即可．

本题考查了二次函数、指数函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题．6.【答案】B

【解析】解：，是两个互相垂直的平面，l，m是两条直线，，若，则m与相交，但不一定垂直，充分性不成立；

，必要性成立．故“”是“”的必要不充分条件．故选：第7页，共18页若，则m与相交，但不一定垂直；

本题考查空间中线线、线面间的位置关系、充分条件、必要条件等基础知识，考查空间思维能力，是基础

题．7.【答案】D

【解析】解：由已知可得，，又为锐角，，则，则有，则故选：

先将y表示出来，再利用同角函数关系，两角和正弦公式即可求值．

本题考查任意角三角函数的定义，两角和差公式，属于中档题．8.【答案】C

【解析】解：由题意，，，所以，，

A：当，S，C不变，v比原来提高时，则，

所以P比原来提高超过，故A错误；

B：由选项A的分析知，，

所以P比原来提高不超过，故B错误；C：当，S，P不变，v比原来提高时，

，

所以C比原来降低不超过，故C正确；D：由选项C的分析知，C比原来降低不超过，故D错误．故选：由题意可得以，，结合选项，依次判断即可．

本题考查了函数在生活中的实际应用，考查了计算能力，属于中基础题．9.【答案】A第8页，共18页【解析】解：不妨设双曲线左焦点为，因为，，所以，由双曲线定义可得，在中，，在中，，即，则故选：

由题意，根据双曲线定义、勾股定理以及离心率公式进行求解即可．

本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．10.【答案】B

【解析】解：由题意知，，，各层的小球个数可当作数列，则，，，…，，当时，，，代入，得，整理得，解得或舍去，此时，即第一层的小球有个．故选：由题意知，，，当时，，，代入

，求出b即可．

本题主要考查数列的应用，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】1

【解析】解：，，的虚部是故答案为：第9页，共18页把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

12.【答案】

【解析】解：因为向量，，所以，因为，所以，解得，故答案为：

由已知结合向量平行的坐标表示即可求解．

本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题．13.【答案】6135

【解析】解：由于的展开式中，若各二项式系数的和等于，解得：；由展开式中的系数为

故答案为：6；

直接利用二项式的系数和求出n值，进一步利用展开式的应用求出结果．

本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．14.【答案】答案不唯一

【解析】解：由题意，直线可化为，可得直线过定点，将曲线化为，

可得曲线表示以原点为圆心，半径为1，且位于x轴上方的半圆，如图所示，第10页，共18

页当直线l过点时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时，

当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，要使曲线与直线有1个交点，此时圆心到直线的距离，解得舍去或，结合图形可知：故答案为：答案不唯一

根据直线过定点，以及直线与圆的位置关系，结合图象，即可求解．

本题考查了直线与圆的位置关系，注意数形结合的思想应用，属于中档题．15.【答案】①③

【解析】解：对于①，因为，所以，又在上单调递增，所以，所以

，故①正确；对于②，当时，，，所以此时，故②错误；对于③，当时，因为在上单调递减，在上单调递增，且关于直线对称．第11页，共18页又有，且和在数轴上关于对称，所以，，…，所以而在和上单调递增，在上单调递减．又有，所以…，504，1518，1519，…，，…，所以这就得到，，，所以此时，故③正确；对于④，当时，因为在上单调递减，在上单调递增．又，所以…，，第12页，共18页所以，所以此时，故④错误．

故答案为：①③．依据在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在和上单调递增，在上单调递减，利用单调性逐项计算可判断每个选项．

本题考查了函数性质的应用，考查了函数思想，属于难题．

16.【答案】解：Ⅰ根据，得，结合，化简得，所以舍负；Ⅱ若选择条件①：与条件②：，可得B为锐角，，所以，结合正弦定理，得

；若选择①：与条件③：，可得B为锐角，，所以，结合正弦定理，得

；若选择条件②：与条件③：，则由余弦定理，得，即，整理得，所以【解析】Ⅰ由，利用二倍角的正弦公式并结合，化简得到，然后根据同角三角函数的基本关系算出的值．Ⅱ若选择条件①②或条件①③，可利用两角和的正弦公式、诱导公式与同角三角函数的基本关系，算出

，进而由正弦定理算出边c的大小；若选择条件②③，可利用余弦定理建立关于边c的一