高三第二次模拟考试文数试题

2024年高考第二次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合(){}{}ln 3,1A x y x Bx x ==−=≤−，则()A B =R （ ）A ．{}13x x −<≤B ．{}1x x >− C ．{1x x ≤−,或}3x >D ．{}3x x >2.已知复数i z a b =+（a ∈R ，b ∈R 且a b ），且2z 为纯虚数，则zz=（ ） A ．1B ．1−C ．iD ．i −3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b + 在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A ． jB ． j −C ． 2jD ． 2j −4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A ．60 B ．114 C ．278 D ．3366.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A ． ()5,11,3 −−∪−+∞B ． [)5,1,3−∞−∪+∞C ． (][) ,21,−∞−∪+∞D ． [)()2,11,−−−+∞7.已知ABC ∆中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A ． 4πB ． 6πC ． 8πD ． 9π8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G 的四边均与椭圆22:164x y M +=相切，则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆MB ．椭圆M 的蒙日圆方程为2210x y +=C ．若G 为正方形，则G 的边长为D ．长方形G 的面积的最大值为18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得60分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的是（ ） A ．MN 的最小值是6 B ．若点5,22P，则MF MP +的最小值是4C ．113MF NF+= D ．若18MF NF ⋅=，则直线MN 的斜率为1± 10.已知双曲线()222:102x y E a a−=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ）A ． 若E 的两条渐近线相互垂直，则a =B． 若E E 的实轴长为1C ． 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅=D ． 当a 变化时，1F PQ 周长的最小值为11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ） A ．11B D 与EF 是异面直线B ．存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APBC ．1A F 与平面1B EBD ．点1B 到平面1A EF 的距离为45三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为13.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.14. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对于任意的*n ∈N 都有321n n S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项中的最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，求数列{}n b 的前20项和20T ．16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X 表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n 表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求X 的分布列；（2）若满足()0.6P X n ≥≤的n 的最小值为0n ，求0n ；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较01nn =−与0n n =哪种方案更优.17．（15分）如图,在三棱柱111ABC A B C −中,直线1C B ⊥平面ABC,平面11AA C C ⊥平面11BB C C .(1)求证:1AC BB ⊥;(2)若12AC BC BC ===,在棱11A B 上是否存在一点P ,使二面角1P BC C −−?若存在,求111B PA B 的值;若不存在,请说明理由.18．（17分）已知函数()ln =−+f x x x a ．(1)若直线(e 1)yx =−与函数()f x 的图象相切，求实数a 的值； (2)若函数()()g x xf x =有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，证明：12121ln()x x x x +>+．（e 为自然对数的底数）．19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q,P 的距离之比()||0,1,||MQ MP λλλλ=>≠是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为224x y +=,定点分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点F 与右顶点A,且椭圆C 的离心率为1.2e = (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于B ,D(点B 在x 轴上方),点S,T 是椭圆C 上异于B,D 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分.BTD ∠（1）求||||BF DF 的取值范围；（2）将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为818π,求直线l 的方程.2024年高考第二次模拟考试高三数学全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．{13x x −<≤B ．{1x x >− C.{1x x ≤−,或}3x >D ．{3x x >【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可， 【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤−，又{}1B x x =>−R 则(){}1A B x x ∪=>−R ，故选：B.A ．1B ．1−C ．iD ．i −【答案】D【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=−+，又因为2z 为纯虚数，所以2220a b ab −= ≠，即0a b =≠（舍）或0a b =−≠， 所以i z a a =−，所以i z a a =+， 所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z −−−====−+++−. 故选：D3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A. jB. j −C. 2jD. 2j −【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t −−=，求得2t =−，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b j jj j+⋅⋅ ，计算即可得解. 【详解】由向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a与b共线，则240t −−=，所以2t =−，(1,2)a b +=−，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为： ()(1,2)(0,1)21a b j j j j j j+⋅−⋅⋅=⋅=， 故选：C4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>， 当a<0时，由1ab >，得10b a<<； 所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件. 因为01010a b ab a a>>>⇔− > ，所以1ab >， 所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题. 5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A.60 B.114 C.278 D.336【答案】D【解析】命题意图 本题考查排列与组合的应用.录用3人，有 353360C A = 种情况；录用4 人，有 4232354333162C C A C A −=种情况；录用 5 人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A −+−=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A. ()5,11,3 −−∪−+∞B. [)5,1,3−∞−∪+∞C. (][) ,21,−∞−∪+∞D. [)()2,11,−−−+∞【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥°，由此可求解. 【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a −+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=°.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形， 则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥°，故1sin sin 302r MPDPD ∠=≥°=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +−≥，解得[)5,1,3a∈−∞−∪+∞.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A. 4π B. 6πC. 8πD. 9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥−P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积． 【详解】三棱锥−P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ，∴sin PA PQ θ==≤PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1， 直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°， 所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°， 则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径R OB =，∴三棱锥−P ABC 的外接球的表面积224π4π6πS R ==×=．故选：B ．8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相【分析】由椭圆标准方程求得,a b 后再求得c ，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a =2b =，则c ，离心率为e =A 正确；当长方形G 的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，因此蒙，圆方程为2210x y +=，B 正确； 设矩形的边长分别为,m n ，因此22402m n mn +=≥，即20mn ≤，当且仅当m n =时取等号，所以长方形G 的面积的最大值是20，此时该长方形G 为正方形，边长为C 正确，D 错误． 故选：D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的【分析】A ，根据12||=MN x x p ++结合基本不等式即可判断；B ，由抛物线定义知当,,P M A 三点共线时MF MP +；C ，D ，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A ，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x >， 因为这些MN 倾斜角不为0， 则设直线MN 的方程为32x ky =+，联立抛物线得2690y ky −−=， 则12126,9y y k y y +=⋅=−，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=， 则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确； 对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小， 即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确； 对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误； 对D ，1212123339()()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a −=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ） A. 若E的两条渐近线相互垂直，则a =B. 若EE 的实轴长为1C. 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅= D. 当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===，故A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a ==， 解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=°，则122221224PF PF a PF PF c −=+=， 整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=−==⋅=，故C 正确； D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF a QF QF a −=−= ，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +−=+=+， 所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥， 当且仅当84a a=，即a = 所以1F PQ周长的最小值为D 正确. 故选：ACD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ）【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =− ，根据数量积为0得到BC m ⊥ ，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =−=− ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误； B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z −−−−=，即224222x xy y z z =− =− −=−，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ， 设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⋅=⋅=++=⋅=⋅=+= ， 令1a =，则0,1b c ==−，则()1,0,1m =−， 因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=−= ，故BC m ⊥ ，BC //平面1APB ， 故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =，故1A F 与平面1B EB则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⋅⋅−+− ⋅=⋅−=−+= ， 令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n = ， 则点1B 到平面1A EFD 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240 【解析】【详解】因为二项式nx+ 的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x+，则二项式展开式的通项3662166C C 2r r r r r rr T x x −−+=， 令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r −−++ ≥ ≥ ，解得111433r ≤≤， 因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x −×==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0 【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+′.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ′′=−⇔++=−()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +−⇔++−=12cos cos 1,0x x a ⇔=−=±=.故答案为014. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+ 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D Ay y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =−时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论． 【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =−，圆()22114x y +−=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =−=+=−=+，当l y ⊥轴时，则1A Dy y ==，所以113131622AB CD+=+++=； 当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =−，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n −++=， 所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。

山东省临沂市2024届高三下学期5月高考模拟考试（二模）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i 为虚数单位，()211i i 22z -⋅=+，则z =（）A ．14B ．12C ．4D ．22．若2Z08x A x x ⎧⎫-=∈≤⎨⎬-⎩⎭，{}5log 1B x x =<，则A B ⋂的元素个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．33．一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,,12,14,21m ，若该组数据的中位数是极差25，则该组数据的第45百分位数是（）A ．4B ．6C ．8D ．124．若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（）A ．16B ．20C ．28D ．405．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+（π2ϕ<）图象的一个对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 在区间ππ,83⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．5π6x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎣⎦上的值域为⎡-⎢⎣⎦D ．将()f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y 轴对称6．若实数a ，b ，c 满足π2sin 12a =，37b =，310c =，则（）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．a c b<<D ．b a c<<7．已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1CC ，1C D 的中点，则（）A ．直线MN 与1ACB ．平面BMN 与平面11BCD C ．在1BC 上存在点Q ，使得11B Q BD ⊥D ．在1B D 上存在点P ，使得//PA 平面BMN8．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上第一象限内的一点，且12PF PF ⊥，1PF 与y 轴相交于点Q，离心率e =11QF PF λ= ，则λ=（）A ．38B ．58C ．13D ．23二、多选题9．已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，则下列命题为真命题的是（）A ．若349a a +=，7818a a +=，则125a a +=B ．若2134a a +=，则1428S =C ．若150S <，则78S S >D ．若{}n a 和{}1n n a a +⋅都为递增数列，则0n a >10．设()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线C ：28x y =上两个不同的点，以A ，B 为切点的切线交于点()00,P x y .若弦AB 过焦点F ，则（）A ．1202x x x +=B ．若PA 的方程为210x y --=，则24x =-C ．点P 始终满足0PA PB ⋅=D ．PAB 面积的最小值为1611．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()132024f x f x f +++=，()()2f x f x -=+，且1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为4B ．()20f =C ．函数()1f x -是奇函数D ．20241120242k k f k =⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭∑三、填空题12．()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 项的系数为.13．若直线1y ax =+与曲线ln y b x =+相切，则ab 的取值范围为.14．根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X 满足：对于任意的*n ∈N ，1X n =+的样本在X n >的样本里的数量占比与1X =的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于15，即()()1115P X n X n P X =+>===，则()P X n >=，设()n a nP X n ==，{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =.四、解答题15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()cos sin cos cos c A B B C c C -=-．(1)求C ；(2)若点D 在线段AB 上，且2BD DA =，求22225CD a b +的最大值.16．“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）.非常喜欢感觉一般合计男性3t100女性t 合计60(1)求t 的值，试根据小概率0.01α=的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关；(2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X 为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X 的分布列及数学期望()E X .参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.01…x α2.7063.8416.635…17．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，BD ∥平面AMHN ，点M ，N ，H 分别在棱PB ，PD ，PC 上，且MN PC ⊥．(1)证明：PB PD =；(2)若H 为PC 的中点，PA PC =，PA 与平面PBD 所成角为60°，四棱锥P ABCD -被平面AMHN 截为两部分，记四棱锥P AMHN -体积为1V ，另一部分体积为2V ，求12V V .18．已知向量()0,1a =，()1,0b = ，点()1,0P ，()1,0Q -，直线PD ，QD 的方向向量分别为2a b λ+ ，2a b λ+ ，其中λ∈R ，记动点D 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)直线l 与E 相交于A ，B 两点，（i ）若l 过原点，点C 为E 上异于A ，B 的一点，且直线AC ，BC 的斜率AC k ，BC k 均存在，求证：AC BC k k ⋅为定值；（ii ）若l 与圆O ：222x y r +=相切，点N 为AB 的中点，且2AB ON =，试确定圆O 的半径r .19．已知函数()()()ln 1e xf x ax a x =+--.(1)当1a =时，求证：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02f x <-；(2)若()f x 存在两个零点，记较小的零点为1x ，t 是关于x 的方程()1ln 132cos x ax x ++=+的根，证明：1e 12e x t +>.参考答案：1．B【分析】借助复数的四则运算及复数模长计算公式计算即可得.【详解】()()()211i 11i 122i 212i 14i 4i i 4441i z ⨯======+⨯----⨯-，则1i 44z =--，故12z =.故选：B.2．C【分析】分别确定集合,A B ，再求交集.【详解】根据题意，可得集合{Z |2A x x =∈≤或8}x >，{}05B x x =<<，则{}1,2⋂=A B ，所以A B ⋂的元素个数为2个.故选：C 3．A【分析】根据题干中该组数据极差和中位数的关系列方程求出m ，然后根据百分位数的定义求解即可.【详解】根据中位数的定义，该组数据的中位数是122m +，根据极差的定义，该组数据的极差是21120-=，依题意得，1222025m +=⨯，解得4m =，60.45 2.7Ζ⨯=∉，根据百分位数的定义，该组数据的第45百分位数是从小到大排列的第3个数，即4.故选：A 4．C【分析】先分组后分配，分组时分一组2人一组4人和每组各3人两种情况.【详解】第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有1124C C 8=种；分为每组各3人，有122422C C 6A =种，分组方法共有14种.第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有22A 2=种.所以，总的分配方案有14228⨯=种.故选：C 5．D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A 、B ；结合正弦函数最值可得C ；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得()π2π6k k ϕ⨯+=∈Z ，解得()ππ3k k ϕ=-+∈Z ，又π2ϕ<，故π3ϕ=-，即()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对A ：当ππ,83x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π7ππ2,3123x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，由函数sin y x =在7ππ,123⎡⎤-⎢⎣⎦上不为单调递增，故()f x 在区间ππ,83⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不为单调递增，故A 错误；对B ：当5π6x =时，π4π233x -=，由4π3x =不是函数sin y x =的对称轴，故5π6x =不是()f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故C 错误；对D ：将()f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得5πππsin 22sin 2cos 21232y x x x ⎛⎫⎛⎫=+⨯=+= ⎪⎝⎭⎝⎭，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D.6．A【分析】首先判断1a <，12b <<，且3log 10c =，根据对数函数的性质可得2>c ，即可判断.【详解】因为ππ2sin2sin 1126a =<=，又37b =，则b =12<<=，即12b <<，因为310c =，所以33log 10log 92c =>=，所以c b a >>.故选：A 7．C【分析】以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，由空间向量计算异面直线所成角，二面角和线线垂直可判断ABC ；由,,,N M B A 四点共面，而A ∈平面BMN 可判断D.【详解】以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，所以()()()()1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0A D B C ，()()()()11111,0,1,0,0,1,1,1,1,0,1,1A D B C ，1110,1,,0,,222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ，10,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11,1,1AC =-- ，直线MN 与1AC所成角的余弦值为11112cos ,MN A C MN A C MN A C⋅= ，故A 错误；对于B ，10,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，11,0,2BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，设平面BMN 的法向量为(),,n x y z = ，则102102n MN y n BM x z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取1x =，可得0,2y z ==，所以()1,0,2n =，()110,1,0C D =-，()11,0,1BC =- ，设平面11BC D 的法向量为()111,,m x y z = ，则1111110n C D y n BC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11x =，可得110,1y z ==，所以()1,0,1m =，平面BMN 与平面11BC D夹角的余弦值为：cos ,m nm n m n ⋅=⋅，故B 错误；对于C ，因为Q 在1BC 上，设()00,1,Q x z ，所以11C Q C B λ=，01λ≥≤，则()()1001,0,1,1,0,1C Q x z C B =-=-，所以00,1x z λλ==-+，所以(),1,1Q λλ-+，()()111,0,,1,1,1B Q BD λλ=--=--，所以1110B Q BD λλ⋅=--= ，解得：12λ=.故1BC 上存在点11,1,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得11B Q BD ⊥，故C 正确；对于D ，因为////MN DC AB ，所以,,,N M B A 四点共面，而A ∈平面BMN ，所以1B D 上不存在点P ，使得//PA 平面BMN ，故D 错误.故选：C.【点睛】8．B【分析】设1PF m =、2PF n = ，结合椭圆定义及离心率可用c 表示1PF 、2PF ，结合勾股定理计算即可得解.【详解】设1PF m = 、2PF n = ，则有2224m n c +=，225m n a c +===，则()22223625m n m n mn c +=++=，即22236162455mn c c c =-=，则()2222221642455m n m n mn c c c -=+-=-=，即5m n -=，即552m ==，332n +==，则11QF PF m c λλ=== ，由12QF QF = ，则有22225555c c c λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得85λ=，即58λ=.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助椭圆定义及离心率，用c 表示1PF 、2PF ，再借助λ表示出2QF ，结合勾股定理计算即可得解.9．BC【分析】根据题意，求得98d =，结合()12344a a a a d +=+-，可判定A 错误；根据数列的求和公式和等差数列的性质，可判定B 正确；由150S <，求得80a <，可判定C 正确；根据题意，求得任意的2,0n n a ≥>，结合1a 的正负不确定，可判定D 错误．【详解】对于A 中，由349a a +=，7818a a +=，可得()()378489a a d a a ++-==，所以98d =，又由()12349949482a a a a d +=+-=-⨯，所以A 错误；对于B 中，由()()1142131414142822a a a a S ++===，所以B 正确；对于C 中，由11515815()1502a a S a +==<，所以80a <，又因为8780S S a -=<，则78S S >，所以C 正确；对于D 中，因为{}n a 为递增数列，可得公差0d >，因为{}1n n a a +为递增数列，可得211120n n n n n a a a a a d ++++⋅-=>，所以对任意的2,0n n a ≥>，但1a 的正负不确定，所以D 错误．故选：BC.10．ACD【分析】由导数的几何意义，求得可得A 处的切线方程，得出直线,AP BP 的方程，联立两直线方程可判定A ；根据已知和A 选项可得12x =，再设直线:2pAB y kx =+，联立方程组，根据根与系数的关系可求2x ，根据1PA PB k k ⋅=-，可判定B 错误，C 正确；取AB 的中点H ，化简得到PAB 的面积，可判定D 正确.【详解】依题意设()11,A x y ，()22,B x y ，由方程28x y =，可得218y x =，则14y x '=，由导数的几何意义知，直线AP 的斜率为114AP k x =，同理直线BP 的斜率为214BP k x =，可得A 处的切线方程为：()11114y y x x x -=-，即()2111184x y x x x -=-，化简可得21148x x y x =-，所以直线AP 的方程为21148x x y x =-，同理可得：直线BP 的方程为22248x x y x =-，联立两直线方程得，2211224848x x x x x x -=-，则()2212121488x x x x x -=-，因为12x x ≠，解得122x xx +=，128x x y =，即1202x x x +=，所以A 正确；若PA 的方程为210x y --=，根据直线AP 的方程为21148x x y x =-，可得12x =，设直线:2AB y kx =+，联立方程组228y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得28160x kx --=，则()22Δ(8)646410k k =-+=+>，且128x x k +=，1216x x =-，所以28x =-，02y =-，所以B 错误；因为21221PA PB x x p k k p p p-⋅=⋅==-，所以0PA PB ⋅= ，故C 正确；取AB 的中点H ，连接PH ，根据中点坐标公式得1212,22x x y y H ++⎛⎫⎝⎭，从而PH 平行y 轴，由前可知12,22x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以221212121212111882222222x x y y S PH x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎛⎫=⋅-=+⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭22121212216x x x x ⎛⎫+=+⋅- ⎪⎝⎭因为128x x k +=，1216x x =-，所以()222212121226432x x x x x x k +=+-=+，12x x -==代入可得()()23222811643221612164k k S k +⎛⎫+=+⋅==+ ⎪⎝⎭，当0k =时，min 16S=，所以D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法：（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．11．AB【分析】据题意，通过赋值得到()()()22024f x f x f ++=，()()()242024f x f x f +++=，即可判断A ；令2021x =，可求出()20220f =，由周期性可判断B ；令0x =，得到()00f =，由周期性()20240f =，可证明()f x 是奇函数，假设函数()1f x -是奇函数，推出矛盾，判断C ；由周期性及对称性可计算D.【详解】对于A ，因为()()()132024f x f x f +++=，所以()()()22024f x f x f ++=，()()()242024f x f x f +++=，所以()()4f x f x +=，故()f x 的最小正周期为4，A 正确；对于B ，因为()()()132024f x f x f +++=，令2021x =，则()()()202220242024f f f +=，所以()20220f =，由A 可知，()()()20224505220f f f =⨯+==，故B 正确；对于C ，因为()()2f x f x -=+，①令0x =，则()()020f f ==，所以()()()2024450600f f f =⨯==，所以()()()220240f x f x f ++==，②由①②，所以()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，若函数()1f x -是奇函数，则()()11f x f x --=--，所以()()()111f x f x f x ⎡⎤--=-+=-+⎣⎦，即()()11f x f x -=+，所以()()()()21111f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=+-=⎣⎦⎣⎦，所以()f x 的最小正周期为2，与选项A 矛盾，故C 错误；对于D ，因为()f x 为奇函数，且1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1124f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为()f x 的最小正周期为4，所以711224f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()2f x f x -=+所以311122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，53312224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以4111357123422222k k f k f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-=⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑1111123414444⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯-+⨯-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，8519111315567822222k k f k f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-=⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑135756782222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111567814444⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，以此类推，所以()20241150615062k k f k =⎛⎫⋅-=⨯-=- ⎪⎝⎭∑，故D 错误.故选：AB【点睛】方法点睛：本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期.以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：设函数()y f x =x ∈R ，0,a a b>≠（1）若()()f x a f x a +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（2）若()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（3）若()()1f x a f x +=，则函数()f x 的周期为2a ；（4）若()()1f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（5）若()()f x a f x b +=+，则函数()f x 的周期为a b -.12．42【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.【详解】对()71x +，有17C r r r T x +=，则有()225525222277777311C C C C 2C 42x x x x x x ⨯+⨯=+==.故答案为：42.13．31,e ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得2ln b a =+，则()2ln 0ab a a a a =+>，构造()2ln g a a a a =+并研究单调性，进而求值域即可.【详解】函数ln y b x =+的导数为1y x '=，设切点为()00,1x ax +，所以01a x =，则01ax =，即01x a=又因为()00,1x ax +在ln y b x =+上，所以001ln ax b x +=+，所以0ln 2b x +=，即ln 2b a -=，所以2ln b a =+，所以()()2ln 2ln 0ab a a a a a a =+=+>，令()2ln g a a a a =+，1()2ln ln 3g a a a a a =++⋅=+'，令()0g a '>，可得31ea >，令()0g a '<，可得310e a <<，所以()g a 在310,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在31,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以min 33333331211231()ln e e ee e e e g a g ⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭.当a 趋近正无穷时，()g a 趋近正无穷.所以ab 的取值范围为：31,e ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,e ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.14．45n ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4555nn ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【分析】根据条件概率的计算以及递推法可得(1)4(2)()5P X n n P X n =+=≥=，根据等比数列的定义可得114()55n P X n -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，即可求解空1，根据错位相减法即可求解空2．【详解】()()1115P X n X n P X =+>===，因为(1)1(1|)()5P X n P X n X n P X n =+=+>=>，所以1(1)()5P X n X n =+=>，将n 换成n 1-，此时1()(1)5P X n P X n ==>-，两式相减可得()()()1111(1)()555P X n P X n P X n P X n P X n =-=+=>-->==，即(1)4(2)()5P X n n P X n =+=≥=，又114(2)(1)(1(1))(1)555P X P X P X P X ==>=⨯-===，所以(1)4()5P X n P X n =+==对任意*N n ∈都成立，此时{()}P X n =是首项为15，公比为45的等比数列，所以114()55n P X n -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，故144()5(1)5555n n P X n P X n ⎛⎫⎛⎫>==+=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11455n n a nP X n n -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭，01211444412(1)55555n n n S n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，12141444412(1)555555n n n S n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，两式作差得1211144441555555n n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦4115445(5)45515n n n n S n n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⨯=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，故答案为：45n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，45(5)5nn ⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：根据1(1)()5P X n P X n =+=>，即可利用数列的递推关系求解{()}P X n =是首项为15，公比为45的等比数列，11455n n a n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，利用错位相减法即可求解和.15．(1)π3(2)19【分析】（1）利用()cos cos C A B =-+，结合和差公式化简，再利用正弦定理边化角可解；（2）根据平面向量线性运算可得2133CD CA CB =+ ，两边平方，然后利用重要不等式即可得解.【详解】（1）由()cos sin cos cos c A B B C c C -=-得()cos cos 2sin cos c A B c C B C -+=，∴()()()cos cos sin cos c A B A B B C --+=，即2sin sin sin cos c A B B C =，由正弦定理边化角得sin sin sin sin sin cos C A B A B C ，因为(),0,π,sin 0,sin 0A B A B ∈>>，所以sin C C =，∴tan C =又∵()0,πC ∈，∴π3C =.（2）∵D 点在线段AB 上，且2BD DA =，()2CD CB CA CD ∴-=- ，∴2133CD CA CB =+ ，∴222419499CD CA CB CA CB =++⋅ ()222222224124112599999999b a ab b a a b a b =++≤+++=+，当且仅当a b =时，等号成立．∴2222222251925259a bCDa b a b+=++≤．即22225CDa b+的最大值为19．16．(1)20t=，能；(2)分布列见解析，()3815E X=.【分析】（1）根据表中数据可知()360100t t+-=，求出t值完善列联表，然后计算2χ，对照临界值表即可得结论；（2）根据古典概型概率公式，结合排列组合求解可得分布列，再由期望公式求解即可.【详解】（1）由题意可知：()360100t t+-=，解得20t=，2×2列联表如下：非常喜欢感觉一般合计男性6040100女性8020100合计14060200()222006020804014060100100χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯220020009.524 6.63514060100100⨯=≈>⨯⨯⨯.根据小概率值0.01α=的独立性检验，认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.（2）设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”的人数为n，则X m n=+，且X的所有可能取值为1，2，3，4.()()3113213253C C C2110,1C C3015P X P m n=======，()()()12113223213232325353C C C C C C1321,10,2C C C C30P X P m n P m n====+===+=，()()()2111122232123232325353C C C C C C C 12232,11,2C C C C 305P X P m n P m n ====+===+==，()()2122323253C C C 3142,2C C 3010P X P m n =======.所以X 的分布列为X1234P 115133025110所以()2131233812343030303015E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17．(1)证明见解析(2)12【分析】（1）根据菱形性质知OB OD =，然后通过证明BD ⊥平面PAC ，可得BD PO ⊥，根据垂直平分线性质可证；（2）令2AB =，先证明OP ⊥平面ABCD ，MN ⊥平面PAC ，然后由13P ABCD ABCD V S OP -=⋅⋅和1123MAPH APH V V S MN -==⋅⋅ 可解.【详解】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OP ，∵BD ∥平面AMHN ，且平面PBD 平面AMHN MN =，BD ⊂平面PBD ，∴BD MN ∥．∵MN PC ⊥，∴BD PC ⊥，∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，OB OD =，∵PC AC C ⋂=，且,PC AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC ，又PO ⊂平面PAC ，∴BD PO ⊥，∴PB PD =．（2）∵PA PC =，且O 为AC 中点，∴OP AC ⊥，由（1）得OP BD ⊥，BD AC O ⋂= ，,BD AC ⊂平面ABCD ，∴OP ⊥平面ABCD ，令2AB =，又四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，AC BD ^，AO ∴1BO =．,,AO BD AO PO PO BD O ⊥⊥⋂= ，且都在平面PBD 内，AO ∴⊥平面PBD ，又PA 与平面PBD 所成角为60°，∴60APO ∠=︒，30PAC ∠=︒，∴13OP AO ==，∴133P ABCD ABCD V S OP -=⋅⋅=又H 为PC 中点，且2PA PC ==，∴112PH PC ==，在△PAC 中，记AH OP G = ，易知点G 在MN 上，且点G 为△PAC 重心，23PG PO =，又∵MN BD ∥，∴2433MN BD ==，由（1）知BD ⊥平面PAC ，∴MN ⊥平面PAC ，又11sin1202122APH S PA PH =⋅⋅︒=⨯⨯=∴1123M APH APH V V S MN -==⋅=∴21399P ABCD V V V -=-=-=，∴1212V V =．18．(1)2214y x -=；(2)（i ）证明见解析；（ii【分析】（1）设(),D x y ，根据向量,PD QD 分别与2a b λ+ ，2a b λ+ 平行列方程组，消去λ可得；（2）（i ）根据点A ，B 关于原点成中心对称，化简AC BC k k ⋅，结合点,A C 在双曲线上，由点差法化简可证；（ii ）分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，联立双曲线方程消去y ，利用韦达定理代入0OA OB ⋅= ，结合直线与圆相切可解.【详解】（1）设(),D x y ，则()1,PD x y =- ，()1,QD x y =+ ，又∵()0,1a = ，()1,0b = ，∴()21,2a b λλ+= ，()2,2a b λλ+= ，由已知得，()()210210x y x y λλ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，消λ得：2214y x -=，∴点D 的轨迹方程为2214y x -=．（2）设直线l 与E 的两个交点为()11,A x y ，()22,B x y ，（i ）∵直线l 过原点，∴点A ，B 关于原点成中心对称．设(),C x y ，∴22121112212111AC BC y y y y y y y y y y k k x x x x x x x x x x ---+-⋅=⋅=⋅=---+-，由2211221414y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得()2222114y y x x -=-，∴2212214AC BC y y k k x x -⋅==-．（ii ）∵N 为AB 的中点，且2AB ON =，∴0OA OB ⋅= .①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x r =±，此时点A ，B 关于x 轴对称，不妨设点A 在第一象限，∴11x y r ==，∵221114x x -=，∴22143x r ==，∴3r =．②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，由2214y kx b y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()()2224240k x kbx b ---+=，∴12224kb x x k +=-，()212244b x x k -+=-，∵0OA OB ⋅= ，∴12120x x y y +=，即()()22121210k x x kb x x b ++++=，整理得：22344b k =+．又∵l 与圆相切，∴r =综上可得3r =，∴圆O19．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，利用零点存在性定理判断()f x '存在零点，利用隐零点方程代入()02f x +化简，通过配方即可得证；（2）令()()ln 1e 0x ax a x +--=，同构函数()e x g x x =+，根据单调性转化为()ln x ax =的根，构造()()ln h x x ax =-，利用导数判断单调性，结合零点存在性定理判断零点范围，得11e x ax =，1>0x ,将()1ln 132cos x ax x ++=+转化为()ln 1cos 10t t +-+>.记()()ln 1cos 1t t t ϕ=+-+（1t >-），利用导数判断t 的范围，设()()e ln 1cos 2x m x x x =-++-，0x >，利用e 1,sin x x x x >+>判断()m x '的符号，由单调性可证.【详解】（1）当1a =时，()ln e x f x x =-，()0,x ∞∈+，∴()1e x f x x='-，易知()f x '在()0,∞+上单调递减，且1212e 02f ⎛⎫=-> ⎪'⎝⎭，()11e 0f ='-<，则01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得当()00,x x ∈时，()0f x '>，当()0,x x ∞∈+时，()0f x '<，且()00f x '=，即001e x x =，即00ln x x =-，∴()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减，∴()f x 存在唯一的极大值点0x ，而()()02000000112ln e 220x x f x x x x x -+=-+=--+=-<，∴()02f x <-．（2）令()()ln 1e 0x ax a x +--=，得()ln e x ax ax x +=+，设()e xg x x =+，显然()g x 在定义域上单调递增，而()()()ln ln eln ax ax ax ax +=+，则有()()()ln g ax g x =，∴()ln x ax =．依题意，方程()ln x ax =有两个不等的实根，即函数()()ln h x x ax =-在定义域上有两个零点，显然0a ≠，当a<0时，()h x 的定义域为(),0∞-，()h x 在(),0∞-上单调递增，()h x 最多一个零点，不合题意，∴0a >，()h x 的定义域为()0,∞+，∴求导，得()11h x x'=-，当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，∴()h x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，()()min 11ln h x h a ==-，要使()h x 有两个零点，必有1ln 0a -<，即e a >，此时110h a a⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即()h x 在()0,1有一个零点，()223ln h a a a =-，令()23ln u x x x =-，e x >，求导得()23u x x x ='-，显然()u x '在()e,∞+上单调递增，∴()()3e 2e 0eu x u >=-'>'，∴()u x 在()e,∞+上单调递增，()()2e e 30u x u >=->，∴()20h a >，则函数()h x 在()1,∞+上存在唯一零点．由1x 为()ln x ax =的两个根中较小的根，得11e x ax =，1>0x ，又由已知得()12ln 1cos 3ax t t =+-+，从而()12e ln 1cos 3x t t =+-+，∵1>0x ，∴12e 2x >，∴()ln 1cos 10t t +-+>．设()()ln 1cos 1t t t ϕ=+-+（1t >-），当0t >时，()ln 10t +>，1cos 1t -≤≤，则()0t ϕ>符合题意，当10t -<≤时，()1sin 01t t tϕ+'=>+，则()t ϕ在(]1,0-上单调递增，∴()()00t ϕϕ<=不合题意，∴0t >∴设()()e ln 1cos 2x m x x x =-++-，0x >．求导，得()1e sin 1x m x x x=--+'，当0x >时，令()e 1x p x x =--，()sin q x x x =-，则()e 10x p x ='->，()1cos 0q x x ='-≥，∴()p x ，()q x 在()0,∞+上单调递增，从而()()00p x p >=，()()00q x q >=，即e 1x x >+，sin x x >，从而()11110111x m x x x x x x>+--=-=++'>+，即()m x 在()0,∞+单调递增，则()()00m x m >=，于是()e 1ln 1cos 3x x x +>+-+，即()1e 1ln 1cos 32e x t t t +>+-+=，即1e 12e x t +>．【点睛】关键点睛：本题关键在于利用零点存在性定理判断零点范围，进而将条件方程转化为不等式，构造函数，利用导数讨论t 的范围，再通过e 1,sin x x x x >+>判断()()e ln 1cos 2x m x x x =-++-的单调性，利用单调性即可得证.。

2024学年福建省永安市三中高三第二次模拟考试数学试题（详细答案版）考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，31log2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>2．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B ．5C ．52D ．53．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．5D ．84．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．105．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数6．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)7．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（ ）A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立8．已知y ax b =+与函数()2ln 5f x x =+和2()4g x x =+都相切，则不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的面积为（ ）A ．2πB ．3πC ．6πD ．12π9．已知非零向量a 、b ，若2b a =且23a b b -=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．32b B ．12b C ．32b -D ．12b -10．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B 2C 3D ．2211．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（ ）A ．63B ．34C ．12D ．3212．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上饶市2024届高三二模数学参考答案1. A2.D3.B4.C5.D6.C7.A8.D9. AC 10.BCD 11.ABD.12.13. 14.8.解设双曲线C 的左焦点为1F ，如图，取线段MN 的中点H ，连接2HF ，则2222F M F N F H +=．因为()220MN F M F N ⋅+= ，所以20MN F H ⋅=，即2MN F H ⊥，则22MF NF =．设22MF NF m ==．因为21122MF MF NF NF a −=−=，所以1221114NF NF MF MF NF MF MN a −+−=−==，则2MHNH a ==，从而1HF m =得22222m a c =+．因为直线l 的斜率为13，所以121tan 3HF F ∠=，整理得222219c a a c −=+，即2254a c e =⇒=，11.解: 如图，对于A ，因为,AD SD AD DC ⊥⊥，又,,SD DC D SD DC ∩=⊂面SDC ， 所以AD ⊥面SDC ， SDC BC 平面⊥ 又因为120,2SDC SD CD ∠=°==,SBC A ABC S V V −−=,得点A 到平面SBC 的距离为1.A 正确。

对于B ，因为SP PB =，所以点P 为棱SB 的中点，取SC 中点为Q ，连接,PQ DQ ，可得平面APQD 即平面α截此四棱锥所得截面， 且由于Q 是SC 的中点，点P 为棱SB 的中点，所以在SBC △中，PQ 是SBC △的中位线，则121==BC PQ ，//PQ BC ， 又因为四边形ABCD 是正方形，则//BC AD ，所以/PQ AD ， 因为AD ⊥面SDC ， AD ⊄面SDC ，QC ⊂面SDC ，所以四边形APQD 是以AD 为下底、PQ 为上底，DQ 为高的直角梯形，因为2SDCD ==，在等腰三角形SCD 中，QD BC ⊥，且QD 平分ADC ∠， 则11cos 2122QD CD SDC =⋅∠=×=，则平面α截此四棱锥所得截面的面积为231)21(21=⋅+，故B 正确； 对于C ，又因为120,2SDC SD CD ∠=°==，所以2cos302cos30SC =+= 所以24sin SC rSDC ==∠，即2r =，其中r 为SCD 外接圆半径， 因为AD ⊥面SDC ，所以四棱锥S ABCD −外接球的半径为5)22(222=+=R ， 所以四棱锥S ABCD −外接球的表面积为π20，故C 不正确；对于D ，建立直角坐标系，当P 为靠近S 的三等分点时，线面角有最大值772 故选：ABD.31](60，233−14：解：xx x x x e x x e e x x x e x x a ln ln )1(ln 2)1(ln 2)1(ln 2+++=++=++≥令R x x t ∈+=ln ，te t t g )1(2)(+=，t e tt g 2)('−= 当0)('0,0)('0<>><t g t t g t 时，时，所以)(t g 最大值为2)0(g =，2≥a ，得2=m由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x 的一个周期, 所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.由f(x)=2sin x+sin 2x,得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2. 令f'(x)=0,可得cos x=或cos x=-1,x ∈[0,2π)时,解得x=或x=或x=π.因为f(x)=2sin x+sin 2x 的最值只能在x=,x=,x=π或x=0时取到,且f=,f=-,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为. 15.解：（1）有以上的把握认为“脐橙果径与所在基地有关”（2）见解析 【解析】（1）根据题中所给数据可得到如下列联表： 甲基地 乙基地 优质果 250230非优质果5070， (4)分 因此，有以上的把握认为“脐橙果径与所在基地有关”。

1江西省萍乡市2022届高三数学第二次模拟考试试题 文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，，则（）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据集合元素的形式可得关于的不等式，从而可求.【详解】令，则，而，故，故，故选：C.2. 已知复数满足(为虚数单位)，则=（）B.C.D. 【2题答案】{}+|17A x N x =∈-≤≤{}|31,B x x n n N ==+∈A B = {}1,4{}4,7{}1,4,7{}1,1,4,7-n A B 1317n -≤+≤223n -≤≤n N ∈0,1,2n ={}1,4,7A B = z 32i (1i)z =+i z 21122【解析】【分析】先化简复数z ，再利用复数的模公式求解.【详解】解：因为，所以，故选：D3. 北京2022年冬奥会的成功举办，带动了我国冰雪产业快速发展，冰雪运动市场需求得到释放．下图是2012-2019年我国已投入运营的室内滑雪场数量（家）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面说法错误的是（）A. 2012-2019年，我国室内滑雪场的数量总体呈增长态势B. 2013-2019年，我国室内滑雪场的增速逐渐加快C. 2013-2019年，我国室内滑雪场的增速在2017年触底D. 2013-2019年，我国室内滑雪场的增速在2018年首次出现正增长【3题答案】【答案】B32i i 1(1i)2i 2z ==-=-+12z =3【分析】根据图表中的柱状图的高低变化和同比增长率的曲线图可得错误的说法.【详解】图表中的室内滑雪场的数量的柱状图逐年升高，故总体呈增长态势，故A 正确.2013-2017年，我国室内滑雪场的增速逐年降低，2018年，我国室内滑雪场的增速有所提高，而2019年的增速有小幅回落.故B 错误，CD 正确.故选：B.4. 已知，则（）A. B. C. D. 【4题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【详解】因为，所以，，，故选：A 5. 若函数的图象在处的切线斜率为，则()A. B. C. D. 【5题答案】【答案】A1sin 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭12212-21sin 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 2cos 236ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦212sin 6πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2111222⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()ln f x x a x=-1x =3=a 2-1-124【分析】求f (x )导数，由题可知即可求a 的取值．【详解】∵，∴，若函数的图象在处的切线斜率为，则．故选：A ．6. 在中，为边上的中线，在线段上，，则（）A. B. C. D. 【6题答案】【答案】B 【解析】【分析】由向量的线性运算法则计算．【详解】由题意，故选：B ．7. 如图，在正方体中，E ，F 分别为BC ，的中点，过点A ，E ，F 作一截面，该截面将正方体分成上下两部分，则下部分几何体的正视图为（）(1)3f '=()ln f x x a x =-()1af x x'=-()ln f x x a x=-1x =3(1)1321af a '=-=⇒=-ABCADBCEAD2AE ED=EB =3144AB AC -2133AB AC -2233AB AC -3144AB AC +22121()33233EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-⨯+=-1111ABCD A B C D -1CC5A. B. C. D.【7题答案】【答案】A 【解析】【分析】由，可得截面为，得到几何体，进而得正视图.【详解】如图由于，，由题意得此截面为，由图可知正视图应为A 选项，故选：A.8. 已知椭圆，圆，若的重心在椭圆上，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】A 【解析】【分析】先表示出的重心，代入椭圆可得出，即可求出离心率.【详解】由题可得，则的重心为，将代入椭圆可得，即，1//EF AD 1AEFD 1//EF AD 1AEFD 2222:1(0)x y C a b a b+=>>22:630M x y bx ay +-+=12F MF △CC21223412F MF △222a b =()()123,0,,0,3,2F c F c M b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭12F MF △,2a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,2a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭222214b a a b +=4224440b a b a -+=6即，则，所以.故选：A.9. 已知圆，直线为绕原点转动的任一直线，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为（）A. B. C. D. 【9题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据题意，设出直线，利用圆心到直线位置关系，作图，即可计算出所求概率【详解】根据题意，直线为绕原点转动的任一直线，可设，设圆心到直线的距离为，所以，，若与圆相交或相切，则，化简得，，得，所以，，可以用原点为圆心，(半径长度可随意取)，作圆，()22220ba-=222a b=2c e a ===()22:21C x y -+=l l C 3π6π1316:l y kx=l:l y kx=dd =l C 1d ≤2241k k≤+33k -≤≤60AOB ∠=︒O3r =7如图，当直线在阴影处运动时，直线与圆没有公共点，当直线在非阴影处运动时，直线与圆有公共点，故事件“直线与圆有公共点”发生的概率故答案选：C10. 已知函数，则的所有零点之和为（）A. B. C. D. 【10题答案】【答案】D 【解析】【分析】根据零点定义求出零点后可得．【详解】时，由得，时，由得或，所以四个零点和为．故选：D ．11. 已知四棱锥的底面四边形是正方形，侧棱平面，，且直线与平面所成的角的正切值为，则四棱锥的体积为（）A.B.C.D.【11题答案】【答案】Cl l Cl l Cl C 12013603P ︒==︒()()21,01,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩1()2y f x =-1212-2x ≥21(1)02x --=12x =±0x <1102x +-=12x =-32x =-131102222++---=P ABCD-ABCDPA ⊥ABCD3PA =PCPAB 3P ABCD -3918278【解析】【分析】利用直线与平面所成的角的正切值，求出的边长，进一步利用体积公式求出答案.【详解】设的边长为∵平面∴又∵，∴平面∴直线与平面所成的角即为角∴解得四棱锥的体积为.故选：C.PCPABABCDABCDaPA ⊥ABCDPA ⊥BCBC AB⊥PA AB A⋂=BC ⊥PABPCPABCPB∠3BC PB =3=a =P ABCD -213183V a =⨯=912. 设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（）A. B. C. D. 【12题答案】【答案】B 【解析】【分析】求出的范围，把它作为整体，结合正弦函数性质得最大值与最小值并分析它们的差最小时结论．【详解】时，，令，，则问题转化为在上的最大值是，最小值是，由正弦函数性质，的周期是，要使得最小，则的最大值或最小值点是区间的中点，由周期性，不妨取或，，或，时，，，，时，，，，()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,3a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦M m M m-21212-12-24x π+M m [,]3x a a π∈+22,24443x a a ππππ2⎡⎤+∈+++⎢⎥⎣⎦24x t π+=24a h π+=()sin g t t =2[,]3t t π+M m ()sin g t t=2πM m-()g t 2[,3h h π+23h h ππ++=233h h ππ++=6h π=76h π=6h π=1M =1sin 62m π==12M m -=76h π=1m =-71sin 62M π==-12M m -=10故选：B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22，23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．13. 已知函数是上的奇函数，且，若非零正实数满足，则的小值是_______．【13题答案】【答案】【解析】【分析】由函数为奇函数，得到，结合函数的单调性，得到，得到，利用基本不等式，即可求解.【详解】因为函数为奇函数，可得，由，可得，又因为，可得，所以函数为单调递增函数，所以，即，即，则，当且仅当，即时，等号成立，()f x R ()33f x x x=+,m n ()()20f m mn f n -+=11m n +2()f x ()2()f m mn f n -=-2m mn n -=-111111()()(2)22n m m n m n m n m n +=⋅++=⋅++()f x ()()f x f x -=-()()20f m mn f n -+=()()2()f m mn f n f n -=-=-()33f x x x =+()2330f x x '=+>()f x 2m mn n -=-2m n mn +=112m n +=1111111()()(2(22222n m m n m n m n m n +=⋅++=⋅++≥⋅+=n mm n =1m n ==11所以的小值是.故答案为：14. 若实数、满足约束条件，则目标函数的最小值为________．【14题答案】【答案】【解析】【分析】作出可行域，平移直线，找出使得目标函数在轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：.15. 中，角的对边分别为，若，则________．11m n +22x y1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩3z x y =+2-3z x y=+3z x y=+y1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩102310x x y +=⎧⎨+-=⎩11x y =-⎧⎨=⎩()1,1A -3z x y=+A3z x y=+yz ()min 3112z =⨯-+=-2-ABC ,,A B C ,,a bc ,cos cos 2o c s a b cc B C a A +=+=b =12【15题答案】【答案】【解析】【分析】由正弦定理化边为角，然后由两角差的正弦公式变形，结合正弦函数性质求得，再用余弦定理列方程解得．【详解】因为，由正弦定理得，，，，是三角形内角，，所以，所以，所以，由余弦定理得，解得（舍去），故答案为：．16. 已知圆，对直线上一点，在圆上总存在点，使得23C π=bcos cos cos a b c A B C +=+sin sin sin cos cos cos A B CA B C +=+sin cos sin cos sin cos sin cos A C B C C A C B +=+sin cos sin cos sin cos sin cos A C C A C B B C-=-sin()sin()A C C B -=-,,A B C(,)A C CB A B ππ-+-=-∈-AC C B-=-2A B C +=3C π=2222cos c a b ab C =+-2243cos33b b π=+-=+-2b=2b=222:2O x y +=340x y +-=(),P t k O A13，则实数的取值范围为________．【16题答案】【答案】【解析】【分析】在圆上，当是圆切线时，取得最大值，由题意这个最大值不小于即满足题意，利用圆心到点的距离与半径的2倍比较可得．【详解】由题意当是圆切线时，取得最大值，而当时，，所以由在圆上总存在点，使得，即，解得．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，组委会为普及冬奥知识，面向全市征召名志愿者成立冬奥知识宣传小组，现把该小组成员按年龄分成这组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在内的人数为．30OPA ∠=︒k2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦A OPAOOPA∠30°P PA O OPA ∠30OPA ∠=︒2OP R ==O A 30OPA ∠=︒≤22(43)8k k -+≤225k ≤≤2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦a [20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]5[25,30)3514（1）求和的值，并估计该冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数（中位数精确到）；（2）若用分层抽样的方法从年龄在内的志愿者中抽取名参加某社区的宣传活动，再从这名志愿者中随机抽取名志愿者去该社区的一所高中组织一次冬奥知识宣讲，求这志愿者中至少有1人年龄在内的概率．【17题答案】【答案】（1），，31.7（2）【解析】【分析】（1）先计算各组的频率，再根据频率和为1计算出的值，然后再根据段的人数和对应的频率计算出总人数；利用面积法求出中位数；（2）先计算出年龄在内的志愿者人数；再求从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和至少有一名志愿者年龄在内的事件数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【小问1详解】由频率分布直方图知：，解得…因为年龄在内的人数为，所以设冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数的估计值为，则内，且满足，解得【小问2详解】ma 0.1[30,35),[35,40),[40,45]6622名[35,40)0.07m =100a =35m[25,30)[30,35),[35,40),[40,45][35,40)(0.010.060.040.02)51m ++++⨯=0.07m =[25,30)3535(0.075)100a =÷⨯=x[30,35)x ∈0.0150.075(30)0.060.5x ⨯+⨯+-⨯=23131.73x =≈15由频率分布直方图知：小组成员年龄在的人数之比为，故抽取的6名志愿者中，在区间中分别抽取了人，人，人记中的名志愿者为，中的名志愿者为，中的名志愿者为，则从人中再随机抽取人的所有可能有；共种，至少有1人年龄在内的情形有种，故所求概率为19. 如图，一半圆的圆心为，是它的一条直径，，延长至，使得，设该半圆所在平面为，平面外有一点，满足平面平面，且，该半圆上点满足．（1）求证：平面平面；．（2）若线段与半圆交于，求三棱锥的体积．【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）[30,35),[35,40),[40,45]3:2:1[30,35),[35,40),[40,45]321[30,35)3123,,A A A [35,40)212,B B [40,45]1C 62121311121(,),(,),(,),(,),(,),A A A A AB A B AC 2321222313231212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A AB A B AC A B A B A C B B B C B C 15[35,40)993155P ==OAB2AB =ABCBC OB=ααP POC ⊥αOP CP ==Q PQ =POQ ⊥POCCQRO PQR-41516【解析】【分析】（1）连接，结合面面垂直得平面，进而得，再结合勾股定理得，进而证明平面即可证明结论；（2）过点作于，则为的中点，进而根据几何关系，结合体积公式求解即可.【小问1详解】证明：连接，又平面平面，平面平面，平面，，∵，平面，又平面，，由平面平面，且平面平面，平面，又平面，∴平面平面.【小问2详解】解：过点作于，则为的中点，PBPB ⊥αPB OQ⊥PO OQ⊥OQ ⊥POCOOD QR⊥DDQRPB ,,OP CP OB CB PB OC==∴⊥POC ⊥αPOC=OCαPB ∴⊥αPB OQ∴⊥1,OP OQ PQ ∴===222,,OP OQ PQ PO OQ ∴+=∴⊥OP PB P= OQ ∴⊥POCAB ⊆POCOQ AB∴⊥POC ⊥αPOC ⊥ABα=OQ ∴⊥POCOQ ⊆POQPOQ ⊥POCOOD QR⊥DDQR17故在中：，即：又，21. 已知数列中，，令．（1）计算的值，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【21题答案】【答案】（1）；（2）Rt COQ 1122OC OQ CQ OD ⨯=⨯5OD=5RQ ∴==11222555ORQ S RQ OD ∆∴=⨯=⨯⨯=2PB == 1124233515O PQR P OQR OQR V V S PB --∆∴==⨯=⨯⨯={}n a 111,2n n n a a a +==2nn b a =123,,b b b {}n b ()31n n c n b =+{}n c n n T 1232,4,8b b b ===2nn b =1(32)24n n T n +=-⋅+18【解析】【分析】（1）根据递推关系求出即可得出，再证明为等比数列即可求出通项公式；（2）利用错位相减法可求出.【小问1详解】由得，又，，，由得，两式相除可得，则，是以2 为首项，2 为公比的等比数列，故；【小问2详解】由 (1) 知，则，，两式相减得，故．23. 已知．（1）若，求的极值；246,,a a a 123,,b b b {}n b 12n n n a a +=12nn n a a +=11a =423562,2,4,84,a a a a a ∴=====4612232,4,8b a b a b a ∴======12n n n a a +=1122n n n a a +++=22n na a +=12222n n n nb a b a ++=={}n b ∴2nn b =(31)2nn c n =+()2314272102322(31)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-++ ()234124272102322(31)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-++ ()2123112283222(31)283(31)212n nn n n T n n +++--=+⨯+++-+=+⨯-+- 1(23)24n n +=-⋅-1(32)24n n T n +=-⋅+21()ln 12a f x x x ax-=+++1a =-()f x19（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．【23题答案】【答案】（1）极大值为；无极小值.（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用导数研究函数的单调性，进而得极值；（2）由题知，进而分和两种情况讨论求解即可.【小问1详解】解：当时，，，当时，递增；当时，递减，的极大值为；无极小值；【小问2详解】解：，当即时，递增；，不合题意，（注：取其它使得的也可）．1()ln 24f x <-a 1ln 24-+(),1a ∞∈--()()()111a x x f x x⎡'⎤-++⎣⎦=10a -≥10a -<1a =-()2ln 1f x x x x =+--()()()121121x x f x x x x+-=-=-'-∴1(0,)2x ∈()()0,f x f x '>1(,)2x ∈+∞()()0,f x f x '<()f x ∴11ln224f ⎛⎫=-+⎪⎝⎭()()()()()21111111a x x a x ax f x a x a x x x⎡⎤-++-++⎣=='⎦+-+=10a -≥1a ≥'()0,()f x f x >311(1)0ln 224a f +=>>-1()ln 24f x ≥-x20当，即时，递增；递减，的最大值恒成立，令，所以，在递增，且，，即25. 已知抛物线，焦点为，过作动直线交抛物线于两点，过作抛物线的切线，过作直线的平行直线交轴于，设线段的垂直平分线为，直线的倾斜角为．已知当时，．（1）求抛物线的方程；（2）证明：直线过轴上一定点，并求该定点的坐标．【25题答案】【答案】（1）（2）证明见解析，【解析】【分析】（1）法一：根据题意，易得直线的方程为：，与抛物线方程联立，求得，代入求解；法二：设抛物线的准线为，过作于，过作10a -<1a <()()10,,0,1x f x f x a ⎛⎫'∈> ⎪-⎝⎭()()1,,0,1x f x f x a ∞⎛⎫∈+< ⎪-⎝⎭'()f x ∴111(ln(1)ln 212(1)4f a a a =--+<---1()ln(1),(1)2(1)g a a a a =--+<-()()()()22211110,(1)12121a g a a a a a -+=+=>-'<--()g a (),1-∞1(1)ln 24g -=-1a ∴<-(),1a ∞∈--2:2(0)C x py p =>F F l C 1122(,),(,)A x yB x y 12()y y ≥B C m A m n y D AD a l α4cos 5α=-14y =Ca y 24x y=(0,1)l 342py x =-+(2,4)-A p 22x py=C b A 1AA b ⊥1A F21于，根据，结合抛物线的定义，得到，再由求解；（2）设的方程为，与抛物线方程联立，用导数法得到切线斜率，由，得到直线的斜率，进而得到直线的方程，令，得到D 的坐标，进而得到线段的垂直平分线的方程求解.【小问1详解】解：法一：当时，直线的斜率为，又过焦点，故直线的方程为：，代入得：，为钝角，，，代入，解得，抛物线的方程为法二：如图：设抛物线的准线为，过作于，过作于，为钝角，在线段上21FA AA ⊥2A 4cos 5α=-22||||sin =∠AA AF AFA 2112||||=-AA AA A A l 1y kx =+m 22=m x k //m n n n 0x =AD a4cos 5α=-l 34-l F l 342p y x =-+22x py =222320x px p +-=12,y y α≥ 12120,0,2,2p x x x p x ∴<>∴=-=(2,4)A p ∴-22x py =2p =∴C 24x y=C b A 1AA b ⊥1A F 21FA AA ⊥2A 12,y y α≥ 2A ∴1AA22，，又，，解得，抛物线的方程为；【小问2详解】直线与抛物线相交，的斜率存在，由（1）知，设的方程为，代入，得，，由，得，则，切线斜率，，243cos ,sin 55AFA α=-∴∠= 223||||sin (425p AA AF AFA ∴=∠=+⨯21121||||422ppAA AA A A y p =-=+-=-3(44252pp∴+⨯=-2p =∴C 24x y = l C l ∴(0,1)F l 1y kx =+24x y =2440x kx --=12124,4x x k x x ∴+==-24x y =24x y =2xy '=∴m 22=m x k //m n23直线斜率，又直线过直线的方程为：，令，得，，的中点，则线段的垂直平分线的斜率，（，否则为轴，与抛物线只有一个交点），直线的方程为：，设与轴交于点，，直线过定点，命题得证．请考生在第22，23两题中任选一题做答．只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑．选修4—4：坐标系与参数方程27. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；∴n 22n x k =n 11(,),A x y ∴n 211()2x y y x x -=-0x =1212=-D x x y y 1214,2=-∴=+ D x x y y AD ∴11(,1)2x M y +AD a 22a k x =-20x ≠l y ∴a 1122(1)()2x y y x x -+=--a y 0(0,)y 222211111012121111444x x x x x y y x x x ∴=++=++=+-=∴a (0,1)xOy C 12:1x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t Ox C24（2）若、是曲线上的两点，且，求的最小值．【27题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在曲线的参数方程中消去参数，可得出曲线的普通方程，再利用直角坐标方程与极坐标方程之间的转换关系可得出曲线的极坐标方程；（2）因为，所以可设、，利用勾股定理可得出，然后利用三角恒等变换结合正弦型函数的有界性可求得的最小值.【小问1详解】解：在曲线的参数方程中，可得，两式相乘得普通方程为，故曲线的极坐标方程为，即．【小问2详解】解：因为，所以可设、，所以，A B C 0OA OB ⋅= AB 22244cos sin ρθθ=-3C t C C 0OA OB ⋅= (),A A ρθ,2B B πρθ⎛⎫± ⎪⎝⎭2222222444cos sin 4sin cos A B AB ρρθθθθ=+=+-- AB C2222x y t x y t +=⎧⎪⎨-=⎪⎩2244x y -=C 22224cos sin 4ρθρθ-=22244cos sin ρθθ=-0OA OB ⋅= (),A A ρθ,2B B πρθ⎛⎫± ⎪⎝⎭222222222444cos sin 4sin cos A B AB OA OB ρρθθθθ=+=+=+--25，故当且仅当时，的最小值为.选修4—5：不等式选讲29. 已知函数．（1）解不等式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．【29题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，分，，三种情况讨论求解；（2）解法一：令，进而分和两种情况讨论，当时，数形结合求解即可；解法二：结合题意，当时，化为，进而结合绝对值三角不等式得，进而得答案.【小问1详解】()()2222224412125cos 15sin 125sin cos 45cos 15sin 1θθθθθθ=+==-----212121625253sin 24444θ=≥=--2sin 21θ=AB3()|1|2||f x x x =+-()12x f x <-()|1|f x a x ≤-a44,,53∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[)1,∞+1x <-10x -≤≤0x >()|1|g x a x =-0a ≤0a >0a >1x ≠()|1|f x a x ≤-|1|2|||1|x x a x +-≥-max ()1g x =26解：当时，，则，当时，，则，当时，，则，综上，【小问2详解】解：法一：令当时，，故不合题意，当时，如图所示为的图象，恒过定点，故恒成立，又，则1,0()1231,101,1x x f x x x x x x x -+>⎧⎪=+-=+-≤≤⎨⎪-<-⎩∴1x <-11102x x x -<-⇒<1x <-10x -≤≤1431125x x x +<-⇒<-415x -≤<-0x >141123x x x -+<-⇒>43x >44(,)(,)53x ∈-∞-+∞ ()|1|g x a x =-0a ≤(0)1,(0),(0)(0)f g a f g ==∴>0a ≤0a >(),()f x g x ()g x (1,0)()()f x g x ≤⇔||1a ≥0a >[)1,a ∈+∞27法二：当时，为，显然成立，，当时，化为令，则,当且仅当且时等号成立.，综上知：1x =()|1|f x a x ≤-00≤a R ∈1x ≠()|1|f x a x ≤-|1|2|||1|x x a x +-≥-|1|2||()|1|x x g x x +-=-|1|2|||12|()1|1||1|x x x x g x x x +-+-=≤=--0x ≥1x ≠max ()1,1g x a ∴=∴≥[)1,a ∈+∞。

一、单选题二、多选题1. 函数的定义域为（ ）A．B．C．D．2. 已知复数z满足，则（ ）A ．2B ．4C ．8D ．163. 设，是两个集合，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家奥纳多·达·芬奇创作的油画，现收藏于法国卢浮宫博物馆.该油画规格为，纵，横，油画挂在墙壁上的最低点处B离地面（如图所示）.有一身高为的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为），设该游客离墙的距离为，视角为.为使观赏视角最大，x 应为（）A ．77B．C．D ．805.已知,若,则A．B．C．D．6. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A．B．C．D．7. 在锐角中，下列结论一定成立的有（ ）A．B．C．D．8. (多选题)如图，正方体中，若分别为棱的中点，分别是四边形，的中心，则（）A．四点共面B ．四点共面河南省开封市2023届高三下学期第二次模拟考试文科数学试题(高频考点版)河南省开封市2023届高三下学期第二次模拟考试文科数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题C ．四点共面D．四点共面9.已知向量，且与的夹角为，则___________.10. 如图，某人想要从点A 出发绕阴影部分走一圈，他可按图中提供的向量行走，则将这些向量按顺序排列为________．11. 若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.12.设点、分别为双曲线的左、右焦点，过点作直线交双曲线的两条渐近线于点、，满足，，则双曲线的离心率_________．13. 如图,在三棱锥中,,D ,E 分别是的中点．(1)求证：平面;(2)求证：平面．14. 如图，四边形为正方形，平面，，点分别为的中点.(1)证明：；(2)求与平面所成角的正弦值.15. 已知三角形的三个顶点是，，，边BC 上的高所在直线为l ．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 关于点B对称的直线的方程．16. 已知函数y ＝3x 的图象，怎样变换得到的图象？并画出相应图象．。

2023届江西省五市九校协作体高三第二次联考模拟数学（文科）试题一、单选题1．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合{}1,,A a b =，{}2,,B a a ab =，若A B =，则20232022a b +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知i 为虚数单位，复数z 满足|2i |1z -=，则||z 的最大值为（ ）A ．1BC ．2D ．33．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它是一种绕一个支点高速转动的刚体，种类很多，其中有一种金属陀螺（如图），它的形状可以认为是上半部分为圆柱，下半部分为倒置的圆锥；现知尖底长()PO 为3，柱体与锥体部分高之比 2:1，底周长为2π，则陀螺的表面积为（ ）A ．4π⎛ ⎝B ．6πC ．5π⎛ ⎝D ．(5π4．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则89是下列哪个是事件的概率？A ．颜色全相同B ．颜色不全相同C ．颜色全不相同D ．无红球5．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知三个数0.5333,log 2,cos 2a b c ===，则它们之间的大小关系是（ ）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a b c <<D ．b<c<a6．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）一条光线从点()1,1-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1x y -+=相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为（ ）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知θ是第三象限的角，且445sin cos 9+=θθ，那么sin 2θ的值为A B ．C ．23D ．23-8．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）在一次独立性检验中得到如下列联表：A 1A 2总计B 12008001000B 2180a 180＋a 总计380800＋a1180＋a若这两个分类变量A 和B 没有关系，则a 的可能值是（ ）A ．200B ．720C ．100D ．1809．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）某大学开设选修课，要求学生根据自己的专业方向以及自身兴趣从6个科目中选择3个科目进行研修，已知某班级a 名学生对科目的选择如下所示，则a 、b 的一组值可以是（ ）科目国际金融统计学市场管理二战历史市场营销会计学人数2428141519bA ．40a =，10b =B ．40a =，30b =C ．37a =，21b =D ．37a =，11b =10．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）在等比数列{n a }中，148,1a a ==-．记()121,2,n n T a a a n ==L L ，则数列{n T }（ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项11．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得12PF PF ⊥，且12PF F △的内切圆与y 轴相切，则该双曲线的离心率为（ ）AB1C1D．212．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）宋神宗熙宁九年文学家苏轼在《水调歌头·明月几时有》中有一名句“月有阴晴圆缺”表达了他超脱的胸怀。

2024届高三第二次教学质量检测（二模）语文试题（附参考答案）（考试时间：150分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前,务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,务必擦净后再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题,18分）阅读下面的文字,完成1~5题。

材料一：古希腊以来的许多唯物主义者,他们思考的问题不是物本身,而是对物的阐释。

从泰勒斯的水、赫拉克利特的火到德谟克利特的原子,他们都在言说物的存在本质在于其物质上的构成。

这是一种最为朴素的对物的理解与阐释,仿佛在我们弄清楚了物的构成物质之后,便可以很清晰地理解物以及物的本质。

一把铁锤之所以是物,是因为它是由铁原子构成的；一个电脑之所以是物,是因为它是由电脑的硬件物质构成的;一个数字空间中的怪物,我们无法说这个数字怪物是由某种有机化合物组成的,但仍然可以将这个怪物看成是一个电子脉冲或比特。

这种对物的理解方式,可以被认为是向下还原。

海德格尔则以一个古希腊陶壶为例,提出了自己的理解：壶之所以为壶,不在于壶壁和壶底,而在于居于其中的虚空。

这句话很容易让我们联想到《道德经》中的“埏埴以为器,当其无,有器之用”。

不过,海德格尔关注的并不仅仅是壶中虚无的物质形态,而且是我们如何在观念中架构了壶这个物体。

也就是说,人将壶之物纳入人类本身的生存机制之中,当我们使用壶来装水、酒等物时,壶才向我们呈现为一个壶。

壹的物性,并不在于它如何呈现出自己物质材料的构成,而在于它是一种可以在人的生存机制中找到使用位置的物品。

这种对物的理解方式,可以被认为是向上还原。

无论是向下还原还是向上还原,都是把人当作主体,而把物当作外在于人的客体。

在数字空间中,情况却完全不同。

2024年杭州市高三语文第二次模拟考试卷(试卷满分150分，考试时间150分钟)一、现代文阅读（35 分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5 小题，18分）阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一：达尔文雀隶属于雀形目燕雀科，一共14 种，其中 13 种分布在加拉帕戈斯群岛上，另一种分布在距加拉帕戈斯群岛600km的可可岛上：达尔文雀羽毛颜色均为暗色，体形相似，体长7-12cm不等，种间最明显的区别是喙部的形状和大小。

据考证，这14 种达尔文雀是在过去的100 万年至300万年间由同一祖先进化而来。

1835 年9月，达尔文乘“贝格尔”号航行到加拉帕戈斯群岛时，在岛上发现一些羽毛颜色暗淡的雀形目鸟类，并采集了标本带回英国。

后来，英国鸟类分类学家 Gould在研究达尔文收集的鸟类标本时发现这些雀形目鸟类是一些以前没有描述过的新种。

达尔文也因此受到了启发，在《物种起源》中论述到：“这些在加拉帕戈斯群岛上生活的雀形目小鸟实在令人感兴趣，它们由一个种分化出来而适应了不同的生活环境。

”这些加拉帕戈斯群岛上的雀形目小鸟促使达尔文产生了生物进化的思想，后人为了纪念达尔文就把这些雀形目小鸟称为达尔文雀。

（摘编自邓文洪、郑光美《达尔文雀与生物进化》）材料二：1938 年12 月，28岁的英国帅小伙大卫·拉克和他的研究团队登上了圣克里斯托巴尔岛，研究不同种“达尔文雀”的繁殖和觅食行为。

每天上午他外出观察这些小鸟，下午则捕捉个体尝试进行圈养，看不同种之间是否会发生杂交。

正如达尔文曾指出的那样，“达尔文雀”非常温顺，不怕人而易于接近。

这些“很傻很天真”的鸟，是拉克在野外非常难得的理想观察对象。

1939 年4月，拉克一行和4种共计40 只地雀一起来到美国旧金山的加州科学院。

从4月底至9月初，拉克在加州科学院、加州大学伯克利分校比较动物学博物馆、哈佛大学比较动物学博物馆等地的馆藏做研究，还专程去大英博物馆检视了达尔文当年采集的标本，最后他竟总共测量了近6400 号“达尔文雀”标本！根据掌握的翔实资料，拉克很快撰写出了题为《加拉帕戈斯地雀亚科形态变异研究》的专著。

2024届模拟试卷（二）数学（答案在最后）命题人：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()x f =的定义域是A ．[]2,2-B ．()2,2-C ．{}2,2x x x <->或D ．{}2,2-2.已知函数()y f x =的图象是下列四个选项图象之一，且其导函数()y f'x =的图象如图所示，则该函数的图象是A ．B ．C ．D ．3.中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则该双曲线的渐近线方程为A ．34y x =±B ．43y x =±C ．45y x =±D ．54y x=±4.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，当()32f -=-时，则()2023f 等于A ．2B ．2-C ．0D ．4-5.将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图象关于直线π4x =对称，则ϕ的最小值为A ．3π4B ．1π2C ．3π8D ．1π86.为调查某地区中学生每天睡眠时间（单位：小时），采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为A ．0.96B ．0.94C ．0.79D ．0.757.在等腰△ABC 中，120BAC ∠=︒，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，则向量BD 在BA上的投影向量为A ．32BAB ．4BAC ．2BAD ．34BA8.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC （包括端点）上运动，则下列结论一定成立的是A ．三棱锥1A A PD -的体积大小与点P 的位置有关B ．1A P 与平面1ACD 相交C ．平面1PDB ⊥平面11A BC D ．1AP D C⊥二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有A ．2c cd<B ．a c b d -<-C ．ac bd<D ．0c d a b->10.在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程占全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了四十二里路11.三棱锥A -BCD 的侧棱AB 垂直于底面BCD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，三棱锥A -BCD 的体积43A BCD V -=，则A ．三棱锥A -BCD 的四个面都是直角三角形B ．2CD =C ．π2CDA ∠=D ．三棱锥A -BCD 外接球的体积三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复数范围内方程210x x ++=的解为.13.已知圆N ：22650x y y +-+=，直线1y =-，圆M 与圆N 外切，且与直线1y =-相切，则点M 的轨迹方程为.14.若m ，*n ∈N ，3m ≥，2n m +≥，则22111222A A A C A A mm m n m n m n ----=++.（请用一个排列数来表示）四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =.（1）求角C 的大小；（2）求△ABC 面积的最大值.16.（本小题满分15分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，PD ⊥底面ABCD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）若PD AD =，求二面角A -PB -C 的余弦值.17.（本小题满分15分）已知椭圆G ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为63，右焦点为()，斜率为1的直线l 与椭圆G交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -.（1）求椭圆G 的方程；（2）求△PAB 的面积.18.（本小题满分17分）某手机App 为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制：每次抽奖中奖的概率为p ，n 次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖.每次中奖时有12的概率中积分奖，有12的概率中现金奖.若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束.（1）若2n =，12p =，试求直到第3次才抽到现金奖的概率；（2）若19n =，0.01p =，X 表示抽到现金奖时的抽取次数.（ⅰ）求X 的分布列（用p 表示即可）；（ⅱ）求X 的数学期望()E X .（180.990.8345≈，结果四舍五入精确到个位数）19.（本小题满分17分）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，当0x ∆>，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处右可导；当0x ∆<，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处左可导.当函数()y f x =在点0x 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数()y f x =在点0x 处可导.（1）请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；（2）已知函数()22132e sin e ax f x x x x x +=--.（ⅰ）求函数()21esin e ax g x x x +=--在0x =处的切线方程；（ⅱ）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围.2024届模拟试卷（二）数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DBAACBDCADACDABD2.B【解析】由()y f'x =的图象知，()y f x =为增函数，且在区间()1,0-上增长速度越来越快，而在区间()0,1上增长速度越来越慢.故选B ．3.A【解析】∵53c a =，∴222259a b a +=，∴43b a =.∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为a y x b =±.∴所求双曲线的渐近线方程为34y x =±.故选A ．4.A【解析】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴()()2f x f x =-，故()()()2f x f x f x -=+=-，∴()()()24f x f x f x =-+=+，∴()f x 是周期为4的周期函数.则()()()3(202350533)42f f f f =⨯+==--=.故选A ．6.B【解析】初中生人数800m =，每天睡眠时间的平均数9x =，方差211s =；高中生人数1200n =，每天睡眠时间的平均数8y =，方差220.5s =.总的样本平均数8.4mx n y a m n +==+.总的样本方差()()22221220.94m s x a n s y a s m n⎡⎤⎡⎤+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==+.故选B ．7.D【解析】设AB AC x ==，由余弦定理可知22222cos1203BC AB AC AB AC x =+-⋅⋅︒=，∴BC =，30ABC ∠=︒，∵AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，△ABC 是等腰三角形，∴D 是BC 中点，2BD x =，由图可知向量BD 在BA 上的投影向量为BE ，3cos304BE BD x =︒= ，34BE BA = ，∴34BE BA =.故选D .8.C 【解析】对于选项A ，11A A PD P AA D V V --=．在正方体中，1BC ∥平面1AA D ，所以点P 到平面1AA D 的距离不变，即三棱锥1P AA D -的高不变，又1AA D ∆的面积不变，因此三棱锥1P AA D -的体积不变，即三棱锥1A A PD -的体积与点P 的位置无关，故A 不成立；对于选项B ，由于11BC AD ∥，1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊂/平面1ACD ，所以1BC ∥平面1ACD ，同理可证1BA ∥平面1ACD ，又11BA BC B = ，所以平面11BA C ∥平面1ACD ，因为1A P ⊂平面11BA C ，所以1A P ∥平面1ACD ，故B 不成立；对于选项C ，因为11A C BD ⊥，111A C BB ⊥，1BD BB B = ，所以11A C ⊥平面1BB D ，则111A C B D ⊥；同理11A B B D ⊥，又1111A C A B A = ，所以1B D ⊥平面11A BC ，又1B D ⊂平面1PDB ，所以平面1PDB ⊥平面11A BC ，故C 成立；对于选项D ，当B 与P 重合时，AP 与1D C 的夹角为π4，故D 不成立.故选C ．9.AD 【解析】因为0a b c d >>>>，所以0a b >>，0c d >>，对于A ，因为0c d >>，由不等式的性质可得2c cd <，故选项A 正确；对于B ，取2a =，1b =，1c =-，2d =-，则3a c -=，3b d -=，所以a c b d -=-，故选项B 错误；对于C ，取2a =，1b =，1c =-，2d =-，则2ac =-，2bd =-，所以ac bd =，故选项C 错误；对于D ，因为0a b >>，0d c <<，则ad bc <，所以c d a b >，故0c da b->，故选项D 正确.故选AD ．10.ACD【解析】设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，因为6378S =，所以166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第一天走了九十六里路，所以A 正确；对于B ，由于31192484a =⨯=，4813788>，所以B 不正确；对于C ，由于378192186-=，1921866-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确；对于D ，456378192964842a a a ++=---=，所以此人后三天共走了四十二里路，所以D 正确.故选ACD ．11.ABD 【解析】∵AB BC ⊥，BC CD ⊥，构造如图所示的长方体，则AD 为三棱锥A -BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R .∵1114223263A BCD V BC CD AB CD -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，∴2CD =，∴该长方体为正方体，∴AD =∴R =，∴外接球体积为34π3V R ==.故选ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.12x -=13.212x y=【解析】由题意得，直线l ：1y =-，且圆N ：()2234x y +-=，设点M 到直线l 的距离为r ，则点M 到l ＇：3y =-与点M 到点N 的距离相等，都是2r +，故点M 的轨迹是以N 为焦点，以l ＇为准线的抛物线，故方程为212x y =.14.2A mn -【解析】法一：直接计算，略.法二：实际意义：从n 个元素中选取m 个元素排列到m 个位置上去，对于两个指定的元素a ，b 进行分类，a ，b 都被选出来，有222A A m m n --种排法，a ，b 中有一个被选出来，有11122C A A m m n --种排法，a ，b 都没有被选出来，有2A mn -种排法，所以221112222A A A C A A A mm m mn m n m n n -----=++.法三：特值法试一试，如取3m =，7n =，再猜出排列数.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）()cos 2cos cos C A B C =+=-，22cos cos 10C C +-=，1cos 2C =，因为()0,πC ∈，所以π3C =.（2）由外接圆半径2R =和正弦定理知1sin sin 2ABC S ab C A B ∆==，2ππsin sin 3sin 22236ABC S A B A A A A A ∆⎛⎫⎛⎫==-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当π3A =时，△ABC的面积最大值为16.【解析】（1）因为60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，由余弦定理得BD =，从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥．又AD PD D = ，AD ，PD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ．因为PA ⊂平面PAD ，所以PA BD ⊥．（2）如图，以D 为坐标原点，射线DA ，DB ，DP 分别为x ，y ，z 的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz，则()1,0,0A，()B，()C -，()0,0,1P.()AB =-，()1PB =-，()1,0,0BC =- 设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则00n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0x z ⎧-+=⎪-=，因此可取n =.设平面PBC 的法向量为m ，则0m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取(0,1,m =-，则cos ,7m n <>==-，经判断，二面角A -PB -C 为钝角，故二面角A -PB -C的余弦值为7-.17.【解析】（1）由已知得c =3c a =，解得a =，又2224b a c =-=，所以椭圆G 的方程为221124x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，由221124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22463120x mx m ++-=，①设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y （12x x <），AB 中点为()00,E x y ，则120324x x x m +==-，004my x m =+=，因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE AB ⊥，所以PE 的斜率为241334mk m -==--+，解得2m =，此时方程①为24120x x +=，解得13x =-，20x =，所以11y =-，22y =，所以AB =，又点()3,2P -到直线AB ：20x y -+=的距离2d ==，所以1922PAB S AB d ∆=⋅=.18.【解析】（1）设抽到现金奖时共抽取了3次为事件A ，则事件A 包括第一次未中奖第二次未中奖第三次中了现金奖或第一次未中奖第二次中了积分奖第三次中现金奖，则()1111111222244P A =⨯⨯+⨯⨯=，所以直到第3次才抽到现金奖的概率为14.（2）（ⅰ）X 的可能取值为1，2，3，…，19，20，21.()112P X p ==，()()()()()2121111121222i i i P X i p p p p p p p ---==-⋅+-⋅=--，2i =，3， (19)()()()()18191811120111222P X p p p p ==-⋅+-⋅=-，()()()1919112111122P X p p ==-⋅⨯=-，所以X 的分布列为X 12…i …2021P 12p ()122p p -…()()21212i p p p ---…()18112p -()19112p -其中2i =，3，…，19.（ⅱ）()()()()()()12111112232121192222i E X p p p p p p i p p p -=⨯+⨯-+⨯--++⨯--++⨯ ()()()1719181112120(1)211222p p p p p --+⨯-+⨯-()()()()()()217181911212231411911011222p p p p p p p p ⎡⎤=+-+-+-++-+-+-⎣⎦ ，令()()()21723141191S p p p =+-+-++- ，则()()()()()23181213141191p S p p p p -=-+-+-++- ，作差得()()()17181112191p p pS p p ⎡⎤---⎣⎦=+--，所以()()()()()18182111192221222p p p p p S p p p p ⎡⎤----⎣⎦-=-+---，()()()()()()()181818192111192122110112222p p p E X p p p p p p p ⎡⎤----⎣⎦=+-+---+-+-()1811112192p p p p ⎛⎫=++---≈ ⎪⎝⎭，所以X 的数学期望()E X 约为19.19.【解析】（1）y x =，0x =为该函数的极值点，该函数在0x =处的左导数为1-，右导数为1，所以该函数在0x =处不可导.（2）（ⅰ）切线方程为0y =.（ⅱ）()()22213221e sin e e sin e ax ax f x x x x x x x x ++=--=--，因为当0x ≠时，20x >，故()f x 与()g x 同号，()21e sin e ax g x x x +=--，现考察()g x 的性质，由于()g x 为偶函数，只需分析其在()0,+∞上的性质即可，()212e sin cos ax g'ax x x x x +=--，()0,0g'=，()()222124e 2cos sin ax a a x x x x g''x +=+-+，()2e 20g 'a '=-，则必有()e 2002g''a =-≥，即1e a ≥.①否则，若()e 2002g''a =-<，即1ea <，则必存在一个区间()0,m ，使得()0g''x <，则()g'x 在()0,m 单调递减，又()00g'=，则()g'x 在区间()0,m 内小于0，则()g x 在()0,m 单调递减，又()00g =，故()g x 在区间()0,m 内小于0，故()f x 在区间()0,m 内小于0，则0x =不可能为()f x 的极小值点.②当1ea ≥时，()22111e e sin e e sin e x ax g x x x x x ++=----≥，令()211e esin e x h x x x +=--，()2112e sin cos e x e x h x x x 'x +=--，()2112e 224e 2cos sin e e x h x x x x ''x +⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，易知2112e 224e e e x y x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,+∞上单调递增，对2cos sin y x x x =-+，2sin sin cos 3sin cos y'x x x x x x x =++=+，则3sin cos y'x x x =+在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上大于0，故2cos sin y x x x =-+在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.故()2112e 224e 2cos sin e e x h x x x x ''x +⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.又()00h''=，故()0h''x ≥，故()h'x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()00h'=，故()0h'x ≥，故()h x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()00h =，故()0h x >，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()21e sin e 0ax x x x g x h +=-->≥，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，由偶函数知π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x >，故0x =为()f x 的极小值点，所以a 的取值范围为1e a ≥.。