高三数学期末测试AB卷

2024届普通高等学校招生全国统一考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1,2A =−−，{}0B x x =<，则A B 的真子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．72．已知i 为虚数单位，复数z 满足i i 1z x −=+，则1z +=（ ）AB ．1C D ．23．已知单位向量a ，b 的夹角为π3，则56a b += （ ）A ．9B C ．10D ．4．据科学研究表明，某种玫瑰花新鲜程度y 与其花朵凋零时间t （分钟）（在植物学上t 表示从花朵完全绽放时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间）近似满足函数关系式：102ty b =⋅（b 为常数），若该种玫瑰花在凋零时间为10分钟时的新鲜程度为110，则当该种玫瑰花新鲜程度为12时，其凋零时间约为（参考数据：lg 20.3≈）（ ） A ．3分钟 B ．30分钟 C ．33分钟 D ．35分钟5．已知某圆台的体积为21π，其上、下底面圆的面积之比为1:4且周长之和为6π，则该圆台的高为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．96．已知抛物线()2:20C y px p =>，过点,02p且斜率为1−的直线l 交C 于M ，N 两点，且32MN =，则C 的准线方程为（ ）A ．1x =−B ．2x =−C ．3x =−D ．4x =−7．已知数列{}n a 是单调递增数列，()221n n a m n =−−，*n ∈N ，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()2,+∞B ．()1,2C ．3,2+∞D ．()2,38．已知离散型随机变量X 的分布列如下，则()D X 的最大值为（ ）X 0 12Paa b + a b −A ．13 B ．23 C ．89D ．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如下：84，72，68，76，80，则（ ） A ．这五名同学成绩的平均数为78 B ．这五名同学成绩的中位数为74 C ．这五名同学成绩的上四分位数为80D ．这五名同学成绩的方差为3210．已知正实数a ，b 满足22a b +=，则21b ab+的可能取值为（ ）A ．2B ．1C 1−D ．411．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,0A ，()1,0B −，12AM ≤≤，点M 的轨迹为Ω，则（ ）A ．Ω为中心对称图形B ．M 到直线()20x ay a −+=∈R 距离的最大值为5C ．若线段OM 上的所有点均在Ω中，则OM 最大为D ．使π4MBO ∠=成立的M 点有4个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．182(2)x −−的展开式中含21x 的项的系数为______．13．已知tan α=，则tan 3α=______． 14．三个相似的圆锥的体积分别为1V ，2V ，3V ，侧面积分别为1S ，2S ，3S ，且123V V V =+，123aS S S =+，则实数a 的最大值为______．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数()ln(1)sin f x a x x x =+−． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点ππ,22f处的切线方程； （2）若1a =，研究函数()f x 在(]1,0x ∈−上的单调性和零点个数． 16．（15分）2024年由教育部及各省教育厅组织的九省联考于1月19日开考，全程模拟高考及考后的志愿填报等．某高中分别随机调研了50名男同学和50名女同学对计算机专业感兴趣的情况，得到如下2×2列联表．（1）完善以上的2×2列联表，并判断根据小概率值0.01=的独立性检验，能否认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关；（2）将样本的频率作为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，求其中对计算机专业感兴趣的学生人数的期望和方差．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．如图，在四棱锥P ABCD −中，平面PCD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，且112ABCD ==，PCD △为等边三角形，平面PAB 平面PCD =直线l ．（1）证明：l ∥平面ABCD ； （2）若l 与平面PAD 的夹角为π6，求四棱锥P ABCD −的体积．18．（17分）已知椭圆22220)1(:x y C a b b a +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且4AB =，点 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若E ，F 为椭圆C 上异于A ，B 的两个不同动点，且直线AE 与BF 的斜率满足3BFAEk k =−，证明：直线EF 恒过定点．19．（17分）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：123123231312321213132123123a a a abc a b c a b c a b c a b c a b c b b b c c c =++−−−． 若111222a b x z j i y x y z k×=，则称a b × 为空间向量a 与b 的叉乘，其中111a x i y j z k =++ （111,,x y z ∈R ），222b x i y j z k =++ （222,,x y z ∈R ），{},,i j k 为单位正交基底．以O 为坐标原点、分别以,,i j k 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A ，B 是空间直角坐标系中异于O 的不同两点．（1）①若()1,2,1A ，()0,1,1B −，求OA OB ×； ②证明：0OA OB OB OA ×+×=．（2）记AOB △的面积为AOB S △，证明：12AOBOA OB S ×= △． （3）证明：()2OA OB × 的几何意义表示以AOB △为底面、OA OB ×为高的三棱锥体积的6倍．数学参考答案1．B 【解析】由题意可得{}2,1A B =−− ，故A B 的真子集的个数为2213−=．故选B ．2．A 【解析】因为i i 1z z −=+，则()1i 1i z −−=+，所以2(1i)1i i (1i)(1i)1i z ++=−=−=−−+−，故11i z +=−==．故选A ．3．B 【解析】由题意得222π256036616011cos 91563a ab b a b =+⋅+=+×××=+．故56a b +=B ．4．C 【解析】由题意得1210b =，则120b =，令10112220t ⋅=，即10102t=，解得1033lg 2t =≈．故选C ． 5．D 【解析】设上、下底面圆的半径分别为r ，R ，圆台的高为h ，则由题意可得22π1,π42π()6π,r R r R =+=解得1,2,r R == ，则221π(1122)21π3V h =+×+=，解得9h =．故选D ． 6．D 【解析】设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:2p l y x=−−， 联立2,22,p y x y px =−−=得22304p x px −+=， 则0∆>，123x x p +=，又l 经过C 的焦点,02p， 则12332MN x x p p p =++=+=，解得8p =，故C 的准线方程为4x =−．故选D ． 7．C 【解析】由题意可得2(21)n na m n =−−，由于数列{}n a 为单调递增数列，即*n ∀∈N ，22112210(21)(1)(21)n n n n n n m n m n a m a ++ −=⋅−−>=−−+−−− ，整理得212nn m +>，令212n n n b +=，则1112321120222n n n n n n n n b b +++++−−=−=<，*n ∈N ，易得数列{}n b 单调递减，故132b =是数列{}n b 的最大项，则m 的取值范围为3,2+∞，故选C ．8．C 【解析】()()()01231P X P X P X a =+=+===，故13a =， 易得12033b ≤+≤，12033b ≤−≤，则1133b −≤≤， 故()221E X a b a b b =++−=−，()22221112(1)(1)3333D X b b b b b b b=−+++−+=−−，又因为11,33b ∈− ，所以28(),99D X∈．故选C ．9．CD 【解析】A 选项，这五名同学成绩的平均数为6872768084765++++=，A 错误；B 选项，将五名同学的成绩按从小到大排列：68，72，76，80，84，则这五名同学成绩的中位数为76，B 错误；C 选项，575% 3.75×=，故成绩从小到大排列后，第4个数即为上四分位数，即80，C 正确；D 选项，五名同学成绩的方差为222221(6876)(7276)(7676)(8076)(8476)325−+−+−+−+−= ，D 正确．故选CD ．10．BD 【解析】由题意可得22222111111(22)2()2b b b b b b b b b b ab ++++==−= −−−， 令1b t +=，则12t <<，()()22211232113b t t b bt t t t t t +===−−+−−−−−+，且)2t t +∈，故)213b b b++∞∈+ −，所以)211b ab + ∈++∞ ．故选BD ． 11．ABC 【解析】由题可得[]1,2AM ∈，故点M 在以A 为圆心、半径分别为1，2的两圆之间（包含边界），Ω为内径为1，外径为2的圆环，A 正确；直线20x ay −+=过定点(2,0)−，故M 到直线20x ay −+=的距离最大时为M 与点(2,0)−的距离，则max 325d =+=，B 正确；当OM 恰与圆22(1)1x y −+=相切时，OM 最大，此时直线OM 与y轴重合，故maxOM=C 正确；π4MBO ∠=，则直线BM ：()1y x =−+或1y x =+，直线1y x =+与直线()1y x =−+有无数点在Ω上，故符合的M 点有无数个，故D 错误．故选ABC ． 12．1120【解析】182(2)x−−的展开式的通项为8218C 2(1)r rrrr T x −−+=−，故令4r =可得含21x项的系数为44480C 2(1)112××−=．13．【解析】由tan α=，可得22tan tan 21tan ααα==−故tan tan 2tan 3tan(2)1tan tan 2ααααααα+=+=−⋅ 14【解析】设三个圆锥的高分别为123,,h h h ．母线与轴线的夹角为θ， 则3221ππtan (tan )33V h h h θθ⋅==⋅，由123V V V =+，得333123h h h =+， 同理由21S aS =可得222123ah h h =+， 则2233632316332123()()h h a h a h h h +==+，则32323233211h h a h h+=+． 令()()()322311x f x x +=+，()0,x ∈+∞，得()()()2233611()1x x x f x x +⋅−=+′，令()0f x ′>，解得()0,1x ∈；令()0f x ′<，解得()1,x ∈+∞，故()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 12f x f ==，故32a ≤，故max a =15．解：（1）当0a =时，()sin f x x x =−，则()sin cos f x x x x =−−′，则ππ22f =− ，π12f =−′， 所以曲线()y f x =在点ππ,22f处的切线方程为y x =−． （2）当1a =时，()()ln 1sin f x x x x =+−，则1()sin cos 1f x x x x x ′=−−+， 当(]1,0x ∈−时，101x >+，sin 0x −≥，cos 0x x −≥，则()0f x ′>， 故()f x 在(]1,0x ∈−上单调递增．又因为()00f =，所以()f x 在(]1,0x ∈−上的零点个数为1． 16．解：（1）完善2×2列联表如下：则22100100(40201030) 4.762 6.6355050307021χ××−×==≈<×××，故根据小概率值0.01α=的独立性检验，不能认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关． （2）由（1）知，对计算机专业感兴趣的样本频率为700.7100=， 设抽取的30名学生中对计算机专业感兴趣的学生的人数为X ，所以随机变量()~30,0.7X B ， 故()300.721E X =×=，()()300.710.7 6.3D X =××−=．17．解：（1）证明：由题可知AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AB ∴∥平面PCD ．又AB ⊂平面PAB ，平面PAB 平面PCD l =，l AB ∴∥． 又l ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，l ∴∥平面ABCD ．（2）以D 为原点，平面ABCD 内垂直于DC 的直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设等腰梯形ABCD 的高为()0a a >，则()0,0,0D ，1,,02A a，3,,02B a，()0,2,0C ，(P ，设(),,nx y z = 为平面PAD 的法向量，则0,0,n DA n DP ⋅= ⋅= 即10,20,ax y y +=+=令1y =−得1,2n a =−为平面PAD 的一个法向量．又l AB ∥，则可得直线l 的一个平行向量()0,1,0m =， 设θ为l 与平面PAD 的夹角，由11cos ,sin12n mn θ===×，解得a =．11(12)32P ABCD V −∴=+=18．解：（1）由题意可得42AB a ==，则2a =，又点在C 上，所以213144b +=，解得1b =， 故椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）证明：由（1）可得，()2,0A −，()2,0B ，易知直线AE 与直线BF 的斜率一定存在且不为0，设直线AE 的方程为())2(0y t x t =+≠，直线BF 的方程为()32y t x =−−． 由()222,1,4y t x x y =+ +=得()222241161640t x t x t +++−=，所以2216441A E t x x t −=+，故E x =，则2441E ty t =+，故222824,4141t t E t t −+ ++ ． 由()2232,1,4y t x x y =−− += 得()222236114414440t x t x t +−+−=，所以221444361B F t x x t −=+， 故22722361F t x t −=+，则212361F ty t =+，故22272212,361361t t F t t − ++． 若直线EF 过定点，则根据椭圆的对称性可知直线EF 所过定点必在x 轴上， 设定点为()0,0P x ．则22220022412413612872236141PE PF t tt t k k t t x x t t ++===−−−−++， 即()()2222004127223612841tt t x t t x t =+−−+−−，所以()()222200624341722361t x t t x t −−+=−−+，化简可得()()2041210x t −−=，故04x =，即直线EF 过定点()4,0． 19．解：（1）①因为()1,2,1A ，()0,1,1B −，则()()()12010133,1,112011jki OA OB i k j i i j k =++−−−−−=−−=−−×=−． ②证明：设()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则121212212121122112211221(,,)OA OB y z i z x j x y k x y k x j y z i y y z z z x z x x x y z y ×=++−−−=−−−，将2x 与1x 互换，2y 与1y 互换，2z 与1z 互换，可得211221122112,,()OB OA y z y z z x z x x y x y ×=−−−， 故()0,0,00OA OB OB OA ×+×==．（2）证明：因为sin AOB ∠，故1sin 2AOBS OA OB AOB =⋅∠= △，故要证12AOBS OA OB =×△，只需证OA OB ×= 即证2222()OA OB OB OA OB OA ⋅−×= ．由（1）111(,,)OA x y z = ，()222,,OB x y z =，()122112211221,,OA OB y z y z z x z x x y x y ×=−−− ，故()2222122112211221()()OA OB y z y z z x z x x y x y ×=−+−+− ，又2221121OA x y z =++，2222222OB x y z=++，()()22121212OA OBx x y y z z ⋅=++ ，则2222()OA OB OB OA OB OA ⋅−×= 成立，故12AOBS OA OB =×△． （3）证明：由（2）12AOBS OA OB =× △，得221()222AOB OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB S ⋅××=×=×⋅×= △， 故261()3AOB OA OB OA OB S ×=×⋅× △， 故2()OA OB × 的几何意义表示以AOB △为底面、OA OB × 为高的三棱锥体积的6倍．。

2025届呼和浩特市第一中学高三数学第一学期期末监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%3．已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11a b a bβ+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．64．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m nx y 的系数之和为（ ）A ．640B ．416C ．406D ．236-6．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ） A ．33-B ．3C ．332- D ．327．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．638．已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．45B ．45-C ．45iD ．45-i 9．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A ．94B ．5C 522+ D ．910．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45-C ．35D ．3512．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽大学2008—2009学年第一学期《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、下列陈述正确的是（ ）。

(A) 若方程组0m n A x ⨯=有唯一解，则方程组m n A x b ⨯=有唯一解 (B) 若方程组m n A x b ⨯=有唯一解，则方程组0m n A x ⨯=有唯一解(C) 若方程组0m n A x ⨯=有无穷多解，则方程组m n A x b ⨯=有无穷多解 (D) 若方程组m n A x b ⨯=无解，则方程组0m n A x ⨯=无解2、已知n 维向量组12,,,(2)s s ααα≥线性相关，则下列选项中必正确的是( )。

(A) 对于任何一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++= (B) 12,,,s ααα中任何两个向量线性相关(C) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++= (D) 对于每一个i α都可以由其余向量线性表出3、设0()1,0()1P A P B <<<<，且(|)(|)1P A B P A B +=，则 ( )。

(A) 事件A 及事件B 互不相容 (B) 事件A 及事件B 对立 (C) 事件A 及事件B 不独立 (D) 事件A 及事件B 独立4、设~()X E λ（指数分布），n X X X ,,,21 是总体X 的样本，则参数λ的矩估计是( )。

(A) }{max 1i ni X ≤≤ (B) X 2 (C) X (D) 1/X5、设n X X X ,,,21 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，则下列结论正确的是( )。

(A) 22211()~()nii Xn μχσ=-∑ (B) 2211()~(1)ni i X X n nχ=--∑(C)22211()~()nii XX n χσ=-∑ (D)2211()~(1)1ni i X X n n χ=---∑院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------二、填空题（每小题2分，共10分）6、若齐次线性方程组 有非零解，则k ＝ 。

福建省高中名校2024学年高三年级第一学期期末试卷数 学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数2i1i z =+，则z z -=（ ）A 2B. 2i -C. 2-D. 2i2. 已知集合{}2680A x x x =-+>，{}30B x x =-<，则A B = （ ） A. (2,3)B. (3),-∞C. (,2)-∞D. (4,)+∞3. 已知向量(3,5)a =r，(1,21)b m m =-+，若//a b，则m =（ ）A. 8B.8- C. 213-D. 87-4. 已知0.3log 2a =，0.23b =，0.30.2c =，则（ ） A. b c a >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>5. 已知函数()ππcos 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2()sin 22cos 1g x x x =-+的图象，只需将()f x 的图象（ ） A. 向左平移π8个单位长度 B. 向左平移3π4个单位长度 C. 向右平移3π4个单位长度D. 向右平移3π8个单位长度6. 抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（ ）A 4B. 8C. 6D. 107. 已知ABC 是边长为8的正三角形，D 是AC 的中点，沿BD 将BCD △折起使得二面角A BD C --为π3，则三棱锥C ABD -外接球的表面积为（ ） A. 52π B. 52π3 C. 208π3D.103π38. 在数列{}n a 中，11a =，且1n n a a n +=，当2n ≥时，1231112n n na a a a a λ++++≤+- ，则实数λ的..取值范围为（ ）A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (0,1]D. (,4]-∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（ ） A. 若0a b <<，则22a ab b >> B. 若x ∈R ，则22122x x +++最小值为2 C. 若2a b +=，则22a b +的最大值为2 D. 若(0,2)x ∈，则1122x x+≥- 10. 《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个.如下表：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 早睡群体睡眠指数 65 68 75 85 85 85 88 92 9295 晚睡群体睡眠指数35405555556668748290根据样本数据，下列说法正确的是（ ）A. 早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高B. 早睡群体的睡眠指数的众数为85C. 晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66D. 早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小 11. 已知点()0,5A，()5,0B -，动点P 在圆C ：()()22348x y ++-=上，则（ ）A. 直线AB 截圆C 所得的弦长为B. PAB 的面积的最大值为15C. 满足到直线AB 的P 点位置共有3个D. PA PB ⋅的取值范围为22⎡---+⎣12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()(2026)f x f x f ++=，且(1)1f x +-是奇函数.则（ ）的A. (1)(3)2f f +=B. (2023)(2025)(2024)f f f +=C. (2023)f 是(2022)f 与(2024)f 等差中项D.20241()2024i f i ==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数21()2e 2x f x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴，则=a _________. 14. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC所成角的余弦值为10，则1CC =_________.15. 某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种.16. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的蒙日圆为22273x y b +=，则C 的离心率为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足210n n S a +-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设27log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18. 已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M （单位：g ）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=.（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率；（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取K （K 为正整数）包，记质量在248g ~252g 内的包数为X ，且的()320D X >，求K 的最小值.19. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =，πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）作角A 的平分线与BC 交于点D ，且AD =，求b c +.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，E 为PC 的中点，//OE 平面PAD ．（1）证明：PC PD =；（2）若24==A D A B ，OC OD ⊥，PC 与平面ABCD 所成的角为60°，求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值．21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为6，且其焦点到渐近线的距离为1.（1）求C 的方程；（2）若动直线l 与C 恰有1个公共点，且与C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值.22. 已知函数ln ()x af x x+=，[1,)x ∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性.（2）是否存在两个正整数1x ，2x ，使得当12x x >时，()12121212x x x x x x x x -=？若存在，求出所有满足条件1x ，2x 的值；若不存在，请说明理由.的答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数2i1i z =+，则z z -=（ ）A. 2B. 2i -C. 2-D. 2i【答案】D 【答案解析】【详细分析】根据条件，利用复数的运算即可求出结果. 【答案详解】因为2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===+++-，所以1i z =-，故2i z z -=， 故选：D.2. 已知集合{}2680A x x x =-+>，{}30B x x =-<，则A B = （ ） A. (2,3)B. (3),-∞C. (,2)-∞D.(4,)+∞【答案】C 【答案解析】【详细分析】解一元二次不等式化简集合A ，结合交集的概念即可得解.【答案详解】因为{4A x x =>或}2x <，{}3B x x =<，所以{}2A B x x ⋂=<. 故选：C.3. 已知向量(3,5)a =r ，(1,21)b m m =-+ ，若//a b ，则m =（ ）A. 8B.8- C. 213-D. 87-【答案】B 【答案解析】【详细分析】由平面向量平行的充要条件即可得解.【答案详解】因为//a b ，所以3(21)5(1)m m +=-，所以8m =-.故选：B.4. 已知0.3log 2a =，0.23b =，0.30.2c =，则（ ） A. b c a >>B. b a c >>C. c b a >>D.c a b >>【答案】A 【答案解析】【详细分析】引入中间量，利用函数的单调性，进行大小的比较.【答案详解】因为0.30.3log 2log 10a =<=，0.20331b =>=，0.30.2(0,1)=∈c ，所以b c a >>.故选：A5. 已知函数()ππcos 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2()sin 22cos 1g x x x =-+的图象，只需将()f x 的图象（ ）A. 向左平移π8个单位长度 B. 向左平移3π4个单位长度 C. 向右平移3π4个单位长度D. 向右平移3π8个单位长度【答案】D 【答案解析】【详细分析】先把()f x ，()g x 的答案解析式都化成()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，再用图象的平移解决问题.【答案详解】()πππππcos sin 2244442f x x x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2π3πsin 22cos 1sin 2cos 22244g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故将()f x 的图象向右平移38π个单位长度可得3π3π2284y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即为()g x 的图象. 故选：C6. 抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（ ） A. 4 B. 8C. 6D. 10【答案】B 【答案解析】【详细分析】综合应用三角形外接圆的性质和抛物线的性质即得答案. 【答案详解】因为OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切， 所以OFM △的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. 因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6， 又因为圆心在OF 的垂直平分线上，||2pOF =， 所以OFM △的外接圆的圆心到准线的距离624p p+=，可得8p =.故选：B.7. 已知ABC 是边长为8的正三角形，D 是AC 的中点，沿BD 将BCD △折起使得二面角A BD C --为π3，则三棱锥C ABD -外接球的表面积为（ ） A. 52πB. 52π3 C. 208π3D.103π3【答案解析】【详细分析】根据给定条件，结合球的截面圆性质确定球心位置，再求出球半径即得. 【答案详解】在三棱锥C ABD -中，,,,,BD AD BD CD AD CD D AD CD ⊥⊥=⊂ 平面ACD ，由二面角A BD C --为π3，4AD CD ==，得ACD 是正三角形，令其外接圆圆心为O '，则2πsin 333O D AD '==，令三棱锥C ABD -外接球的球心为O ，球半径为R ， 则OO '⊥平面ACD ，即有//OO BD '，显然球心O 在线段BD 的中垂面上，令线段BD 的中垂面交BD 于E ，则OE BD ⊥，显然O D BD '⊥，于是//OE O D '，四边形OEDO '是平行四边形，且是矩形，而12==DE BD22222252(33R OD OE DE ==+=+=， 所以三棱锥C ABD -外接球的表面积22084ππ3S R ==. 故选：C8. 在数列{}n a 中，11a =，且1n n a a n +=，当2n ≥时，1231112n n na a a a a λ++++≤+- ，则实数λ的取值范围为（ ） A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (0,1]D.(,4]-∞【答案解析】【详细分析】先根据递推关系得到111n n na a a +-=-，把条件转化为22λ≤，从而可得答案. 【答案详解】因为1n n a a n +=，11a =，所以21a =，且当2n ≥时，11n n a a n -=-， 所以111n n n n a a a a +--=，所以111n n na a a +-=-， 所以3142531123111n n na a a a a a a a a a a +-+++=-+-+-++-= 12112n n n n a a a a a a ++--++=+-.因为1231112n n na a a a a λ++++≤+- ， 所以1122n n n n a a a a λ+++-≤+-，所以22λ≤，故1λ≤. 故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（ ） A. 若0a b <<，则22a ab b >> B. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2 C. 若2a b +=，则22a b +最大值为2 D. 若(0,2)x ∈，则1122x x+≥- 【答案】AD 【答案解析】【详细分析】利用作差法比较大小判断A ，利用基本（均值）不等式判断BCD ，要注意“一正二定三相等”.【答案详解】因为2()0a ab a a b -=->，所以2a ab >， 的因为2()0=->-b a b ab b ，所以2ab b >，所以22a ab b >>，故A 正确； 因为221222x x ++≥+的等号成立条件22122x x +=+不成立，所以B 错误； 因为222122a b a b ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以222a b +≥，故C 错误；因为11111121(2)2(22)2222222xx x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，当且仅当112x x=-，即1x =时，等号成立，所以D 正确. 故选：AD10. 《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个.如下表：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 早睡群体睡眠指数 65 68 75 85 85 85 88 92 92 95 晚睡群体睡眠指数35405555556668748290根据样本数据，下列说法正确的是（ ）A. 早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高B. 早睡群体的睡眠指数的众数为85C. 晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66D. 早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小 【答案】BD 【答案解析】【详细分析】由样本数据可判断A ；样本数据的集中程度可判断D ；由众数的概念可判断B ；由百分位数的概念可判断C.【答案详解】因为早睡群体的睡眠指数不一定比晚睡群体的睡眠指数高，所以A 错误； 因为早睡群体的睡眠指数的10个样本数据中85出现次数最多，所以B 正确；因为晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为6668672+=，所以C 错误； 由样本数据可知，早睡群体的睡眠指数相对比较稳定，所以方差小，故D 正确. 故选：BD. 11. 已知点()0,5A，()5,0B -，动点P 在圆C ：()()22348x y ++-=上，则（ ）A. 直线AB 截圆C所得的弦长为 B. PAB 的面积的最大值为15C. 满足到直线AB的P 点位置共有3个 D. PA PB ⋅的取值范围为22⎡---+⎣【答案】BCD 【答案解析】【详细分析】根据点到直线的距离公式，结合勾股定理即可求解弦长判断A ，根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可求解B ，根据圆上的点到直线的距离的范围，即可求解C ，根据向量的数量积的运算量，结合坐标运算即可求解D.【答案详解】对于A ，因为()0,5A ，()5,0B -，所以直线AB 的方程为50x y -+=，圆心()3,4C -到直线AB 的距离为d ==，又因为圆C 的半径r =所以直线AB 截圆C所得的弦长为2=A 错误．对于B，易知AB =PAB 的面积最大，只需点P 到直线AB 的距离最大，而点P到直线AB的距离的最大值为r d +==， 所以PAB的面积的最大值为1152⨯=，B 正确． 对于C ，当点P 在直线AB 上方时，点P到直线AB 的距离的范围是(0,r +，即(，由对称性可知，此时满足到直线AB 的P 点位置有2个．当点P 在直线AB 下方时，点P到直线AB 的距离的范围是(0,r，即(，此时满足到直线AB的P 点位置只有1个．综上所述，满足到直线AB的P 点位置共有3个，C 正确．对于D ，由题意知()()()2PA PB PC CA PC CB PC PC CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅．又因为()0,5A ，()5,0B -，()3,4C -，所以()3,1CA = ，()2,4CB =--， 故()()321410CA CB ⋅=⨯-+⨯-=- ，()1,3CA CB +=-．设点()00,D x y 满足CA CB CD +=，则()003,4CD x y =+- ，故0031,43,x y +=⎧⎨-=-⎩解得002,1,x y =-⎧⎨=⎩即()2,1D -，CD =所以()28cos ,10PA PB PC PC CA CB CA CB PC CD PC CD ⋅=+⋅++⋅=+⋅⋅-2,2,PC CD PC CD =-+=-+ ．又因为,PC CD ⎡∈-⎣，所以2,22PC CD ⎡-+∈---+⎣ ，即PA PB ⋅取值范围为[2--，2-+，D 正确．故选：BCD12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()(2026)f x f x f ++=，且(1)1f x +-是奇函数.则（ ）A. (1)(3)2f f +=B. (2023)(2025)(2024)f f f +=的C. (2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项D.20241()2024i f i ==∑【答案】ACD 【答案解析】【详细分析】由(2)()(2026)f x f x f ++=，可推出()f x 的周期为4，由(1)1f x +-是奇函数可推出(1)1f =，通过赋值及函数的周期性可逐个判断各个选项. 【答案详解】因为(2)()(2026)f x f x f ++=， 所以(4)(2)(2026)f x f x f +++=， 两式相减得(4)()f x f x +=， 所以()f x 的周期为4. 因为(1)1f x +-是奇函数，所以(1)1(1)1f x f x -+-=-++，所以(1)(1)2f x f x -+++=， 即()(2)2f x f x -++=， 令=1x -，得(1)1f =.因为(2)()(2026)(2)f x f x f f ++==， 令2x =，得(4)(2)(2)f f f +=， 所以(4)0f =，即(0)0f =. 因为()(2)2f x f x -++=， 令0x =，得(0)(2)2f f +=， 所以(2)2f =，所以(2)()2f x f x ++=， 所以(3)(1)2f f +=，故A 正确. 因为()(2)2f x f x -++=，所以(1)(3)2f f -+=，即(3)(3)2f f +=，所以(3)1f =.因为(2023)(2025)(3)(1)2f f f f +=+=，(2024)(0)0f f ==，所以B 错误. 因为(2022)(2024)(2)(0)2f f f f +=+=，(2023)(3)1f f ==， 所以(2022)(2024)2(2023)f f f +=，所以(2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项，故C 正确.因为(1)(2)(3)(4)f f f f +++()(1)(3)(2)(4)f f f f =+++2204=++=，所以20241()506[(1)(2)(3)(4)]50642024i f i f f f f ==+++=⨯=∑，故D 正确故选：ACD【点评】关键点评：本题的关键是通过其奇偶性得到其周期性，再结合等差中项的含义以及赋值法一一详细分析选项即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数21()2e 2x f x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴，则=a _________. 【答案】2- 【答案解析】【详细分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【答案详解】由题意得()2e x f x x a '=--， 由函数21()2e 2x f x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴， 可得(0)20f a '=--=，得2a =-， 故答案为：-214. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为10，则1CC =_________. .【答案】【答案解析】【详细分析】利用直线的平移，把两条异面直线所成的角转化为平面角，再解三角形求角. 【答案详解】连接AC ，交DB 于点O ，取1CC 的中点E ，连接OE ，BE . 因为1//AC OE ，所以BD 与1AC 所成的角为∠BOE （或其补角）. 令EC x =，在BEO △中，由8AB =，6AD =，得5OB =.又OE =，BE =cos 10BOE ∠=， 由余弦定理得22222225536210x x OE OB BE OE OB ++-++-==⋅，解得x =1CC =.故答案为：15. 某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种. 【答案】60 【答案解析】【详细分析】先选菜品，再选饮品，结合分步计数原理可得答案.【答案详解】由题意可知凉菜选择方案共有24C 6=种，饮品选择方案共有2144C C10+=种，因此该套餐的供餐方案共有61060⨯=种. 故答案为：6016. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的蒙日圆为22273x y b +=，则C 的离心率为_________. 【答案】12##0.5 【答案解析】【详细分析】根据蒙日圆的定义得出点(,)a b 一定在其蒙日圆上，从而可得离心率. 【答案详解】由题意可知点(,)a b 一定在其蒙日圆上，所以22273a b b +=， 所以234b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故椭圆C的离心率为12c e a ===. 故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足210n n S a +-=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设27log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）91n nT n =+ 【答案解析】【详细分析】（1）根据条件，利用n a 与n S 间的关系，得到13n n a a -=，从而得出数列{}n a 为等比数列，即可求出结果；（2）由（1）得出3n nb =-，从而得出111191n n b b n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再利用裂项相消法即可求出结果.【小问1答案详解】因为210n n S a +-=，所以当1n =时，113a =， 当2n ≥时，11210n n S a --+-=，两式相减得13n n a a -=，又1103=≠a ， 所以数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列， 则1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【小问2答案详解】因为27271log log (33nn n n b a ===-， 所以119119(1)1n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以1111111119991122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ . 18. 已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M （单位：g ）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=.（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率； （2）若从公司销售的牛肉干中随机选取K （K 为正整数）包，记质量在248g ~252g 内的包数为X ，且()320D X >，求K 的最小值. 【答案】（1）0.243 （2）2001 【答案解析】【详细分析】（1）根据正态分布的性质求出(248)P M ≥的值，再结合二项分布的概率计算，即可得答案；（2）根据正态分布的对称性求出(248252)P M <<的值，确定~(,0.8)X B K ，结合正态分布的方差公式，列出不等式，即可求得答案. 【小问1答案详解】由题意知每包牛肉干的质量M （单位：g）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=， 所以(248)10.10.9P M ≥=-=，则这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率为223C 0.90.10.243⨯⨯=.【小问2答案详解】因为(248)0.1P M <=，所以(248252)(0.50.1)20.8P M <<=-⨯=， 依题意可得~(,0.8)X B K ，所以()0.8(10.8)0.16D X K K =⨯⨯-=， 因为()320D X >，所以0.16320,2000K K >>， 又K 为正整数，所以K 的最小值为2001.19. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，a =，πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）作角A 的平分线与BC 交于点D，且AD =，求b c +.【答案】（1）π3（2）6 【答案解析】【详细分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得b c cb +=，再运用余弦定理解方程即得. 【小问1答案详解】 因πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由正弦定理可得：1sin sin cos sin sin 022B A A A B ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，即1sin cos sin 022B A A ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.因(0,π)B ∈，故sin 0B ≠，则有1cos sin 22A A =，即tan A =， 因(0,π)A ∈，故π3A =. 【小问2答案详解】因为AD 为角平分线，所以DAB DAC ABC S S S += ， 所以111sin sin sin 222AB AD DAB AC AD DAC AB AC BAC ⋅∠+⋅∠=⋅∠. 因π3BAC ∠=，6πDAB DAC ∠=∠=，AD =，则444AB AC AB AC +=⋅， 即AB AC AB AC +=⋅，所以b c cb +=. 又由余弦定理可得：2222π2cos()33a b c bc b c bc =+-=+-，把a =，b c cb +=分别代入化简得：2()3()180b c b c +-+-=， 解得：6b c +=或3b c +=-（舍去），所以6b c +=.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，E 为PC 的中点，//OE 平面PAD ．（1）证明：PC PD =；（2）若24==A D A B ，OC OD ⊥，PC 与平面ABCD 所成的角为60°，求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见答案解析（2）17． 【答案解析】【详细分析】（1）根据线线平行可得面面平行，进而根据面面平行的性质可得//OF AD ，线线垂直可求证线面垂直，进而根据线面垂直的性质即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解. 【小问1答案详解】证明：取CD 的中点F ，连接EF ，PF ，OF ，因为E 为PC 的中点，所以//EF PD ． 又EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//EF 平面APD ． 因为//OE 平面PAD ，OE EF E = ，,OE EF ⊂平面OEF ， 所以平面//OEF 平面PAD ．因为平面ABCD ⋂平面OEF OF =，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，所以//OF AD ． 因为AD CD ⊥，所以OF CD ⊥．由PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，可得PO CD ⊥．又PO OF O ⋂=，,PO OF ⊂平面POF ,所以CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF , 从而PF CD ⊥．因为PF 是CD 的中垂线，所以PC PD =．【小问2答案详解】因为PO ⊥平面ABCD ，所以PC 与平面ABCD 所成的角为60PCO ∠=︒， 又OC OD ⊥，OC OD =,2AB CD ==，所以OC OD PO ====．作OG BC ⊥，垂足为G ，分别以OG，OF ，OP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0D -，()1,3,0B -，()1,1,0C，(P ，()0,4,0BC =，(1,1,PC = ，()2,0,0DC =uuu r ．设平面PBC 的法向量为()111,,m x y z =，则111140,0,m BC y m PC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令11z =，得)m = ．设平面PCD 的法向量为()222,,x n y z =，则222220,0,n DC x n PC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令2y =，得()n = ．所以1cos ,7m n m n n m ⋅===，即平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值为17．21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为6，且其焦点到渐近线的距离为1.（1）求C 的方程；（2）若动直线l 与C 恰有1个公共点，且与C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值.【答案】（1）2216x y -=（2）证明见答案解析 【答案解析】【详细分析】（1）由点到直线的距离公式、离心率公式以及平方关系再结合已知即可求解. （2）当直线l 的斜率存在时，不妨设:l y kx m =+，且6k ≠±.动直线l 与C 相切可得Δ0=即2261k m =+，再由弦长公式、点到直线的距离公式表示出三角形面积，结合2261k m =+即可得解.【小问1答案详解】设右焦点为(),0F c ，一条渐近线方程为0bx ay -=，1b ==.因为222,6c e c a b a ===+，所以a c ==. 故C 的方程为2216x y -=.【小问2答案详解】当直线l 的斜率不存在时，l的方程为x =，此时12,22OPQ PQ S ==⨯= . 当直线l 的斜率存在时，不妨设:l y kx m =+，且6k ≠±. 联立方程组22,1,6y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2221612660k x mkx m ----=. 由()()2222Δ144416660m k km=+-+=，得2261k m =+.联立方程组6y kx m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得x =. 不妨设l与,66y x y x ==-的交点分别为,P Q，则P x =同理可求Q x =P Q PQ x =-=因为原点O 到l的距离d =，所以221216OPQS PQ d k=⋅=- . 因为2261k m =+，所以OPQ S =.故OPQ △.22 已知函数ln ()x af x x+=，[1,)x ∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性.（2）是否存在两个正整数1x ，2x ，使得当12x x >时，()12121212x x x x x x x x -=？若存在，求出所有满足条件的1x ，2x 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）答案见答案解析 （2）14x =，22x = 【答案解析】【详细分析】（1）求得()f x '，分 1a ≥，1a <讨论()f x 的单调性. （2）将问题转化为()121212ln ln ln x x x x x x -=+，根据ln ()x f x x=的值域确定122x x -=，分别就13,4,x =⋅⋅⋅详细分析是否满足题意. 【小问1答案详解】21ln ()a xf x x'--=， 当1a ≥时，()0f x '≤，()f x 在[1,)+∞上单调递减. 当1a <时，令()0f x '=，得1e a x -=.)11,e a x -⎡∈⎣，()0f x '>，则()f x 在)11,e a-⎡⎣上单调递增， ()1e ,a x ∞-∈+，()0f x '<，则()f x 在()1e ,a ∞-+上单调递减.【小问2答案详解】由（1）知，令0a =，得ln ()xf x x=在[1,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，则11()(e)e 2f x f ≤=<. 因为121x x >≥，所以()12211212x x x x x x x x -=，即()12122112ln ln ln x x x x x x x x -=+， 即()121212ln ln ln x x x x x x -=+， .因为1x ，2x 为正整数，所以121x x -≥.当121x x -=时，21121x xx x =，因为21x ≥，12x ≥，所以21121x x x x >，这与21121x xx x =矛盾，不符合题意.当121x x ->时，因11ln 12x x <，22ln 12x x <，所以()121212ln ln ln 1x x x x x x -=+<， 所以12e x x -<，得122x x -=，即1212ln ln ln 2x x x x =+. 经检验，当21x =，13x =时，不符合题意， 当22x =，14x =时，符合题意，当23x =，15=x 时，因为53153037532763528<==⨯，所以ln3ln5ln 235+<， 当24x ≥时，11ln ln 6ln565x x ≤<，22ln ln 4ln343x x ≤<， 所以1212ln ln ln5ln3ln 253x x x x +<+<. 综上，仅存在14x =，22x =满足条件.【点评】关键点评：本题关键点在于根据ln ()xf x x =的值域确定12x x -的范围，再根据12,x x 为正整数得122x x -=，从而就12,x x 的取值讨论即可为。

2025届黑龙江省哈尔滨市六中高三数学第一学期期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元2．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．3．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=4．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．6．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)7．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-58．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．149．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限10．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =12PF PF +=（ ） A ．4B ．8C ．2D ．4711．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ） A ．(3,1)-B ．(3)-C ．(3,1)-D ．(1,3)-12．设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ 1-0 1P1(1)3p - 2313p则当p 在23(,)34内增大时，（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

齐齐哈尔普高联谊校高三期末考试数学（答案在最后）考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：复数，数列立体几何（含空间向量）占50%；集合，逻辑，不等式，函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量占50%．一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{}2230A x x x =+-<，集合{}3,1,2B =-，则A B = （）A.{}3,2- B.{}3,0,1- C.{}0 D.∅2.复数1iz i=+在复平面上对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在等比数列{}n a 中，32a =，44a =，则首项等于（）A.2B.1C.12D.134.若平面向量a ，b 满足||2a = ，4b = ，且4a b ⋅= ，则向量a 与b 夹角的大小是（）A.π3B.π4C.π6D.2π35.设函数()2f x x x x =-，则()f x （）A.是偶函数，且在()1,∞+上单调递增B.是奇函数，且在()1,1-上单调递减C.是偶函数，且在(),1∞--上单调递增D.是奇函数，且在(),1∞--上单调递减6.若函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围是（）A.()1,+∞ B.[)1,+∞ C.()0,1 D.(]0,17.若3x =为函数()213ln 2f x x ax x =--的极值点，则函数()f x 的最小值为（）A.12-B.32-C.33ln 32-- D.33ln 3-8.圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL ）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为()30330m,-在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A 教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）62.(sin15)4-︒=A.30mB.60mC.303mD.603m二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.设向量()2,4a =，()2,1b =- ，则（）A.a b ⊥B.//a bC.5a b +=D.5a b -= 10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4862a a a +=，则下列结论正确的是（）A.70a = B.7S 最大C.59S S = D.130S =11.已知函数()23sin cos 3sin f x x x x =-，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象关于点π3,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭对称C.函数()f x 为偶函数D.若函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位长度后关于y 轴对称，则ϕ可以为2π312.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段11C D 上的动点，则下列说法正确的是（）A.平面1BB P ⊥平面ABCDB.BP 的最小值为22C.若直线1B P 与1BD 所成角的余弦值为155，则112D P =D.若P 是11C D 的中点，则1AA 到平面1BB P 的距离为455三、填空题：本题共4小题．13.已知函数()sin cos f x x x =+，则π4f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭______．14.若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =__________．15.已知()1,3A -，O 为坐标原点，点B （异于O 点）在直线2y x =上，则OA OBOB⋅=________.16.已知函数()()sin 1(0)f x x ωω=->图象上相邻两对称轴的距离为π，则函数()y f x =的图象与函数11y x =-（26x -<<，且1)x ≠的图象所有交点的横坐标之和为________.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在递增的等比数列{}n a 中，128a a ⋅=，126a a +=，其中*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若23n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 0cos 2c A ca Cb c-=-.（1）求角A ；（2）若2a =，求BC 边上高的最大值.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，点E 是PD 的中点，1AB =，2AD PA ==．（1）求PC 与AE 所成角的大小；（2）求PC 与平而ACE 所成角的正弦值．20.已知{}n a 为等差数列，6,2,n n n a n b a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .21.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，2AD ED ==，1BF =，60BAD ∠=︒.（1）若G 是BC 的中点，证明：平面DFG ⊥平面ADE ；（2）求二面角A EF C --的正弦值.22.已知函数()()211e 2xa x f x x +=+.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个不同零点12,x x ，求a 的取值范围，并证明120x x +>.齐齐哈尔普高联谊校高三期末考试数学考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：复数，数列立体几何（含空间向量）占50%；集合，逻辑，不等式，函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量占50%．一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{}2230A x x x =+-<，集合{}3,1,2B =-，则A B = （）A.{}3,2- B.{}3,0,1- C.{}0 D.∅【答案】D 【解析】【分析】先化简集合A ，再利用集合的交集运算求解.【详解】由2230x x +-<，得()()310x x +-<，解得31x -<<，所以{}31A x x =-<<，又{}3,1,2B =-，所以A B ⋂=∅．故选：D 2.复数1iz i=+在复平面上对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限.【详解】∵复数1i i +=11112i i i i i-+⨯=-+,∴复数对应的点的坐标是（11,22）,∴复数1ii+在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.3.在等比数列{}n a 中，32a =，44a =，则首项等于（）A.2B.1C.12D.13【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列基本量关系求解即可.【详解】432a a =，2q ∴=，231a a q =，12142a ∴==.故选：C4.若平面向量a ，b 满足||2a = ，4b = ，且4a b ⋅= ，则向量a 与b 夹角的大小是（）A.π3B.π4C.π6D.2π3【答案】A 【解析】【分析】根据向量的夹角公式进行计算即可.【详解】设向量a与b的夹角是θ，则41cos 242a b a b θ⋅===⨯．又因为0πθ≤≤，所以π3θ=．故选：A ．5.设函数()2f x x x x =-，则()f x （）A.是偶函数，且在()1,∞+上单调递增B.是奇函数，且在()1,1-上单调递减C.是偶函数，且在(),1∞--上单调递增D.是奇函数，且在(),1∞--上单调递减【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，画函数图象，然后结合图象得函数的单调区间.【详解】因为函数()2f x x x x =-的定义域为R ，且()()()22f x x x x x x x f x -=-+=--=-，所以()f x 是奇函数，又()222,022x x x f x x x x x x⎧-≥=-=⎨--⎩，作出函数()f x 图象如下图：由图知，函数()f x 在(),1∞--和()1,∞+上单调递增，在()1,1-上单调递减.故选：B6.若函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围是（）A.()1,+∞ B.[)1,+∞ C.()0,1 D.(]0,1【答案】D 【解析】【分析】由π03x <<，得到ππππ6636x ωω<+<+，然后根据()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调求解.【详解】解：因为π03x <<，所以ππππ6636x ωω<+<+，因为()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调，所以πππ362ω+≤，∴01ω<≤，故选：D.7.若3x =为函数()213ln 2f x x ax x =--的极值点，则函数()f x 的最小值为（）A.12-B.32-C.33ln 32-- D.33ln 3-【答案】C 【解析】【分析】先由3x =为函数()213ln 2f x x ax x =--的极值点求得a ，再利用导数法求解.【详解】()3f x x a x'=--，因为3x =是函数()f x 的极值点，所以()3310f a '=--=，则2a =，所以()()()3132x x f x x x x-+'=--=，当()0,3x ∈时，()0f x '<，当()3,x ∈+∞时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在()0,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，所以()()min 333ln32f x f ==--．故选：C8.圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL ）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为()30330m,-在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A 教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）62.(sin15)4-︒=A.30mB.60mC.303mD.603m【答案】D 【解析】【分析】在ACM △中，利用正弦定理，得sin15sin 30AM CM ︒=︒，再结合锐角三角函数的定义，求得AM ，CD ，得解．【详解】由题意知，45CAM ∠=︒，1801560105AMC ∠=︒-︒-︒=︒，所以1801054530ACM ∠=︒-︒-︒=︒，在Rt ABM 中，sin sin15AB ABAM AMB ==∠︒，在ACM △中，由正弦定理得，sin 30sin 45AM CM=︒︒，所以sin 45sin 45sin 30sin15sin 30AM AB CM ︒︒==︒︒⋅︒，在Rt DCM中，()30sin 45sin 6022sin 6060sin15sin 3042AB CD CM -⨯⨯⋅︒⋅︒=⋅︒==︒⋅︒所以小明估算索菲亚教堂的高度为米．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.设向量()2,4a =，()2,1b =- ，则（）A.a b⊥ B.//a bC.5a b +=D.5a b -= 【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示可判断AB 正误；由向量模长坐标运算可知CD 正误.【详解】对于A ，()22410a b ⋅=⨯-+⨯= ，a b ∴⊥，A 正确；对于B ，()2142⨯≠⨯- ，a ∴与b不平行，B 错误；对于C ，()0,5a b +=，5a b ∴+== ，C 正确；对于D ，()4,3a b -=，5a b ∴-== ，D 正确.故选：ACD.10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4862a a a +=，则下列结论正确的是（）A.70a =B.7S 最大C.59S S = D.130S =【答案】AD 【解析】【分析】由已知条件可得160a d +=，然后逐个分析判断即可【详解】因为4862a a a +=，所以11132(7)5a d a d a d +++=+，得160a d +=，即70a =，则A 正确.当10a <时，0d >，则6S ，7S 最小，故B 错误.因为160a d +=，所以16a d =-，所以2(1)13622n S n n d n d ndnd --=-+=，对称轴为132n =，所以58S S =，则C 错误.因为137130S a ==，所以D 正确.故选：AD11.已知函数()23sin cos f x x x x =-，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象关于点π,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭对称C.函数()f x 为偶函数D.若函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位长度后关于y 轴对称，则ϕ可以为2π3【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，利用辅助角公式和周期公式即可判断；对于B ，求出()f x 后利用对称中心点的计算即可判断；对于C ，利用偶函数的判断标准判断即可；对于D ，根据三角函数变换法则进行变换后，利用关于y 轴对称进行判断即可.【详解】因为()2333π33sin cos 222262f x x x x x x x ⎛⎫=-=+-+-⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；当π12x =-时，26π0x -=，所以函数()f x 的图象关于点π,122⎛-- ⎝⎭对称，B 正确；易知函数()f x 的定义域为R ，又()ππ2266f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()π26x f x ⎛⎫≠+-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 不是偶函数，故C 错误；函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位长度后得到的图象对应的函数为()()ππ2226262g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=++-=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由题意，函数()g x 的图象关于y 轴对称，所以ππ2π62k ϕ+=+，k ∈Z ，即ππ26k ϕ=+，k ∈Z ，当1k =时，ππ2π263ϕ=+=，故D 正确．故选：ABD12.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段11C D 上的动点，则下列说法正确的是（）A.平面1BB P ⊥平面ABCDB.BP 的最小值为C.若直线1B P 与1BD 所成角的余弦值为5，则112D P =D.若P 是11C D 的中点，则1AA 到平面1BB P 的距离为5【答案】ABD【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断A ；结合正方体结构特征判断当点P 与1C 重合时，BP 取最小值，即可判断B ；建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间角的向量求法可判断C ；将线面距离转化为点面距离，根据空间距离的向量求法求得点A 到平面1BB P 的距离，即可判断D.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，因为1BB ⊥平面ABCD ，1BB ⊂平面1BB P ，所以平面1BB P ⊥平面ABCD ，故A 正确；连接1BC ，由11D C ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，得111D C BC ⊥，故在11Rt D C B △中，当点P 与1C 重合时，BP取最小值B 正确；如图，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()2,2,0B ，()12,2,2B ，()10,0,2D ，设()0,,2P m ，02m ≤≤，则()12,2,0B P m =-- ，()12,2,2BD =-- ，假设存在点P ，使直线1B P 与1BD所成角的余弦值为5，则111111cos ,5B P BD B P BD B P BD ⋅〈〉== ，解得2m =-（舍去），或1m =，此时点P 是11C D 中点，11D P =，故C 错误；由11AA BB 且1AA ⊄平面1BB P ，1BB ⊂平面1BB P ，知1AA ∥平面1BB P ，则1AA 到平面1BB P 的距离，即为A 到平面1BB P 的距离；P 是11C D 的中点，故()0,1,2P ，()0,2,0AB = ，()12,1,0B P =-- ，()10,0,2BB = ，设平面1BB P 的法向量为(),,m x y z = ，则1100m B P m BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020x y z +=⎧⎨=⎩，取1x =，则=2y -，0z =，故()1,2,0m =- ，所以点A 到平面1BB P的距离为5AB m m ⋅== ，即1AA 到平面1BB P的距离为5，D 正确．故选：ABD 三、填空题：本题共4小题．13.已知函数()sin cos f x x x =+，则π4f ⎛⎫'=⎪⎝⎭______．【答案】0【解析】【分析】求出()f x '，代值计算可得出π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin cos f x x x =+，则()cos sin f x x x '=-，故πππcos sin 0444f ⎛⎫'=-=⎪⎝⎭.故答案为：0.14.若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =__________．【答案】4【解析】【分析】根据等比数列的性质求解即可．【详解】根据等比数列的性质，有21137a a a =，则3171378a a a a ==，解得72a =，所以231174a a a ==．故答案为：4．15.已知()1,3A -，O 为坐标原点，点B （异于O 点）在直线2y x =上，则OA OB OB⋅= ________.【答案】【解析】【分析】由点B （异于O 点）在直线2y x =上设出其坐标，然后得出向量坐标，由数量积公式和模长公式求得答案.【详解】点B （异于O 点）在直线2y x =上，可设(),2B m m ，0m ≠，可得()1,3OA =- ，(),2OB m m = ，则65OA OB m m m ⋅=-=- ，且OB m = ，所以OA OB OB⋅==故答案为：16.已知函数()()sin 1(0)f x x ωω=->图象上相邻两对称轴的距离为π，则函数()y f x =的图象与函数11y x =-（26x -<<，且1)x ≠的图象所有交点的横坐标之和为________.【答案】4【解析】【分析】由题意可知()y f x =和1(26)1y x x =-<<-且1)x ≠的图象关于点()1,0中心对称，作出两函数图象，即可得出答案.【详解】由题知，函数()f x 的最小正周期为2π，2π2πω=，所以1ω=，则()()sin 1f x x =-.又()1sin00f ==，所以()y f x =的图象关于点()1,0中心对称，作出()y f x =和1(261y x x =-<<-，且1)x ≠的图象如图所示，可知两函数图象共有4个交点，且关于点()1,0中心对称，将4个交点从左到右设为12,x x ，34,x x ，则142x x +=，232x x +=故这4个交点的横坐标之和为:224⨯=.故答案为：4四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在递增的等比数列{}n a 中，128a a ⋅=，126a a +=，其中*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若23n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2n n a =；（2）2234n n T n +=+-.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出{}n a 的首项、公比即可作答.（2）利用分组求和法及等比数列前n 项和公式求和作答.【小问1详解】由12128,6a a a a ⋅=+=，等比数列{}n a 是递增数列，得122,4a a ==，因此数列{}n a 的公比212a q a ==，则112n n n a a q -==，所以数列{}n a 的通项公式是2n n a =.【小问2详解】由（1）得，12323n n n b a +=+=+，2124(12323412)n n n n T b b b n n +-=+++=+=+-- .18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 0cos 2c A c a C b c -=-.（1）求角A ；（2）若2a =，求BC 边上高的最大值.【答案】（1）π3A =（2【解析】【分析】（1）用正弦定理边化角即可求解；（2）用余弦定理结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理及cos 0cos 2c A c a C b c -=-，得sin cos sin 0sin cos 2sin sin C A C A C B C-=-.因为sin 0C ≠，所以2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C --=，所以()2sin cos sin 0B A A C -+=，所以2sin cos sin 0B A B -=.因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =.因为0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由（1）及余弦定理得：2242b c bc bc +=+≥，所以4bc ≤，所以1sin 2ABC S bc A =≤ ，当且仅当2b c ==时等号成立，设BC 边上的高为h ，又因为12ABC S a h h =⋅=△，所以h ≤即BC 边上高的最大值为19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，点E 是PD 的中点，1AB =，2AD PA ==．（1）求PC 与AE 所成角的大小；（2）求PC 与平而ACE 所成角的正弦值．【答案】19.π220.69【解析】【分析】（1）以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出PC、AE，利用0⋅= PC AE 可得答案；（2）求出平面ACE 的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案.【小问1详解】AB AD ⊥，又PA ⊥底面ABCD ，AD 、AB ⊂底面ABCD ，PA AD ⊥，PA AB ⊥，故以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,0,2P ，()0,1,1E ，所以()1,2,2PC =- ，()0,1,1AE = ，所以1021210PC AE ⋅=⨯+⨯-⨯= ，所以PC AE ⊥ ，即PC 与AE 所成角的大小为π2；【小问2详解】由（1）知()1,2,2PC =- ，()1,2,0AC = ，()0,1,1AE = ．设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则02000n AC x y y z n AE ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ ，取1y =，则2x =-，1z =-，所以()2,1,1n =-- 是平面ACE 的一个法向量，设PC 与平面ACE 所成角为θ，则sin cos ,9PC n PC n PC n θ⋅===⋅ ，所以PC 与平面ACE 所成角的正弦值为69．20.已知{}n a 为等差数列，6,2,n n na nb a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）23n a n =+（2）2237,22355,22n n n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩为偶数为奇数【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，用1a 、d 表示n S 及n T ，即可求解作答；（2）方法1，利用（1）的结论求出n S 、n b ，再分奇偶求和求出n T 即可；方法2，利用（1）的结论求出n S 、n b ，再分奇偶借助等差数列前n 项和公式求出n T 即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，而6,21,2,2n n n a n k b k a n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ，则112213316,222,626b a b a a d b a a d =-==+=-=+-，于是41314632441216S a d T a d =+=⎧⎨=+-=⎩，解得15,2a d ==，1(1)23n a a n d n =+-=+，所以数列{}n a 的通项公式是23n a n =+；【小问2详解】方法1：由（1）知，2(523)42n n n S n n ++==+，23,21,46,2n n n k b k n n k*-=-⎧=∈⎨+=⎩N ，当n 为偶数时，12(1)34661n n b b n n n -+=--++=+，213(61)372222n n n T n n ++=⋅=+，当n 为奇数时，22113735(1)(1)[4(1)6]52222n n n T T b n n n n n ++=-=+++-++=+-.所以2237,22355,22n n n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩为偶数为奇数.方法2：由（1）知，2(523)42n n n S n n ++==+，23,21,46,2n n n k b k n n k*-=-⎧=∈⎨+=⎩N ，当n 为偶数时，13124()()n n n T b b b b b b -=+++++++ 212(1)3144637222222-+--++=⋅+⋅=+n n n n n n ，当n 为奇数时，若3n ≥，则13241()()n n n T b b b b b b -=+++++++ 1231144(1)612222-+-++-+-=⋅+n n n n 235522n n =+-，显然111T b ==-满足上式，因此当n 为奇数时，235522n T n n =+-.2237,22355,22n n n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩为偶数为奇数.21.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，2AD ED ==，1BF =，60BAD ∠=︒.（1）若G 是BC 的中点，证明：平面DFG ⊥平面ADE ；（2）求二面角A EF C --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用向量法结合坐标运算即可求解.【小问1详解】证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，且60BAD ∠=︒，所以ABD △与BCD △为等边三角形.又BC 中点为G ，所以DG BC ⊥.因为AD BC ∥，所以DG AD ⊥，因为ED ⊥平面ABCD ，DG ⊂平面ABCD ，所以DG ED ⊥.又⋂=ED AD D ，,ED AD ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ADE .因为DG ⊂平面DFG ，所以平面DFG ⊥平面ADE .【小问2详解】解：连接AC ，BD ，设BD ，AC 交于点O ，取EF 中点H ，连接OH ，所以OH ED ∥，OH ⊥底面ABCD .以O 为原点，以OA ，OB ，OH 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则)A，()C ，()0,1,1F ，()0,1,2E -，所以)1,1FA =--，)2EA =-，()1,1FC =--，()2EC =- ，设平面EFA 的一个法向量为()111,,m x y z =，则1111110,0,0,20,y z m FA m EA y z ⎧--=⋅=⎪⇒⎨⋅=+-=⎪⎩令1x =)2m = ；设平面EFC 的一个法向量为()222,,n x y z =，则2222220,0,0,20,y z n FC n EC y z ⎧++=⋅=⎪⇒⎨⋅=-+=⎪⎩令2x =，得)1,2n =-- ；所以1cos ,4m n == ，所以二面角A EF C --4=.22.已知函数()()211e 2x a x f x x +=+.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个不同零点12,x x ，求a 的取值范围，并证明120x x +>.【答案】（1）()1e 1e 02x y --+-=；（2）(),0∞-，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；（2）利用导数研究函数单调性及最值，分类讨论即可判定a 的取值范围，构造差函数证明即可.【小问1详解】当1a =时，()()211e 2e x x x x f x x f x x '+=+⇒=-，易知()()11,1e 12f f '-=-=-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为：()()()11e 11e 1e 022y x x y -=-+⇒--+-=；【小问2详解】由已知可得()e e e x x x ax a f x x x ⎛⎫-=-=⋅ ⎝'⎪⎭，①若a<0，则()00x f x '>⇒>，()00x f x '<⇒<，即()y f x =在()0,∞+上单调递增，(),0∞-上单调递减，()()0f x f a ≥=，又()()110,00,2f f x ∞-=><→+时，()y f x ∞=→+，所以函数存在两个零点；②若0a =时，()212f x x =，显然不符合题意；③若0a >时，令()00,ln f x x x a =⇒=='，当1a >时，令()00'>⇒<f x x 或ln x a >，令()00ln f x x a <⇒<<'，即()y f x =在()0,ln a 上单调递减，(),0∞-和()ln ,a +∞上单调递增，函数极小值为()()21ln ln ln 102f a a a =++>，函数极大值为()00f a =>，此时函数至多有一个零点，不符合题意；当1a =时，()0f x '≥，则()y f x =单调递增，至多一个零点，不符合题意；当10a >>时，令()00f x x '>⇒>或ln x a <，令()00ln f x x a >'⇒，即()y f x =在()ln ,0a 上单调递减，(),ln a -∞和()0,∞+上单调递增，函数极大值为()()211ln ln 1022f a a =++>，函数极小值为()00f a =>，此时函数至多有一个零点，不符合题意；综上所述，a<0时函数有两个零点12,x x ，则12,x x 一正一负，不妨令120x x <<，设()()()()()()()e e x x F x f x f x F x f x f x ax -=--⇒=+-=-'''，令()()e e e e 0x x x x g x g x --'=-⇒=+>，即()y g x =在R 上单调递增，所以()()000x g x g >⇒>=，()()000x g x g <⇒<=，故0x >时，有()0F x '<，0x <时，有()0F x '>，即()()00F x F ≤=，所以()()f x f x ≤-，则()()()122f x f x f x =≤-，又因为()y f x =在(),0∞-上单调递减，故12120x x x x >-⇒+>，证毕.【点睛】第二问关键是分类讨论，通过判断单调性及极值、最值研究函数的零点个数，证明120x x +>可利用构造差函数()()()F x f x f x =--，通过证明()()f x f x ≤-来判定极值点偏移问题.。

高考数学ab卷填空题顺序摘要：一、高考数学AB 卷填空题概述1.高考数学AB 卷填空题的题型特点2.高考数学AB 卷填空题的命题规律二、高考数学AB 卷填空题顺序详解1.高考数学A 卷填空题顺序a.集合与基本初等函数b.函数与导数c.三角函数d.解析几何e.立体几何f.概率与统计2.高考数学B 卷填空题顺序a.复数与向量b.数列c.排列组合与二项式定理d.不等式e.微积分f.逻辑与编程正文：一、高考数学AB 卷填空题概述高考数学AB 卷填空题作为高考数学试卷的重要组成部分，主要考察学生对数学基础知识的掌握程度和解题能力。

通过对近几年的高考试题的分析，我们可以发现高考数学AB 卷填空题有以下几个特点：1.题型多样：高考数学AB 卷填空题涵盖了集合与基本初等函数、函数与导数、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计等多个方面的知识，题型丰富多样。

2.知识覆盖面广：高考数学AB 卷填空题从不同角度考察了数学基础知识，要求学生全面掌握各知识点。

3.难度适中：高考数学AB 卷填空题的难度适中，既考察了学生的基本运算能力，又考察了学生的逻辑推理能力。

二、高考数学AB 卷填空题顺序详解1.高考数学A 卷填空题顺序高考数学A 卷填空题的顺序为：集合与基本初等函数、函数与导数、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计。

具体来说：a.集合与基本初等函数：主要考察集合的运算、函数的基本概念和初等函数的性质等。

b.函数与导数：主要考察函数的性质、函数的极限与连续、导数与微分等。

c.三角函数：主要考察三角函数的性质、三角恒等式、正弦定理、余弦定理等。

d.解析几何：主要考察平面解析几何的基本概念、直线与圆的方程、二次曲线等。

e.立体几何：主要考察空间几何体的表面积与体积、空间直线与平面的位置关系等。

f.概率与统计：主要考察随机事件与概率、随机变量及其分布、统计与概率的应用等。

2.高考数学B 卷填空题顺序高考数学B 卷填空题的顺序为：复数与向量、数列、排列组合与二项式定理、不等式、微积分、逻辑与编程。

贵阳市2024学年数学高三第一学期期末质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ）A ．32y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 4．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++成立，则2414a a a +++=（ ）A ．0B ．5C ．7D ．135．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．26．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知直线y =k (x +1)(k >0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则|FA | =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e = A ．13B ．33C ．12D ．229．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．411．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B 2C 3D ．2212．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A B ．32C ．53D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

哈三中2023-2024学年度上学期高三学年期末考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}21log 1,12xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （ ）A. ()1,2- B. ()1,0- C. ()0,2 D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性、指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由()22log 1log 2020,2x x A <=⇒<<⇒=，由()011100,22x x B ⎛⎫⎛⎫<=⇒>⇒=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A B = ()0,2，故选：C 2. 复数12iiz +=的虚部为（ ）A. 1- B. 2C. i- D. i【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法的运算法则化简为复数的代数形式，即可得到复数虚部.【详解】由()()2212i i 12i 2i i 2i i iz +-+===--=--，所以虚部为-1.故选：A3. 函数()232f x x x =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先求出定义域，再确定为偶函数，最后由特殊值法确定即可.【详解】定义域为0x ≠，()()()223322f x x x f x xx -=-+=+=-为偶函数，采用特殊值法代入，当x 趋近于零时，2x 趋近于零，23x 趋于正无穷；此时()232f x x x =+取值趋于正无穷；当x 趋近于正无穷时，2x 趋近于正无穷，23x 趋于零，此时()232f x x x=+取值趋于正无穷；所以只有B 图像符合；故选：B4. 若()(),1,2,,3a b a b a b m +=-==，则实数m =（ ）A. 6B. 6- C. 3D. 3-【答案】B 【解析】【分析】将a b a b +=- 两边平方，结合数量积的运算律求出a b ⋅ ，再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b +=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅=，即60+=m ，解得6m =-.故选：B.5. 已知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. []1,0-D. (]1,0-【答案】D 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，讨论a 是否为0，结合0a ≠时，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，故当0a =时，2210ax ax +-<，即为10-<，符合题意；当0a ≠时，需满足2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩，解得10a -<<，综合可得实数a 的取值范围是(]1,0-，故选：D6. 若椭圆221259x y +=和双曲线22197x y -=的共同焦点为12,,F F P 是两曲线的一个交点，则12PF F △的面积值为 （ ）A.B.C. D. 8【答案】A 【解析】【分析】设点(),P m n ，根据方程组求点P 的坐标和焦距，进而可得面积.【详解】对于椭圆221259x y +=可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则128F F =，设点(),P m n ，则22221259197m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得=n 所以12PF F △的面积值为182⨯=.故选：A.7. 等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则1015SS =（ ）A.37B.73C.12D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据51051510,,S S S S S --构成等比数列求解即可.【详解】因为{}n a 为等比数列，51013S S =，设510,3,0S k S k k ==>，所以51051510,,S S S S S --构成等比数列.所以15,2,3k k S k -构成等比数列，所以157S k =，所以10153377S k S k ==.故选：A8. 哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行，组委会派甲乙等6名志愿者到,A B 两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同的安排方案总数为（ ）A. 14 B. 20 C. 28 D. 40【答案】C 【解析】【分析】先安排甲乙两人，再根据分组分配的方法安排其余4名志愿者.【详解】先安排甲乙两人，有22A 2=种方法；再安排其余4名志愿者有两类方法，共有122424C A C 14+=种方法，根据分步计数原理可得共有21428⨯=种方法.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，9. 下列说法正确的是（ ）A. 已知111,,,202420232023α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,∞+上递减，则α只能为1-B. 函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012C.函数y =与函数3y x =-是同一个函数D. 已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则函数()22f x +的定义域为[]1,1-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，直接由幂函数的奇偶性、单调性即可验证；对于B ，由复合函数单调性以及复合对数函数的定义域即可验证；对于C ，定义域都是全体实数，且对应法则也一样，由此即可判断；对于D ，由抽象函数定义域的求法即可验证.【详解】对于A ，当1α=-时，幂函数()1f x x xα==奇函数，且在()0,∞+上递减，满足题意，当12023α=时，幂函数()1f x x x α==在()0,∞+上递增，不满足题意，当12023α=-时，幂函数()f x x α==()0,∞+上递减，满足题意，当2024α=-时，幂函数()20241f x x xα==为偶函数，在()0,∞+上递减，不满足题意，故A 错误；对于B ，12log y t =关于t 在定义域内单调递减，若函数()212log 20242023y x x =-+-关于x 在定义域内单调递减，则由复合函数单调性可知220242023x x t -+-=关于x 单调递增，而二次函数220242023x x t -+-=开口向下，对称轴为2012x =，所以22024202302012x x x ⎧-+->⎨<⎩，解得12012x <<，所以函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012，故B 正确；对于C ，()13333y x x ⎡⎤==-=-⎣⎦，故C 选项正确，对于D ，若函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则[][]1,1,211,3x x ∈-+∈-，所以函数()22f x +的定义域满足[]221,3x +∈-，解得[]1,1x ∈-，故D 正确.故选：BCD.10. 已知正数,a b ，2a b +=，且a b >，则下列说法正确的是（ ）为A.1b a> B. e e a b a b+>+ C.114a b+> D.1<【答案】AB 【解析】【分析】选项A ，将不等式1b a>等价转化为1ab <，由于和式为定值，判断积的取值范围即可；对于选项B ，需要研究函数e x y =的单调性，即可判断不等式；对于选项C ，1111()2a b a b a b ++=+⨯，应用基本不等式即可；对于选项D 平方，2a b =++，判断积的取值范围即可；【详解】对于选项A ，1b a>等价1ab <，2a b =+≥1≤，其中a b >1<，1ab <，不等式成立，选项A 正确；对于选项B ，因为e 1>，指数函数e x y =是增函数，且a b >，所以e e a b >所以e e a b a b +>+，选项B 正确；对于选项C ，1111()112222a b b a a b a b a b ++=+⨯=++≥+=，由于a b >，22b a a b ≠，等号取不到，112a b+>，选项C 不正确；对于选项D ，22()4a b a b +=++≤+=，由于a b >，等号取不到，所以24<2<，选项D 不正确；故选：AB.11. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的有（ ）A. 11//AC 平面1B CDB. 点1C 到平面1B CDC. 当P 在线段11C D 上运动时，三棱锥11A B PC -的体积不变D. 若Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,E F 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF +的最小值【答案】BCD【解析】【分析】对于A 通过观察可得直线11A C 与平面有公共点1A 所以A 不正确；对于B 利用等体积法计算点到平面距离；对于C 观察到点P 到平面11A B C 的距离为定值，确定三棱锥11A B PC -的体积不变；对于D 利用线段1AC 关于平面11BCC B 的对称直线，将QE QF +转化，利用两点间线段距离最短求解.【详解】对于A ，因为平面1B CD 也就是平面11A B CD 与直线11A C 有公共点1A ，所以A 选项不正确. 对于B ，设点1C 到平面1B CD 的距离为h ，由1111C B CD D CC B V V --=得11111133B CD CC B S h S ⨯=⨯ ，由已知易得11,CD B C D ===则1B CD △是直角三角形，所以1B CD S =112C CD S =，解得h =.故B 选项正确对于C ，设点P 到平面11A B C 的距离为h ，易知点P 所在的直线11C D 与平面11A B C 平行，则点P 到平面11A B C 的距离为定值，因为11111113A B PC P A B C A B C V V S h --==⨯ ，其中11A B C S 也为定值，故C 选项正确.对于D ，如图1QE QF QE QF +=+，当1E Q F 、、共线的时候1QE QF EF +=最小，在1AC M 中222111111cos 23C A C M AMAC M C A C M+-∠==，由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=，所以1EF =，所以QE QF +有最小值，故D 正确.故选：BCD12. 已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2，()f x 的最小正周期为π，将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象，则下列结论正确的是（ ）A. π6x =是()f x 图象的一条对称轴 B. ()π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. π2g x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 D. 方程()2lg 0g x x -=有3个实数解【答案】ACD 【解析】【分析】由()f x 最小正周期为π，求出ω，由最值点和最值，求出,a b ，得()f x 的解析式，判断AB 选项；由函数图象的变换，求()g x 的解析式，验证C 选项，数形结合验证D 选项．【详解】()()cos sin f x a x b x x ωωωϕ=+=-，其中tan b aϕ=，()f x 的最小正周期为πT =，则有2π2π2πT ω===，故()()2f x x ϕ=-，函数()f x 在π6x =处取得最大值2，则πππcos sin 26332f a b ⎧⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭=，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩()πcos22cos 23f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，B 选项错误；函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π6x =处取得最大值2，则π6x =是()f x 图象的一条对称轴，A 选项正确；将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得函数π2cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()2cos g x x =的图象，ππ2cos 2sin 22g x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数为奇函数，C 选项正确；在同一直角坐标系下作出函数()2cos g x x =和函数2lg y x =的图象，如图所示，的两个函数图象有3个交点，可知方程()2lg 0g x x -=有3个实数解，D 选项正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知α为第二象限角，2sin 3α=，则tan2α=_______．【答案】-【解析】【分析】根据同角三角函数的关系式，结合正切的二倍角公式即可求得.【详解】因为2sin 3α=，α为第二象限角，所以cos ===α则sin tan cos ===ααα22tan tan21tan ααα=-2⎛⨯==-故答案为：-14. 已知边长为2的等边三角形ABC 所在平面外一点,S D 是AB 边的中点，满足SD 垂直平面ABC，且SD =S ABC -外接球的体积为_______．【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出球心坐标，根据外接球的性质，列出方程组，即可求出外接球的半径，从而求得三棱锥S ABC -外接球的体积.【详解】因为SD 垂直平面ABC ，ABC 为等边三角形，且D 是AB 边的中点，以D 为坐标原点，分别以,,DB DC DS 所在的直线为x 轴，y 轴，z轴，建系如图，设三棱锥S ABC -外接球的球心(),,O x y z ，半径为R ，因为2AB BC AC ===，则DC ===，又因为SD =(S ，()1,0,0B ，()1,0,0A -，()C ，则====OS OA OB OC R ，即RRR R ====，解得0x y z R =⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩所以三棱锥S ABC -外接球的体积3344R 33V ππ===.15. 直线l 与抛物线24x y =交于,A B 两点且3AB =，则AB 的中点到x 轴的最短距离为_______．【答案】916【解析】【分析】设出直线方程，利用弦长得到两个变量间的关系式，结合函数单调性可得答案.【详解】设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ；联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，2440x kx m --=，216160k m ∆=+>，12124,4x x k x x m +==-.AB ==因为3AB =3=，整理可得()229161m k k =-+.由()21212242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离为()2212292112161y y k m k k +=+=++-+设21t k =+，则1t ≥，1291216y y t t +=+-，由对勾函数的单调性可得129216y y +≥，当且仅当0k =时，取到最小值916.故答案为：91616. 设()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，对任意的()12,0,x x ∈+∞满足()()1221120x f x x f x x x ->-且()315f =，则不等式()5f x x >的解集为_______．【答案】(,3)(0,3)-∞-⋃【解析】【分析】根据题意可设()(),0f x g x x x=≠，结合()f x 的奇偶性判断()g x 的奇偶性，再结合题设判断()g x 的单调情况，进而结合不等式()5f x x >，讨论x 的正负，结合()g x 的单调情况，分类求解，即可得答案.【详解】设()(),0f x g x x x=≠，而()f x 是定义在()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数，即()()f x f x -=-，故()()()()f x f x g x g x xx---===--，即()(),0f x g x x x=≠为偶函数；对任意的()12,0,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()()()121212f x f xg x g x x x -=-()()211212x f x x f x x x -=，又对任意的()12,0,x x ∞∈+满足()()1221120x f x x f x x x ->-，当12x x <时，120x x -<，则()()12210x f x x f x -<，即()()21120x f x x f x ->，而120x x >，故()()()()1212120,f x f x g x g x x x ->∴>，则()g x 在()0,∞+上单调递减，又()g x 为偶函数，故()g x 在(),0∞-上单调递增，()315f =，故()3(3)53f g ==，则(3)5g -=-，而不等式()5f x x >，即为不等式()50f x x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩或()50f x x x ⎧<⎪⎨⎪<⎩，即()5(3)0g x g x >=⎧⎨>⎩或()5(3)g x g x <=-⎧⎨<⎩，故03x <<或3x <-，即不等式()5f x x >的解集为(,3)(0,3)-∞-⋃，故答案为：(,3)(0,3)-∞-⋃【点睛】方法点睛：诸如此类抽象函数的问题，解答时要结合题设构造出函数，由此判断出其奇偶性和单.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c)sin b C C =-．（1）求角B ；（2）D 为AC 边上一点，DB BA ⊥，且4AD DC =，求cos C 的值．【答案】（1）2π3； （2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后由三角形内角和定理与和差公式化简整理即可求解；（2）BCD △和Rt ABD 分别根据正弦定理和三角函数定义列式，联立整理得2c a =，再由余弦定理求得b =，然后可解.在【小问1详解】)sinb C C=-，)sin sinA B C C=-，又()()sin sinπsin sin cos cos sinA B C B C B C B C⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，)cos sin sin sinB C B C B C C+=-，整理得)πsin sin2sin sin03C B B C B⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，因为()0,π,sin0C C∈>，所以πsin03B⎛⎫+=⎪⎝⎭，又()ππ4π0,π,,333B B⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3B+=，即2π3B=.【小问2详解】由（1）知B，因为DB BA⊥，所以π6CBD∠=，记BDCθ∠=，则πBDAθ∠=-，在BCD△中，由正弦定理得πsinsin6CD aθ=，得2sinaCDθ=，在Rt ABD中，有()sinπsinc cADθθ==-，因为4AD DC=，所以2sin sinc aθθ=，得2c a=，在ABC中，由余弦定理可得22222π422cos73b a a a a a=+-⨯=，即b=，所以cos C==18. 已知{}n a是公差不为零的等差数列，11a=，且125,,a a a成等比数列．（1）求数列{}n a的通项公式；.（2）若114(1)n n n n nb a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】（1）21n a n =- （2）101220242025T =【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-=-.【小问2详解】由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点为12,A A ，点G 是椭圆C 的上顶点，直线2A G 与圆2283x y +=相切，且椭圆C．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于A B 、两点，若点()0,M m ，且MA MB =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22184x y +=（2）[【解析】【分析】（1）先由离心率得出a =，再由直线2A G 与圆2283x y +=相切得到圆心(0,0)O 到直线2A G 的距离等于半径得出2222883a b a b +=，联立即得椭圆方程；（2）依题设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，得出韦达定理，求出AB 的中点H 坐标，利用条件MA MB =判断MH 是直线AB 的中垂线，求出方程，将求m 的取值范围转化成求关于t 的函数的值域问题即得.【小问1详解】由c a =可得：a =①因2(,0),(0,)A a G b ，则2:1A Gx y l a b +=即：0bx ay ab +-=，又因直线2A G 与圆2283x y +==2222883a b a b +=②，联立①②，可解得：2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为：22184x y +=.【小问2详解】如图，因直线l 与x 轴不重合，椭圆焦点为(2,0)F ，故可设:2l x ty =+，由222184x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x整理得：22(2)440t y ty ++-=，易得：0∆>，不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，则有12212242,42t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩设AB 中点为00(,)H x y ，则：1202222y y t y t +==-+,1212022()442()222222x x t y y t t x t t ++==+=⋅-+=++，即：2242(,)22t H t t -++，因MA MB =，则MH 为直线AB 的中垂线.又因直线AB 的斜率为1t，故直线AB 的中垂线MH 的斜率为t -，于是2224:()22MH t l y t x t t +=--++，因()0,M m ，则有：222422222t t tm t t t =-=+++，①当0=t 时，0m =，此时直线:2l x =，点(0,0)M ，符合题意；②当0t ≠时，22m t t=+，若0t >，则2t t +≥可得m ∈，当且仅当t =时取等号；若0t <，则2t t +≤-,可得[m ∈，当且仅当t =.综上，实数m的取值范围为[.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//,4,2,60AB CD AB BC CD BP DP BCD ︒=====∠=，AD PD ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若线段PC 上存在点F ，满足CF FP λ= ，且平面BDF 与平面ADP实数λ的值．【答案】（1）证明见解析（2）2λ=【解析】【分析】（1）要证面面垂直，需证线面垂直，就是要证AD ⊥平面PBD ，再进一步判断面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用向量的方法求解.【小问1详解】如图：因为2CB CD ==，60BCD ∠=︒，所以BCD △为等边三角形，2BD =又//AB CD ，所以60ABD BDC ∠=∠=︒，又4AB =，所以22212··cos 60164242122AD AB BD AB BD =+-︒=+-⨯⨯⨯=.因为222AD BD AB +=，所以ABD △为直角三角形，AD BD ⊥.又AD PD ⊥，BD ，PD 为平面PBD 内的两条相交直线，所以AD ⊥平面PBD ，AD ⊂ABCD ，所以：平面PBD ⊥平面ABCD .【小问2详解】取BD 中点O ，AB 中点E ，因为PB PD =⇒PO BD ⊥，又平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，PO ⊂平面PBD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又OE BD ⊥，故以O 为原点，建立如图空间直角坐标系，所以()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,3P ，)E，()1,0A -，()C .设(),,F x y z ，因为CF FPλ=⇒()(),,,3x y z x y z λ+=---⇒()3x xy y z z λλλ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩解得031x y z λλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，所以31F λλ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭.设平面ADP 的法向量为()111,,m x y z =，则m AD m DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0m AD m DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒()()()()111111,,0,,0,1,30x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒111030x y z =⎧⎨+=⎩，取()0,3,1m =- ；设平面BDF 的法向量为()222,,n x y z = ，则n BD n BF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒()()()222222,,0,2,003,,1,01x y z x y z λλ⎧⋅-=⎪⎛⎫⎨⋅-= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⇒222030y z λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取),0,1n =.那么⋅=m n ()0,3,1-⋅),0,11=-，m =，n = .由m n m n ⋅=⋅⇒231λ+=⇒24λ=，又0λ>，所以2λ=.【点睛】关键点睛：根据CF FP λ=，和点C 、F 的坐标，求F 点坐标是本题的一个关键.21. 圆G经过点(()2,,4,0-，圆心在直线y x =上．（1）求圆G 的标准方程；（2）若圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，A 为直线:16l x =上的动点，直线,AM AN 与曲线圆G 的另一个交点分别为,E F ，求证直线EF 经过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）2216x y +=（2）证明见详解，直线EF 过定点()1,0【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；（2）设出直线AM 的方程和直线AN 的方程，分别与圆的方程联立写出E F 、的坐标，进而写出直线EF的方程，化简即可证明直线EF 经过定点，并求出定点的坐标.【小问1详解】因为圆心在直线y x =上，设圆心为(),,a a 又因为圆G经过点(()2,,4,0-则()(()222224a a a a -+-=++，解得0a =，所以圆心()0,0,4=，所以圆G 的标准方程为2216x y +=【小问2详解】由圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，不妨设()()4,0,4,0M N -，又A 为直线:16l x =上的动点，设()()16,0A t t ≠，则,,2012==AM AN t t k k 则AM 方程为()420t y x =+，AN 方程为()412ty x =-，设()()1122,,,E x y F x y ，联立方程()2242016t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22224008164000t x t x t +++-=，所以()212164004400t x t --=+，即()211224400160,400400t t xy t t --==++，即()2224400160,400400t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.联立方程()2241216t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22221448161440t x t x t +-+-=，所以()222161444144t x t -=+，即()22222414496,144144t t x y t t --==++，即()222414496,144144t t F t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.所以()()2222221609640014444004144400144EFt tt t k t t t t --++=----++232240=-t t，所以直线EF 的方程为()222241449632,144240144t t t y x t t t ⎛⎫-- ⎪-=- ⎪+-+⎝⎭化简得()2321,240ty x t =--所以直线EF 过定点()1,0.22. 已知函数()()()22e e e ,,e 12x x x xf xg xh x x -+===+．（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当0x >时，试比较()()(),,f x g x h x 的大小关系，并说明理由；（3）设n *∈N ，求证：1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--．【答案】（1）e e 44y x =+ （2）()()()f x g x h x <<；理由见解析； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1（2）构造函数，利用导数确定函数的单调性，求出最值，即可判定结论；（3）构造函数，结合数列知识求和即可证明结论.【小问1详解】由()e1xf x x =+得，()()2e 1xx f x x '=+，所以()f x 在1x =处的切线的斜率()e 14k f ='=，切点e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以所求切线方程：()e e124y x -=-，即e e 44y x =+；【小问2详解】结论：()()()f x g x h x <<；理由如下：要证()()f x g x <，即证e e e 12x x x x -+<+，只需证()()2e 1e e x x xx -<++，为令()()()2e 1e e x x x x x ϕ-=-++，则()()()()()2e e e 1e -e ee x x x x x x x x x x ϕ---=-+-+=-'，当0x >时，1x e -<，e 1x >，故()0x ϕ'<，所以()()()2e 1e e xx x x x ϕ-=-++在0x >时单调递减，所以()()00x ϕϕ<=，即()()2e 1e e 0x x x x --++<，所以e e e 12x x xx -+<+，故()()f x g x <；要证()()g x h x <，即证22e ee 2x x x -+<，只需证22e e ln ln e 2x x x -+<，令()222e e e e 1ln ln e ln 222x x x x x v x x --++=-=-，则()e e e e x x x x v x x ---=-+'，令()e e e ex xx x w x x ---=-+，则()()241e e x x w x -=-+'，当0x >时，e e 2x x -+>，从而()2e 4x ->，故()()2410e e x x w x -=-'<+，所以()e e e ex xx x v x x ---=-+'在0x >时单调递减，所以()()00v x v ''<=，从而()2e e 1ln 22x x v x x -+=-在0x >时单调递减，所以()()00v x v <=，即22e e ln ln e 20x x x -+-<，即22e e ln ln e 2x x x -+<所以22e ee 2x x x -+<，故()()g x h x <，又因为()()f xg x <，所以()()()f x g xh x <<.【小问3详解】令()()()ln 101x u x x x x =-+>+，则()()()22110111x u x x x x -=-=<+++'所以()()ln 11x u x x x =-++在当0x >时单调递减，所以()()00u x u <=，所以()ln 11x x x <++，即()1ln 111x x <++，令1x n =，则有()11ln 1ln 1ln 1n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪+⎝⎭，即()1ln 1ln 1n n n <+-+，所以()()1ln 2ln 12n n n <+-++，()()1ln 3ln 23n n n <+-++，⋯()1ln 2ln 212n n n<--，所以111ln 2ln ln 2112n n n n n++<-=++ ，所以111111234212n n-+-+⋅⋅⋅+--11111111223421242n n ⎛⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪-⎝⎝⎭1111111112342122n n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以11111111112342121112n n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=+++-+++ ，因为1111ln 21112n n n n+++<+++ ，所以111111ln 2234212n n -+-+⋅⋅⋅+-<-；下面先证当0x >时，ln 1≤-x x ，令()()1ln 0p x x x x =-->，()111x p x x x'-=-=，令()0p x '>，则1x >，所以()1ln p x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10p x p ≥=，从而()1ln 0p x x x =--≥，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时，ln 1x x =-，所以当0x >时，()ln 1x x +<，令1x n =，则有11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()1ln 1ln n n n+-<，所以()()1ln 2ln 11n n n +-+<+，()()1ln 3ln 22n n n +-+<+，⋯()()1ln 2ln 2121n n n --<-，所以()1111ln 2ln 1221n n n n n n -<++++++- ，即111ln 2121n n n ++++>+- ，因为1111123421n -+-+⋅⋅⋅+-111111112234212422n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭111111112342121n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以111111111234211221n n n n n -+-+⋅⋅⋅+=++++-++- ，因为1111ln 21221n n n n ++++>++- ，所以11111ln 223421n -+-+⋅⋅⋅+>-，综上所述，1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

海淀区2023-2024学年第一学期期末练习高三数学 2024.01本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()UA B =（ ）A. {}2,4,5,6B. {}4,6C. {}2,4,6D. {}2,5,62. 如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（ ）A. i −B. 1−C. 3i −D. 3−3. 已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay −+=，且12l l ∥，则=a （ ） A. 1B. 1−C. 4D. 4−4. 已知抛物线2:8C y x =的焦点为，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（ ）A. B. 4C. 5D. 5. 在正四棱锥P ABCD −中，2AB =，二面角P CD A −−的大小为π4，则该四棱锥的体积为（ ） A. 4B. 2C.43D.236. 已知圆22:210C x x y ++−=，直线()10mx n y +−=与圆C 交于A ，B 两点.若ABC 为直角三角形，则（ ） A. 0mn = B. 0−=m n C. 0m n +=D. 2230m n −=7. 若关于x 的方程log 0xa x a −=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（ ）A. 10B. eC. 2D.548. 已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0αα−>”是“120k k >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，n S 为其前n 项和.若对任意的*N n ∈，11n a S q<−恒成立，则（ ） A. {}n a 是递增数列 B. {}n a 是递减数列 C. {}n S 是递增数列D. {}n S 是递减数列10. 蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成.设1BC =，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈，则上顶的面积为（ ）（参考数据：1cos 3θ=−，tan 2θ=A. B.2C.2D.4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 在51x ⎫⎪⎭的展开式中，x 的系数为__________.12. 已知双曲线221x my −=0y −=,则该双曲线的离心率为__________. 13. 已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=__________；点C 到直线AB 的距离为__________.14. 已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数,公差为d ,则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和()1,2,n =的一组1a ,d 的值为1a =__________,d =__________.15. 已知函数()cos f x x a =+.给出下列四个结论： ①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2； ②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2+−=f x f x a ； ③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，在四棱柱111ABCD A B C D −中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥.（1）求证：1//C M 平面11ADD A ；（2）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值.17. 在ABC 中，2cos 2c A b a =−. （1）求C ∠的大小；（2）若c =ABC 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC 的面积为 ②：1sin sin 2B A −=；条件 ③：2222b a −=.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18. 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系.19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点()3,0A ，焦距为（1）求椭圆E 的方程，并求其短轴长；（2）过点()1,0P 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆E 于两点C ，D ，连接CO 并延长交椭圆E 于点M ，直线AM 与l 交于点N ，Q 为OD 的中点，其中O 为原点.设直线NQ 的斜率为k ，求k 的最大值.20. 已知函数()2sin f x ax x x b =−+.（1）当1a =时，求证： ①当0x >时，()f x b >； ②函数()f x 有唯一极值点；（2）若曲线1C 与曲线2C 在某公共点处的切线重合，则称该切线为1C 和2C 的“优切线”.若曲线()y f x =与曲线cos y x =−存在两条互相垂直的“优切线”，求a ，b 的值.21. 对于给定的奇数()3m m ≥，设A 是由m m ⨯个实数组成的m 行m 列的数表，且A 中所有数不全相同，A 中第i 行第j 列的数{}1,1ij a ∈−，记()r i 为A 的第i 行各数之和，()c j 为A 的第j 列各数之和，其中{},1,2,,i j m ∈.记()()()()2122m r r r m f A −+++=.设集合(){(),0ij H i j a r i =⋅<或(){}}0,,1,2,,ij a c j i j m ⋅<∈，记()H A 为集合H 所含元素的个数.（1）对以下两个数表1A ，2A ，写出()1f A ，()1H A ，()2f A ，()2H A 的值；（2）若()()()1,2,,r r r m 中恰有s 个正数，()()()1,2,,c c c m 中恰有t 个正数.求证：()2H A mt ms ts ≥+−；（3）当5m =时，求()()H A f A 的最小值.高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页）海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）A （2）D （3）B （4）D （5）C （6）A（7）D（8）B（9）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （ 11 ）5-（12）2（13）1-（14）1 1（答案不唯一）（15）②④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD .在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形， 所以11//C D CD ，11C D CD =. 因为//AB CD ，12CD AB =，M 为AB 中点， 所以//CD AM ，CD AM =. 所以11//C D AM ，11C D AM =. 所以四边形11MAD C 为平行四边形. 所以11//MC AD . 因为1C M ⊄平面11ADD A ， 所以1//C M 平面11ADD A ．（Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥.因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ， 所以1AA ⊥平面ABCD . 所以1AA ⊥AD .因为1AD B M ⊥, 1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，MD 1C 1B 1A 1DC BA高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页）所以AD ⊥平面11ABB A . 所以AD ⊥AB .如图建立空间直角坐标系A xyz -. 不妨设1AD =，则(0,0,0)A ，1(1,2,1)C ，1(0,2,2)B ，(0,0,1)M . 所以1(1,2,1)AC =，11(1,0,1)C B =-，1(1,2,0)MC =.设平面11MB C 的法向量为 (,,)x y z =n ，则1110,0,C B MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩ 令2x =，则1y =-，2z =.于是(2,1,2)=-n .因为111cos ,|||AC AC AC ⋅<>==⋅n n n |，所以直线1AC 与平面11MB C高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及2cos 2c A b a =-，得 2sin cos 2sin sin C A B A =-. ①因为πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+. ② 由①②得2sin cos sin 0A C A -=. 因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =. 因为(0,π)C ∈， 所以π3C =. （Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=. 由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠. 所以2πsin sin sin()sin 3B A A A -=--11sin sin sin 22A A A A A +-=- πsin()3A =-.所以π1sin()32A -=.因为2π(0,)3A ∈，所以πππ(,)333A -∈-. 所以ππ36A -=，即π6A =. 所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =，所以2sin sin 3AB AC C ===.高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页）所以AC 边上的中线的长为1. 选条件③：2222b a -=. 由余弦定理得223a b ab +-=.AC 设边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b abd a C =+-⋅2242b aba =+-2222234a b b a =-+-+ 1=.所以AC 边上的中线的长为1.（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则 3()10P A =.（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以X 的所有可能取值为0，1，2．2024261(0)15C C P X C ===，1124268(1)15C C P X C ⋅===，0224262(2)5C C P X C ===. 所以X 的分布列为所以()012151553E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）213()()()D Y D Y D Y >>.高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 9 页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3=a，2=c所以=c 2224=-=b a c ．所以椭圆E 的方程为22194+=x y ，其短轴长为4． （Ⅱ）设直线CD 的方程为1=+x my ， 11(,)C x y ，22(,)D x y ，则11(,)--M x y .由221,941⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y x my 得22(49)8320m y my ++-=. 所以122849-+=+my y m . 由(3,0)A 得直线AM 的方程为11(3)3=-+y y x x . 由11(3),31⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩y y x x x my 得11123y y x my -=+-.因为111=+x my ， 所以12y y =-，112()122y my x m -=-+=.所以112(,)22my yN --. 因为Q 为OD 的中点，且221=+x my ， 所以221(,)22my y Q +. 所以直线NQ 的斜率21221222121288492212()1812912249m y y y y m m k my my m y y m m m -+++====+-+--+--+. 当0m ≤时，0k ≤.高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页）当0m >时，因为912m m +≥=2m =时，等号成立.所以28129m k m =≤+.所以当m k（20）（共15分）解：（Ⅰ）①当1=a 时，2()sin (sin )f x x x x b x x x b =-+=-+.记()sin =-g x x x （0x ≥），则'()1cos 0=-≥g x x . 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数. 所以当0>x 时，()(0)0>=g x g .所以当0>x 时，()(sin )f x x x x b b =-+>.②由2()sin =-+f x x x x b 得'()2sin cos f x x x x x =--，且'(0)0=f . 当0>x 时，'()(1cos )sin =-+-f x x x x x . 因为1cos 0-≥x ，sin 0->x x ， 所以'()0>f x .因为'()'()-=-f x f x 对任意∈R x 恒成立， 所以当0<x 时，'()0<f x . 所以0是()f x 的唯一极值点.（Ⅱ）设曲线()=y f x 与曲线cos =-y x 的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121=-k k . 因为(cos )'sin x x -=， 所以1212sin sin 1⋅==-x x k k . 所以12{sin ,sin }{1,1}=-x x . 不妨设1sin 1=x ，则122π=π+x k ，∈Z k . 因为111111'()2sin cos ==--k f x ax x x x ，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin --=ax x x x x .高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 9 页）所以1124==π+πa x k ，∈Z k . 由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-， 所以0=b . 当24=π+πa k ，∈Z k ，0=b 时，取122π=π+x k ，222π=-π-x k ，则11()cos 0=-=f x x ，22()cos 0=-=f x x ，11'()sin 1==f x x ，22'()sin 1==-f x x ，符合题意. 所以24=π+πa k ，∈Z k ，0=b .（21）（共15分）解：（Ⅰ）1()10f A =,1()12H A =； 2()12f A =，2()15H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变. 因为m 为奇数，{1,1}ij a ∈-，所以(1),(2),,()r r r m ，(1),(2),,()c c c m 均不为0.（Ⅱ）当{0,}s m ∈或{0,}t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =.若0t =，结论显然成立； 若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =，则(,)i j H ∈，1,2,,i m =，1,2,,j t =.所以()H A mt ≥，结论成立.当{0,}s m ∉且{0,}t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =，()0c j >，1,2,,j t =，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <. 因为当1,2,,i s =，1,2,,j t t m =++时，()0r i >，()0c j <，所以2(())(())()()0ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅⋅⋅=⋅⋅<.高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 9 页）所以(,)i j H ∈.同理可得：(,)i j H ∈，1,2,,i s s m =++，1,2,,j t =.所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-. （Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89. 对于如下的数表A ，()8()9H A f A =. 下面证明：()8()9H A f A ≥. 设(1)r ，(2)r ，…，()r m 中恰有s 个正数，(1)c ，(2)c ，…，()c m 中恰有t 个正数，,{0,1,2,3,4,5}s t ∈.①若{0,5}s ∈或{0,5}t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =.所以当1ij a =时，(,)i j H ∈.由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且25(1)(2)(5)25(25)()22r r r a a f A a +++++--===，()H A a ≥.所以()81()9H A f A ≥>. ②由①设{0,5}s ∉且{0,5}t ∉.若{2,3}s ∈或{2,3}t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥.因为25|(1)(2)(5)|0()122r r r f A -+++<=≤，所以()118()129H A f A ≥>. ③由①②设{0,2,3,5}s ∉且{0,2,3,5}t ∉.若{,}{1,4}s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=. 因为0()12f A <≤， 所以()178()129H A f A ≥>.高三年级（数学）参考答案 第 9 页（共 9 页）若s t =，{1,4}s ∈，不妨设1s t ==，(1)0r >，(1)0c >，且()1()H A f A <，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥.所以()()8f A H A >≥.若数表A 中存在ij a （,{2,3,4,5}i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表'A . 因为(')()1H A H A =-，(')()1f A f A ≥-， 所以(')()1()(')()1()H A H A H A f A f A f A -≤<-. 所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小. 所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）. 因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤， 所以()8()9H A f A ≥.。