考研数学二(常微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编2 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． (2004年)微分方程y〞＋y＝χ2＋1＋sinχ的特解形式可设为 【 】

A．y*＝aχ2＋bχ＋c＋χ(Asinχ＋Bcosχ)．

B．y*＝χ(aχ2＋bχ＋c＋Asinχ＋Bcosχ)．

C．y*＝aχ2＋bχ＋c＋Asinχ．

D．y*＝aχ2＋bχ＋c＋Acosχ．

正确答案：A

解析：方程y〞＋y＝0的特征方程为ρ2＋1＝0，其特征根为ρ＝±i，因此方程y〞＋y＝χ2＋1＋sinχ y*＝aχ＋bχ＋C＋χ(Asinχ＋Bcosχ) 故应选A． 知识模块：常微分方程

2． (2006年)函数y＝C1eχ＋C2e－2χ＋χeχ满足的一个微分方程是

【 】

A．y〞－y′－2y＝3χeχ．

B．y〞－y′－2y＝3eχ．

C．y〞＋y′－2y＝3χeχ．

D．y〞＋y′－2y＝3eχ．

正确答案：D

解析：由y＝C1eχ＋C2e－2χ＋χeχ知，齐次方程的两个特征根分别为1和－2，所以只有C和D项可能是正确的选项，将y＝χeχ代入D项中方程知其满足该方程，则应选

D． 知识模块：常微分方程

3． (2008年)在下列微分方程中，以y＝C1eχ＋C2cos2χ＋C3sin2χ(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是 【 】

A．＋y〞－4y′－4y＝0．

B．＋y〞＋4y′＋4y＝0．

C．－y〞－4y′＋4y＝0．

D．－y〞＋4y′－4y＝0．

正确答案：D

解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1＝1，ρ2，3＝±2i 则其特征方程为(ρ－1)(ρ2＋4)＝0，故所求方程应为y″′－y〞＋4y′－4y＝0

故应选

D． 知识模块：常微分方程

4． (2010年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y′＋p(χ)y＝q(χ)的两个特解，若常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是该方程对应的齐次方程的解，则 【 】

A．

B．

C．

D．

正确答案：A

解析：由于λy1＋μy2为方程y′＋p(χ)y＝q(χ)的解，则 (λy1＋μy2)′＋p(χ)(λy1＋μy2)＝g(χ) 即λ(y′1＋p(χ)y1)＋μ(y′2＋p(χ)y2)＝q(χ) λq(χ)＋μ(χ)＝q(χ) λ＋μ＝1 (1) 由于λy1－μy2为方程y′＋p(χ)y＝0的解，则 (λy1－μy2)′＋p(χ)(λy1－μy2)＝0

λ(y′1＋p(χ)y1)－μ(y′2＋p(χ)y2)＝0 λq(χ)－μq(χ)＝0 λ－μ＝0 (2) 由(1)式和(2)式解得λ＝μ＝ 知识模块：常微分方程

5． (2011年)微分方程y〞－λ2y＝eλχ＋e－λχ(λ＞0)的特解形式为

【 】

A．aχ(eλχ＋e－λχ)．

B．aχ(eλχ＋e－λχ)．

C．χ′〞(aeλχ＋be－λχ)．

D．χ2(aeλχ＋be－λχ)．

正确答案：C

解析：方程y〞－λ2y＝0的特征方程为 r2－λ2＝1 r1＝λ，r2＝－λ 方程y〞－λ2y＝eλχ的特解形式为aχeλχ 方程y〞－λ2y＝e－λχ的特解形式为bχe－λe 则原方程的特解形式为 y＝χ(aχeλχ＋bχe－λχ) 故应选

C． 知识模块：常微分方程

填空题

6． (2006年)微分方程y′＝的通解是_______．

正确答案：y＝Cχe－χ．

解析： 则ln｜y｜＝ln｜χ｜－χ＝ln｜χ｜＋lne－χ＝ln(｜χ｜e－χ)

y＝Cχe－χ． 知识模块：常微分方程

7． (2007年)二阶常系数非齐次线性微分方程y〞－4y′＋3y＝2e2χ的通解为y＝_______．

正确答案：y＝C1eχ＋C2e3χ－2e2χ．

解析：齐次方程特征方程为ρ2－4ρ＋3＝0 解得ρ1＝1，ρ2＝3，则齐次方程通解为 y＝C1eχ＋C2e3χ 设非齐方程特解为＝Ae2χ，代入原方

程得A＝－2，则原方程通解为y＝C1eχ＋C2e3χ－2e2χ 知识模块：常微分方程

8． (2008年)微分方程(y＋χ2e－χ)dχ－χdy＝0的通解是y＝_______．

正确答案：y＝χ(C－e－χ)．

解析：方程(y＋χ2e－χ)dχ－χdy＝0可改写为 知识模块：常微分方程

9． (2010年)3阶常系数线性齐次微分方程－2y〞＋y′－2y＝0的通解为y＝________．

正确答案：y＝C1e2χ＋C2cosχ＋C1sinχ．

解析：方程y″′＝2y〞＋y′－2y＝0的特征方程为 r3－2r2＋r－2＝0

即r2(r－2)＋(r－2)＝0 (r－2)(r2＋1)＝0 r1＝2，r2，3＝±l′ 则原方程通解为y＝C1e2χ＋C2cosχ＋C1sinχ． 知识模块：常微分方程

10． (2011年)微分方程y′＋y＝e－χcosχ满足条件y(0)＝0的解为y＝_______．

正确答案：e－χsinχ．

解析：由一阶线性方程的通解公式得 y＝ ＝e－χ[∫cosχdχ＋c]＝e－χ[sinχ＋C] 由y(0)＝0知，C＝0，则y＝e－χsinχ 知识模块：常微分方程

11． (2012年)微分方程ydχ＋(χ－3y2)dy＝0满足条件y｜χ＝1＝1的解为y＝_______．

正确答案：

解析：由ydχ＋(χ－3y2)dy＝0 得 这是一阶线性微分方程，由通解公式得 又因为y＝1时，χ＝1，解得C＝0，故χ＝y2． y＝ 知识模块：常微分方程

12． (2013年)已知y1＝e3χ－χe2χ，y2＝eχ－χe2χ，y3＝－χe2χ是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y｜χ＝0＝0，y′｜χ＝0＝1的解为y＝_______．

正确答案：C1eχ＋C2e3χ－χe2χ．

解析：由题设知 y1－y3＝e3χ，y2－y3＝eχ 为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为y＝C1eχ＋C2e3χ－χe2χ． 知识模块：常微分方程

13． (2015年)设函数y＝y(χ)是微分方程y〞＋y′－2y＝0的解，且在χ＝0处y(χ)取得极值3，则y(χ)＝_______．

正确答案：2eχ＋e－2χ．

解析：原方程的特征方程为λ2＋λ－2＝0 特征根为λ1＝1，λ2＝2

原方程的通解为y＝C1eχ＋C2e－2χ 由y(0)＝3，y′(0)＝0得 则C1＝2，C2＝1，y＝2eχ＋e－2χ． 知识模块：常微分方程

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

14． (1998年)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)．试建立y与v所应满足的微分方程，并求出函数关系式．

正确答案：取沉放点为原点o，oy轴方向铅直向下，则由牛顿第二定律得

m＝mg－βρ－kv 这是y对t的二阶可降阶方程，其中v＝，按典型的降阶法 涉及知识点：常微分方程

15． (1998年)设y＝y(χ)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(χ，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，求该曲线方程．并求函数y＝y(χ)的极值．

正确答案：因曲线向上凸，则y〞＜0；由题设有 化简，即为y〞＝－(1＋y′2) 曲线经过点(0，1)，故y(0)＝1，又因为在该点的切线方程为y＝χ＋1，即切线斜率为1，于是y′(0)＝1． 现在归结为求的特解． 令y′＝P，y〞＝P′，于是得P′＝－(1＋P2) 分离变量解得arctanP＝C1－χ，以P(0)＝1代入，得 C1＝arctan1＝，所以y′＝P＝tan(－χ)．再积分得 以y(0)＝1代入，得C2＝1＋ln2，故所求曲线方程为 取其含有χ＝0在内的连续的一支为 当时，cos(－χ)→0，y→－∞，故此函数无极小值．当χ＝时，y为极大，极大值y＝1＋ln2． 涉及知识点：常微分方程

16． (1999年)求初值问题的通解．

正确答案：原方程可化为 令y＝χu，得 涉及知识点：常微分方程

17． (1999年)设函数y(χ)(χ≥0)二阶可导，且y′(χ)＞0，y(0)＝1．过曲线上任意一点P(χ，y)作该曲线的切线及χ轴的垂线，上述两直线与χ轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，χ]上以y＝y(χ)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S2恒为1，求此曲线y＝y(χ)的方程．

正确答案：曲线y＝y(χ)上点P(χ，y)处切线方程为 Y－y＝y′(χ)(X－χ) 它与χ轴的交点为(χ－，0)．由于y′(χ)＞0，y(0),1，从而y(χ)＞0，于是 S1＝ 又S2＝∫0χy(t)dt 由条件2S1－S2＝1知 两边对χ求导并化简得yy〞＝(y′)2 令P＝y′，则上述方程可化为yP＝P2 注意到

y(0)＝1，并由(*)式知y′(0)＝1．从而可知C1＝1，C2＝0，故所求曲线的方程是y＝eχ 涉及知识点：常微分方程

18． (2000年)某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖泊的水量为．已知1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内?(注：设湖水中的浓度是均匀的)．

正确答案：设从2000年初(令此时t＝0)开始，第t年湖泊中污染物A的总量为m，浓度为，则在时间间隔[t，t＋dt]内，排入湖泊中A的量为，流出湖泊的水中A的量为 因此在此时间间隔内湖泊中污染物A的改变量． dm＝()dt 由分离变量法解得 m＝ 代入初始条件 令m＝m0，得t＝6ln3

即至多需经过6ln3年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内． 涉及知识点：常微分方程

19． (2001年)设函数f(χ)，g(χ)满足f′(χ)＝g(χ)，g′(χ)＝2eχ－f(χ)，且f(0)＝0，g(0)＝2，求

正确答案：由f′(χ)＝g(χ)得，f〞(χ)＝g′(χ)＝2eχ－f(χ) 于是有

涉及知识点：常微分方程

20． (2001年)设L是一条平面曲线，其上任意一点P(χ，y)(χ＞0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(，0)． (1)试求曲线L的方程； (2)求L位于第一象限部分的一条切线．使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．

正确答案：(1)设曲线L过点P(χ，y)的切线方程为Y－y＝y′(X－χ)，令X＝0，则得该切线在y轴上的截距为y－χy′由题设知 由L经过点(，0)，知C＝，于是L的方程为 (2)设第一象限内曲线y＝－χ2，在点P(χ，y)处切线方程为 它与χ轴及y轴交点分别为，所求面积为 令S′(χ)＝0，解得χ＝ 当0＜χ＜时，S′(χ)＜0；χ＞时，S′(χ)＞0，因而χ＝是S(χ)在(0， )内的唯一极小点，于是所求切线为 涉及知识点：常微分方程