概率复习[1]

概率论与数理统计复习

第一章 概率论的基本概念

一.基本概念

随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果.

随机事件(事件):样本空间S的子集.

必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件():每次试验中一定不会发生的事件.

二. 事件间的关系和运算

(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生.

∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生.

3. A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生.

4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生.

5. AB= (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.

6. AB=且A∪B=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .

运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 BABA BABA

三. 概率的定义与性质

1.定义 对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.

(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;

(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A1,A2,…(A iAj=φ, i≠j, i,j=1,2,…),

P(A1∪A2∪…)=P( A1)+P(A2)+…

2.性质

(1) P() = 0 , 注意: A为不可能事件 P(A)=0 .

(2)有限可加性 对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,A n , P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) (有限可加性与可列可加性合称加法定理)

(3)若AB, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) .

一、 第一章相关计算。全概率公式.

例1、有两个工厂，甲工厂中有4个好零件，1个坏零件，乙工厂中有5个好零件，2个坏零件，先从甲工厂中拿一件零件放入乙工厂中，再从乙工厂中拿一零件，若从乙工厂中取出的为坏零件，问从甲工厂中取出的为好零件的概率为多少。

二、 已知X的分布列

1)求a，2）求一些概率，3）求f（X）的分布，4）求EX，DX

三、 已知（X，Y）的联合分布列

1)求a，2）求一些概率，3）求f（X，Y）的分布，4）判断独立性

例1：

X -1 0 1 2

P 0.2 0.1 a 0.1

1） 求a，2）求2{1}PXX，3）求2XX的分布，4）求2(2),EXXDX

例2：已1、已知二维某离散型随机向量（X，Y）的边缘分布为

X 1 2 Y -1 0 1

P 0.5 0.5 P 0.3 0.4 a

且20PXY，试求

1)求a，2）求(X,Y)的分布 3）求2XY的分布 4）判断独立性

四、 已知()x

1）求一些概率， 2）求f（X）的分布(f（x）严格单调)，3）求EX，DX

例1：212(1)01()0.xxxx其它

1） 求10.5pX， 2）求12Xe或(3X-1)的分布，3）求EX，DX

例2: (,)~(0,4)XYN,求xe的分布。

五、 已知,XY的一些数字特征，求一些期望和方差

例：已知221212(,)~(,,,,)XYNuu，求2()EXY,D（X+Y）

六、 已知二维随机变量的联合分布，1）求参数，2）求一些概率，3）求边缘分布，4）判断独立性

例：已知01(,)0axyxyxy其他

1） 求a，2）求{1}PXY，3）求边缘分布，4）判断独立性 七、 一维随机变量相关的应用题。

例1：某次考试成绩X近似服从正态分布(70,100)N（或e(3)），其中第50名的成绩为60，问第10名的成绩约为多少。

专题07概率

1．【吉林省长春市第150中学2017-2018学年高一下学期期末】从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（）

A．所取的3个球中至少有一个白球 B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球

C．所取的3个球都是黑球 D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球

2．【北京市房山区2020-2021学年高一上学期期末】某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品．从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.75，“抽到二等品”的概率为0.2，则“抽到不合格品”的概率为（）

A．0.05 B．0.25 C．0.8 D．0.95

3．【湖南省娄底市2019-2020学年高一下学期期末】从一批产品中取出三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）

A．B与C互斥 B．任何两个均互斥

C．A与C互斥 D．任何两个均不互斥

4．【北京市东城区2019-2020学年度高一下学期期末统一检测】在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为110.那么以下理解正确的是（）

A．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次

B．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖

C．某顾客消费210元，一定不能中奖

D．某顾客消费1000元，至少能中奖1次

5．【湖南师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）

A．25 B．35 C．12 D．13

6．【北京八中2018-2019学年度高一第二学期期末】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任

1 第八章 认识概率

复习目标：

1、在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述随机现象的数学模型；

2、知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率。

学习重点：了解概率的意义，体会概率是描述随机现象的数学模型。

学习难点：可以用频率来估计概率。

学习过程：

【课前准备】知识点回顾：

1、确定事件和随机事件：

在特定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是__________事件。

在特定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是____________事件。

_________事件和_____________事件都是确定事件。

在特定条件下，生活中也有很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是_________事件。

2、概率：

随机事件发生的可能性有大有小。一个事件发生可能性大小的_________，称为这个事件的概率。若用A表示一个事件，则我们就用AP表示事件A发生的概率。

通常规定，必然事件发生的概率是______，记作___AP；不可能事件发生的概率为___，记作___AP；随机事件发生的概率是___和____之间的一个数，即____＜AP＜____。

任一随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性。它反映这个随机事件发生的可能性大小。

一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率nm会稳定地在某一个常数附近摆动，这个常数就是事件A发生的概率AP。事实上，事件A发生的概率AP的精确值，即这个常数还是未知的，但是在实际工作中，人们常把试验次数很大时事件发生的频率作为概率的近似值。

在充分多次试验中，一些事件的频率总在一个定值附近摆动，试验次数越多，摆动幅度越小，这个性质称为频率的稳定性。

通过试验用频率估计概率的大小，必须要求试验是在相同条件下进行。