概率复习题
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第一章
1.01 II袋里装有若干个黑球和若干个白球，每次任取1个球，共抽取两次，设事件A表示第一次取到黑球，事件E表示 第二次取到黑球，问：
(1) 和事件A+E表示什么？
表示两次抽取中至少有一次取到照球
(2) 积事件AB表示什么
表示两次都取到黑球
(3) 积事件A E表示什么
表示第一次取到謂球，第二次取到白球
(4) 对立事件A表示什么
表示第一次取到白球 _
(5) 第一次取到白球且第二次取到黑球应里何］表示？表示为AB
(6) 两次都取到白球应如何表示？表示为A B
(7) 两次取到球的颜色不一致应如何表示？表示为AB+A B
(8) 两次取到球的颜色一致应如何表示？表示为AE+ A B
1.03随机安排甲、乙、丙三人在星期一到星期三各学习一天，求：(1)恰好有一人在星期一学习的概率；(2)
三人学习日期不相重的概率。
(1) 解：设事件A表示甲、乙、丙三人恰好有一人在星期一学习。即甲、乙、丙三人可以在星期一到星期
三各学习一天11=33=27,其中一人星期一学习，有3种方法，其余二人安排在其他时间学习有2,种方法，所
以m二3*2社12.由此得：
4
答：恰好有一人在星期一学习的概率是§
(2) 设事件B表示三人的学习日期都不相同。即甲、乙、丙三人在星期一到星期三各学习一天n=33-27,先
安排一个在某天学习，有3种方法，其余两人安排在某天学习有2种方法，最后一人在剩余的一天学习有 1种方法，所以m=3*2*l=6.由此得：
/ 、 m P(B)二一= n
2
答：三人学习日期不相重的概率是§
1・05某地区一年内刮风的概率为4/15,卞雨的概率为2/15,既刮风又下雨的概率1/Q 求:
(1) 刮风或下雨的概率；(2)既不刮风又不下雨的概率
解：设事件A表示刮风，E表示下雨，贝lj P(A)=4/15 P(B)=2/15 P(AB尸1/10 刮风或下雨意味着A事件发生或B事件发生，用和事件A+B表示：
P(A+E)=P(A)+P(E)・P(AB)=4/15+2/15」/10=3/10
既不刮风又不卞雨意味着事件A不发生且事件E不发生，用枳事件表示：
P( A B)=1-P(A+B>1-3/10=7/10
答：刮风可下雨的概率是3/10,既不刮风又不下雨的概率是7/10o P(A)二- n 12 4
=27 =9
6
27 1.14市场上供应的某种商品由甲厂、乙厂及丙厂生产，甲厂占50%,乙厂占30%,丙厂占20%,甲厂产品的正品率为88%, 乙厂产品的正品率为70%,丙厂产品的正品率为75%,求：(1)从市场上任买1件这种商品是正品的概率；(2)从市场 上已买1件正品是甲厂生产的概率。(注：用全概公式)
解：设Al=｛甲厂的商品｝, A2=｛乙厂的商品｝人3=｛丙厂商品｝
E=｛任买一件商品是正品｝=｛甲厂的正品+乙厂正品+丙厂正品｝
=A1B +A2B +A3B
P(B)=P(A1B)+ P(A2E)+ P(A3E) (根据互斥爭件概率)
=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) (乘法公式)
=0.5x0.88 + 03x0.7 + 0.2x0.75 = 0.8
P(A1|B)=P(A1B)/P(B)= P(A1)P(E|A1)/ P(B)=(0.5*0.88)/0.8=0.55
答：从市场上任买1件这种商品是正品的概率是0.8,从市场上已买1件正品是甲厂生产的概率是0.55
1.19填空题
(2) 投掷两枚均匀硬币，设事件A表示出现两个正面，则概率P(A)=l/2*l/2=l/4
(8)设A,B为两个事件,且已知概率P(A)=0.4,P(B)=0.3,若事件A.B相互独立,则概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(E)・ P(A)
P(B)=0.4+0.3-0.4*0.3=0.58 (P34 独立事件乘法公式)
1.20选择题
(1)设A,E为两个事件，若 W- AoB,则下列笔论中(C )恒成些_
A爭件A,B互斥 B事件A, B互斥C事件A,B互斥D爭件A, B互斥
(5)设 A,E 为两个事件，若概率 P(A)=l/3, P(A|E尸2/3,P( ®A)=3/5,则概率 P(B)=(A )
A1/5 B2/5 C3/5 D4/5
解：因为 P( B|A)=3/5 所以 P(B|A)=l-3/5=2/5
根据乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或 P(B)P(A|B)得
P(AB)=P(A)P(B|A)=l/3*2/5=2/15
一 2 2 1
所以 P(E)=P(AB)/P(A|E)=讦一了 =5
第二章
2.04设离散型随机变量X的概率分布列表如表2-32
X -1 2 3
P C 2c 4c
试求：(1)常数c值；(2)概率P｛X>2｝
(1)解：根据离散型随机变量概率分布的性质:
c+2c+4c=l
所以常数c=l/7
⑵XX2的范围内，离散型随机变量X的取值有2和3两个值，所以概率
P｛X>2 ｝=P ｛X=2 ｝+P ｛X=3 ｝ =2/7+4/7=6/7
2.05某菜市场零售某种蔬菜，进货后第一天售出的概率为0.7,每500g售价为10元；进货后第二天售出 的概率为0.2,每500g售价为8元；进货后第三天售出的概率为0.1,每500g售价为4元。求任取500g 蔬菜售价X元的数学期望E(X)与方差D(X).
解：数学期望就是随机变量X的所有取值与其对应概率的乘积之和。由题意得：
X 4 8 10
p 0.1 0.2 0.7
所以数学期望 E(X)=4*0.I 十 8*0.2 十 10*0.7=9
答：任取500g蔬菜的平均售价为9元
E (X2) =42*0.1+82*0.2+102*0.7=84.4
所以方差
D(X)= E (X2) -[E(X)]2=84.4-92=3.4
2.08设离散型随机变量X的概率分布列表如表2-35
X 0 1 2
P 2 c 1/c 3/c
试求:
(1)常数c值；(2)概率P{0
(1) 解：根据离散型随机变量的性质得：
2/c+l/c+3/c=l
所以常数c=6
(2) 0
(3) 数学期塑E(X)就是随机变量X的取值与其对应的概率的乘枳之和，即
E(X)=0*2/6+l * 1/6+2*3/6=7/6
(4) 方差D(X)就是平方的期望之和减期塑的平方
E(X2>0*2/6+ F* 1/6+22*3/6= 13/6
D(X)=
2.19填空题
(1)设离散型随机变量X的概率分布列表如2-36
X -1 0 1 2
P c 2c 3c 4c
则常数 c= 1/10 (因为 c+2c+3c+4c=l 所以 c=l/10)
(9) 设X为随机变量，若数学期塑E(X/2-l)=l,则数学期望E(X)=4(因为1/2E(X)-1=1,解得E(X)=4)
(10) 设X为随机变量，若方差D(3X-6)=3,则方差D(X)=l/3 (因为32D(X)=3,解得D(X尸1/3)
注：(9)、(10)请见书82页期望和方差的性质。
2.20单项选择题
(3 )设离散型随机变量X的所有可能取值为」与1,且已知离散弄随机变量X取-1的概率为p (0
AO Bl Cq-p D(q-p)2
X -1 1
P P q
丘医尸(-1) 2*p-rl2*q= p+ q=l (根据离散型随机变量的性质2,书52页)
(7)已知连续型随机变量X的概率密度为
■
-,0
〔0,其他
则数学期望E(X)=(D)
Al/2 B2 C3/8 D8/3
E(X)= J KM = J 冷皿=^X2dx = £畔=£(，_ 0)=号=| 注：公式见书76页
(8)设X为随机变量，若数学期望E(X)存在，则数学期望E(E(X))=(E)
AO BE(X) CE(X2) D(E(X))2
第三章
3.12设连续型随机变量X服从参数为九(九>0)的指数分布，且己知方差D(X)= | ,求：
(1) 参数入值；(2)概率 P{O
解：由于连续型随机变量X服从参数为九(九>0)的指数分布，且己知方差D(X)= | ,根据公式：
(1) D(X)= 1/M= | 所以九=2
(2) 由于连续型随机变量X服从参数入=2的指数分布，根据指数分布概率的计算公式，得到概率
P{O1=l-0.1353=0.8647
(3) 由于数学期望 E (X) =1/入=1/2,所以 E (4X-3) =4E(X)-3=4* 1/2-3=-1
(4) 由于方差 D(X)=l/V=l/4, 所以 D(4X-3)=16E(X)=16*l/4=4 (108 页公式)
答：参数入值为2,概率P{O
3.16某所高等学校高等数学统考成绩X分是一个离散型随机变量，近似认为连续型随机变量，它服从正态
分布N (58, IO?),规定试卷成绩达到或超过60分为合格，求：
(1) 任取1份高等数学试卷成绩为合格的概率；
(2) 任取3份高等数学试卷中恰好有2份试卷成绩为合格的概率。
解：(1)因为X是服从N (58, 102)的一般正态分布，所以均值卩=58,标准差0=10,又因为规定试 卷成绩达到或超过60分为合格，得到概率
P {X>60} =1 -0o[(6O-58)/10]=1 -0o (0.2)=1-0.5793=0.4207
答：任取1份高等数学试卷成绩为合格的概率是0.4207
(2) 任取3份试卷中恰好有2份为合格，即抽取的3份试卷中，合格的份数就是所取的3份试卷中的份 数X。它服从参数为n=3,p=0.4207的二项分布，即离散型随机变量X〜N(3,0.4207) 事件X=2表示所取的3份试卷中恰好有2份合格，其发生的概率为 P{X=2}=C32p2q=3*(0.4207)2*(l-0.4207)=0.3076 (P93 页公式) 答：任取3份高等数学试卷中恰好有2份试卷成绩为合格的概率是0.3076
3.19填空腿
(1)若在4次独立重复试验中，事件A都发生的概率与都不发生的概率相等，则事件A在一次试验中发生的概率为0.5
(5) 设离散型随机变量X服从参数为入(九>0)的泊松分布，若数学期望E (5X-1) =9,求参数九。
解：根据数学期望性质：E (5X-1) =5E(X)-1=9 所以E(X)=2 乂因为离散型随机变量X服从参数为入(九>0)的泊松分布，所以X=E(X)=2 答：参数入值为2.
(8)己知连续型随机变量X〜N(O,1),函数值
解：因为①。(0.55) =0.7088,根据标准正态分布的计算公式，得到概率
P{-0.55vX<0}=①。(0)-①。(-0.55)=①。(0) -[1-
