函数与导数综合问题 课件

导数与函数的综合问题（训练题）

一、选择题

1.方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2.若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则实数a的取值范围是( )

A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞) 3.若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则( )

A.3f(1)f(3) C.3f(1)＝f(3) D.f(1)＝f(3)

4.(2017·德阳模拟)方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”，如果

函数g(x)＝ln x的“新驻点”为a，那么a满足( )

A.a＝1 B.0

5.(2017·贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表： x －1 0 2 3 4 f(x) 1 2 0 2 0 f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.当1

数为( ) A.1 B.2 C.3

D.4 二、填空题

6.已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.

7. f(x)＝ax－ln x在12，＋∞上单调递增，则实数a的取值范围为________.

8.(2017·安徽江南名校联考)已知x∈(0，2)，若关于x的不等式xex<1k＋2x－x2恒

成立，则实数k的取值范围为________. 三、解答题

9.设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a

的取值范围. 10.(2017·武汉调研)已知函数f(x)＝ln x－a（x－1）x(a∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求证：不等式(x＋1)ln x>2(x－1)对∀x∈(1，2)恒成立. 11.函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.无数个

12.(2014·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且

导数与函数零点问题

例1： [2017·江门一模] 设函数axexfx，a是常数,讨论xf的零点的个数.

练习：

1、求函数1323xxxf的零点个数。

2、[2014·全国卷Ⅰ] 已知函数1323xaxxf，若xf存在唯一的零点x0,且x0>0,求a的取值范围。

3、若函数axeaxfx2有两个零点，求a的取值范围。

例2：已知233xxxf。已知对任意的0k，直线akxy与

曲线xfy有唯一公共点，求a的取值范围。

（2018浙江高考题）已知xxxfln。

（1）若xf在1xx，2xx21xx处导数相等，证明：2ln8821xfxf；

（2）若2ln43a，证明：对任意的0k，直线akxy与曲线xfy有唯一公共点。

例3：[2017·绍兴调研] 已知函数bxaxxxf3323。

（1）当0,2ba时，求xf在[0，3]上的值域；

（2）对任意的b∈R，函数32xfxg的零点不超过4个，求a的取值范围。

连续函数导数的连续性问题

张超 PB

设f(x)在闭区间[a,b]上连续且存在导函数,则其导函数在[a,b]不一定连续。例如：

令f(x)=(x^2)*sin(1/x)，容易知道limf(x)=0，令f(0)=0，则f(x)连续。

x不等于0时，有f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)，可得x趋向0时无极限。x=0时，使用定义

lim[f(x)-f(0)]/x=lim[xsin(1/x)]=0。

所以f(x)在0点导数不连续。

由拉格朗日定理可得：

如果f(x)可导,则f'(x)要么连续,要么存在第二类不连续点。

1 导数复习专题

一、知识要点与考点

（1）导数的概念及几何意义（切线斜率）；

（2）导数的求法：一是熟练常见函数的导数；二是熟练求导法则：和、差、积、商、复合函数求导。

（3）导数的应用：一是函数单调性；二是函数的极值与最值（值域）；三是比较大小与证明不等式；

四是函数的零点个数（或参数范围）或方程的解问题。

（4）八个基本求导公式

)(C＝ ；)(nx＝ ；(n∈Q) )(sinx＝ ， )(cosx＝ ； )(xe＝ ，

)(xa＝ ；)(lnx＝ ， )(logxa＝

（5）导数的四则运算 )(vu＝ ])([xCf＝ )(uv＝ ，)(vu＝ )0(v

（6）复合函数的导数

设)(xu在点x处可导，)(ufy在点)(xu处可导，则复合函数)]([xf在点x处可导， 且xuxuyy.

二、考点分析与方法介绍

考点一 导数的概念及几何意义

目标：理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程．

求曲线在一点处的切线方程思路：一会求导；二敢设切点；三要列尽方程；四解好方程组；五得解。

例1．已知曲线y＝ f(x)在x＝－2处的切线的倾斜角为34，则f(－2)＝ ，[(2)]f＝ ．

例2．设函数f(x)的导数为()fx，且f(x)＝x2＋2xf(1)，则f(2)＝ ．

例3．（1）曲线C：y＝ax3＋bx2＋cx＋d在(0，1)点处的切线为l1：y＝x＋1，在(3，4)点处的切线为

l2：y＝－2x＋10，求曲线C的方程．

（2）求曲线S：y＝2x－x3的过点A(1，1)的切线方程．

考点二 单调性中的应用