2018届高考数学分类练习 第58练 直线的斜率与倾斜角 含答案

直线的倾斜角与斜率（含答案）一、单选题1．经过点A ( 3，－2)和B (0,1)的直线l 的倾斜角α为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知直线l 1: 3+m x +4y =5−3m ,l 2:2x + 5+m y =8平行，则实数m 的值为（）A ．−7B ．−1C ．−1或−7D ．1333．已知直线l 1:x +my +7=0和l 2:(m −2)x +3y +2m =0互相平行，则实数m =（ ）A ．m =−3B ．m =−1C ．m =−1或3D ．m =1或m =−3 4．已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，12AF F ∆的内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（）A ．1BC ．2D ．5．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋a 2y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y )|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝Ø，则a 的值是( )A ．3B ．0C ．－1D ．0或－16．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ）A ．2，13B ．－2，−13C ．−12，－3D ．－2，－3 7．已知两直线1:230l x y -+=，2:210l mx y ++=平行，则m 的值是（）A ．4-B ．1-C ．1D ．48．已知坐标平面内三点P(3，-1),M(6，2),N − ,直线l 过点P.若直线l 与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围（）A ． 450,1500B ． 450,1350C ． 600,1200D ． 300,6009．直线1y =+的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．150︒D ．120︒二、填空题10．设直线l 1:(a +1)x +3y +2−a =0，直线l 2:2x +(a +2)y +1=0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为______，若l 1∥l 2，则实数a 的值为_______．11．直线l 1:x +2y −4=0与l 2:mx + 2−m y −1=0平行，则实数m =________.12．线2cos α•x﹣y ﹣1=0，α∈[π6，23π]的倾斜角θ的取值范围是__________13．直线x + 3y +1=0的倾斜角的大小是_________.14．若直线l 1:ax +2y =8与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行,则a =__________.15．已知点P 2,−3 ,Q 3,2 ，直线ax +y +2=0与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是____；16．若x ，y 满足约束条件 x −y +2≥0,2x +y −3≤0,y ≥1,则y +1x +2的最小值为__________．17．直线ax +(a −1)y +1=0与直线4x +ay −2=0互相平行，则实数a =________．18．直线x +2y +2=0与直线ax −y +1=0互相垂直，则实数a 等于________．三、解答题19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，060,,BAD E F ∠=分别为,PA BD 的中点，2.PA PD AD ===（1）证明：//EF 平面PBC ；（2）若PB =A DEF -的体积.20．已知直线1:220l x y ++=；2:40l mx y n ++=．（1）若12l l ⊥，求m 的值．（2）若12//l l ，且他们的距离为，求,m n 的值．21．已知直线l 经过点()P 2,5-，且斜率为 （1）求直线l 的方程．（2）求与直线l平行，且过点()2,3的直线方程．（3）求与直线l垂直，且过点()2,3的直线方程．22．已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，P1,22在椭圆上，椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，△PAF1的面积是△POF2的面积的2−1倍．（1）求椭圆C的方程；（2）直线y=kx（k>0）与椭圆C交于M，N，连接MF1，NF1并延长交椭圆C于D，E，连接DE，指出k DE与k之间的关系，并说明理由．23．已知直线l：kx−y+1+2k=0(k∈R)(1))若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．24．已知直线l1：x+my+6=0，l2：( m−2 ) x+3y+2m=0.求当m为何值时，l1，l2 (1) 平行；(2) 相交；(3) 垂直.25．已知直线l1：x−y+1=0，l2：(a−1)x+ay+12=0．(1)若l1//l2，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，设l1，l2与x轴的交点分别为点A与点B，平面内一动点P到点A 和点B的距离之比为P的轨迹方程E．26．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距为2，离心率为22，右顶点为A.（I）求该椭圆的方程；（II）过点D(2,−2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P、Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.27．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4,且椭圆C与圆M:(x−3)2+y2=34的公共弦长为(1)求椭圆C的方程(2)椭圆C的左右两个顶点分别为A1,A2,直线l:y=kx+1与椭圆C交于E,F两点,且满足k A1F =2k A2E,求k的值.参考答案1．C【解析】分析：先由直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据倾斜角的范围及倾斜角的正切值等于斜率，求得倾斜角的值．详解：由直线的斜率公式得，经过点A(，－2)和B(0,1)的直线l的斜率为0−3＝－，又倾斜角大于或等于0°小于180°，倾斜角的正切值等于－3，故倾斜角等于120°，故选C.点睛：本题考查直线的斜率公式以及倾斜角的范围、倾斜角与斜率的关系．2．A【解析】【分析】对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．【详解】当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=−3+m4x+5−3m4，y=−25+mx+85+m，∵两条直线平行，∴−3+m4=−25+m，5−3m4≠85+m，解得m=﹣7．综上可得：m=﹣7．故选：A．【点睛】本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．3．C【解析】【分析】根据直线平行充要关系得等式，解得结果.【详解】由题意得1m−2=m3≠72m∴m=−1或3,选C.【点睛】本题考查直线平行位置关系，考查基本转化求解能力，属基础题.4．D【解析】设12AF F ∆的内切圆圆心为1,I ，12BF F ∆的内切圆圆心为2,I ，边1212A F A F F F 、、上的切点分别为M N E 、、，易见1I E 、横坐标相等，则1122AM AN F M F E F N F E ===，，，由122AF AF a -=， 即122AM MF AN NF a +-+=（），得122MF NF a -=，即122F E F E a -=，记1I 的横坐标为0x ，则00E x （，），于是002x c c x a +--=（），得0x a =，同理内心2I 的横坐标也为a ，则有12I I x ⊥轴，设直线的倾斜角为θ，则22129022OF I I F O θθ∠=∠=︒-，，则211212221tan ,tan tan 90222tan 2r r I F O r r F E F E θθθ⎛⎫=∠=︒-=== ⎪⎝⎭ ，222tan 12tan ,tan tan 22221tan 2θθθθθ∴==∴==- 故选D.5．D 【解析】A B ?⋂＝，即直线()212602320l x a y l a x ay a ：＋＋＝与：－＋＋＝平行， 令()2132a a a ⨯＝－，解得01a a ＝或＝－或3a ＝.0a ＝时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1∥l 2.a ＝－1时，l 1：x ＋y ＋6＝0，l 2：－3x －3y －2＝0.l 1∥l 2.a ＝3时，l 1：x ＋9y ＋6＝0，l 2：x ＋9y ＋6＝0，l 1与l 2重合，不合题意．∴a ＝0或a ＝－1.答案：D.点睛：本题考查两条直线平行的判定；已知两直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若化成斜截式再判定往往要讨论该直线的斜率是否存在，容易出错，可记住以下结论进行判定： 已知直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，（1）121221//0l l A B A B ⇔-=且12210AC A C -≠；（2））1212120l l A A B B ⊥⇔+=.6．B【解析】【分析】可分别令x =0,y =0，求出相应的y 和x 的值，即为相应坐标轴上的截距.【详解】令x =0，解得：y =−13，即为y 轴上截距； 令y =0，解得：x =−2，即为x 轴上截距.故选B.【点睛】本题考查截距的求法，即直线分别与x 轴、y 轴交点的横坐标和纵坐标，根据坐标轴上点的特点将0代入即可.7．A【解析】由两直线1:230l x y -+=，2:210l mx y ++=平行可得，斜率相等，截距不相等，即22m =-且132≠-，解得4m =-，故选A. 8．A【解析】【分析】先由P （3，﹣1），N （﹣ 3， 3），M （6，2），求得直线NP 和MP 的斜率，再根据直线l 的倾斜角为锐角或钝角加以讨论，将直线l 绕P 点旋转并观察倾斜角的变化，由直线的斜率公式加以计算，分别得到直线l 斜率的范围，进而得到直线l 的倾斜角的取值范围．【详解】∵P （3，﹣1），N （﹣ 3， 3），∴直线NP 的斜率k 1= 3+1− 3−3=﹣ 33．同理可得直线MP 的斜率k 2=2+16−3=1．设直线l 与线段AB 交于Q 点，当直线的倾斜角为锐角时，随着Q 从M 向N 移动的过程中，l 的倾斜角变大，l 的斜率也变大，直到PQ 平行y 轴时l 的斜率不存在，此时l 的斜率k ≥1；当直线的倾斜角为钝角时，随着l 的倾斜角变大，l 的斜率从负无穷增大到直线NP 的斜率，此时l 的斜率k ≤﹣ 33．可得直线l 的斜率取值范围为：（﹣∞，﹣ 33]∪[1，+∞）．∴直线l 的倾斜角的取值范围 450,1500故选：A ．【点睛】本题给出经过定点P 的直线l 与线段MN 有公共点，求l 的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．9．B【解析】设倾斜角为θ，直线1y =+tan θ=60θ=︒，故选B ．10．−85−4 【解析】分析：由题意得到关于a 的方程或方程组，据此求解方程即可求得最终结果. 详解：若l 1⊥l 2，则：2 a +1 +3 a +2 =0，整理可得：5a +8=0，求解关于实数a 的方程可得：a =−85. 若l 1∥l 2，则a +12=3a +2≠2−a 1，据此可得：a =−4.点睛：本题主要考查直线垂直、平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．23【解析】【分析】由直线的平行关系可得1× 2−m −2m =0，解之可得答案【详解】∵直线l1:x+2y−4=0与l2:mx+2−m y−1=0平行，∴1×2−m−2m=0，解得m=23故答案为23【点睛】本题主要考查的是直线的与直线的平行关系，继而求得斜率与斜率之间的关系，属于基础题。

高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线的倾斜角的余弦值为________．【答案】.【解析】由直线方程可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为知，，再由同角三角函数公式，联立这两个方程组得.【考点】直线的倾斜角．2.直线的倾斜角为．【答案】【解析】方程可化为斜截式，所以斜率，所以倾斜角【考点】直线方程、直线的倾斜角与斜率3.直线的斜率是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】将直线一般式化为斜截式得斜率.【考点】直线一般式与斜截式的转化.4.若直线y＝0的倾斜角为α，则α的值是( )A．0B．C．D．不存在【答案】A【解析】∵直线y＝0的斜率为0，倾斜角的正切值是斜率，∴α=0.【考点】直线的倾斜角与斜率.5.直线的倾斜角的大小是．【答案】【解析】由直线方程可知其斜率为，设其倾斜角为，则，因为，所以。

【考点】直线的斜率和倾斜角。

6.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】B【解析】由于的倾斜角都是锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，可得，而直线的倾斜角为钝角，所以，由此可得结论：，故选答案B.【考点】直线的倾斜角与斜率.7.直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率是( )A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，分倾斜角a为锐角和钝角两种情况分类讨论，根据同角三角函数关系，求出a的余弦值和正切值，即可得到直线的斜率,由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，当a为锐角时，cosa=，tana=；当a为钝角时，cosa=-，tana=-；即直线的斜率是±，选C.【考点】直线的斜率.8.已知点A(2,3),B(－3,－2).若直线过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线的斜率的取值范围是( )A．B．C．或D．【答案】C【解析】如图，，，又过点且与轴垂直的直线也与线段相交，故直线的斜率满足或．选C．【考点】直线的斜率．9.（）直线的倾斜角为A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为直线的斜率为,所以此直线的倾斜角..【考点】直线的倾斜角与斜率的关系.点评：除倾斜角为外，倾斜角与斜率是一一对应的关系，因而求直线的倾斜角可通过求直线的斜率再求倾斜角即可.10.直线的斜率为A．2B．1C．D．【答案】B【解析】解：因为直线的斜率为1，因此选B11.如果过点和的直线的斜率等于,那么的值为( )A．4B．C．或D．或【答案】B【解析】解：因为过点和的直线的斜率等于，即，选B。

1．与直线x ＋3y －1＝0垂直的直线的倾斜角为( )A.π6B.π3C.2π3D.π2 2．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角α是( ) A ．－π7B.π7C.5π7D.6π73．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是( )A ．0B.33C. 3 D ．－ 34．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 5．(2016·济南一模)曲线y ＝|x |与y ＝kx －1有且只有一个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．－1≤k ≤1B ．－1≤k ≤0C ．0≤k ≤1D ．k <－1或k >16．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，y ＋1x ＋1的取值范围是( )A ．[－16，2] B ．[0，53] C ．[－16，53] D ．[2,4] 7．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．0≤α<πB ．0≤α≤π4或π2<α<πC ．0≤α≤π4 D.π4≤α<π2或π2<α<π 8．若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是( )A ．－23B.23 C ．－32D.32二、填空题9．(2016·广州模拟)已知直线l 的倾斜角α∈[0°，45°]∪(135°，180°)，则直线l 的斜率的取值范围是________．10．已知A (－1,2)，B (2，m )，且直线AB 的倾斜角α是钝角，则m 的取值范围是________．11．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．12．(2016·黄山一模)已知点A 在直线x ＋2y －1＝0上，点B 在直线x ＋2y ＋3＝0上，线段AB 的中点为P (x 0，y 0)，且满足y 0>x 0＋2，则y 0x 0的取值范围为________.答案精析1．B [直线的方程化为y ＝－33x ＋33，与该直线垂直的直线的斜率为3，又因为倾斜角范围为[0，π)，所以所求倾斜角为π3.] 2．D [∵tan α＝－sin π7cos π7＝－tan π7＝tan 6π7，∵α∈[0，π)，∴α＝6π7.] 3．C [斜率为－3，倾斜角为120°，P 顺时针旋转60°，倾斜角为60°，斜率为 3.]4．B [设直线的倾斜角为θ，依题意知，k ＝－33cos α， ∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33， 即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π，故选B.] 5．D [y ＝|x |的图象如图所示，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，由图可知，当－1≤k ≤1时，没有交点；当k <－1或k >1时，仅有一个交点．]6．C [y ＋1x ＋1的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．因为点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]，设该线段为AB ，且A (2,4)，B (5，－2)．因为k NA ＝53，k NB ＝－16⇒－16≤y ＋1x ＋1≤53，故选C.] 7．B [直线l 的斜率为k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，又直线l 的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α<0或0≤tan α≤1，所以π2<α<π或0≤α≤π4，故选B.] 8．A [由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋1，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －6k －1，－6k ＋1k －1.又因为MN 的中点是P (1，－1)， 所以由中点坐标公式得k ＝－23.] 9．(－1,1]解析 由直线l 的倾斜角α∈[0°，45°]∪(135°，180°)，可得0≤k ≤1或－1<k <0，即－1<k ≤1.10．(－∞，2)解析 k ＝2－m －1－2＝m －23<0，m <2. 11．[0,1]解析 y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k PA ＝1－00－(－1)＝1. ∴k 的取值范围是[0,1]．12．(－12，－15) 解析 因为直线x ＋2y －1＝0与直线x ＋2y ＋3＝0平行， 所以|x 0＋2y 0－1|5＝|x 0＋2y 0＋3|5， 可得x 0＋2y 0＋1＝0. 因为y 0>x 0＋2，所以－12(1＋x 0)>x 0＋2， 解得x 0<－53. 设y 0x 0＝k ，所以k ＝－12(x 0＋1)x 0＝－12－12x 0， 因为x 0<－53，所以0<－12x 0<310， 所以－12<y 0x 0<－15.。

高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】B【解析】由于的倾斜角都是锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，可得，而直线的倾斜角为钝角，所以，由此可得结论：，故选答案B.【考点】直线的倾斜角与斜率.2.过点和的直线的斜率为 .【答案】【解析】根据求斜率的公式可知：.【考点】直线的斜率.3.直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线的斜率，倾斜角为，即，因为，所以【考点】直线的斜率公式和倾斜角的取值范围。

4.已知过点的直线的倾斜角为45°，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意可知：，即，故，解得，故选B【考点】直线的倾斜角．5.已知点A(2,3),B(－3,－2).若直线过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线的斜率的取值范围是( )A．B．C．或D．【答案】C【解析】如图，，，又过点且与轴垂直的直线也与线段相交，故直线的斜率满足或．选C．【考点】直线的斜率．6.若三个点P(1，1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x＝( )A．－1B．3C．D．51【答案】B【解析】三点共线问题一般可由斜率相等列出方程求参数的值，由得，∴．【考点】三点共线问题．7.已知过点P(—2,m),Q(m,4)的直线的倾斜角为45°，则m的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】根据倾角好斜率的关系可知，给定的过点P(—2,m),Q(m,4)的直线的斜率为，故选A.【考点】本试题考查了直线的倾斜角的概念。

点评：解决该试题的关键是利用倾斜角与斜率的关系，得到关于m的关系式，然后求解得到结论，这是高考中重要的一个知识点，属于基础题。

8.如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C.【解析】把直线方程化成斜截式方程为,因为AC＜0，BC＜0,所以,直线的斜率,所以直线经过一、二、四象限，不通过第三象限.【考点】直线方程的斜截式与一般式的互化.点评：判断直线经过哪些象限，不经过哪些象限，一般要把直线方程化成斜截式，然后根据斜率的值的正负，和在y轴上截距的正负，判断出直线经过哪些象限.9.若直线过点，则此直线的倾斜角是【答案】【解析】由两点间的斜率公式知该直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为【考点】本小题主要考查两点间斜率公式的应用和特殊角的三角函数值的应用.点评：直线倾斜角的正切值是该直线的斜率，还要注意到直线的倾斜角的取值范围为.10.直线y =" x" + b与曲线x=有且仅有一个公共点，则b的取值范围是A．|b|=B．或C．D．以上都错【答案】B【解析】因为x=，化简得x2+y2=1注意到x≥0所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一四象限．这样很容易画出图来，这样因为直线与其只有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，-1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1）．分别算出三个情况的B值是：-，-1，1．因为B就是直线在Y轴上的截距了，所以看图很容易得到B的范围是：-1＜b≤1或b=-,故选B11.根据下列条件求直线方程（1）过点（2，1）且倾斜角为的直线方程；（2）过点（-3，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程.【答案】(1) (2);【解析】(1)由倾斜角为,可求出其斜率为,又因为过点（2，1），然后写出点斜式方程再化成一般式即可.（2）截距相等包括过原点，和斜率为-1两种情况，当过原点时直线方程为,当斜率为-1时，设直线方程为x+y=a,因为过点（-3，2），所以a=-1,所以直线方程为x+y+1=0.12.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3B．2C．1D．0【答案】D【解析】解：∵切线倾斜角小于∴斜率0＜k＜1．设切点为（x0，x3-8x），则k=y′|x=x=3x2-8，∴0＜3x20-8＜1，＜x02＜3．又∵x∈Z，∴x不存在．故选D13.直线x＝－1的倾斜角为（）A．135°B．90°C．45°D．0°【答案】B【解析】因为直线与x轴垂直，所以倾斜角为90°.14.已知点，则直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为点，则直线的斜率为-，则其倾斜角，选C15.直线的斜率是（）A B C D【答案】A【解析】将方程化为斜截式，所以斜率为，所以选A16.．已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】结合位置关系可知直线的斜率的取值范围是.故选C.17.已知直线过两点，且的倾斜角是直线倾斜角的两倍，则实数的值为（▲）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题主要考查直线的斜率公式。

直线的倾斜角与斜率、直线方程知识点1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。

当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。

(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)。

2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ。

(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1。

3．直线方程的五种形式基础专练一 、走进教材1．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A.33B.3 C ．－ 3 D ．－332． 已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0走进教材答案1．A ； 2． B ；二、查漏补缺1．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或42．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°3．已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0 B ．3x －4y ＋14＝0 C ．4x ＋3y －14＝0 D ．4x －3y ＋14＝04．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为__________。

5．过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是________。

查漏补缺答案5．4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0直击考点考点一 直线的倾斜角与斜率……母题发散【典例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________。

高考数学复习 课时作业48 直线的倾斜角与斜率、直线方程一、选择题1．直线x ＝π4的倾斜角等于( C )A ．0 B.π4C.π2D ．π解析：由直线x ＝π4，知倾斜角为π2.2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.3．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则( B ) A ．x ＝－1 B ．x ＝3 C ．x ＝92D ．x ＝1解析：三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线⇒PA →∥PB →，PA →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，得1×(－10)＝－5(x －1)⇒x ＝3.故选B.4．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图象只可能是( B )解析：因为l 1：y ＝ax ＋b ，l 2：y ＝－bx ＋a ，由图B 可知，对于直线l 1，a >0且b <0，对于直线l 2，－b >0且a >0，即b <0且a >0，满足题意．故选B.5．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( B )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23解析：依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.6．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( A ) A ．8 B ．2 2 C. 2D ．16解析：∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.7．(2019·郑州一模)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( A )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2解析：∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A.二、填空题8．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为x ＋13y ＋5＝0.解析：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上的中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.9．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.10．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是[－2,2]．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．11．曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.12．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为( A )A ．3B ．2C ．2 3D ．9解析：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则A (0,4)，B (3,0)，直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.设P (x ，y )(0≤x ≤3)，所以P 到AC ，BC 的距离的乘积为xy ，因为x 3＋y 4≥2x 3·y4，当且仅当x 3＝y 4＝12时取等号，所以xy ≤3，所以xy 的最大值为3.故选A.13．已知过点P (4,1)的直线分别交x ，y 坐标轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△ABO 的面积为8，则这样的直线有( B )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解析：由题意可设直线的方程为x a ＋y b＝1，因为直线过点P (4,1)， 所以4a ＋1b＝1，①所以△ABO 的面积S ＝12|a ||b |＝8，②联立①②消去b 可得a 2＝±16(a －4)，整理可得a 2－16a ＋64＝0或a 2＋16a －64＝0. 可判上面的方程分别有1解和2解， 故这样的直线有3条．故选B.14．直线l 1与直线l 2交于一点P ，且l 1的斜率为1k，l 2的斜率为2k ，直线l 1，l 2与x 轴围成一个等腰三角形，则正实数k 的所有可能的取值为24或 2. 解析：设直线l 1与直线l 2的倾斜角分别为α，β，因为k >0，所以α，β均为锐角．由于直线l 1，l 2与x 轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：(1)当α＝2β时，tan α＝tan2β，有1k ＝4k 1－4k 2，因为k >0，所以k ＝24；(2)当β＝2α时，tan β＝tan2α，有2k＝2k1－1k 2，因为k >0，所以k ＝ 2.故k 的所有可能的取值为24或 2. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．直线y ＝m (m >0)与y ＝|log a x |(a >0且a ≠1)的图象交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作垂直于x 轴的直线交y ＝k x(k >0)的图象于C ，D 两点，则直线CD 的斜率( C )A ．与m 有关B ．与a 有关C ．与k 有关D ．等于－1解析：由|log a x |＝m ，得x A ＝a m，x B ＝a －m，所以y C ＝ka －m，y D ＝ka m，则直线CD 的斜率为y D －y C x D －x C ＝ka m －ka －ma －m －a m＝－k ，所以直线CD 的斜率与m 无关，与k 有关，故选C. 16．(2019·襄阳五中一模)已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是( D )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3y 1－2＝0，x 2＋3y 2＋6＝0，x 1＋x22＝x 0，y 1＋y 22＝y 0，得x 0＋3y 0＋2＝0，即M (x 0，y 0)在直线x ＋3y ＋2＝0上．又因为y 0<x 0＋2，所以M (x 0，y 0)位于直线x ＋3y ＋2＝0与直线x －y ＋2＝0交点的右下部分的直线上．设两直线的交点为F ，易得F (－2,0)，而y 0x 0可看作点M 与原点O 连线的斜率，数形结合可得y 0x 0的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．故选D.。

1．与直线x ＋3y －1＝0垂直的直线的倾斜角为( )A.π6B.π3C.2π3D.π2 2．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角α是( ) A ．－π7B.π7C.5π7D.6π73．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是( )A ．0 B.33 C. 3 D ．－ 34．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 5．(2016·济南一模)曲线y ＝|x |与y ＝kx －1有且只有一个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．－1≤k ≤1B ．－1≤k ≤0C ．0≤k ≤1D ．k <－1或k >16．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，y ＋1x ＋1的取值范围是( ) A ．[－16，2] B ．[0，53] C ．[－16，53] D ．[2,4] 7．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．0≤α<πB ．0≤α≤π4或π2<α<πC ．0≤α≤π4 D.π4≤α<π2或π2<α<π 8．若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是( )A ．－23B.23 C ．－32D.32 二、填空题9．(2016·广州模拟)已知直线l 的倾斜角α∈[0°，45°]∪(135°，180°)，则直线l 的斜率的取值范围是________．10．已知A (－1,2)，B (2，m )，且直线AB 的倾斜角α是钝角，则m 的取值范围是________．11．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．12．(2016·黄山一模)已知点A 在直线x ＋2y －1＝0上，点B 在直线x ＋2y ＋3＝0上，线段AB 的中点为P (x 0，y 0)，且满足y 0>x 0＋2，则y 0x 0的取值范围为________.答案精析1．B [直线的方程化为y ＝－33x ＋33，与该直线垂直的直线的斜率为3，又因为倾斜角范围为[0，π)，所以所求倾斜角为π3.] 2．D [∵tan α＝－sin π7cos π7＝－tan π7＝tan 6π7，∵α∈[0，π)，∴α＝6π7.] 3．C [斜率为－3，倾斜角为120°，P 顺时针旋转60°，倾斜角为60°，斜率为 3.]4．B [设直线的倾斜角为θ，依题意知，k ＝－33cos α， ∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33， 即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π，故选B.] 5．D [y ＝|x |的图象如图所示，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，由图可知，当－1≤k ≤1时，没有交点；当k <－1或k >1时，仅有一个交点．]6．C [y ＋1x ＋1的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．因为点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]，设该线段为AB ，且A (2,4)，B (5，－2)．因为k NA ＝53，k NB ＝－16⇒－16≤y ＋1x ＋1≤53，故选C.] 7．B [直线l 的斜率为k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，又直线l 的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α<0或0≤tan α≤1，所以π2<α<π或0≤α≤π4，故选B.] 8．A [由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋1，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －6k －1，－6k ＋1k －1.又因为MN 的中点是P (1，－1)， 所以由中点坐标公式得k ＝－23.] 9．(－1,1]解析 由直线l 的倾斜角α∈[0°，45°]∪(135°，180°)，可得0≤k ≤1或－1<k <0，即－1<k ≤1.10．(－∞，2)解析 k ＝2－m －1－2＝m－23<0，m <2.11．[0,1]解析 y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k PA ＝1－00－(－1)＝1.∴k 的取值范围是[0,1]．12．(－12，－15)解析 因为直线x ＋2y －1＝0与直线x ＋2y ＋3＝0平行， 所以|x 0＋2y 0－1|5＝|x 0＋2y 0＋3|5，可得x 0＋2y 0＋1＝0. 因为y 0>x 0＋2，所以－12(1＋x 0)>x 0＋2，解得x 0<－53.设y 0x 0＝k ，所以k ＝－12(x 0＋1)x 0＝－12－12x 0，因为x 0<－53，所以0<－12x 0<310，所以－12<y 0x 0<－15.。

高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点()A．(－，3)B．(，3)C．(，－3)D．(－，－3)【答案】D【解析】原方程可化为(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令，解得x＝－，y＝－3，故所有直线都过定点(－，－3)．2.设M＝，N＝，则M与N的大小关系为()A．M>N B．M＝N C．M<N D．无法判断【答案】C【解析】设A(－2011,2012)，B(π2012，π2011)，C(π2014，π2013)，则有M＝＝kAB，N＝＝kAC，如图所示．则直线AB的倾斜角∠BDO和直线AC的倾斜角∠CEO均为锐角，且∠BDO<∠CEO，所以k AB <kAC，即M<N.3.设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.（1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；（2）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.【答案】（1）直线（即）的方程为或；（2）详见解析．【解析】（1）由已知条件推导出点的坐标为，由此能求出直线（即）的方程．（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线即可．（1）椭圆的右焦点为， 1分因为线段的中点在y轴上，所以点的横坐标为，因为点在椭圆上，将代入椭圆的方程，得点的坐标为. 3分所以直线（即）的方程为或. 5分（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，.又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线. 7分以下给出证明：由题意，设直线的方程为,,，则.由得， 9分所以，，. 10分在中，令，得点的坐标为，由，得点的坐标为， 11分设直线，的斜率分别为，，则， 12分因为， 13分所以，所以点，，三点共线，即点与点关于轴对称. 14分【考点】直线与椭圆综合问题．4.（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．【解析】以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，．其中a＞m＞n＞0，．（1）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以．在C1和C2的方程中分别令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=﹣m，于是．若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．（2）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k＞0），点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2．又，所以，即|BD|=λ|AB|．由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知xC =﹣xB，xD=﹣xA，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．5.若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是________．【答案】[2－，2＋]【解析】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可转化为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，∴圆心的坐标为(2,2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则圆心到直线l 的距离应小于等于，∴≤，∴2＋4＋1≤0，∴－2－≤≤－2＋，又直线l的斜率k＝－，∴2－≤k≤2＋，即直线l的斜率的取值范围是[2－，2＋]．6.设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2B．C．D．﹣2【答案】D【解析】∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．7.直线的倾斜角的大小是____________．【答案】【解析】由题意，即，∴。

直线的倾斜角与斜率经典例题(有答案精品)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March直线的倾斜角与斜率（）讲义类型一：倾斜角与斜率的关系1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；【变式】直线的倾斜角的范围是( )A． B． C．D．类型二：斜率定义2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率.【变式1】如图，直线的斜率分别为，则( )A．B．C．D．类型三：斜率公式的应用3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．【变式1】过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【变式2】为何值时，经过两点(-，6)，(1，)的直线的斜率是12．4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．【变式1】已知，，三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？【变式2】已知直线的斜率，，，是这条直线上的三个点，求和的值．类型四：两直线平行与垂直5．四边形的顶点为，，，，试判断四边形的形状．【变式1】已知四边形的顶点为，，，，求证：四边形为矩形．【变式2】已知，，三点，求点，使直线，且．【变式3】若直线与直线互相垂直，则实数=__________．直线的倾斜角与斜率()作业姓名成绩题组一直线的倾斜角1.已知直线l过点(m,1)，(m＋1，tanα＋1)，则 ()A．α一定是直线l的倾斜角 B．α一定不是直线l的倾斜角C．α不一定是直线l的倾斜角 D．180°－α一定是直线l的倾斜角2．如图，直线l经过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则 ()A．k sinα>0B．k cosα>0 C．k sinα≤0D．k cosα≤0题组二直线的斜率及应用3.1231<k2<k3，则下列说法中一定正确的是()A．k1k2＝－1 B．k2k3＝－1 C．k1<0 D．k2≥04．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.5．已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是________．题组三两条直线的平行与垂直6已知两条直线l1：ax＋by2bm是直线l1∥l2的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为 ( )A ．5B ．4C ．2D ．18．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b 为( )B ．－23 D ．－139．设直线l 1的方程为x ＋2y －2＝0，将直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，则l 2的方程是________________．10.若关于x 的方程|x ________．11．已知点A (2,3)，B (－5,2)，若直线l 过点P (－1,6)，且与线段AB 相交，则该直线倾斜角的取值范围是________．12．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)．(2)∠MPN 是直角．直线的倾斜角与斜率（）讲义答案类型一：倾斜角与斜率的关系1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析：∵，∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.举一反三：【变式】（2010山东潍坊，模拟）直线的倾斜角的范围是A．B．C．D．【答案】B解析：由直线，所以直线的斜率为．设直线的倾斜角为，则．又因为，即，所以．类型二：斜率定义2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x 轴上，求边AB与AC所在直线的斜率.思路点拨：本题关键点是求出边AB与AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC的倾斜角为30°，∴k AB=tan150°= k AC=tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.举一反三：【变式1】如图，直线的斜率分别为，则( )A．B．C．D．【答案】由题意，，则本题选题意图：对倾斜角变化时，如何变化的定性分析理解.∴选B.类型三：斜率公式的应用3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨：已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可.解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．总结升华：本题求出，但的符号不能确定，我们通过确定的符号来确定的符号.当时，，为锐角；当时，，为钝角.举一反三：【变式1】过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率故由斜率公式，解得或．经检验不适合，舍去.故．【变式2】为何值时，经过两点(-，6)，(1，)的直线的斜率是12．【答案】，．即当时，，两点的直线的斜率是12．4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．思路点拨：如果过点AB，BC的斜率相等，那么A，B，C三点共线.解析：∵A、B、C三点在一条直线上，∴k AB=k AC．总结升华：斜率公式可以证明三点共线，前提是他们有一个公共点且斜率相等.举一反三：【变式1】已知，，三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？【答案】经过，两点直线的斜率．经过，两点的直线的斜率．所以，，三点在同一条直线上．【变式2】已知直线的斜率，，，是这条直线上的三个点，求和的值．【答案】由已知，得；．因为，，三点都在斜率为2的直线上，所以，．解得，．类型四：两直线平行与垂直5．四边形的顶点为，，，，试判断四边形的形状．思路点拨：证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角.解析：边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率．，，，，即四边形为平行四边形．又，，即四边形为矩形．总结升华：证明不重和的的两直线平行，只需要他们的斜率相等，证明垂直，只需要他们斜率的乘积为-1.举一反三：【变式1】已知四边形的顶点为，，，，求证：四边形为矩形．【答案】由题意得边所在直线的斜率．边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，则；．所以四边形为平行四边形，又因为，，即平行四边形为矩形．【变式2】已知，，三点，求点，使直线，且．【答案】设点的坐标为，由已知得直线的斜率；直线的斜率；直线的斜率；直线的斜率．由，且得解得，．所以，点的坐标是．【变式3】（2011浙江12）若直线与直线互相垂直，则实数=__________．【答案】因为直线与直线互相垂直，所以，所以．直线的倾斜角与斜率()作业答案姓名 成绩题组一 直线的倾斜角1.已知直线l 过点(m,1)，(m ＋1， )A ．α一定是直线l 的倾斜角B ．α一定不是直线l 的倾斜角C ．α不一定是直线l 的倾斜角D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角解析：设θ为直线l 的倾斜角，则tan θ＝tan α＋1－1m ＋1－m ＝tan α，∴α＝kπ＋θ，k ∈Z ，当k ≠0时，θ≠α.答案：C2．如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则 ( )A ．k sin α>0B ．k cos α>0C ．k sin α≤0D ．k cos α≤0解析：显然k <0，π2<α<π，∴cos α<0，∴k cos α>0.答案：B3.1231<k 2<k 3，则下列说法中一定正确的是( )A ．k 1k 2＝－1B ．k 2k 3＝－1C ．k 1<0D ．k 2≥0解析：结合图形知，k 1<0.答案：C4．(2008·浙江高考)已知a >0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________. 解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即a 2＋a 2－1＝a 3－a 23－2，又a >0，∴a ＝1＋ 2. 答案：1＋25．已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是________．解析：设直线AB 的倾斜角为2α，则直线l 的倾斜角为α，由于0°≤2α＜180°，∴0° ≤α＜90°，由tan2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，得tan α＝13，即直线l 的斜率为13. 答案：136.(2009·陕西八校模拟)12＋ny ＋p ＝0，则an ＝bm 是直线l 1∥l 2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵l 1∥l 2⇒an －bm ＝0，且an －bm ＝0⇒/ l 1∥l 2，故an ＝bm 是直线l 1∥l 2的必要不充分条件．答案：B7．(2009·福建质检)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为( ) A ．5 B ．4 C ．2 D ．1解析：由题意知，a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0，∴a2b＝a2＋1，∴ab＝a2＋1a＝a＋1 a，∴|ab|＝|a＋1a|＝|a|＋1|a|≥2.(当且仅当a＝±1时取“＝”)．答案：C8．(2010·合肥模拟)已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b 为( ) B ．－23 D ．－13解析：曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率为3，所以a b ＝－13.答案：D9．(2009·泰兴模拟)设直线l 1的方程为x ＋2y －2＝0，将直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，则l 2的方程是________________．解析：∵l 1⊥l 2，k 1＝－12，∴k 2＝2，又点(0,1)在直线l 1上，故点(－1,0)在直线l 2上，∴直线l 2的方程为y ＝2(x ＋1)，即2x －y ＋2＝0.答案：2x －y ＋2＝0题组四 直线的倾斜角和斜率的综合问题10.若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________．解析：数形结合．在同一坐标系内画出函数y ＝kx ，y ＝|x －1|的图象如图所示，显然k ≥1或k ＝0时满足题意.答案：k ≥1或k ＝011．(2009·青岛模拟)已知点A (2,3)，B (－5,2)，若直线l 过点P (－1,6)，且与线段AB 相交，则该直线倾斜角的取值范围是________．解析：如图所示，k PA ＝6－3－1－2＝－1， ∴直线PA 的倾斜角为3π4，k PB ＝6－2－1－(－5)＝1，∴直线PB 的倾斜角为π4，从而直线l 的倾斜角的范围是[π4，3π4]．答案：[π4，3π4]12．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)．(2)∠MPN 是直角．解：设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴OM ∥NP .∴k OM ＝k NP .又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5(x ≠5)， ∴1＝2x －5，∴x ＝7， 即P 点坐标为(7,0)．(2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ，∴k MP ·k NP ＝－1.又k MP ＝22－x (x ≠2)，k NP ＝2x －5(x ≠5)， ∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6， 即P 点坐标为(1,0)或(6,0)．。

高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求m的取值范围．【答案】[－，]【解析】解法一：直线x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)，k AP ＝＝－2，kAQ＝＝，则－≥或－≤－2.∴－≤m≤且m≠0.又m＝0时，直线x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，∴所求m的取值范围是[－，]．解法二：过P、Q两点的直线方程为y－1＝ (x＋1)，即y＝x＋，代入x＋my＋m＝0，整理得x＝－，由已知－1≤－≤2，解得－≤m≤.即m的取值范围是[－，]．2. [2014·湖南郴州]若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)【答案】①⑤【解析】很明显直线l1∥l2，直线l1，l2间的距离为d＝＝，设直线m与直线l1，l2分别相交于点B，A，则|AB|＝2，过点A作直线l垂直于直线l1，垂足为C，则|AC|＝d＝，则在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝30°，又直线l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°.故填①⑤.3. [2014·东北三校联考]经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝() A．－1B．－3C．0D．2【答案】B【解析】由＝＝y＋2，得y＋2＝tan＝－1.∴y＝－3.4.已知椭圆的一个顶点为B(0，4)，离心率，直线交椭圆于M,N两点．（1）若直线的方程为y=x-4，求弦MN的长：（2）如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由椭圆顶点知，又离心率，且，所以，从而求得椭圆方程为，联立椭圆方程与直线消去得，，再根据弦长公式，可求得弦的长；（2）由题意可设线段的中点为，则根据三角形重心的性质知，可求得的坐标为，又设直线的方程为，根据中点公式得，又由点是椭圆上的点所以，两式相减整理得，从而可求出直线的方程.（1）由已知，且，.所以椭圆方程为. 4分由与联立，消去得，. 6分. 7分（2）椭圆右焦点的坐标为，设线段的中点为，由三角形重心的性质知，又，，故得.所以得的坐标为. 9分设直线的方程为，则，且，两式相减得. 11分，故直线的方程为. 13分【考点】1.椭圆方程；2.直线方程.5.已知椭圆的一个顶点为B(0，4)，离心率，直线交椭圆于M,N两点．（1）若直线的方程为y=x-4，求弦MN的长：（2）如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由椭圆顶点知，又离心率，且，所以，从而求得椭圆方程为，联立椭圆方程与直线消去得，，再根据弦长公式，可求得弦的长；（2）由题意可设线段的中点为，则根据三角形重心的性质知，可求得的坐标为，又设直线的方程为，根据中点公式得，又由点是椭圆上的点所以，两式相减整理得，从而可求出直线的方程.（1）由已知，且，.所以椭圆方程为. 4分由与联立，消去得，. 6分. 7分（2）椭圆右焦点的坐标为，设线段的中点为，由三角形重心的性质知，又，，故得.所以得的坐标为. 9分设直线的方程为，则，且，两式相减得. 11分，故直线的方程为. 13分【考点】1.椭圆方程；2.直线方程.6.设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.（1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；（2）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.【答案】（1）直线（即）的方程为或；（2）详见解析．【解析】（1）由已知条件推导出点的坐标为，由此能求出直线（即）的方程．（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线即可．（1）椭圆的右焦点为， 1分因为线段的中点在y轴上，所以点的横坐标为，因为点在椭圆上，将代入椭圆的方程，得点的坐标为. 3分所以直线（即）的方程为或. 5分（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上）， 要证点与点关于轴对称， 只要证点与点C 重合，. 又因为直线与椭圆的交点为C （与点不重合），所以只要证明点，，三点共线. 7分 以下给出证明： 由题意，设直线的方程为,,，则.由得 ， 9分所以 ，，. 10分 在中，令，得点的坐标为，由，得点的坐标为， 11分 设直线，的斜率分别为，，则 ， 12分因为， 13分 所以 ，所以点，，三点共线，即点与点关于轴对称. 14分 【考点】直线与椭圆综合问题．7. 直线的倾斜角为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】直线的斜率等于﹣，设它的倾斜角等于 θ，则 0≤θ＜π，且 tanθ=﹣，∴θ=，故选C ．8. 若直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是 ．【答案】 【解析】因为直线的倾斜角为钝角，所以【考点】直线斜率9. 已知椭圆C ：＝1(a ＞b ＞0)过点P(－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．【答案】（1）;（2）2;（3）或．【解析】（1）根据题意可得，且，加之的关系，可求得; （2）由于直线的斜率已确定，则可由其与椭圆方程联立方程组，求出点M的坐标，因两直线垂直，故当时，用代替，进而求出点N的坐标，得，再由两点间的距离公式求出：，即可求出的面积;（3）观察本题条件可用设而不求的方法处理此题，即设出点，两点均在椭圆上得：，观察此两式的结构特征是一致的，则将两式相减得，由题中条件线段的中点在x轴上，所以，从而可得，此式表明两点横坐标的关系：可能相等;可能互为相反数，分两种情况分类讨论：当时，再利用，可转化为，进一步确定出两点的坐标或，即可求出直线的方程为;同理当，求出直线的方程为．试题解析：（1）由条件得，且，所以，解得．所以椭圆方程为：． 3分（2）设方程为，联立,消去得．因为，解得．5分当时，用代替，得． 7分将代入，得．因为，所以，所以的面积为． 9分（3）设，则两式相减得，因为线段的中点在x轴上，所以，从而可得．12分若，则．因为，所以，得．又因为，所以解得，所以或．所以直线的方程为． 14分若，则，因为，所以，得．又因为，所以解得，经检验：满足条件，不满足条件．综上，直线的方程为或． 16分【考点】1.椭圆方程;2.直线与椭圆的位置关系10.直线经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是____________．【答案】45°【解析】tan α＝k＝1，∴ α＝45°11.过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m＝________．【答案】1【解析】由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.12.直线l经过A(2，1)、B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是________．【答案】α∈∪【解析】k＝tanα＝＝1－m2≤1，所以α∈∪.13.直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角是()A．40°B．50°C．130°D．140°【答案】B【解析】选∵直线xcos 140°+ysin 140°=0的斜率k=-=-=-==="tan" 50°,∴直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角为50°.14.已知直线l的倾斜角为π,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于.【答案】-2【解析】由直线l的倾斜角得l的斜率为-1,l1的斜率为.∵直线l与l1垂直,∴=1,得a=0.又∵直线l2的斜率为-,l1∥l2,∴-=1,b=-2.因此a+b=-2.15.过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()．A．B．－C．±D．－【答案】B【解析】如图，∵S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝时，S面积最大．此时O到AB的距离d＝.△AOB设AB方程为y＝k(x－)(k<0)，即kx－y－k＝0.由d＝＝，得k＝－.(也可k＝－tan∠OPH＝－)．16.直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线倾斜角的范围是，而反正切函数的取值范围是，而本题中直线的斜率为，故倾斜角为，选B.【考点】直线的倾斜角与反正切函数.17.直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，，有正切函数图象知，直线的倾斜角的取值范围是，选D.【考点】直线的倾斜角、斜率.18.已知点，过点的直线总与线段有公共点，则直线的斜率取值范围为______（用区间表示）.【答案】【解析】如图，，根据斜率的定义可知，当直线逆时针转时，斜率增大，当直线顺时针转时，斜率减小，故直线的斜率取值范围为.【考点】直线斜率的计算、直线斜率的定义.19.在曲线y=x3+3x2+6x－10的切线斜率中斜率最小的切线方程是 .【答案】3x－y+11=0【解析】解：y′=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，∴x=-1时，切线最小斜率为3，此时，y=（-1）3+3×（-1）2+6（-1）-10=-14．∴切线方程为y+14=3（x+1），即3x-y-11=020.设直线平面，过平面外一点且与、都成角的直线有且只有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】B【解析】解：如图，和α成300角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC=∠ACB=30°，直线AC，AB都满足条件，故选B21.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90度，再向右平移1个单位，所得的直线方程为则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将直线绕原点逆时针旋转90度后的直线再向右平移1个单位，所得的直线方程为故选A22.（理）已知∈(0，)，则直线的倾斜角（用的代数式表示）【答案】+【解析】∵∈(0, )，∴ tan≠0,∴直线x+ytan+1=0的斜率 k=-1/tan=-cot=tan(+),设直线x+ytan+1=0的倾斜角为θ(0≤θ<π),则tanθ=tan(+), ∵<+<π, 0≤θ<π∴ θ=+23.直线与抛物线相交于A、B两点，与x轴相交于点F，若，则【答案】【解析】略24.设直线 ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足()A．a＋b＝1B．a－b＝1C．a＋b＝0D．a－b＝0【答案】D【解析】由sinα+cosα=0，我们易得tanα=-1，即函数的斜率为-1，进而可以得到a，b的关系．解：∵sinα+cosα=0∴tanα=-1，k=-1，-=-1，a=b，a-b=0故选D．25.若过点k(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α为钝角，则实数a的取值范围为____________【答案】(－2,1)【解析】略26.已知直线过点和点，则直线的斜率的最大值为（）【答案】D【解析】略27.若圆上至少有三个不同点到直线的距离为则直线的斜率的取值区间为．【答案】【解析】斜率即是该范围28.直线与直线交于一点，且的斜率为，的斜率为，直线、与轴围成一个等腰三角形，则正实数的所有可能的取值为．【答案】或.【解析】设直线与直线的倾斜角为，，因为，所以，均为锐角，由于直线、与轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：（1）时，，有，因为，解得；（2）时，，有，因为，解得.【考点】直线与直线的位置关系.29.记直线的倾斜角为，曲线在处切线的倾斜角为，则 .【答案】【解析】直线得，，，由导数的几何意义得，，，由于，，，故答案为．【考点】1、导数的几何意义；2、两角和的正切公式．30.直线的倾斜角 .【答案】【解析】由于直线方程化为，斜率为，由于直线的倾斜角的范围是，则直线的倾斜角为【考点】直线的倾斜角与斜率；直线的倾斜角的范围；。