考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)

考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编4 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． [2004年] 微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为( )．

A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)

B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)

C．y*=ax2+bx+c+Asinx

D．y*=ax2+bx+c+Acosx

正确答案：A

解析：对应齐次方程y’’+y=0的特征方程为λ2+1=0，特征根为λ=±i．对y’’+y=x2+1=e0x(x2+1)而言，因0不是其特征根，从而其特解形式可设为y1*=ax2+bx+c．对y’’+y=sinx=e0x(0·cosx+1·sinx)(λ=0，w=1)，因λ+iw=0+i·1=i为特征根，从而其特解形式可设为y2*=x(Asinx+Bcosx)，从而知，y’’+y=x2+1+sinx的特解形式为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．仅A入选． 知识模块：常微分方程

2． [2008年] 在下列微分方程中以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x (C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )．

A．y’’’+y’’一4y’一4y=0

B．y’’’+y’’+4y’+4y=0

C．y’’’一y’’一4y’+4y=0

D．y’’’-y’’+4y’-4y=0

正确答案：D

解析：由所给通解可知，其特征根为λ1=1，λ2，3=0+2i，故其特征方程为(λ一1)(λ一2i)(λ+2i)=(λ一1)(λ2+4)=λ3一λ2+4λ一4=0，故所求的微分方程为y’’’一y’’+4y’-4y=0．仅D入选． 知识模块：常微分方程

3． [2015年] 设是二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+ay’+by=cex的一个特解，则( )．

A．a=一3，b=2，c=一1

B．a=3，b=2，c=一1

C．a=一3，b=2，c=1

D．a=3，b=2，c=1

正确答案：A

解析：因为方程y’’+ay’+by=cex的特解，故为原方程对应的齐次方程的解，因而2，1为特征方程λ2+aλ+b=0的特征根，故a=一(2+1)=一3， b=1×2=2．再由所给原方程的特解易看出xex也为原方程的一个特解，将其代入原方程得c=

一1． 知识模块：常微分方程

4． [2016年] 若y=(1+x2)2一，y=(1+x2)2+再是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=( )．

A．3x(1+x2)

B．一3x(1+x2)

C．

D．

正确答案：A

解析：利用解的结构和性质，令y1*=(1+x2)2一，y2*=(1+x2)2+，为微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．可得到y1*—y2*为y’+p(x)y=0的解(因a=1，b=一1，a+b=0)，而将其代入(y1*-y2*)’+p(x)(y1*-y2*)=0，得到又为y’+p(x)y=q(x)的解(因，a+b=1)．易求得将其代入方程y’+p(x)y=q(x)得到 即 4x(1+x2)+(1+x2)2=q(x)故q(x)=4x(1+x2)一(1+x2)2=4x(1+x2)-x(1+x2)=3x(1+x2)．仅A入选． 知识模块：常微分方程

填空题

5． [2006年] 微分方程y’=y(1一x)／x的通解是______．

正确答案：y=Cxe-x (C为任意常数)

解析：直接利用分离变量法求解．由原方程易得到 即 两边积分，得到

ln｜y｜=ln｜x｜—x+C1， 即=C1一x．故=eC1-x=e-xeC1，所以｜y｜=eC1｜x｜e-x，去掉绝对值符号，改写eC1为C，并认为C可取正值或负值，得到y=Cxe-x．由于y=0也是原方程的解．上式中的C也可为0，于是得通解为y=Cxe-x (C为任意常数)． 知识模块：常微分方程

6． [2008年] 微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解为______．

正确答案：y=1／x

解析：由初始条件y(1)=1知，只需考虑xy’+y=0在(0，+∞)内的非负解即可．由dy／(-y)=dx／x得到ln｜y｜=ln｜x｜+C1， 即｜x｜｜y｜=eC1， 即 y=C／x(C=eC1)．又因y(1)=1，故C=1，所以y=1／x． 知识模块：常微分方程

7． [2014年] 微分方程xy’+y(lnx—lny)=0满足条件y(1)=e3的解为y=______.

正确答案：y=xe2x+1(x＞0)

解析：在所给微分方程的两边除以x可得 ①令，则y=xu，y’=xu’+u，代入式①得到xu’+u=ulnu， 即 分离变量得 即两边积分得到ln｜lnu一1｜=lnx+lnc，即lnu-1=cx，故 则其通解为y=xecx+1．将y(1)=e3代入上式可得c=2，即得其特解为y=xe2x+1(x＞0)． 知识模块：常微分方程

8． [2011年] 微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．

正确答案：y=e-xsinx

解析：注意到y’+y=y’+(x)’y=e-xcosx，在其两边乘上ex得到y’ex+exx’y=exe-xcosx=cosx， 即(yex)’=cosx．两边积分得到yex=∫cosxdx+C=sinx+C， 即 y=e-xsinx+Ce-x．由y(0)=0，得到C=0，故所求特解为y=e-xsinx． 知识模块：常微分方程

9． [2005年] 微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=一1／9的特解为______．

正确答案：y=(x／3)(lnx一1／3)

解析：用凑导数法求之．为此在原方程两边乘以x得到x2y’+2xy=x2lnx，即(x2y)’=x2lnx．两边积分得到x2y=∫x2lnxdx=代入初始条件y(1)=一1／9，可得C=0，于是所求的特解为y=(xlnx)／3一x／9=(x／3)(lnx一1／3)． 知识模块：常微分方程

10． [2013年] 已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=______．

正确答案：y= c1e3x+c2ex-xe2x，其中c1，c2均为任意常数

解析：先由给出的3个解找出对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解．事实上，利用线性微分方程解的性质知，y1一y3=e3x，y2一y3=ex是对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解．因而该齐次微分方程的通解为Y=c1e3x+c2ex．又y3*=一xe2x显然为该非齐次线性微分方程的特解，则由常系数微分方程解的结构知，所求的通解为y=Y+y*=c1e3x+c2ex-xe2x，其中c1，c2均为任意常数． 知识模块：常微分方程

11． [2002年] 微分方程yy’’+y’2=0满足初始条件y｜x=0=1，y’｜x=0=1／2的特解是______．

正确答案：

解析：将y’=p，代入原方程，得到．因而p=0(因不满足初始条件，舍去)，．积分后得到，将初始条件代入得到C1=.再对即2ydy=dx积分，得到y2=x+C2，代入初始条件得C2=1，从而y2=x+1，再由y｜x=0=1＞0，得微分方程的特解. 知识模块：常微分方程

12． [2007年] 二阶常系数非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x的通解为______．

正确答案：y= C1ex+C2e2x-2e2x

解析：其特征方程为λ2一4λ+3=0，其特征根为λ1=1，λ2=3．对应齐次微分方程y’’一4y’+3y=0的通解为y=C1e*+C2e3x.又设非齐次微分方程y’’-4y’+3y=2e2x的特解为y*=Ae2x，将其代入该非齐次方程得到A=一2，故所求通解为y=Y+y*=C1ex+C2e2x-2e2x． 知识模块：常微分方程

13． [2012年] 若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex，则f(x)=______．

正确答案：f(x)=ex

解析：方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程为r2+r=2一(r+2)(r一1)=0，其特征根为r1=一2，r2=1．于是齐次方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x，则f’(x)=C1ex-2C2e-2x，f’’(x)=C1ex+4C2e-2x．代入非齐次方程f’’(x)+f(x)=2ex，得到C1ex+4C2e-2x+C1ex+C2e-2x=2C1ex+5C2e-2x=2ex，故C1=1，C2=0，于是所求f(x)=ex． 知识模块：常微分方程

14． [2017年] 微分方程y’’+2y’+3y=0的通解为y=______．

正确答案：y=e-x

解析：特征方程为r2+2r+3=0，特征值为λ1，2=，其通解为y=e-x 知识模块：常微分方程

15． 微分方程xy’’+3y’=0的通解为______．

正确答案：y=C1+C2／x2

解析：y=C1+C2／x2在所给方程两边乘以x得欧拉方程x2y’’+3xy’=0(a=1，b=3，c=0)．可知，令x=et，可化为常系数线性微分方程，其特征方程为r2+2r=r(r+2)=0，其通解为y=C1e0t+C2e-2t=C1+C2e-2t=C1+C2／x2． 知识模块：常微分方程

16． [2004年] 欧拉方程(x＞0)的通解是______．

正确答案：y=C1／x+C2／x2，其中C1，C2为任意常数

解析：作变量代换x=et，其中a=1，b=4，c=2，则此为二阶常系数的线性齐次微分方程．其特征方程为r2+3r+2=(r+2)(r+1)=0，其特征根为r1=一1，r2=一2，故其通解为y=C1e-t+C2e-2t．代入原变量x，得到原方程的通解为y=C1／x+C2／x2，其中C1，C2为任意常数． 知识模块：常微分方程

17． [2009年] 若二阶常系数线性齐次微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为______．

正确答案：y=一xex+x+2

解析：由所给通解知，二阶常系数线性齐次微分方程y’’+ay’+by=0的特征根是r1=r2=1．因而特征方程为(r一1)2=r2一2r+1=0．故二阶常系数线性齐次微分方程为y’’一2y’+y=0，故a=一2，b=1．因而非齐次方程为y’’-2y’+y=x．下面求非齐次方程y’’-2y’+y=x ①的特解．由题设条件知，其特解形式为y*=Ax+

B．代入方程①，得到(y*)’’=0，(y*)’=A，于是有一2A+Ax+B=x， 即 (A一1)x一2A+B=0，所以A一1=0，B一2A=0，从而A=1，B=2，故一特解为