考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
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考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编2 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (1989年)设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是
A．c1 y1+c2y2+y3
B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3
C．c1y1+c2y2一(1一c1—c2)y3
D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3
正确答案：D
解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2—y3线性无关．事实上，若令A(y1—y3)+B(y2一y3)=0即 Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0因此y1一y3与y2一y3线性无关，故 y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3是原方程通解． 知识模块：常微分方程
2． (1991年)若连续函数f(x)满足关系式则f(x)等于
A．exln2
B．e2xln2
C．ex+ln2
D．e2x+ln2
正确答案：B
解析：等式两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得 f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=ln2.故 f(x)=e2xln2 知识模块：常微分方程
3． (1993年)设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：由得 f’(x)+f(x)=ex解此方程得 f(x)=e-x(e2x+C)由f(0)=0得，故 知
识模块：常微分方程
填空题
4． (1992年)微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=_____________．
正确答案：(x+c)cosx．
解析：由线性方程通解公式得 知识模块：常微分方程
5． (1996年)微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为___________．
正确答案：特征方程为λ2一2λ+2=0，解得λ1，2=1±i，则齐次方程通解为 y=ex(C1cosx+C2sinx)易观察出y=ex是非齐次方程的一个特解．则原方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex 涉及知识点：常微分方程
6． (1999年)y”一4y—e2x的通解为y=____________．
正确答案：C1e-2x+C2e2x+xe2x．
解析：特征方程为λ2一4=0，则λ=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为由于λ=2为特征方程单根，则非齐次待定特解可设为 y*=Axe2x代入原方程得
故所求通解为 y=C1e-2x+C2e2x+xe2x 知识模块：常微分方程
7． (2000年)微分方程xy”+3y’=0的通解为____________．
正确答案：
解析：令y’=p，则y”=p’．代入原方程得 解得 因此 知识模块：常微分方程
8． (2001年)设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为___________．
正确答案：y”-2y’+2y=0
解析：所求方程的特征根为 λ1，2=1,±i则其特征方程为 λ2一2λ+2=0故所求方程为 y”一2y’+2y=0 知识模块：常微分方程
9． (2002年)微分方程yy”+y’2一0满足初始条件的特解是____________．
正确答案：y2=x+1或
解析：解1 令y’=P，则代入原方程得 解得 可知，则所求的特解为
y2=x+1 解2 由于原方程左端从而原方程可改写为 因此 yy’=C1以下求解同解1． 知识模块：常微分方程
10． (2004年)欧拉方程的通解为___________．
正确答案：
解析：令z=et 代入原方程所得新方程的特征方程为 ρ(ρ一1)+4ρ+2=0
解得 ρ1=一1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为 知识模块：常微分方程
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11． (1987年)求微分方程y”‘+6y”+(9+a2)y’=1的通解(一般解)，其中常数a>0．
正确答案：该方程对应的齐次方程的特征方程为 λ3+6λ2+(9+a2)λ=0其根为 λ1=0，λ2，3=一3±ai则齐次方程通解为由λ=0为特征方程的单根，则可设非齐次方程特解为 y*=Ax代入原方程得 故原方程通解为
涉及知识点：常微分方程
12． (1988年)设函数y=f(x)满足微分方程y”一3y’+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2一x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x)．
正确答案：本题所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 λ2一3λ+2=(λ-1)(λ-2)=0其根为 λ1=1，λ2=2则齐次通解为 由于λ=1为特征方程的单根，则非齐次方程特解可设为 y*=Axex代入原方程得A=一2则原方程通解为 y=C1ex+C2e2x一2xex 由原题设曲线y=C1ex+C2e2x一2xex与曲线y=x2一x+1在点(0，1)处有公切线可知，y(0)=1，y’(0)=由y(0)=1得 1=C1+C2由y’(0)=-1得 一1=一2+C1+2C2以上两式联立解得则所求的解为 y=一2xex+ex=ex(1-2x) 涉及知识点：常微分方程
13． (1989年)设其中f为连续函数，求f(x)．
正确答案：原方程可写为上式两端对x求导得 两端再对x求导得
f”(x)=一sinx一f(x)即 f”(x)+f(x)=一sinx这是一个二阶线性常系数非齐次方程，由原方程知f(0)=0，由(*)式知f’(0)=1．特征方程为 λ2+1=0，λ=±i齐次通解为 =C1sinx+C2cosx 设非齐次方程特解为
y*=x(asinx+bcosx)，代入f”(x)+f(x)=一sinx得 a=0．则非齐次方程通解为 由初始条件 y(0)=0和y’(0)=1可知C2=0 涉及知识点：常微分方程
14． (1990年)求微分方程y”+4y’+4y=e-2x的通解(一般解)．
正确答案：因为α=一2是特征方程的二重根，故原方程特解可设为
y*=Ax2e-2x代入原方程得故原方程通解为 y=(C1+C2x)e-2x+x2e-2x其中C1，C2为任意常数． 涉及知识点：常微分方程
15． (1991年)在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．
正确答案：曲线y=y(x)在P(x，y)处的法线方程为 它与x轴的交点为Q(x+yy’，0)，则法线段PQ的长度为 由题设可得微分方程为由于曲线y=y(x)是向上凹的，则y”>0，由此上式可改写为 yy”=1+y’2且当x=1时，y=1，y’=0．令y’=p，则代入上面方程得 即两边积分并注意到y=1时，p=0，得代入得 即 上式两边积分，并注意到x=1时y=1，得 因此，所求曲线方程为将y移至右边再平方，整理得 涉及知识点：常微分方程
16． (1992年)求微分方程y”+2y’一3y=e-3x的通解．
正确答案：特征方程为λ2+2λ一3=0，其根为λ1=1，λ2=一3，则对应的齐次方程的通解为 =C1ex+C2e-3x (其中C1和C2为任意常数)由于λ=一3是特征方程的单根，所以原方程的特解可设为 y*=Axe-3x代入原方程解得所以 故原方程通解为 涉及知识点：常微分方程
17． (1993年)求微分方程x2y’+xy=y2满足初始条件的特解·
正确答案：解1 原方程改写为 令代入原方程得 分离变量并积分得 得 即 将代入上式得 y一2x=Cx2y由得C=一1．则所求解为 △解2 原方程也可改写为 两边同除以y2得 令原方程化为线性方程 涉及知识点：常微分方程
18． (1993年)设物体A从点(0，1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动，物体B从点(一1，0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A．试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件．
正确答案：设在t时刻，B位于点(x，y)处(见图2．10)，则即 两边对x求导得 由于 代入(*)式得到所求微分方程为 其初始条件为
涉及知识点：常微分方程
19． (1994年)设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．
正确答案：由于[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0是全微分方程，则
即 x2+2xy一f(x)=f(x)+2xy f”(x)+f(x)=x2这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程，可求得其通解为 f(x)=C1cosx+C2sinx+x2一2由f(0)=1及f’(0)=1，可求得C1=2，C2=1，从而得 f(x)=2cosx+sinx+x2一2于是原方程为 [xy2一(2cosx+sinx)y+2y]dx+(一2sinx-+cosx+2x+x2y)dy=0其通解是
涉及知识点：常微分方程
20． (1995年)设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A．已知且L过点求L的方程．
