北京市朝阳区高考数学二模试卷 理(含解析)
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2015年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知集合A={x|x2＞1}，集合B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B=（ ）
A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤1，或x≥2}
2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（ ）
A．7 B．10 C．66 D．166
3．设i为虚数单位，m∈R，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知平面上三点A，B，C，满足||=6，||=8，||=10，则•+•+•=（ ）
A．48 B．﹣48 C．100 D．﹣100
5．已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意的实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．π D．2π
6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|=，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x
7．已知函数f（x）=，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（sinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]
8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本小题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（1﹣）4展开式中含x﹣3项的系数是 ．
10．已知圆C的圆心在直线x﹣y=0上，且圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，则圆C的标准方程是 ．
11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，∠CBD=60°，则AD= ．
12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为 ．
13．已知点A1（a1，1），A2（a2，2），…，An（an，n）（n∈N*）在函数y=logx的图象上，则数列{an}的通项公式为 ；设O为坐标原点，点Mn（an，0）（n∈N*），则△OA1M1，△OA2M2，…，△OAnMn中，面积的最大值是 ．
14．设集合A={（m1，m2，m3）|m2∈{﹣2，0，2}，mi=1，2，3}}，集合A中所有元素的个数为 ；集合A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠ADC=120°，cos∠CAD=．
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）求梯形ABCD的高．
16．某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如表：
题 A B C
答卷数 180 300 120
（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？
（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；
（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．
17．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=DC=AB=1．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面ABEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：FA⊥BC；
（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；
（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线FD⊥平面MNH，求MH的长．
18．已知点M为椭圆C：3x2+4y2=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；
（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．
19．已知函数f（x）=（x2﹣a）ex，a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．
20．已知数列，An：a1，a2，…，an（n≥2，n∈N*）是正整数1，2，3，…，n的一个全排列．若对每个k∈{2，3，…，n}都有|ak﹣ak﹣1|=2或3，则称An为H数列．
（Ⅰ）写出满足a5=5的所有H数列A5；
（Ⅱ）写出一个满足a5k（k=1，2，…，403）的H数列A2015的通项公式；
（Ⅲ）在H数列A2015中，记bk=a5k（k=1，2，…，403）．若数列{bk}是公差为d的等差数列，求证：d=5或﹣5．
2015年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知集合A={x|x2＞1}，集合B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B=（ ）
A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤1，或x≥2}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中不等式解得：x＞1或x＜﹣1，即A={x|x＜﹣1或x＞1}，
由B中不等式解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}，
则A∩B={x|1＜x＜2}，
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（ ）
A．7 B．10 C．66 D．166
【考点】程序框图．
【专题】图表型；算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=166时满足条件S＞100，退出循环，输出n的值为10．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
S=1，n=1
n=4，S=17，
不满足条件S＞100，n=7，S=66
不满足条件S＞100，n=10，S=166
满足条件S＞100，退出循环，输出n的值为10．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
3．设i为虚数单位，m∈R，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．
【专题】简易逻辑；数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数的基本概念以及充要条件判断即可．
【解答】解：复数m（m﹣1）+i是纯虚数，则m=0或m=1，
显然m=1，复数是纯虚数，
所以，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，基本知识的考查．
4．已知平面上三点A，B，C，满足||=6，||=8，||=10，则•+•+•=（ ）
A．48 B．﹣48 C．100 D．﹣100
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后进行向量的数量积运算，注意向量的夹角．
【解答】解：由题意||2+||2=||2=100，所以△ABC是直角三角形，∠A=90°，
所以•+•+•=6×10×（﹣）+8×10×（﹣）+0=﹣100；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理运用以及向量的数量积运算；关键是明确向量的夹角，利用公式解答．
5．已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意的实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．π D．2π
【考点】正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由题意可得|x1﹣x2|的最小值为半个周期，再利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，得出结论．
【解答】解：由题意可得|x1﹣x2|的最小值为半个周期，即===2，
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．
6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|=，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
