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求二面角的六种方法一、引言二面角是几何学中的一个重要概念，它用于描述两个平面的夹角。
求解二面角的方法有多种，本文将介绍六种常用的方法，包括向量法、三角函数法、三边长法、内外法、旋转法和平行四边形法。
对于每种方法，我们将详细介绍其原理和具体步骤，并给出相关的实例来加深理解。
二、向量法向量法是最常用的求解二面角的方法之一，其基本原理是通过两个平面的法向量来计算二面角。
具体步骤如下：2.1 确定两个平面首先，我们需要确定需要求解的两个平面。
平面可以由三个不共线的点或者法向量和过点的方程来确定。
2.2 求解法向量找到两个平面的法向量，分别记作n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 。
2.3 计算二面角的余弦值通过法向量n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 的点积计算二面角的余弦值：cosθ=n1⃗⃗⃗⃗ ⋅n2⃗⃗⃗⃗ ∥n1⃗⃗⃗⃗ ∥∥n2⃗⃗⃗⃗ ∥2.4 计算二面角通过余弦值反函数（如反余弦函数）计算二面角的值：θ=arccos(cosθ)三、三角函数法三角函数法是另一种常用的求解二面角的方法，主要基于三角函数的关系来计算二面角。
具体步骤如下：3.1 确定两个平面同样，我们首先需要确定需要求解的两个平面。
3.2 求解法向量和对应边长求解两个平面的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 和n 2⃗⃗⃗⃗ ，以及两个平面上的边长。
3.3 计算三角函数的值根据边长和法向量的乘积，分别计算sinα=∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ×n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥和cosα=n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥，其中α为两个边向量构成的夹角。
3.4 计算二面角通过三角函数的反函数（如反正弦函数、反余弦函数）计算夹角α的值，即得到二面角的值。
四、三边长法三边长法是一种适用于三角形的方法，其原理是利用给定的三边长计算三角形的角度，进而求得二面角。
具体步骤如下：4.1 确定三个边长根据具体情况，确定三个边长a 、b 和c 。
二面角求法1 .定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.·例1 . 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求 二面角A-BD-C 1解析：易知∠COC 1是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1例2.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB=60︒，PA PD ==分别是BC,PC 的中点.求：二面角P-AD-B 的余弦值.&解：由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，在Rt PGA ∆中，2217()24PG =-=；在Rt BGA ∆中，222131()24BG =-=；在PGB ∆中，222cos 2PG BG PB PGB PG BG +-∠==⋅.2 三垂线法此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l ，过面α 内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.《例3.如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2， 求：二面角A 1－AB －B 1的正弦值.分析与略解：作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B.@—A图3αβP￥BlB 1 A *A 1l%EF@PCＳ| FGP AＳBＳ;C DＳF E,过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ， ∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.依次可求得 AB 1=B 1B=2，A 1B=3，A 1E=22，A 1F=23， 则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A 1E A 1F =63 .·例4.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE.若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值.】解:由(1)得BD ⊥平面PAC, ∴BD ⊥AC.又四边形ABCD 为矩形,∴四边形ABCD 是正方形.设AC 交BD 于O 点,∵PC ⊥平面BDE,∴∠BEO 即为二面角B-PC-A 的平面角. ∵PA=1,AD=2,∴AC=2,BO=OC=,∴PC==3,—又OE===在直角三角形BEO 中,tan ∠BEO===3,∴二面角B-PC-A 的正切值为3.例5. 如图, 四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PA ⊥底面ABCD, PA=AB=, 点E 是棱PB 的中点.(1) 若AD=, 求二面角A-EC-D的平面角的余弦值.—(1) 过点D作DF⊥CE, 交CE于F, 过点F作FG⊥CE, 交AC于G, 则∠DFG为所求的二面角的平面角.由(Ⅰ) 知BC⊥平面PAB, 又AD∥BC, 得AD⊥平面PAB, 故AD⊥AE, 从而DE==. 在Rt△CBE中, CE==. 由CD=, 所以△CDE为等边三角形, 故F为CE的中点, 且DF=CD·sin=.因为AE⊥平面PBC, 故AE⊥CE, 又FG⊥CE, 知FG=AE, 从而FG=, 且G点为AC的中点. 连结DG, 则在Rt△ADG中, DG=AC==.，所以cos∠DFG==.、3、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
高中数学二面角求法
一、直接法
嘿，小伙伴们！直接法呢，就是直接根据二面角的平面角的定义去找角。
这就需要咱们有一双善于观察的眼睛啦。
比如说，看看题目中有没有给出垂直于棱的直线，或者有没有给出两个面内与棱垂直的直线，如果有的话，那这两条直线所成的角就是二面角啦。
二、三垂线法
这个方法有点小神奇哦！咱们得先找到一个面的垂线，然后通过垂足向棱作垂线，连接斜足和垂足，这样得到的角就是二面角。
是不是感觉有点绕？其实多做几道题就明白啦。
三、射影面积法
这个方法相对简单粗暴一些。
如果一个三角形在另一个平面上的射影面积是 S1，原三角形面积是 S2，那么二面角的余弦值就是
S1/S2 哟。
是不是感觉很神奇？
四、向量法
对于那些比较复杂的图形，向量法就派上用场啦！先建立空间直角坐标系，然后求出两个面的法向量，通过法向量的夹角来求二面角。
不过要注意哦，法向量夹角可能不是二面角，要根据图形判断是相等还是互补。
总之呢，二面角的求法多种多样，咱们要根据具体的题目灵活选择合适的方法，这样才能又快又准地求出答案。
加油吧，小伙伴们！。
高中数学求二面角技巧
高中数学中，求解二面角是一项重要的技巧。
二面角是指两个平面相交而形成的角度，常常出现在几何题目中。
以下是一些求解二面角的技巧：
1. 使用向量法求解二面角
向量法是求解二面角的常用方法。
假设有两个平面AB和CD，且它们相交于一条直线EF。
设向量AB=n，向量CD=m，向量EF=a，则二面角θ的余弦值为：
cosθ=(n·m)/( |n|·|m| )
其中，n·m表示n和m的数量积，|n|和|m|表示向量n和向量m 的模长。
2. 利用三角函数求解二面角
如果已知二面角的两个面的斜率，可以使用三角函数求解二面角。
设两个平面的斜率分别为k1和k2，则二面角的正切值为：
tanθ=(k1-k2)/(1+k1k2)
可以使用反正切函数求解出二面角的值。
3. 利用平面几何知识求解二面角
通过平面几何知识，可以求解出两个平面的交线与一个球面的交线，从而求解二面角。
设两个平面在点O处相交，交线为AB和CD，球心为O，球面与交线AB和CD的交点分别为P和Q，则二面角θ等
于∠POQ。
以上是求解二面角的一些常用技巧，希望对高中数学学习有所帮
助。
数学二面角的求法总结数学二面角是指在三维空间中，两个平面的夹角。
它是一个重要的几何概念，在计算机图形学、物理学、化学等领域都有广泛的应用。
本文将总结数学二面角的求法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、定义数学二面角是指在三维空间中，两个平面的夹角。
具体来说，设平面P1和平面P2相交于一条直线L，将P1和P2分别沿着L旋转，直到它们重合为止。
此时，P1和P2的夹角就是它们的二面角。
二、求法1. 余弦定理法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有：cosθ =(n1·n2) / (|n1|·|n2|)其中，·表示向量的点积，|n1|和|n2|分别表示n1和n2的模长。
由于n1和n2都是单位向量，所以|n1|=|n2|=1。
因此，上式可以简化为：cosθ = n1·n2这个式子就是余弦定理。
它告诉我们，两个向量的点积等于它们的模长乘以夹角的余弦值。
因此，我们可以通过求出n1和n2的点积来计算二面角的余弦值，然后再用反余弦函数求出夹角。
2. 向量叉积法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有：sinθ = |n1×n2| / (|n1|·|n2|)其中，×表示向量的叉积。
由于n1和n2都是单位向量，所以|n1|=|n2|=1。
因此，上式可以简化为：sinθ = |n1×n2|这个式子就是向量叉积的模长公式。
它告诉我们，两个向量的叉积的模长等于它们的模长乘以夹角的正弦值。
因此，我们可以通过求出n1和n2的叉积的模长来计算二面角的正弦值，然后再用反正弦函数求出夹角。
3. 三角形面积法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有：sinθ = 2·S / (|P1|·|P2|)其中，S表示P1和P2的交线段所在的平面的面积，|P1|和|P2|分别表示P1和P2的面积。
求二面角的方法求二面角的方法二面角是一个非常重要的概念，在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用。
它是指两个平面或曲面之间的夹角，也可以理解为一个三维图形中相邻两个面之间的夹角。
在这里，我们将介绍几种求二面角的方法。
方法一：向量法向量法是一种比较简单易懂的方法。
首先，我们需要找到两个平面或曲面上的法向量，然后计算它们之间的夹角即可得到二面角。
具体步骤如下：1. 找到两个平面或曲面上的法向量。
2. 计算这两个法向量之间的夹角，可以使用余弦定理或内积公式进行计算。
3. 将得到的结果转换为度数制即可得到二面角。
例如，假设我们要求一个正四棱锥中底面和侧棱所在平面之间的二面角。
首先，我们需要找到底面和侧棱所在平面上的法向量。
底面上任意一点处垂直于底面且指向外部的单位法向量为(0,0,-1)，而侧棱所在平面上任意一点处垂直于该平面且指向内部的单位法向量为(1/√2,0,-1/√2)。
然后，我们可以使用余弦定理计算它们之间的夹角，即cosθ=（0×1/√2+0×0+（-1）×（-1/√2））÷（√（0²+0²+1²）×√（（1/√2）²+0²+（-1/√2）²）），得到cosθ=1/3。
将其转换为度数制，即θ≈70.53°，即可得到二面角。
方法二：三角形面积法三角形面积法是另一种求解二面角的方法。
它需要先求出相邻两个面所在平面上的三个顶点，然后计算这三个顶点构成的三角形面积，最后根据正弦定理求出二面角。
具体步骤如下：1. 找到相邻两个面所在平面上的三个顶点。
2. 计算这三个顶点构成的三角形的面积。
3. 根据正弦定理计算出二面角。
例如，假设我们要求一个立方体中相邻两个正方形所在平面之间的二面角。
首先，我们需要找到这两个正方形所在平面上的三个顶点。
可以选择其中一个正方形上任意一点作为第一个顶点，然后在该正方形上选择任意两个相邻的点作为第二和第三个顶点。
几何法求二面角的四种方法嘿，咱今儿个就来唠唠几何法求二面角的那四种方法！这可是数学里挺重要的一块儿呢！第一种，咱可以通过找垂线来搞定。
就好比你要去一个地方，得先找到条直直的路一样。
在二面角的图形里，努力找找看有没有能和两个面都垂直的线，要是找到了，那可就像找到了宝贝！这条垂线和两个面的交点，还有其他一些关键的点，连起来，就能大概知道二面角的样子啦。
第二种呢，是找垂面。
这就好像给二面角盖了个小房子，这个垂面和那两个面的交线，就是二面角的边呀！通过研究这个垂面和其他线的关系，不就能慢慢把二面角给揪出来了嘛。
再来说说第三种，定义法。
这就像是按照规矩办事儿，根据二面角的定义，直接去量量角的大小。
虽然可能有点麻烦，但有时候还真挺管用呢！就像有些事情，虽然简单直接，但效果可不差呀。
最后一种，投影法。
哇，这个可有意思了！就好像是把一个东西的影子投到另一个地方，通过研究这个影子，就能知道原来那个东西的一些情况。
在二面角里，找到一个面在另一个面上的投影，然后通过一些计算，就能求出二面角啦。
你想想看，数学的世界多奇妙呀！这四种方法就像是四把钥匙，能打开求二面角这个大门。
每把钥匙都有它独特的用处，咱得根据不同的题目情况，选对钥匙去开锁呀！比如说，遇到一个特别复杂的图形，可能就得先从找垂线入手，一点点理清楚；要是图形比较有规律，那定义法说不定就能快速解决问题呢。
这就跟咱生活中做事一样，得灵活应变，不能死板对吧？而且啊，学会了这四种方法，那在解几何题的时候，可就有底气多啦！就像战士有了厉害的武器，还怕打不赢仗吗？哎呀，这几何法求二面角，真的是很有意思呢，只要咱用心去学，肯定能掌握得牢牢的！总之，这四种方法都很重要，都得好好琢磨琢磨。
咱可不能小瞧它们，要把它们变成咱解题的好帮手！加油吧，朋友们，让我们在几何的海洋里畅游，把二面角这些难题都轻松拿下！。
求解二面角的四种基本方法高中数学学习过程中，求解二面角是高考理科高考的必考题型，多种角度，多种方法处理这类问题是一项重要的基本能力，是落实数学核心素养培养的基本方法，在教学过程中有必要对本类型习题进行详尽的介绍和广泛的探索，提升本类问题的处理方式和方法，是多种知识交汇，处理问题的能力的体现，本文根据近年高考题与模拟题中的常见题型，对常用的处理方法进行探究和总结，希望能够找到本类题型的常见处理方法，帮助学生建立良好的处理策略.一、利用定义求解例1. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，23AC =，12A A BD ==,E 为1BD 中点.求二面角E DC A --的余弦值.分析 过O 作OF CD ⊥，垂足为F ，连OF ，则EFO ∠是二面角E OC A --的平面角.解答过O 作OF CD ⊥，垂足为F ，连OF ，∵1DD ⊥面ABCD ，1//OE DD ，∴OE ⊥面ABCD .∴EFO ∠是二面角E OC A --的平面角.∵1112OE DD ==，3OF =，∴7EF =，217cos EFO ∠=. 故二面角E DC A --的余弦值为217. 说明 二面角是规则图形的面与面之间的角是，采用二面角的定义，直接做出角，利用边长的长度关系找到二面角的平面角之间的边长长度关系，进而求解二面角大小.变式训练1 （2019年天津高考题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，D C O A B求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.二、利用面积面积射影求解例2. 在三棱锥中P ABC -，,D E 分别为PBC ∆、ABC ∆的重心，若DE ABC ⊥∆面，2PBC ABC S ∆∆=S ，则二面角P BC A --的大小为______.分析 易证DE ∥PA ，则PA ABC ⊥面，则PBC ∆的射影为ABC ∆，此时宜采用“面积射影法”. 解答 设二面角为θ，因为,D E 分别为PBC ∆、ABC ∆的重心，则可得=MD ME DP EA，所以DE ∥PA .又因为DE ABC ⊥面，所以PA ABC ⊥面.因为cos ABC PBC S θ∆∆=S 222==45θ=o . 说明 当题目中涉及斜面三角形面积和相应射影三角形面积时，可采用“面积射影法”求二面角的大小.变式训练2 在等腰直角ABC ∆中，1AB BC ==，M 为AC 的中点，沿BM 把ABC ∆折成二面角，折后A 与C 的距离为62，则二面角C —BM —A 的大小为________. 三、利用三正弦定理求解 例3. （2012年全国新课标卷）在直三棱柱ABC A B C '''-中，12AC BC AA '==，D 是棱AA '的中点，DC BD '⊥.（1）证明：DC BC '⊥；（2）求二面角A BD C ''--的大小.分析 考察面BDC '内的直线DC '，易求90BDC '∠=o ，即2sin 1θ=；取A B ''的中点N ，则C N ABB A '''⊥面，则C DN '∠即为直线DC '与ABB A ''面所成的角，且1sin 2C DN '∠=，即11sin 2θ=，最后代入公式即可求出二面角的大小.解答 因为DA C ''∆和DAC ∆均为等腰直角三角形，所以DC DC '⊥.又因为DC BC '⊥，所以DC DBC '⊥面，从而DC DB '⊥，即2sin sin 901θ==o ；取A B ''的ME D CB A P B B'A'C'A DN中点N ，连接DN ，则C N A B '''⊥.又因为AA C N ''⊥，所以C N ABB A '''⊥面，则C DN '∠即为直线DC '与ABB A ''面所成的角.设2AA a '=，则AC BC a ==，因为2C N a'=，2D C a '=，即11sin sin 2C N C DN CD θ''=∠==.由12sin sin sin θθθ=得1sin 2θ=，又据题意知所求二面角为锐二面角，所以30θ=o .说明 当其中一个半平面内的一条直线与另一个半平面、二面角的棱所成的角的正弦值容易求出时，可采用“三正弦定理法”.变式训练3 已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在平面α内，且60∠=︒POB .若直线PO 与平面β所成的角为45°，则二面角AB αβ--的正弦值为______.四、利用空间向量求解例4. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.分析 建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.解答 (1) 略.（2）在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.设1EH =，则3AE EC ==1123AA CA ==3,3BC AB ==， 据此可得：()()()1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由11AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B 的坐标为1333,322B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 利用中点坐标公式可得：333,344F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于()0,0,0E ， 故直线EF 的方向向量为：333,344EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则：()()13333,,330223333,,,,002222m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩， 据此可得平面1A BC 的一个法向量为()3,1m =u r ，333,344EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 此时4cos ,53552EF m EF m EF m ⋅===⨯⨯u u u r u r u u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55EF m θθ===u u u r u r .说明 空间向量方法是处理空间中两平面所成角比较通用的方法，建系也是Dz C 1A 1B 1C B A本节要注意的一个重点，合理建系才能比较容易、准确的找到各点坐标，求解法向量，在求解过程中应该充分重视，准确掌握好求解法向量的基本步骤，进一步提升步骤的严谨性，科学性，另，在求解过程中要注意判断二面角是锐角还是钝角，以方便对余弦值的正负进行判断. 解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.变式训练4 已知四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=o，AB=PA=2，E ．F 分别为BC ．PD 的中点.求平面PAE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.（参考答案：3；2. 23π；6 4. 217）。
立体几何专题：二面角的四种求法一、二面角1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°] 二、求二面角大小的步骤是： （1）作：找出这个平面角；（2）证：证明这个角是二面角的平面角；（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 三、确定二面角的平面角的方法：1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a 上的任意一点O 为端点， 在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为此二面角的平面角2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面α内选一点A 向另一个平面β作垂线AB ，垂足为B ，再αβaOAB过点B 向棱a 作垂线BO ，垂足为O ，连接AO ，则∠AOB 就是二面角的平面角。
3、垂面法（空间一点垂面法）（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（2）具体演示：过二面角内一点A 作AB ⊥α于B ，作AC ⊥β于C ， 面ABC 交棱a 于点O ，则∠BOC 就是二面角的平面角。
4、射影面积法求二面角coss S射影（1）方法：已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
（2）以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。
证明：如图，平面β内的△ABC 在平面α的射影为△BC A '，作BC AD ⊥于D ，连结AD .α⊥'AA 于'A ，α∈D ，AD ∴在α内的射影为D A '. 又α⊂⊥BC BC AD , ，BC D A ⊥∴'（三垂线定理的逆定理）.'ADA ∠∴为二面角α—BC —β的平面角.设△ABC 和△BC A '的面积分别为S 和'S ，θ=∠'ADA ，则AB D CD A BC S AD BC S ''21,21⋅=⋅=. SS AD BC D A BC AD D A '''2121cos =⋅⋅==∴θ.题型一 定义法求二面角【例1】如图，已知三棱锥A BCD 的各棱长均为2，求二面角A CD B 的余弦值．【答案】13【解析】如图，取CD 的中点M ，连接AM ，BM ，则AM ⊥CD ，BM ⊥CD .由二面角的定义可知∠AMB 为二面角A CD B 的平面角． 设点H 是△BCD 的重心，则AH ⊥平面BCD ，且点H 在BM 上． 在Rt △AMH 中，AM ＝32×2＝3， HM ＝32×2×13＝33，则cos ∠AMB ＝333＝13，即二面角的余弦值为13.【变式1-1】如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝12AD，求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小．【答案】30°【解析】因为AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACD.因为AD⊂平面ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角．在Rt△ACD中，AC＝12AD，所以∠ADC＝30°.【变式1-2】已知二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为()A．150° B．45° C．120° D．60°【答案】D【解析】如图，AC⊥AB，BD⊥AB，过A在平面ABD内作AE∥BD，过D作DE∥AB，连接CE，所以DE＝AB且DE⊥平面AEC，∠CAE即二面角的平面角．在Rt△DEC中，CD＝217，DE＝4，则CE＝213，在△ACE中，由余弦定理可得cos∠CAE＝CA2＋AE2－CE22CA×AE＝12，所以∠CAE＝60°，即所求二面角的大小为60°.【变式1-3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABCA1的平面角等于________．【答案】45°【解析】根据长方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角ABCA1的平面角.又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.【变式1-4】如图所示，平面角为锐角的二面角αEFβ，A∈EF，AG⊂α，∠GAE ＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角αEFβ的大小．【答案】45°【解析】作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，则GB⊥EF，∠GBH是二面角αEFβ的平面角．又∠GAH是AG与β所成的角，设AG＝a，则GB＝22a，GH＝12a，sin∠GBH＝GHGB＝22.所以∠GBH＝45°，二面角αEFβ的大小为45°.题型二三垂线法求二面角【例2】在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，P A⊥平面ABCD，P A=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的正切值。
【答案】2【解析】如图，P A ⊥平面BD ，过A 作AH ⊥BC 于H ，连结PH ，则PH ⊥BC又AH ⊥BC ，故∠PHA 是二面角P -BC -A 的平面角。
在Rt △ABH 中，AH =ABsin ∠ABC =aSin 30°=；在Rt △PHA 中，tan ∠PHA =P A /AH =，【变式2-1】在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435，那么二面角A BD P 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 【答案】A【解析】作AO ⊥BD 交BD 于点O ，∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BD .∵P A ∩AO ＝A ，∴BD ⊥平面P AO ，∴PO ⊥BD ，∴∠AOP 即为所求二面角A BD P 的大小． ∵AO ＝AB ·AD BD ＝125，∴tan ∠AOP ＝AP AO ＝33，故二面角A BD P 的大小为30°.【变式2-2】已知矩形ABCD 的两边3AB =，4=AD ，PA ⊥平面ABCD ，且45PA =，则二面角A BD P --的正切值为（ ）pABCDLH 2a22aa =A ．12B ．13C ．12-D ．13-【答案】B【解析】如图所示，在平面PBD 内，过P 作BD 的垂线，垂足为E ，连接AE ，因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂ 平面ABCD ，所以PA BD ⊥， 因为PE BD ⊥，PA PE P = ，故BD ⊥平面PAE ， 因为AE ⊂平面PAE ，故AE BD ⊥， 所以PEA ∠为A BD P --的平面角，在直角三角形BAD 中， 3AB =，4=AD ，故125AE =， 故415tan 1235PEA ∠==，故选B .【变式2-3】如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为a 的正方形，侧棱PA =a ，2==PA PC a ，则二面角P BC D --的大小为___________.【答案】45.【解析】由题意，四棱锥P ABCD -中，底面是边长为a 的正方形，PDa ，所以,2DC a PC a ==，所以222PC PD DC =+，所以PDDC ，同理PD DA ⊥，因为DA DC D =，所以PD ⊥平面ABCD ，则PD BC ⊥，又BC DC ⊥，且PD DC D =，所以BC ⊥平面PDC ，则BC PC ⊥， 所以PCD ∠为二面角P BC D --的平面角， 在Rt PDC △中，PD DC a ==，所以45PCD ∠=， 所以二面角P BC D --的大小为45.【变式2-4】如图，已知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD DC ⊥，//AB DC ，122DC DD AD AB===．（1）求证：DB ⊥平面11B BCC ； （2）求二面角11A BD C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【解析】（1）设E 是DC 的中点，连结BE ，则四边形DABE 为正方形，BE CD ∴⊥．故2BD =，2BC =2CD =， 90DBC ∴∠=，即BD BC ⊥．又1BD BB ⊥，1.B B BC B ⋂=BD ∴⊥平面11BCC B ， （2）由（1）知DB ⊥平面11BCC B ，又1BC ⊂平面11BCC B ，1BD BC ∴⊥，取DB 的中点F , 连结1A F ，又11A D A B =，则1A FBD ⊥．取1DC 的中点M ，连结FM ，则1FM BC ,FM BD ∴⊥. ∴BD ⊥平面1A FM1A FM ∴∠为二面角11A BD C --的平面角．连结1A M ，在1A FM 中，1322A F =， 2211116222FM BC BC CC ==+=， 取11D C 的中点H ，连结1A H ，HM ， 在1Rt A HM 中，12A H =，1HM =，13A M ∴=．2221111933322cos 23326222A F FM A M A FM A F FM +-+-∴∠===⋅⋅⋅．2136sin 1()33A FM ∴∠=-=.二面角11A BD C --的正弦值为63．题型三 垂面法求二面角【例3】在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =a ，求B -PC -D 的大小。
