第九章 第3讲 等比数列

3．等比中项
如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项． a· b 即：G 是 a 与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇒G2＝_____.
4．等比数列的常用性质
p (1也是
等比数列． (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am· an＝ap· aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am· an＝a 2 . p
解析：a4－a3＝4⇒a2q2－a2q＝4⇒2q2－2q－4＝0⇒2(q－2)(q ＋1)＝0⇒q＝2 或 q＝－1.∵{an}是递增的等比数列，∴q＝2.
2．(2010年辽宁)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3 ＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝( B ) A．3 B．4 C．5 D ．6
在解决等比数列问题时，已知 a1，an，q，n，Sn 中任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”．而求得 a1 和 q 是解决等比数列{an}所有运算的基本思想和方法．
【互动探究】 1．(2011 年广东)已知{an}是递增的等比数列，若 a2 ＝2，a4 －a3＝4，则此数列的公比 q＝___. 2
a1＋a2 5 ∴b2＝2；∴ b ＝2.
2
1．等比数列的判定方法
an ＋ 1 (1)定义法： a ＝q(n∈N*，q≠0 是常数)⇔{an}是等比数列． n
2 (2)中项法：an an＋2(n∈N*)且 an≠0⇔{an}是等比数列． ＋1＝an·
2．解决与等比数列有关问题时常见的思想方法 a1 n (1)函数思想：在等比数列中 an＝ q q ，它的各项是该函数图 象上的一群孤立的点．
易错、易混、易漏 16．在等比数列的计算中没有充分考虑项的符号规律 例题：(2011 年安徽安庆模拟)在等比数列{an}中，a2，a10 是方 程 x2－8x＋4＝0 的两根，则 a6 为( )
A．－2
B．±2
C．2

D．4
a2＋a10＝8>0， 2 正解：a6＝a2· a10＝4，∴a6＝± 2.又 a10>0 a2·
n 1
2 D．4· 3
n 1
S4 3．设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则a ＝( C ) 2
A．2 B．4
15 C. 2
17 D. 2
4．(2011 年广东广州调研)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 126 S2＝6，S4＝30，则 S6＝______. 5．等比数列{an}中，a3＝7，前 3 项之和 S3＝21，则公比 q 的 1 1 或－ 值为___________. 2
解决给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质．
【互动探究】
5．(1)已知等比数列{an}中，an>0，(2a4＋a2＋a6)a4＝36，则 a3＋a5＝____ 6 ； (2)已知 a，b，c，d 成等比数列，且曲线 y＝x2－2x＋3 的顶点 是(b，c)，则 ad 等于( B ) A．3 B．2 C．1 D．－2
A．35 B．33 C．31 D．29
解析： 设{an}的公比为 q， 则由等比数列的性质知， a2· a3＝a1· a4 5 5 ＝2a1，即 a4＝2.由 a4 与 2a7 的等差中项为4知，a4＋2a7＝2×4， 1 1 5 a7 1 1 1 3 3 ∴a7＝22×4－a4＝4.∴q ＝a ＝8， 即 q＝2.∴a4＝a1q ＝a1×8＝2， 4 1 161－25 ∴a1＝16，S5＝ 1 ＝31. 1－ 2
所以 a2，a10 同为正数，显然 a6 与 a2，a10 同号，故 a6＝2.
答案：C
2＝a · 【失误与防范】本题很容易出现这样的错解 a6 2 a10＝
4 ，∴ a6 ＝±2，选 B.这是因为解题时没有注意等比数列 “所 有奇数项同号、所有偶数项也同号”这一规律；还有a2，a10 同为正数也比较隐蔽.
1 解析：由{an}是等比数列得 a4＝a1q ，又 a1＝2，a4＝4，所以
3
1 n 1 － 2 n a11－q 2 1 3 1 n－1 4＝2q ⇒q＝2.a1＋a2＋„＋an＝ ＝ ＝2 －2. 1－q 1－2
4．(2010 年广东)已知数列{an}为等比数列，Sn 是它的前 n 项 5 和，若a2· a3＝2a1，且 a4 与 2a7 的等差中项为— ，则 S5＝( C ) 4
考点2 求等比数列前n项和 例2：(2011年全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2 ＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
解析：设{an}的公比为
a1＝3， 解得 q＝2，
a1q＝6， q，由题设得 2 6a1＋a1q ＝30，
a1＝2， 或 q＝3.
第 3 讲 等比数列
考纲要求 1.理解等比数列的概念． 考纲研读
1.理解等比数列的概念，会用定 2．掌握等比数列的通项公式与 义证明一个数列是等比数列． 2．能利用等比中项、通项公式 前 n 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别 与前 n 项和公式列方程求值． 数列的等比关系，并能用有关知 3．善于识别数列中等比关系或 转化为等比关系；能利用通项公 识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的 式或前 n 项和公式解决相关问 关系. 题.
(3)若等比数列{an}的前n项和Sn，且公比q≠±1，则Sk，S2k
－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等比数列．
(4)若等比数列{an}的首项a1>0，公比q>1或首项a1<0，公比 0<q<1 时，数列 {an} 单调递增；若首项 a1>0 ，公比 0<q<1 或首项 a1<0，公比q>1时，数列{an}单调递减；若公比 q＝1，数列{an} 为常数列；若公比q<0，数列{an}为摆动数列．
当 a1＝3，q＝2 时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)． 当 a1＝2，q＝3 时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
【互动探究】
1 3．(2011 年北京)在等比数列{an}中，若 a1＝2，a4＝4，则公 1 n－1 2 － 2 ；a1＋a2＋„＋an＝____________. 比 q＝__ 2
1．等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一 个常数 q(q≠0)，这个数列叫做等比数列，常数 q 称为等比数列的 公比． 2．通项公式与前 n 项和公式 a1 为首项，q 为公比， a1qn－1 ； (1)通项公式：an＝________ na1 ； (2)前 n 项和公式：①当 q＝1 时，Sn＝_____ a1－anq n a11－q 1－q ②当 q≠1 时，Sn＝ ＝_________. 1－q
考点3
等比数列的性质
例 3 ： 已知 Sn 为等比数列 {an}前 n 项和， Sn ＝ 54 ， S2n＝ 60 ， 则S3n＝________. 解题思路：结合题意考虑利用等比数列前n项和的性质求解． 解析：∵{an}是等比数列， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，
182 ∴54(S3n－60)＝36⇒S3n＝ . 3
a1 n a1 · q ”时，要会用整体思想进行代换(将 视为一个整体)． 1－q 1－q
(4)类比思想：等差数列中的“和”、“倍数”可以与等比数
列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于类比思 想的推广，更有利于我们从整体上把握，使我们的学习达到事半
功倍的效果．
无论用什么方法判断或证明严格数列是等比数列，都必须注 意检验一个数列为等比数列的必要条件，即各项都不为零；在利 用等比数列的前 n 项和公式时，如果其公比 q 不确定，要分 q＝1 和 q≠1 两种情况进行讨论．否则，会产生错解．
(2)方程思想：准确分析 a1，q，an，Sn，n 之间的关系，通过 列方程(组)可做到“知三求二”． (3) 整体思想：在应用等比数列 {an} 的性质“若 m ＋ n ＝ p ＋
n a 1 － q a1 1 * q(m， n， p， q∈N )， 则 am· an＝ap· aq”或用“Sn＝ ＝ － 1－q 1－q
【互动探究】
6．已知 1，a1，a2,4 成等差数列，1，b1，b2，b3,4 成等比数列，
5 a1＋a2 则 b ＝_____. 2
2
解析：∵1, a1, a2, 4 成等差数列，∴a1＋a2＝1＋4＝5；
2 ∵1， b1， b2， b3,4 成等比数列， ∴b2 ＝1×4＝4， 又 b2＝1×q2>0，
1．M＝ ab是 a，M，b 成等比数列的( D )
A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知等比数列{an}的前三项依次为 a－1，a＋1，a＋4，则 an＝( C )
3 A．4· 2
n
2 B．4· 3
n
3 C．4· 2
a1＋2d＝－6， 所以 a1＋5d＝0.
解得 a1＝－10，d＝2，
所以 an＝－10＋(n－1)· 2＝2n－12.
(2)设等比数列{bn}的公比为 q， 因为 b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8， 所以－8q＝－24，即 q＝3. b11－qn 所以{bn}的前 n 项和公式为 Sn＝ ＝4(1－3n)． 1－q
考点1 等比数列的基本量运算
例 1：(2010 年北京)已知{an}为等差数列，且 a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通项公式； (2)若等比数列{bn}满足 b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前
n 项和公式．
解析：(1)设等差数列{an}的公差 d， 因为 a3＝－6，a6＝0，