函数零点与函数图像问题

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传贤集团·精品学堂 函数图像与函数零点问题

函数图象是研究函数性质的直观工具，高考对函数图象的考查主要体现在以下几个方面：

①给出或由条件求出函数的解析式，判断函数的图象；

②给出函数的图象求解析式；

③给出含有参数的解析式和图象，求参数的值或范围；

④考查函数图的平移、对称和翻折；

⑤和数形结合有关问题等，特别是讨论方程的解的个数及解不等式等．同时考查基本数学思想方法的运用及分析问题、解决问题的能力，试题设计新颖，体现了课改的方向.

函数零点问题可看作函数图像的衍生与升华，研究此类问题除二分法外，多采用数形结合法，把方程问题，解得问题直观的转化为两函数图像的交点问题，所以更要准确把握各类函数的性质特征，画出函数简图，准确找到交点所处的位置。

重难点突破：

一、研究一个函数图象可从如下几个方面来考查：

（1）函数图象的范围，即定义域和值域；

（2）函数图象的最高点、最低点和极点；

（3）函数图象的变化趋势，即单调性、对称性和周期性；

（4）函数过定点或渐近线等关键特征．

熟练处理函数图象题的途径：

A）平时要牢记一些基本初等函数如：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等图象；

B）对于一些简单的函数可通过列表、描点作图；

C）对于一些复合函数可利用基本初等函数通过平移、对称和伸缩三大变换来作出我们所求的函数．

二．函数零点的理解

函数()yfx的零点、方程0)(xf的根、函数()yfx的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程0)(xf根的个数就是函数()yfx的零点的个数，亦即函数()yfx的图像与x轴交点的个数变号零点与不变号零点

（1）若函数)(xf在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数)(xf的变号零点

（2）若函数)(xf在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数)(xf的不变号零点

（3）若函数)(xf在区间][ba，上的图象是一条连续的曲线，则0)()(bfaf是)(xf在区间)(ba，内有零点的充分不必要条件。

三．用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题

（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根

（2）求曲线)(xfy和)(xgy的交点的横坐标，实际上就是求函数)()(xgxfy的零点，即求方程0)()(xgxf的根。 最适合中国学生的教学模式

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四．关于用二分法求函数)(xfy的零点近似值的步骤须注意的问题：

（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②)()(bfaf、的值比较容易计算且

0)()(bfaf；

（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求方程)()(xgxf的根，可以构造函数)()()(xgxfxF，函数)(xF的零点即方程)()(xgxf的根。

五．二次方程)0(02acbxax的根的分布有关的结论：

①方程0)(xf的两根中一根比r大，另一根比r小0)(raf

②二次方程0)(xf的两根都大于r

.0)(,2,042rfarabacbΔ

③二次方程0)(xf在区间（p，q）内有两根

.0)(,0)(,2,042pfaqfaqabpacbΔ

④二次方程0)(xf在区间（p，q）内只有一根0)()(qfpf，或0)(pf，另一根在（p，q）内或0)(qf，另一根在（p，q）内.

⑤方程0)(xf的两根中一根大于p，另一根小于q（p＜q）0)(0)(qafpaf

典例分析：

例1、下列函数中不能用二分法求零点的是（ C ） 最适合中国学生的教学模式

传贤集团·精品学堂 A．13xxf B．3xxf C．xxf D．xxfln

例2、设函数131()()2xfxx的零点*011( )()1xnNnn，，则n .2

变式：

若函数3()fxxax（0a）的零点都在区间[-10,10]上，则使得方程()1000fx有正整数解的实数a的取值个数为 （ C ）x==11,x=12,x=13,

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

例3： 求函数2223xxxy的零点.

变式：若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．

例4： 求函数62ln)(xxxf的零点个数.

变式1：（福建）函数2x+2x-3,x0x)=-2+lnx,x>0f（的零点个数为 ( )

A.0 B.1 C.2 D.3

变式2：方程223xx的实数解的个数为 _______。

例5：（广东）已知a是实数,函数axaxxf3222,如果函数xfy在区间1,1上有零点，求 最适合中国学生的教学模式

传贤集团·精品学堂 a的取值范围。

变式1：若对于任意[1,1]a，函数2()(4)42fxxaxa的值恒大于零, 则x的取值范围是 。

变式2：关于x的方程 22(28)160xmxm的两个实根 1x、2x 满足 1232xx，则实数m的取值范围 。

变式3：（浙江五校联考）函数221fxmxx有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是（ ）

A．,1 B．,01 C．,00,1 D．,1

变式4：关于x的方程4210xxaa有实数根，求a的取值范围。

例6、设()fx是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有(2)(2),fxfx且当[2,0]x时， 1()()12xfx。若函数()()log(2)(1)agxfxxa在区间2,6恰有3个不同的零点，则a的取值范围是 3(4,2)

变式1：若偶函数()yfx()xR满足(1)(1)fxfx，且当[1,0]x时，2()fxx，则函数()()lggxfxx的零点个数为 个．10

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传贤集团·精品学堂 变式2：设函数22()logxfxx (0)(0)xx，函数()1yffx的零点个数为 个．

【答案】2

变式3：设定义域为R的函数lg11()01xxfxx，则关于x的方程2()()0fxbfxc有7个不同实数解的充要条件是（ ）

A、0,0bc B、0,0bc C、0,0bc D、0,0bc

例7、设定义域为R的函数)1(1)1(|1|1)(xxxxf，若关于x的方程0)()(2cxbfxf有三个不同的实数解321,,xxx，则232221xxx__________．

【答案】5

变式1、已知函数1012100|lg|)(xxxxxf，是否存在实数k使得方程01)1()(2xkxkf有5个实数根，若存在求出k的取值范围；若不存在说明理由。

变式2、关于x的方程222(1)10xxk，给出下列4个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； 最适合中国学生的教学模式

传贤集团·精品学堂 ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；

其中假命题是

变式3、已知以4为周期的函数3,1,2cos1,1|),|1()(xxxxmxf其中0m，若方程3)(xxf恰有5个实数解，则m的取值范围为（ ）

)(A4(,)3 )(B4[,)3 )(C48,33 )(D48[,]33．

【答案】C