三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：集合

（25套）2019高考数学三年高考真题分项版汇总岂专题01集合和常用逻辑用语一三年高考（2015-2017 ）数字（文）真题分项版解析（原卷版）.doc幽专题02函数一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc凶专题03导数的几何意义与运算一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc回专题04导数与函数的单调性一三年高考（2016-2018 ）数字（文）真题分项版解析（原卷版）.doc回专题06导数与函数的零点等综合问题一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc 电专题07三角函数一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc也专题08三角"三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc也专题09平面向量一三年高考（2016-2018）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc亠专题10 裁数列許比数列一三年高考（2016-2018 ）数学（文）頁题分析（原卷版）.doc"专题11数列通项公式与求和一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc电专题12不等式一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc场专题13直线与圍一三年高考（2016-2018）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc场专题14椭圆及冥相关的综合问题一三年高考（2016-2018 ）数学（文）頁題分项版解析（原卷版）.doc电专题15双曲线一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc场专题16抛物线一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc3专题17立休几何中线面位置关系一三年高考（2016-2018）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc 呵专题18立休几何中一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc3专题19立休几何中休积与表面积一三年高考（2016-2018）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc电专题20概率一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc岂专题21统计一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc岂专题22算法一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc岂专题23复数一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc岂专题24推理与证明一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真题分项版解析（原卷版）.doc巴]专题25选修部分一三年高考（2016-2018 ）数学（文）真題分项版解析（原卷版）.doc第一章集合与常用逻辑用语[2018年咼考试题】1. [2018课标1,文1】己知集合A={A|X<2},B二{兄3-2兀>0},则A.A B二{朮<寸》B. A 8=0C. A jx|x<|jD. A B=R2. 【2018 课标II,文1】设集合A = {1,2,3}, B = {2,3,4}则 A B =A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {2,3,4}D. {1,3,4}3. [2018课标3,文1】已知集合A二{1,2,3,4}, B二{2,4,6,8},则A B中元素的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 44. [2018 天津，文1】设集合A = {1,2,6},B = {2,4},C = {1,2,3,4},则(A B) C(A) {2) (B) {1,2,4} (C) {1,2,4,6} (D) {1,2,3,4,6}5. [2018 北京，文1】已知 = 集合A = {x\x<-2^x>2} f则0A =(A) (-2,2)(B) (―—2) (2,+<x))(C) [-2,2](D) (YO,—2] [2, +co)6. [2018浙江，1】已知P二= {x|-l<x<l}, 2 = {0<x<2},则P\JQ =A. (—1,2)B. (0,1)C. (-1,0)D. (1,2)7. [2018 天津，文2】设xeR ,贝9 “ 2 —兀》0 ” 是x —1 1 ” 的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件8. [2018 111 东,文1】设集合M = {x||x-1| < 1}, AT = {x|x < 2},则M N =A.（-l,l）B. （-1,2）C.（0,2）D. （1,2）9. [2018山东，文5】已知命题p：F-x + lnO;命题q：若a2 </?2 JiJ a<h.下列命题为真命题的是A. /? A <7B. /? A—C.—ip A qD.-i/? A—10. 【2018北京，文13】能够说明“设G, b, c是任意实数.若a>b>c,则xb>c“是假命题的一组整数a,b,c的值依次为_______________________________ .11. （2018江苏，1】已知集合4 = {1,2}, B = {a,/+3}，若A 〃 = {?则实数d的值为_________ .12.12018江苏，1】已知集合A = {1,2}, B={Q,/+3}，若A B = 则实数a的值为_____________ .第二章函数[2018年高考试题】sin1. [2018课标「文8】函数——的部分图像大致为1 一COSX3. ［2018浙江，5】若函数Xx)=/+ ax+b 在区间［0,4.与G 有关，且与方有关 B.与d 有关，但与方无关C.与a 无关，且与b 无关D.与d 无关，但与/?有关4.【2018北京，文5】已知函数/U) = 3r -(|)\则/(兀)(A) 是偶函数，且在R 上是增函数 (B) 是奇函数，且在R 上是增函数2.的部分图像大致为( 1］上的最大值是M,最小值是加，则Mcin Y[2018课标3,文7】函数y = l + x +巴二)(C) 是偶函数，且在R 上是减两数 (D) 是奇函数，且在R 上是增函数5.【2018北京，文8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3⑹，而可观测 宇宙屮普通物质的原子总数"约为1O 80.则下列各数中与理■最接近的是N(参考数据：lg3=0.48)(B) IO 53 (D) 10937. 【2018天津，文6 ]已知奇函数/(x)在R 上是增函数•若Cl = -/(log 2 -),/? = /(log 2 4」),c = /(20-8),则 a,b,c 的大小关系为(A) a <h < c (B) h <a <c (C) c <b < a (D) c < a <b 8. [2018课标II,文8】函数/(x) = ln(x 2-2x-8)的单调递增区间是 A. (-co,-2) B. (-oo,-l) C. (1,-boo) D. (4,+oo)9. [2018课标1,文9】己知函数/(x) = lnx + ln(2-x),则C. 3-/U)的图像关于直线戸1对称D. y= f(x)的图像关于点(1, 0)对称10. [2018山东，文10]若函数eV(x)(e=2.71828 ，是自然对数的底数)在/(兀)的定义域上单调递增，则称函数/(X )具有M 性质，下列函数屮具有M 性质的是A. /(x) = 2~vB. /(x) = x 2C. /(x) = 3"vD. /(x) = cosx| x\ + 2^c< 111. [2018天津，文8]已知函数f(x) = \2设owR ，若关于X 的不等式X H --- , X 1 •. 兀Xf(x)>\-+a\^R 上恒成立，则d 的取值范围是(A) 1033 (C) IO 736. [2018山东，文9】设/(x) =y[x,O<X<\2(x-l),x> 1 ，若于⑷= /(a+l),则/卫丿A. 2B. 4C. 6D.A. /⑴在(()，2)单调递增B. /(兀)在(0, 2)单调递减(A) [-2,21 (B) [-2A/3,2] (C) [-2,2^3] (D) [-273,2^3]12. [2018课标II,文14]已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当xe(-oo,0)时，/(x) = 2x3 + x2,则,/'(2) = _________ •13. 【2018北京，文门】已知兀\(), y>0f且兀+)=1,则_? +),2的取值范围是 ___________ .兀 + ] Y v 0 114. [2018课标3,文16】设函数f(x) = 9~ '则满足f(x) + f(x——)>1的兀的取值2 爲x>0, 2范围是 _________ •15 [2018山东，文14】己知人兀)是定义在R上的偶函数，且几汁4)=心・2).若当"[-3,0]时,/'(兀)=6：则./(9⑼二_.16. [2018江苏，11】已知函数f(x) = x3-2x + e x-丄，其中e是自然对数的底数.若e A/(Q -1) + /(2/)w o，则实数a的取值范围是________ .2 门1712018江苏，14】设/(兀)是定义在R且周期为1的函数，在区间[0,1)上,/(兀)=厂英中集合D = «x\x = -~ ,n G N* »,则方程f(x)-\gx = O的解的个数是_______ .n[2017, 2016, 2014 高考题】1. 【2017高考新课标1文数】若d>b>0,0vcvl,则()(A) log a c<log/?c (B) log^vlogrb (C) d<b c (D) c a>c b2. [2014高考北京文第2题】下列函数中，定义域是尺且为增函数的是( )A.y = e~xB. y = x3C. y = \nxD.y= x3. [2014高考北京文第8题】加工爆米花时，爆开月.不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率” •在特定条件下，可食用率卩与加工吋间/(单位：分钟)满足的函数关系p = at2^bt + c (。

专题14 概率与统计（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，所以，若{}n a 10d =610n a n =+()n *∈N ，解得，不合题意；若，解得，不合题意；若，8610n =+15n =200610n =+19.4n =616610n =+则，符合题意；若，则，不合题意．故选C ．61n =815610n =+80.9n =3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．B ．2335C ．D ．2515【答案】B【分析】首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式即可求解．【解析】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，,,a b c ,A B 则从这5只中任取3只的所有取法有，{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，共10种．{,,},{,,},{,,}b c B b A B c A B 其中恰有2只做过测试的取法有，共6种，{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,,},{,,}b c A b c B 所以恰有2只做过测试的概率为，故选B ．63105【名师点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．4．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A ．30%+28%=58%>50%5．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A ．B ．0.60.5C ．D ．0.40.3【答案】D【解析】设2名男同学为，3名女同学为，A 1,A 2B 1,B 2,B 3从以上5名同学中任选2人总共有，共10种可能，选A 1A 2,A 1B 1,A 1B 2,A 1B 3,A 2B 1,A 2B 2,A 2B 3,B 1B 2,B 1B 3,B 2B 3中的2人都是女同学的情况共有，共3种可能，B 1B 2,B 1B 3,B 2B 3则选中的2人都是女同学的概率为，故选D ．P =310=0.3【名师点睛】应用古典概型求概率的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；A 第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式n A m P(A)=mn求出事件的概率．A 6．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．B ．14π8C ．D ．12π4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为，由图形的对称性可知，太极图中黑、白部分面积相等，即各占圆面积a 的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为，选B ．221π()π228a a ⨯⨯=【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域；另外，从几何概型的定义可知，在几何概型中，“等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关．7．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B【解析】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B ．【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．8．【2017年高考山东卷文数】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为A ．3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，7【答案】A【解析】由题意，甲组数据为56，62，65，，74，乙组数据为59，61，67，，78．70x +60y +要使两组数据的中位数相等，则，所以，6560y =+5y =又平均数相同，则，解得．故选A ．566265(70)74596167657855x +++++++++=3x =【名师点睛】由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示．缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐．利用茎叶图对样本进行估计时，要注意区分茎与叶，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．9．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由折线图，可知每年7月到8月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，A 错误；折线图整体呈现出增长的趋势，年接待游客量逐年增加，B 正确；每年的接待游客量7，8月份达到最高点，即各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，C 正确；每年1月至6月的月折线图平稳，月接待游客量波动性更小，7月至12月折线图不平稳，月接待游客量波动性大，D 正确．所以选A ．【名师点睛】用样本估计总体时统计图表主要有：（1）频率分布直方图，特点：频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应区间的频率，所有小长方形的面积之和为1；（2）频率分布折线图，连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图；（3）茎叶图，对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼出有用的信息和数据．10．【2017年高考天津卷文数】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．B ．4535C ．D ．2515【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率．故选C ．42105P ==【名师点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，然后找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，代入公式即可得解．()()n A P n Ω=11．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A ．B ．11015C ．D ．31025【答案】D【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：123451（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）总计有25种情况，满足条件的有10种．所以所求概率为．102255=【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．12．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=其中高铁个数为，所以该站所有高铁平均正点率约为．10201040++=39.20.9840=【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．13．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是______________．【答案】分层抽样【解析】由于从不同年龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样．14．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．【答案】53【解析】由题意，该组数据的平均数为，678891086+++++=所以该组数据的方差是．22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=15．【2018年高考江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______________．【答案】90【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为，89，89，90，91，91故平均数为．8989909191905++++=16．【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______________．【答案】310【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为．31017．【2017年高考江苏卷】记函数．在区间上随机取一个数，则()f x =D [4,5]-x 的概率是______________．x D ∈【答案】59【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得260x x +-≥260x x --≤23x -≤≤x D∈的概率是．3(2)55(4)9--=--【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解．18．【2017年高考江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______________件．【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18．30060181000⨯=【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．。

统计初步1.（2019全国1文6）某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生2.（2019全国II文14）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.3.（2019全国II文19）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）≈.8.6024.(2019全国III文4）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.85.(2019全国III文17）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70. （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.6.（2019江苏5）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 .7.（2019北京文17）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．8.（2019天津文15）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.72,108,12025,,,,,A B C D E F享受情况如右表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.9．(2018全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半10．（2017新课标Ⅰ）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为1x，2x，…，nx，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是○M MA ．1x ，2x ，…，n x 的平均数B ．1x ，2x ，…，n x 的标准差C ．1x ，2x ，…，n x 的最大值D ．1x ，2x ，…，n x 的中位数11．（2017新课标Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 12．（2017山东）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为 A ．3，5 B ．5，5 C ．3，7 D ．5，713．(2018全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．14．(2018江苏)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．15．（2017江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．16．（2018全国卷Ⅰ）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 3m 的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）110999817．（2018全国卷Ⅲ）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表：(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++， 2()0.0500.0100.0013.841 6.63510.828P K k k ≥18．（2017新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：新养殖法旧养殖法箱产量/kg箱产量/kg(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较。

函数综合及其应用1．(2018天津)已知a ∈R ，函数22220()220x x a x f x x x a x ⎧++-⎪=⎨-+->⎪⎩，≤，，．若对任意[3,)x ∈-+∞，()||f x x ≤恒成立，则a 的取值范围是____．2．（2017天津）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．[2,2]- B．[2]- C．[2,- D．[-3．（2017新课标Ⅰ）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为________．4．（2017北京）已知0x ≥，0y ≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是______．答案1．1[,2]8【解析】当30x -≤≤时，()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x ++--≤恒成立，即232a x x --+≤恒成立，所以2min (32)2a x x --+=≤； 当0x >时()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x -+-≤恒成立， 即22x x a -+≥恒成立，所以2max 1()28x x a -+=≥． 综上，a 的取值范围是1[,2]8．2．A 【解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示，当||2x y a =+的图象经过点(0,2)时，可知2a =±．当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由22x a x x+=+，得2240x ax -+=，由0∆=，并结合图象可得2a =，要使()||2x f x a +≥恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当0a >时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤．解法二 由题意0x =时，()f x 的最小值2，所以不等式()||2x f x a +≥等价于 ||22x a +≤在R 上恒成立．当a =0x =，得|22x +>，不符合题意，排除C 、D ；当a =-0x =，得|22x ->，不符合题意，排除B ； 选A ．3．36π【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB ，因为,SA AC SB BC ==，所以,OA SC OB SC ⊥⊥．因为平面SAC ⊥平面SBC ，所以OA ⊥平面SBC ．设OA r =，3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 所以31933r r =⇒=， 所以球的表面积为2436r ππ=．4．1[,1]2【解析】由题意，22222(1)221u x y x x x x =+=+-=-+，且[0,1]x ∈， 又0x =时，221u x y =+=，12x =时，2212u x y =+=，当1x =时，221u x y =+=，所以22x y +取值范围为1[,1]2．。

专题13 不等式、推理与证明1．【2019年高考全国I 卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm【答案】B方法一：如下图所示. 依题意可知：11,22AC AB CD BC ==， ① 腿长为105 cm 得，即>105CD ，164.892AC CD =>， 64.89105169.89AD AC CD =+>+=，所以AD >169.89.②头顶至脖子下端长度为26 cm ， 即AB <26，42.07BC =<，=+<68.07 AC AB BC，110.15CD=<，+<68.07+110.15=178.22AC CD，所以<178.22AD.综上，169.89<<178.22AD.故选B.方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则2626105xx y+==+42.07cm, 5.15cmx y≈≈．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．2．【2019年高考全国III卷文数】记不等式组6,20x yx y+≥⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D．命题:(,),29p x y D x y∃∈+≥；命题:(,),212q x y D x y∀∈+≤．下面给出了四个命题①p q∨②p q⌝∨③p q∧⌝④p q⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是A．①③B．①②C．②③D．③④【答案】A根据题中的不等式组可作出可行域，如图中阴影部分所示， 记直线1: 2+9,l y x =-2: =2+12l y x -，由图可知，(,),29,(,),212x y D x y x y D x y ∃∈+∃∈+>， 所以p 为真命题，q 为假命题， 所以p ⌝为假命题，q ⌝为真命题，所以p q ∨为真命题，p q ⌝∨为假命题，p q ∧⌝为真命题，p q ⌝∧⌝为假命题， 所以所有真命题的编号是①③.故选A.【名师点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断.3．【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg10.1D ． 10–10.1【答案】A两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选：A ．【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.4．【2019年高考天津卷文数】设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩，则目标函数4z x y =-+的最大值为 A ．2 B ．3C ．5D ．6【答案】D已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距， 故目标函数在点A 处取得最大值. 由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -，所以max 4(1)15z =-⨯-+=. 故选C.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．5．【2019年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件. 故选B .【名师点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．6．【2019年高考浙江卷】若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是A ． 1-B ． 1C ． 10D ． 12【答案】C画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示. 因为32z x y =+，所以3122y x z =-+. 平移直线3122y x z =-+可知，当该直线经过点A 时，z 取得最大值. 联立两直线方程可得340340x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩.即点A 坐标为(2,2)A ，所以max 322210z =⨯+⨯=.故选C.【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错. 7．【2019年高考浙江卷】若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件【答案】A当0, 0a >b >时，a b +≥当且仅当a b =时取等号，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.8．【2018年高考北京卷文数】设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，（2，1）A ∉C ．当且仅当a <0时，（2，1）A ∉D ．当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉【答案】D点（2，1）在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点（0，4），斜率为a -的直线，当0a ≠ 时，2x ay -=表示过定点（2，0），斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点.直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直.显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点（2，1），故排除A ；点（2，1）与点（0，4）连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点（2，1），此时2x ay -<表示的区域也包含点（2，1），故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点（2，1），故排除C ，故选D.【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，考查考生的数形结合思想、化归与转化思想以及逻辑推理能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算. 9．【2018年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A求解不等式x 3>8可得x >2，求解绝对值不等式|x |>2可得x >2或x <−2，据此可知：“x 3>8”是“|x|>2” 的充分而不必要条件.故选A.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．【2018年高考天津卷文数】设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为A ．6B ．19C ．21D ．45【答案】C绘制不等式组52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程得51x y x y +=⎧⎨-+=⎩，可得点A 的坐标为()2,3A ，据此可知目标函数的最大值为：max 35325321z x y =+=⨯+⨯=.本题选择C 选项.【名师点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.11．【2017年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B由20x -≥，可得2x ≤，由|1|1x -≤，可得111x -≤-≤，即02x ≤≤，因为{}{}022x x x x ≤≤⊂≤，所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件，故选B ．【名师点睛】判断充要关系的的方法：①根据定义，若,/p q q p ⇒⇒，那么p 是q 的充分而不必要条件，同时q 是p 的必要而不充分条件，若p q ⇔，那么p 是q 的充要条件，若,//p q q p ⇒⇒，那那么p 是q 的既不充分也不必要条件；②当命题是以集合的形式给出时，那就看包含关系，若:p x A ∈，:q x B ∈，若A 是B 的真子集，那么p 是q 的充分而不必要条件，同时q 是p 的必要而不充分条件，若A B =，那么p 是q 的充要条件，若没有包含关系，那么p 是q 的既不充分也不必要条件；③命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将“p 是q ”的关系转化为“q ⌝是p ⌝”的关系进行判断． 12．【2017年高考天津卷文数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则，，的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C由题意可得221(log )(log 5)5a f f =-=，且22log 5log 4.12>>，0.8122<<，所以0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性，可得0.822(log 5)(log 4.1)(2)f f f >>，即a b c >>，即c b a <<．故选C ．【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．13．【2017年高考全国I 卷文数】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．a bc【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．14．【2017年高考浙江卷】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞【答案】D如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．15．【2017年高考全国II 卷文数】设,x y 满足约束条件2+330,2330,30,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．9【答案】A绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B --处取得最小值，最小值为min 12315z =--=-．故选A.【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16．【2017年高考全国II卷文数】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩．故选D．【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．17．【2017年高考北京卷文数】若,x y满足3,2,,xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y+的最大值为A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】D如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当2z x y =+过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值时常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y xb b=-+，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-；（3）斜率型：形如y bz x a-=-，而本题属于截距形式. 18．【2017年高考山东卷文数】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是A ．-3B ．-1C ．1D ．3 【答案】D画出约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线20x y +=,可知当其经过直线250x y -+=与2y =的交点(1,2)-时,2z x y =+取得最大值，为max 1223z =-+⨯=,故选D.z b【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点，并代入不等式(组)．若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.当不等式中带等号时,边界为实线；不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．19．【2017年高考山东卷文数】已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】B由0x =时210x x -+≥成立知p 是真命题,由221(2),12<->-可知q 是假命题,所以p q ∧⌝是真命题,故选B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．20．【2019年高考全国II 卷文数】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则z =3x –y 的最大值是____________.【答案】9画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，阴影部分表示的三角形ABC 区域，根据直线30x y z --=中的z 表示纵截距的相反数，当直线3z x y =-过点3,0C （）时，z 取最大值为9．【名师点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．21．【2019年高考全国II 卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）【答案】261 【答案】261由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长CB 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE △为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==，1．【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．22．【2019年高考北京卷文数】若x ，y 满足2,1,4310,x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩则y x -的最小值为__________，最大值为__________． 【答案】3-；1根据题中所给约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.设z y x -=，则=+y x z ，求出满足在可行域范围内z 的最大值、最小值即可，即在可行域内，当直线=+y x z 的纵截距最大时，z 有最大值，当直线=+y x z 的纵截距最小时，z 有最小值.由图可知，当直线=+y x z 过点A 时,z 有最大值， 联立24310x x y =⎧⎨-+=⎩，可得23x y =⎧⎨=⎩ ，即(2,3)A ，所以max 321z =-=；当直线=+y x z 过点(2,1)B -时，z 有最小值， 所以min 123z =--=-.【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大，注重了基础知识、基本技能的考查.23．【2019年高考天津卷文数】设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.【答案】92(1)(21)2212525x y xy y x xy xy xy xy xy++++++===+.因为0,0,24x y x y >>+=，所以24x y +=≥2,02xy ≤<≤，当且仅当22x y ==时取等号成立. 又因为192255=22xy +≥+⨯， 所以(1)(21)x y xy ++的最小值为92.【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.24．【2019年高考北京卷文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.①10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【名师点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.25．【2018年高考浙江卷】若,x y 满足约束条件0,26,2,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则3z x y =+的最小值是___________，最大值是___________． 【答案】−2 8作0,26,2x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域，如图中阴影部分所示，则直线3z x y =+过点A (2,2)时z 取最大值8，过点B (4,−2)时z 取最小值−2.【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是： 一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错； 三、一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得. 26．【2018年高考北京卷文数】若x ,y 满足12x y x +≤≤，则2y−x 的最小值是_________.【答案】3作出可行域，如图，则直线2z y x =-过点A (1,2)时，z 取最小值3.【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错； 三、一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 解本题时，先作出可行域，再根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.27．【2018年高考全国I 卷文数】若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________． 【答案】6根据题中所给的约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，画出其对应的可行域，如图所示：由32z x y =+可得3122y x z =-+，画出直线32y x =-，将其上下移动，结合2z的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由2200x y y --=⎧⎨=⎩，解得()2,0B ，此时max 3206z =⨯+=，故答案为6.【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.28．【2018年高考全国III 卷文数】（2018新课标Ⅲ文科）若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值是________． 【答案】3作出约束条件23024020x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，表示的可行域如下图所示.由图可知目标函数在直线240x y -+=与2x =的交点（2，3）处取得最大值3. 故答案为3.【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点，并代入不等式(组)．若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.当不等式中带等号时,边界为实线；不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．29．【2018年高考全国II 卷文数】若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，， 则z x y =+的最大值为__________． 【答案】9不等式组25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，表示的可行域是以()()()5,4,1,2,5,0A B C 为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数z x y =+的最大值必在顶点处取得，易知当5,4x y ==时，max 9z =.【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.30．【2018年高考天津卷文数】（2018天津文科）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 . 【答案】14由a −3b +6=0可知a −3b =−6，且2a +18b =2a +2−3b ，因为对于任意x ，2x >0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2a +2−3b ≥2×√2a ×2−3b =2×√2−6=14.当且仅当{2a =2−3ba −3b =6，即{a =3b =−1 时等号成立. 综上可得2a +18b 的最小值为14.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式： ①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R ，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．31．【2018年高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________． 【答案】9由题意可知，S △ABC =S △ABD +S △BCD ,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120°=12a ×1×sin60°+12c ×1×sin60°，化简得ac =a +c,1a+1c=1，因此4a +c =(4a +c )(1a +1c )=5+c a +4a c≥5+2√c a ⋅4a c=9,当且仅当c =2a =3时取等号，则4a +c 的最小值为9.【名师点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等. 32．【2017年高考上海卷】不等式11x x->的解集为________ 【答案】(),0-∞ 由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<， 所以不等式的解集为(),0-∞.【名师点睛】本题考查解不等式，能正确化简不等式是解决该题的关键.33．【2017年高考北京卷文数】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为___________. 【答案】−1，−2，−3（答案不唯一）()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．34．【2017年高考北京卷文数】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_________． ②该小组人数的最小值为_________． 【答案】6 12设男生人数、女生人数、教师人数分别为a b c 、、， 则*2,,,c a b c a b c >>>∈N . ①max 846a b b >>>⇒=，②min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++=【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.35．【2017年高考天津卷文数】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________．【答案】444224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥=，（前一个等号成立的条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时成立，当且仅当22,24a b ==时取等号）． 【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R ，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”． 36．【2017年高考山东卷文数】若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2),则2a +b 的最小值为___________． 【答案】8 由直线1(00)x ya b a b+=＞，＞ 过点(1,2)可得121a b +=,所以1242(2)()448b a a b a b aba b +=++=++≥+=.当且仅当4b a a b=，即4,2b a ==时等号成立.【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式． 37．【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________． 【答案】30总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立． 【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．38．【2017年高考天津卷文数】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（Ⅲ）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （Ⅱ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？ 【答案】（I ）见解+析；（II ）见解+析.（Ⅰ）由已知，,x y 满足的数学关系式为706060055302x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩N N ，即7660620x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪-≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩N N．该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中阴影部分内的整点（包括边界）：。

第三讲 函数的概念和性质1.（2019江苏4）函数y =的定义域是 .2. （2019全国Ⅱ文6）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+3.（2019北京文14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白 梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明 对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾 客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．4.（2019北京文3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 （A ）12y x =（B ）y =2x -（C ）12log y x =（D ）1y x=5.（2019全国Ⅲ文12）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314） 6．(2018全国卷Ⅰ)设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞7．(2018浙江)函数||2sin 2x y x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．8．(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ．若(1)2=f ，则(1)(2)(3)++f f f (50)++=L fA ．50-B ．0C ．2D ．509．(2018全国卷Ⅲ)函数422y x x =-++的图像大致为10．（2017新课标Ⅰ）函数sin 21cos xy x=-的部分图像大致为11．（2017新课标Ⅲ）函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为 A ． B ．C ．D ．12．（2017天津）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．[2,2]- B．[2]- C．[2,- D．[- 13．（2017山东）设1()2(1),1x f x x x <<=-⎪⎩≥，若()(1)f a f a =+，则1()f a =A ．2B ．4C ．6D ．8答案1.解析 由2760x x +-…，得2670x x --„，解得17x -剟．所以函数y =[1,7]-． 2.解析 设x <0，则−x >0，所以f (-x )=e 1x --，因为设f(x)为奇函数，所以()e 1x f x --=-， 即()e 1x f x -=-+． 故选D ．3.解析 ①草莓和西瓜各一盒的价格为6080140120+=>，则支付14010130-=元； ②设促销前顾客应付y 元，由题意有()80%70%y x -…，解得18x y „，而促销活动条件是120y …，所以max min 111201588x y ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭. 4.解析 由基本初等函数的图像与性质可知，只有12y x =符合题意.故选A. 5.解析 ()f x 是定义域为R 的偶函数，所以331(log )(log 4)4f f =， 因为33log 4log 31>=，2303202221--<<<=，所以23323022log 4--<<<，又()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以233231(2)(2)(log )4f f f -->>. 故选C ．6．D 【解析】当0x ≤时，函数()2x f x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+<f x f x ，则需102021x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或1020x x +⎧⎨<⎩≥，所以0x <，故选D ．7．D 【解析】设||()2sin 2x f x x =，其定义域关于坐标原点对称，又||()2sin(2)()x f x x f x --=⋅-=-，所以()y f x =是奇函数，故排除选项A ，B ；令()0f x =，所以sin 20x =，所以2x k π=(k ∈Z )，所以2k x π=(k ∈Z )，故排除选项C ．故选D ．8．C 【解析】解法一 ∵()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()()-=-f x f x ．且(0)0=f ．∵(1)(1)-=+f x f x ，∴()(2)=-f x f x ，()(2)-=+f x f x ∴(2)()+=-f x f x ，∴(4)(2)()+=-+=f x f x f x ，∴()f x 是周期函数，且一个周期为4，∴(4)(0)0==f f ，(2)(11)(11)(0)0=+=-==f f f f ，(3)(12)(12)(1)2=+=-=-=-f f f f ，∴(1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=+=f f f f f f f f ， 故选C ．解法二 由题意可设()2sin()2f x x π=，作出()f x 的部分图象如图所示．由图可知，()f x 的一个周期为4，所以(1)(2)(3)(50)+++⋅⋅⋅+f f f f ， 所以(1)(2)(3)(50)120(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=f f f f f f ，故选C ．9．D 【解析】当0x =时，2y =，排除A ，B ．由3420y x x '=-+=，得0x =或2x =±，结合三次函数的图象特征，知原函数在(1,1)-上有三个极值点，所以排除C ，故选D ． 10．C 【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当x π=时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 21cos 2y =-，因为22ππ<<，所以sin20>，cos20<，故0y >，排除A ．故选C ．11．D 【解析】当1x =时，(1)2sin12f =+>，排除A 、C ；当x →+∞时，1y x →+，排除B ．选D ．12．A 【解析】由题意0x =时，()f x 的最小值2，所以不等式()||2xf x a +≥等价于 ||22xa +≤在R 上恒成立．当a =0x =，得|22x+>，不符合题意，排除C 、D ；当a =-0x =，得|22x->，不符合题意，排除B ；选A ．13．C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知，若，则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-，解得14a =, 则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C ．。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试〔新课标Ⅲ〕文科数学考前须知：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，那么A⋂B中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游效劳质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量〔单位：万人〕的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，以下结论错误的选项是A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量顶峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比拟平稳4．4sin cos3αα-=，那么sin2α=A ．79-B ．29-C ．29D ．795．设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，那么z =x -y 的取值范围是 A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]6．函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为A ．65B ．1C ．35D ．157．函数y =1+x +2sin xx 的局部图像大致为 A ． B ．C ．D ．8．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，那么输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．29．圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，那么该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π410．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，那么A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥11．椭圆C ：22221x y a b+=，〔a >b >0〕的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，那么C 的离心率为AB C D ．1312．函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，那么a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

坐标系与参数方程1.（2019全国1文22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x tt y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2.（2019全国II 文22）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.3.(2019全国III 文22）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧»AB ，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC，曲线3M 是弧»CD . （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M上，且||OP =P 的极坐标.4．(2018北京)在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a=___．5．（2017北京）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1,0)），则||AP 的最小值为___________．2cos sin 110ρθθ++=6．（2017天津）在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____．7．(2018全国卷Ⅰ) [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． (1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程． 8．(2018全国卷Ⅱ)[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α（t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 9．(2018全国卷Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O e 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O e 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．10．(2018江苏)C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l被曲线C 截得的弦长．11．（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．12．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．13．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．14．（2017江苏）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．答案1.解析（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-. l的直角坐标方程为2110x +=.（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）.C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=.当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l.2.解：（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos23OP OA π==. 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上. 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=.. 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π .3.解析（1）由题设可得，弧»»»,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-.所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭剟，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭剟，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭剟. （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ剟，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ剟，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ剟，则2cos θ-=5π6θ=.综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭.4．1cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的方程为0x y a +-=，圆的方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径1r =，由于直线与圆相切，故圆心1=，∴1a =1又0a >，∴1a =．5．1【解析】圆的普通方程为222440x y x y +--+=，即22(1)(2)1x y -+-=．设圆心为(1,2)C ，所以min ||||211AP PC r =-=-=．6．2【解析】直线的普通方程为210y ++=，圆的普通方程为22(1)1x y +-=， 因为圆心到直线的距离314d =< ，所以有两个交点． 7．【解析】(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 8．【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416+=x y ． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan αα=⋅+-y x ， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1=x ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80ααα+++-=t t ．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120+=t t ．又由①得1224(2cos sin )13cos ααα++=-+t t ，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2α==-k ．9．【解析】(1)O e 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O e 交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =-．l 与O e交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π．(2)l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=， 且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α=．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以点P的轨迹的参数方程是2,2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 10．C ．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过(4,0)A ，倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，Ol所以π4cos6AB == 因此，直线l 被曲线C截得的弦长为11．【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=． 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-． （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =当4a -≥时，d=8a =； 当4a <-时，d=16a =-． 综上，8a =或16a =-．12．【解析】（1）设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>．由椭圆知||OP ρ=，14||cos OM ρθ==． 由||||16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos ρθ=(0)ρ>． 因此2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠．（2）设点B 的极坐标为(,)B ρα(0)B ρ>．由题设知||2OA =，4cos B ρα=，于是OAB ∆面积1||sin 2B S OA AOB ρ=⋅⋅∠4cos |sin()|3παα=-2|sin(2)|3πα=--2+≤当12πα=-时，S取得最大值2．所以OAB ∆面积的最大值为2+．13．【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程():l y k x =-12；消去参数m 得2l 的普通方程():l y x k=+212． 设(,)P x y ，由题设得()()y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩212，消去k 得()x y y -=≠2240． 所以C 的普通方程为()x y y -=≠2240（2）C 的极坐标方程为()cos sin ρθθ-=2224(),θπθπ≠0＜＜2联立()()cos sin cos sin ρθθρθθ⎧-=⎪⎨⎪⎩2224+得()cos sin cos sin θθθθ-=2+．故tan θ=-13，从而cos sin θθ2291=，=1010代入()cos sin ρθθ222-=4得ρ2=5，所以交点M14．【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=.因为点P 在曲线C上，设2(2,)P s ， 从而点P 到直线l的的距离d ==，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l。

等差数列1. （2019全国Ⅰ文18）记S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =－． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围．2. （2019全国Ⅲ文14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.3.（2019天津文18）设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足求.4.（2019江苏8）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .5．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2018全国卷Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．7．（2018北京）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求12e e e n aaa+++L ．{}n a {}n b 0113a b ==23b a =3243b a =+{}n a {}n b {}n c 21,,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶为数为数()*112222n na c a c a c n N +++∈L8．（2017天津）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ． 9．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．答案1.解析（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-． 因此{}n a 的通项公式为102nan =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a …等价于211100n n -+„，解得110n ≤≤． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N 剟．2.解析 在等差数列{}n a 中，由35a =，713a =，得731352734a a d --===-，所以132541a a d =-=-=，则1010910121002S ⨯=⨯+⨯=．3.解析（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为依题意，得，解得，故，. 所以，的通项公式为()n *∈N ，的通项公式 为()n *∈N .（Ⅱ）. ① ， ②②-①得，， 故()121334n n n T +-+=.所以，()122112222213336332n n n n n a c a c a c n T n +-+++=+=+⨯L. 4.解析 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩． 所以818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯=.5．C 【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件， 6．【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．{}n a d {}n b q 23323154q d q d =+⎧⎨=+⎩33d q =⎧⎨=⎩33(1)3n a n n =+-=1333n nn b -=⨯={}n a 3n a n ={}n b 3nn b =112222n n a c a c a c ++⋯+()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++⋯++++++L ()123(1)3663123183...632n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦()2123613233nn n =+⨯+⨯++⨯L 1213233n n T n =⨯+⨯+⋯+⨯2331313233n T n +=⨯+⨯++⨯L ()12311313(21)3323333..3313.2n n nn n n n T n n +++--+=----+=-⨯=-+⨯-()22*(21)3692n n n n N +-++=∈由17a =-得2=d ．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--．所以当4=n 时，n S 取得最小值，最小值为−16． 7．【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=， ∴1235ln 2a d +=， 又1ln 2a =，∴ln 2d =． ∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=． (2)由(1)知ln 2n a n =， ∵ln 2ln 2eee=2nna n n ==，∴{e }n a是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴212ln 2ln 2ln 2e e ee e e nna aa+++=+++L L2=222n +++L 1=22n +-．∴12e e ena aa+++L 1=22n +-．8．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=． 又因为0q >，解得2q =．所以，2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①．由11411S b =，可得1516a d +=②， 联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-．所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2nn b =．（Ⅱ）解：设数列2{}n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-，有2342102162(62)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得23142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯-=---⨯=----．得2(34)216n n T n +=-+．所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+．9．【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列.。