连载6：利用卷积计算两个信号的乘积

具体答案如下：函数卷积的傅立叶变换是函数的傅立叶变换的产物。

时域的卷积定理对应于频域的乘积；频域中的卷积定理与时域中的乘积相对应。

频域中的卷积定理与时域中的乘积相对应。

扩展数据：卷积与傅立叶变换密切相关。

利用两个函数的傅里叶变换的乘积等于它们的卷积傅里叶变换的性质，可以简化傅里叶分析中的许多问题。

通过卷积获得的函数f * g通常比f和G光滑。

特别是，如果G 是具有紧集的光滑函数并且F是局部可积分的，则它们的卷积f * g 也是光滑函数。

通过使用此属性，对于任何可积分函数f，我们都可以简单地构造一系列近似于F的平滑函数FS。

此方法称为函数平滑或正则化。

频域卷积定理频域中的卷积定理表明，时域中两个信号的乘积对应于这两个信号的傅立叶变换的卷积除以2π。

卷积定理揭示了时域和频域之间的对应关系。

该定理也适用于Laplace变换，z变换和Mellin变换的变体。

应当注意，以上描述仅对某些形式的变换是正确的，因为可以通过其他方式将变换归一化，从而使其他常数因子出现在上述关系中。

傅立叶变换属于谐波分析。

傅里叶变换的逆变换很容易得到，其形式与正向变换非常相似。

正弦基函数是微分运算的本征函数，因此线性微分方程的解可以转换为常数系数的代数方程的解。

在线性时不变物理系统中，频率是不变的，因此可以通过组合系统对不同频率正弦信号的响应来获得系统对复杂激励的响应。

卷积定理指出，傅里叶变换可以将复杂的卷积运算转换为简单的乘积运算，从而为计算卷积提供了一种简便的方法。

离散形式的傅立叶变换可以通过数字计算机快速计算（其算法称为快速傅立叶变换算法（FFT））。

信号卷积计算公式(一)信号卷积1. 什么是信号卷积？信号卷积是一种在时域中计算两个信号之间的乘积并求和的方法。

它是一种重要的信号处理技术，广泛应用于图像处理、语音识别、音频处理等领域。

2. 信号卷积的计算公式信号卷积的计算公式可以表示为：∞[k]⋅ℎ[n−k]y[n]=∑xk=−∞其中，x[n]和ℎ[n]分别表示输入信号和卷积核（也称为系统的冲击响应）的值。

3. 信号卷积的示例解释离散信号的卷积信号x[n]：考虑一个离散信号x[n]，其数值如下所示：n 0 1 2 3x[n] 1 2 -1 3信号ℎ[n]：接下来，我们定义另一个离散信号ℎ[n]，其数值如下所示：n 0 1 2 3ℎ[n]-1 0 1 2计算卷积结果y[n]：现在，我们可以使用信号卷积的计算公式来计算卷积结果y[n]，如下所示：∞[k]⋅ℎ[n−k]y[n]=∑xk=−∞当n=0时，有：y[0]=x[0]⋅ℎ[0−0]+x[1]⋅ℎ[0−1]+x[2]⋅ℎ[0−2]+x[3]⋅ℎ[0−3]=1⋅(−1)+2⋅0+(−1)⋅1+3⋅2=4依此类推，可以计算出当n=1、n=2、n=3时的y[n]。

最终，卷积结果y[n]如下所示：n 0 1 2 3y[n] 4 -1 -1 7连续信号的卷积信号x(t)：如果考虑连续信号的卷积，我们可以将卷积公式稍作修改。

考虑一个连续信号x(t)，其函数表达式为：x(t)=δ(t)+2δ(t−1)−δ(t−2)+3δ(t−3)其中，δ(t)表示单位冲激函数。

信号ℎ(t)：接下来，我们定义另一个连续信号ℎ(t)，其函数表达式为：ℎ(t)=−δ(t)+δ(t−1)+2δ(t−2)计算卷积结果y(t)：现在，我们可以使用修改后的信号卷积公式来计算卷积结果y(t)，如下所示：∞(τ)⋅ℎ(t−τ)dτy(t)=∫x−∞具体计算过程略。

总结信号卷积是一种重要的信号处理技术，可应用于离散信号和连续信号的处理。

通过计算输入信号与卷积核的乘积并求和，我们可以得到卷积结果。

卷积操作的数学描述
卷积操作是信号处理和图像处理中常用的一种操作，它在深度
学习中也扮演着重要的角色。

数学上，卷积操作可以用以下方式描述：
假设有两个实数序列 f 和 g，它们的卷积记作 fg。

在离散情
况下，f 和 g 的卷积定义为：
(fg)[n] = Σ f[k] g[n-k]
其中，k的取值范围是整数，Σ表示求和，表示乘法。

这个公
式可以解释为，将序列 g 水平翻转并向右平移 k 个单位，然后将
每个位置上对应的元素相乘，最后将所有乘积相加得到卷积的结果。

在连续情况下，假设 f 和 g 是两个实数函数，它们的卷积定
义为：
(fg)(t) = ∫ f(τ) g(t-τ) dτ。

其中，τ的取值范围是负无穷到正无穷，∫表示积分。

这个公
式可以解释为，将函数 g 进行水平翻转并向右平移 t 个单位，然后将 f 与平移后的 g 的乘积在整个实数轴上进行积分得到卷积的结果。

卷积操作在信号处理中常用于滤波、特征提取等应用，而在深度学习中，卷积层通过对输入数据进行卷积操作来提取特征，从而实现对图像、文本等数据的有效处理和分析。

总的来说，卷积操作在数学上的描述是通过对两个函数或序列进行加权求和的方式来实现的，它在信号处理、图像处理和深度学习等领域都具有重要的应用价值。

卷积定理什么是卷积定理？卷积定理是信号处理领域中的一个重要定理，它描述了在时域和频域之间的卷积运算关系。

根据卷积定理，我们可以通过对信号进行傅里叶变换将卷积运算转换为乘法运算，从而简化计算过程。

卷积定理的数学表达式设两个信号函数f(t)和g(t)的卷积运算为h(t)，那么卷积定理可以用下面的数学表达式表示：h(t) = f(t) * g(t)H(ω) = F(ω) * G(ω)在上述表达式中，*表示卷积运算，H(ω)表示f(t)和g(t)的傅里叶变换之积，F(ω)和G(ω)分别表示f(t)和g(t)的傅里叶变换。

证明卷积定理为了证明卷积定理，我们需要使用傅里叶变换的性质和卷积运算的定义。

傅里叶变换的性质包括线性性质、功率谱密度性质、平移性质等。

根据这些性质，我们可以推导出卷积定理。

假设有两个信号函数f(t)和g(t)，它们的傅里叶变换分别为F(ω)和G(ω)。

那么根据卷积运算的定义，我们有：h(t) = ∫[ f(τ) * g(t-τ) ] dτ其中，*表示卷积运算。

我们对h(t)进行傅里叶变换，得到：H(ω) = ∫[ h(t) * e^(-jωt) ] dt= ∫[ ∫[ f(τ) * g(t-τ) ] dτ * e^(-jωt) ] dt= ∫[ ∫[ f(τ) * g(t-τ) * e^(-jωt) ] dτ ] dt我们可以改变积分次序，得到：H(ω) = ∫[ f(τ) * ∫[ g(t-τ) * e^(-jωt) ] dt ] dτ其中，我们使用了积分的交换性质。

根据卷积定理的定义，我们知道g(t) * e^(-jωt)的傅里叶变换等于G(ω) * E(ω)，其中E(ω)表示e^(-jωt)的傅里叶变换。

所以我们有：H(ω) = ∫[ f(τ) * G(ω) * E(ω) ] dτ= G(ω) * ∫[ f(τ) * E(ω) ] dτ= G(ω) * F(ω)上述推导过程证明了卷积定理，它表明卷积运算的傅里叶变换等于信号函数的傅里叶变换之积。

卷积的数学原理及其应用一、卷积的数学原理卷积是一种重要的数学运算，在信号处理、图像处理和机器学习等领域有着广泛的应用。

卷积的数学原理基于线性时不变系统的理论，它可以将输入信号和系统的脉冲响应进行数学运算，得到输出信号。

卷积的数学定义如下：\[ (f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau \]其中，\(f(t)\)和\(g(t)\)是两个输入信号，\(\)表示卷积运算符，\((f g)(t)\)表示卷积结果。

卷积运算可以理解为将一个函数在时间或空间上翻转，与另一个函数进行叠加求积分。

卷积的性质包括交换律、结合律和分配律。

其中，交换律表示卷积运算的输入函数可以交换位置，即\(f g = g f\)；结合律表示多个函数进行卷积运算的顺序可以改变，即\((f g)h = f(g h)\)；分配律表示卷积运算对加法和乘法具有分配性质，即\((f+g)h = f h + g h\)和\(a(f+g) = a f + a g\)。

二、卷积的应用卷积在信号处理、图像处理和机器学习等领域有着广泛的应用。

以下是卷积的几个常见应用：1. 信号滤波卷积在信号处理中常用于滤波操作。

通过选择合适的滤波器函数进行卷积运算，可以实现不同频率的信号分离和降噪。

常见的滤波器包括低通滤波器、高通滤波器和带通滤波器等。

2. 图像处理卷积在图像处理中可以用于图像增强、边缘检测和图像分割等任务。

通过选择不同的卷积核函数进行卷积运算，可以实现对图像的特征提取和图像处理操作。

3. 特征提取卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）是一种深度学习模型，广泛应用于计算机视觉领域。

CNN通过卷积操作提取输入图像的特征，并通过后续的池化、激活函数和全连接层等操作实现对输入数据的分类或回归预测。

4. 语音识别卷积神经网络在语音识别领域也有着重要的应用。

卷积公式卷积的物理意义是将输入信号用时移加权的单位冲激信号和（积分）表示，然后输出就是各个冲激信号作用系统后再求和，而时移量u（f(t-u)），再对u积分，就产生了反转。

卷积的物理意义(2009-11-30 09:25:54)卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。

因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推倒，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和不一样）。

但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述，表述为x(m)×h(m-n)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数h(t)就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。

再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的，也可能是再加上前前时刻，前前前时刻，前前前前时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m 的范围来约束的。

即说白了，就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的“残留影响”有关。

当考虑这些因素后，就可以描述成一个系统响应了，而这些因素通过一个表达式（卷积）即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。

对于非数学系学生来说，只要懂怎么用卷积就可以了，研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。

卷积本身不过就是一种数学运算而已。

就跟“蝶形运算”一样，怎么证明，这是数学系的人的工作。

在信号与系统里，f(t)的零状态响应y(t)可用f(t)与其单位冲激响应h(t) 的卷积积分求解得，即y(t)=f(t)*h(t)。

一、 实验目的1. 理解卷积的概念及物理意义；2. 通过实验的方法加深对卷积运算的图解方法及结果的理解。

二、实验设备1.信号与系统实验箱 1台2.双踪示波器1台三、实验原理卷积积分的物理意义是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，求解系统对任意激励信号的零状态响应。

设系统的激励信号为)t (x ，冲激响应为)t (h ，则系统的零状态响应为)(*)()(t h t x t y =⎰∞∞--=ττd t h t x )()(。

对于任意两个信号)t (f 1和)t (f 2，两者做卷积运算定义为：⎰∞∞--=ττd t f t f t f )(2)(1)(=)t (f 1*)t (f 2=)t (f 2*)t (f 1。

1. 两个矩形脉冲信号的卷积过程两信号)t (x 与)t (h 都为矩形脉冲信号，如图9-1所示。

下面由图解的方法（图9-1）给出两个信号的卷积过程和结果，以便与实验结果进行比较。

0≤<∞-t210≤≤t 1≤≤t 41≤≤t ∞<≤t 2124τ（b)(a)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)2卷积结果2. 矩形脉冲信号与锯齿波信号的卷积信号)t (f 1为矩形脉冲信号，)t (f 2为锯齿波信号，如图9-2所示。

根据卷积积分的运算方法得到)t (f 1和)t (f 2的卷积积分结果)t (f ，如图9-2(c)所示。

图9-2 矩形脉冲信号与锯齿脉冲信号的卷积积分的结果3. 本实验进行的卷积运算的实现方法在本实验装置中采用了DSP 数字信号处理芯片，因此在处理模拟信号的卷积积分运算时，是先通过A/D 转换器把模拟信号转换为数字信号，利用所编写的相应程序控制DSP 芯片实现数字信号的卷积运算，再把运算结果通过D/A 转换为模拟信号输出。

结果与模拟信号的直接运算结果是一致的。

数字信号处理系统逐步和完全取代模拟信号处理系统是科学技术发展的必然趋势。

图9-3为信号卷积的流程图。

很多原理一旦上升为理论，常常伴随着繁杂的数学推导，很简单的本质反而被一大堆公式淹没，通信原理因此让很多人望而却步。

非常复杂的公式背后很可能隐藏了简单的道理。

真正学好通信原理，关键是要透过公式看本质。

信号与系统、数字信号处理中很多复杂的公式其本质都是很简单的，我们可以通过图、动画等方式更好、更透彻地理解这些公式和原理，而不是仅仅局限于会套用这些公式（我大学毕业时就是这个水平，相信很多人和我一样）。

这个帖子面向的主要是非通信专业和通信专业在大学没真正学明白的人（我就是这样的人，不是我不想学明白，大学里老师讲的太抽象了，很难理解），大部分人对“希尔伯特空间”没有什么概念，所以虽然你能用上述理论将傅立叶级数讲得很简单，但大部分人无法理解和接受。

，“深入浅出通信原理”就是希望用尽可能少的公式推导和大量的图片，让大家真正理解通信原理。

虽然这样有时候会显得啰嗦，但对大部分读者来讲是只有好处没有坏处的。

以复傅立叶系数为例，很多人都只是会套公式计算，真正理解其含义的人不多。

对于经常出现的“负频率”，真正理解的人就更少了。

连载1：从多项式乘法讲起连载2：卷积的表达式连载3：利用matlab计算卷积连载4：将信号表示成多项式的形式连载5：著名的欧拉公式连载6：利用卷积计算两个信号的乘积连载7：信号的傅立叶级数展开连载8：时域信号相乘相当于频域卷积连载9：用余弦信号合成方波信号连载10：傅立叶级数展开的定义连载11：如何把信号展开成复指数信号之和？连载12：复傅立叶系数连载13：实信号频谱的共轭对称性连载14：复指数信号的物理意义－旋转向量连载15：余弦信号的三维频谱图连载16：正弦信号的三维频谱图连载17：两个旋转向量合成余弦信号的动画连载18：周期信号的三维频谱图连载19：复数乘法的几何意义连载20：用成对的旋转向量合成实信号连载21：利用李萨育图形认识复信号连载22：实信号和复信号的波形对比连载23：利用欧拉公式理解虚数连载24：IQ信号是不是复信号？连载25：IQ解调原理连载26：用复数运算实现正交解调连载27：为什么要对信号进行调制？连载28：IQ调制为什么被称为正交调制？连载29：三角函数的正交性连载30：OFDM正交频分复用连载31：OFDM解调连载32：CDMA中的正交码连载33：CDMA的最基本原理连载34：什么是PSK调制？连载35：如何用IQ调制实现QPSK调制？连载36：QPSK调制信号的时域波形连载37：QPSK调制的星座图连载38：QPSK的映射关系可以随意定吗？连载39：如何使用IQ调制实现8PSK？连载1：从多项式乘法说起多项式乘法相信我们每个人都会做：再合并同类项的方法得到的，要得到结果多项式中的某个系数，需要两步操作才行，有没有办法一步操作就可以得到一个系数呢？下面的计算方法就可以做到：这种计算方法总结起来就是：反褶：一般多项式都是按x的降幂排列，这里将其中一个多项式的各项按x的升幂排列。