朝阳区2024届高三二模数学试题及答案

高三数学 第 1 页（共 7 页）

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二

数 学

2024.5

（考试时长120分钟，满分150）

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项。

1. 已知集合2{10}Axx=R，2,3,4,5B=，则AB=

A.2 B.2,3 C.3,4 D.2,3,4

2. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是

A.()sinfxx= B.()cosfxx= C.()fxx= D.3()fxx=

3. 设等差数列

na的前n项和为

nS，若

11a=，

47a=，则

10S=

A.60 B.80 C.90 D.100

4. 已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，点P为C上一点. 若||8PF=，则点P的横坐标为

A.5 B.6 C.7 D.8

5. 已知函数21,1

()

2,1xxx

fx

ax+

=

−存在最小值，则实数a的取值范围是

A.(,1−− B.(,1)− C.[1,)+ D.(1,)+

6. 已知,是两个互相垂直的平面，,lm是两条直线，l=，则“ml⊥”是“m⊥”

的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7. 在平面直角坐标系xOy中，锐角以O为顶点，Ox为始边. 将的终边绕O逆时针旋转

π

4后与单位圆交于点(,)Pxy

，若2

cos

10=，则y=

A.4

5− B.3

5− C.3

5 D.4

5 高三数学 第 2 页（共 7 页）

8. 假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力f满足公式21

2fCSv= 其中是空气密度，

S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数（其大小取

决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率Pfv= . 当,S

不变，v比原来提高10%时，下列说法正确的是

A.若C不变，则P比原来提高不超过30%

B..若C不变，则P比原来提高超过40%

C.为使P不变，则C比原来降低不超过30%

D.为使P不变，则C比原来降低超过40%

9. 已知双曲线22

22:1 (0,0)xy

Cab

ab−=的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆

222xyc+=上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点B. 若||FAa=，2FAFB

=，则双曲

线C的离心率为

A.7

2

B.33

2 C.7

D.37

2

10. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和

公式. 如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab个小球，第二层有

(1)(1)ab++个小球，第三层有(2)(2)ab++个小球依此类推，最底层有cd个小球，

共有n层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为()()()[22]

6nbdadbcca++++−

.

若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球

个数为

A.1 B.2

C.3 D.4

高三数学 第 3 页（共 7 页）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 若复数z满足(1i)2z−=，则z的虚部为_________.

12. 已知向量(3,4)=a，(,2)k=−b，且()//+aba，则实数k=_________.

13. 在(13)nx−的展开式中，若各二项式系数的和等于64，则n=_________，此时2x的

系数是_________.（用数字作答）

14. 若直线(2)1ykx=+−与曲线21yx=−有两个不同的交点，则实数k的一个取值

为_________.

15. 设n为正整数，已知函数2

1()1fxx=−，

21

()||

2fxx=−，

31

()sin2π

2fxx=，当

1,2,3k时，记10211|()()||()()||()()|

kkkkkknknIfafafafafafa

−=−+−++−， 其中

ii

a

n=(0,1,2,,)in=. 给出下列四个结论：

①*nN，11I=；

②*nN，23II；

③若2023n=，则213III；

④若2024n=，则213III.

其中所有正确结论的序号是_________.

高三数学 第 4 页（共 7 页）

解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题13分）

在ABC△中，A为锐角，且6

sin2cos

5AA=.

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求c.

条件①：5

cos

3B=；

条件②：9a=；

条件③：10b=.

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

高三数学 第 5 页（共 7 页）

17.（本小题13分）

科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐. 据统计，2023年1月至12

月A,B两地区电动汽车市场各月的销售量数据如下：

1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月

A地区

（单位：万辆） 29.4 39.7 54.3 49.4 56.2 65.4 61.1 68.2 70.2 71.9 77.1 89.2

B地区

（单位：万辆） 7.8 8.8 8.1 8.3 9.2 10 9.7 9.9 10.4 9.4 8.9 10.1

月销量比 3.8 4.5 6.7 6.0 6.1 6.5 6.3 6.9 6.8 7.6 8.7 8.8

月销量比是指：该月A地区电动汽车市场的销售量与B地区销售量的比值（保留一位小数）.

（Ⅰ）在2023年2月至12月中随机抽取1个月，求A地区电动汽车市场该月的销售量高

于上月的销售量的概率；

（Ⅱ）从2023年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比

超过8且至少有1个月的月销量比低于5的概率；

（Ⅲ）记2023年1月至12月A,B两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为

22

12,ss，试判断2

1s与2

2s的大小.（结论不要求证明）

高三数学 第 6 页（共 7 页）

18.（本小题14分）

如图，六面体

1ABCDEFGD−是直四棱柱

1111ABCDABCD−被过点

1D的平面所截得到

的几何体，

1DDABCD⊥底面，底面ABCD是边长为2的正方形，

14DD=，2AE=，3CG=.

（Ⅰ）求证：

1ACDF⊥；

（Ⅱ）求平面

1EFGD与平面ABCD的夹角的余弦值；

（Ⅲ）在线段DG上是否存在一点P，使得//AP平面

1EFGD？若存在，求出DP

DG的值；若

不存在，说明理由.

19.（本小题15分）

已知椭圆E的两个顶点分别为(2,0)A−，(2,0)B，焦点在x轴上，且椭圆E过点

2

(2,)

2C.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设O为原点，不经过椭圆E的顶点的直线l与椭圆E交于两点11(,)Pxy，

2,2()Qxy12()xx，直线BP与直线OC交于点H，点M与点Q关于原点对称.

（ⅰ）求点H的坐标（用11,xy表示）；

（ⅱ）若,,AHM三点共线，求证：直线l经过定点.

高三数学 第 7 页（共 7 页）

20.（本小题15分）

已知函数()ln(1)fxaxx=−−()aR.

（Ⅰ）求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；

（Ⅱ）若()0fx恒成立，求a的值；

（Ⅲ）若()fx有两个不同的零点

12,xx，且

21||e1xx−−，求a的取值范围.

21.（本小题15分）

设n为正整数，集合

12|(,,,),0,1,1,2,,

nniAaaaain===. 对于

12(,,,)

nnaaaA=，设集合

1()|01,,1,2,,iiPttnaaint

+=−==−N

（Ⅰ）若(0,1,0,0,1,0)=，(0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0)=，写出集合()P，()P；

（Ⅱ）若12(,,,)

nnaaaA=，且,()stP满足st，令12'(,,,)

nsnsaaaA

−−=，

求证：(')tsP−；

（Ⅲ）若

12(,,,)

nnaaaA=，且

12(),,,

mPsss=

12(,3)

msssm，

求证：

122

kkksss

+++(1,2,,2)km=−.