4第4讲函数的图象高考数学复习

第4讲 二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x 是自变量,α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x 12,y ＝x －1.(2)图象(3)性质①幂函数在(0,＋∞)上都有定义；②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增； ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x －m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a<0)图象定义域 (－∞,＋∞)(－∞,＋∞)值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点．( ) (3)当n<0时,幂函数y ＝x n是定义域上的减函数．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c,x ∈[a,b]的最值一定是4ac －b24a.( )(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c,x ∈R 不可能是偶函数．( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1.(必修1P77图象改编)如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象,则a,b,c 的大小关系为________．解析：根据幂函数的性质可知a<0,b>1,0<c<1,故a<c<b. 答案：a<c<b2．(必修1P39B 组T1改编)函数g(x)＝x 2－2x(x∈[0,3])的值域为________．解析：由g(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1,x ∈[0,3],得g(x) 在[0,1]上是减函数,在[1,3]上是增函数． 所以g(x)min ＝g(1)＝－1,而g(0)＝0,g(3)＝3. 所以g(x)的值域为[－1,3]． 答案：[－1,3] [易错纠偏](1)二次函数图象特征把握不准； (2)二次函数的单调性规律掌握不到位； (3)幂函数的图象掌握不到位．1．如图,若a<0,b>0,则函数y ＝ax 2＋bx 的大致图象是________(填序号)．解析：由函数的解析式可知,图象过点(0,0),故④不正确．又a<0,b>0,所以二次函数图象的对称为x ＝－b2a>0,故③正确．答案：③2．若函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3,＋∞)上是减函数,则m 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3,＋∞)上是减函数, 所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0－12m ≤3,即m≤－16.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－16 3．当x∈(0,1)时,函数y ＝x m的图象在直线y ＝x 的上方,则m 的取值范围是________． 答案：(－∞,1)幂函数的图象及性质(1)幂函数y ＝f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y ＝f(x)的图象是( )(2)若(a ＋1)12<(3－2a)12,则实数a 的取值范围是________． 【解析】 (1)设幂函数的解析式为y ＝x α, 因为幂函数y ＝f(x)的图象过点(4,2), 所以2＝4α,解得α＝12.所以y ＝x,其定义域为[0,＋∞),且是增函数,当0<x<1时,其图象在直线y ＝x 的上方,对照选项,故选C.(2)易知函数y ＝x 12的定义域为[0,＋∞),在定义域内为增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a<23.【答案】 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y ＝x α(α∈R)的奇偶性时,当α是分数时,一般将其先化为根式,再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0,＋∞)上单调递增,则α>0,若在(0,＋∞)上单调递减,则α<0.1．已知幂函数f(x)＝xm 2－2m －3(m∈Z)的图象关于y 轴对称,并且f(x)在第一象限是单调递减函数,则m ＝________．解析：因为幂函数f(x)＝xm 2－2m －3(m∈Z)的图象关于y 轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m 2－2m －3为偶数,所以m 2－2m 为奇数,又m 2－2m<0,故m ＝1. 答案：12．当0<x<1时,f(x)＝x 1.1,g(x)＝x 0.9,h(x)＝x －2的大小关系是________．解析：如图所示为函数f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象,由此可知h(x)>g(x)>f(x)．答案：h(x)>g(x)>f(x)求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式．【解】 法一：(利用一般式)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x －m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1), 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12. 所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8,所以n ＝8,所以f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 因为f(2)＝－1,所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1,解得a ＝－4,所以f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2,x 2＝－1, 故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1), 即f(x)＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8,即4a （－2a －1）－a24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去),所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同选取的求解方法也不同,选择规律如下：1．若函数f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)(常数a,b ∈R)是偶函数,且它的值域为(－∞,4],则该函数的解析式f(x)＝________．解析：由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y 轴对称,所以－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a b ,即b ＝－2,所以f(x)＝－2x2＋2a 2,又f(x)的值域为(－∞,4],所以2a 2＝4,故f(x)＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋42．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x 轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R ,都有f(2－x)＝f(2＋x),求f(x)的解析式．解：因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R 恒成立, 所以f(x)的对称轴为x ＝2.又因为f(x)的图象被x 轴截得的线段长为2, 所以f(x)＝0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x －1)(x －3)(a≠0), 又f(x)的图象过点(4,3), 所以3a ＝3,a ＝1, 所以所求f(x)的解析式为 f(x)＝(x －1)(x －3), 即f(x)＝x 2－4x ＋3.二次函数的图象与性质(高频考点)高考对二次函数图象与性质进行考查,多与其他知识结合,且常以选择题形式出现,属中高档题．主要命题角度有：(1)二次函数图象的识别问题； (2)二次函数的单调性问题； (3)二次函数的最值问题． 角度一 二次函数图象的识别问题已知abc>0,则二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项,因为a<0,－b2a<0,所以b<0. 又因为abc>0,所以c>0,而f(0)＝c<0,故A 错． B 项,因为a<0,－b2a>0,所以b>0.又因为abc>0,所以c<0,而f(0)＝c>0,故B 错． C 项,因为a>0,－b2a <0,所以b>0.又因为abc>0,所以c>0,而f(0)＝c<0,故C 错．D 项,因为a>0,－b2a >0,所以b<0,因为abc>0,所以c<0,而f(0)＝c<0,故选D. 【答案】 D角度二 二次函数的单调性问题函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1,＋∞)上是递减的,则实数a 的取值范围是________． 【解析】 当a ＝0时,f(x)＝－3x ＋1在[－1,＋∞)上递减,满足条件． 当a≠0时,f(x)的对称轴为x ＝3－a2a,由f(x)在[－1,＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a<03－a 2a ≤－1，解得－3≤a<0.综上,a 的取值范围为[－3,0]． 【答案】 [－3,0](变条件)若函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1,＋∞),则a 为何值？解：因为函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间为[－1,＋∞),所以⎩⎪⎨⎪⎧a<0，a －3－2a ＝－1,解得a ＝－3.角度三 二次函数的最值问题已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋1,x ∈[－1,2]． (1)若a ＝1,求f(x)的最大值与最小值；(2)f(x)的最小值记为g(a),求g(a)的解析式以及g(a)的最大值． 【解】 (1)当a ＝1时,f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2,x ∈[－1,2], 则当x ＝1时,f(x)的最小值为0,x ＝－1时,f(x)的最大值为4. (2)f(x)＝(x －a)2＋1－a 2,x ∈[－1,2], 当a<－1时,f(x)的最小值为f(－1)＝2＋2a, 当－1≤a≤2时,f(x)的最小值为f(a)＝1－a 2, 当a>2时,f(x)的最小值为f(2)＝5－4a, 则g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ，a<－1，1－a 2，－1≤a≤2，5－4a ，a>2，可知,g(a)在(－∞,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减,g(a)的最大值为g(0)＝1.(1)确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向； 二是看对称轴和最值,它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点,函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手,能准确地判断出二次函数的图象．反之,也可以从图象中得到如上信息． (2)二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动,区间固定；③对称轴定,区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．对于②、③,通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．1．若函数f(x)＝x 2＋ ax ＋b 在区间[0, 1]上的最大值是M,最小值是m,则M －m( ) A ．与a 有关,且与b 有关 B ．与a 有关,但与b 无关 C ．与a 无关,且与b 无关 D ．与a 无关,但与b 有关解析：选 B.f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24＋b,①当0≤－a 2≤1时,f(x)min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b,f(x)max ＝M ＝max{f(0),f(1)}＝max{b,1＋a ＋b},所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关,与b 无关；②当－a2<0时,f(x)在[0,1]上单调递增,所以M －m ＝f(1)－f(0)＝1＋a 与a 有关,与b 无关；③当－a2>1时,f(x)在[0,1]上单调递减,所以M －m ＝f(0)－f(1)＝－1－a 与a 有关,与b 无关．综上所述,M －m 与a 有关,但与b 无关,故选B.2．若函数f(x)＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)对任意实数t,在闭区间[t －1,t ＋1]上总存在两实数x 1,x 2,使得|f(x 1)－f(x 2)|≥8成立,则实数a 的最小值为________．解析：因为a ＞0,所以二次函数f(x)＝ax 2＋20x ＋14的图象开口向上．在闭区间[t －1,t ＋1]上总存在两实数x 1,x 2, 使得|f(x 1)－f(x 2)|≥8成立, 只需t ＝－10a时f(t ＋1)－f(t)≥8,即a(t ＋1)2＋20(t ＋1)＋14－(at 2＋20t ＋14)≥8, 即2at ＋a ＋20≥8,将t ＝－10a代入得a≥8. 所以a 的最小值为8. 故答案为8. 答案：8三个“二次”间的转化(2020·金华市东阳二中高三调研)已知二次函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a,b ∈R)．(1)当a ＝－6时,函数f(x)的定义域和值域都是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，b 2,求b 的值； (2)当a ＝－1时在区间[－1,1]上,y ＝f(x)的图象恒在y ＝2x ＋2b －1的图象上方,试确定实数b 的范围．【解】 (1)当a ＝－6时,函数f(x)＝x 2－6x ＋b,函数对称轴为x ＝3,故函数f(x)在区间[1,3]上单调递减,在区间(3,＋∞)上单调递增．①当2<b≤6时,f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，b 2上单调递减；故有⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＝1,无解；②当6<b≤10时,f(x)在区间[1,3]上单调递减,在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤3，b 2上单调递增,且f(1)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2,故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b 2f （3）＝1,解得b ＝10； ③当b>10时,f(x)在区间[1,3]上单调递减,在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤3，b 2上单调递增,且f(1)<f(b 2),故⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＝b 2f （3）＝1,无解．所以b 的值为10.(2)当a ＝－1时,f(x)＝x 2－x ＋b,由题意可知x 2－x ＋b>2x ＋2b －1对x∈[－1,1]恒成立, 化简得b<x 2－3x ＋1,令g(x)＝x 2－3x ＋1,x ∈[－1,1],图象开口向上,对称轴为x ＝32,在区间[－1,1]上单调递减,则g(x)min＝－1,故b<－1.(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”,它们常结合在一起,而二次函数又是三个“二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体．因此,解决此类问题首先采用转化思想,把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a ≥f(x)max ,a ≤f(x)恒成立⇔a ≤f(x)min .[提醒] 当二次项系数a 是否为0不明确时,要分类讨论．1．(2020·宁波市余姚中学期中检测)设a<0,(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0在(a,b)上恒成立,则b －a 的最大值为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：选A.因为(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0在(a,b)上恒成立, 所以3x 2＋a≥0,2x ＋b≥0或3x 2＋a≤0,2x ＋b≤0,①若2x ＋b≥0在(a,b)上恒成立,则2a ＋b≥0,即b≥－2a>0,此时当x ＝0时,3x 2＋a ＝a≥0不成立, ②若2x ＋b≤0在(a,b)上恒成立,则2b ＋b≤0,即b≤0,若3x 2＋a≤0在(a,b)上恒成立,则3a 2＋a≤0,即－13≤a ≤0,故b －a 的最大值为13.2．已知函数f(x)＝x 2－x ＋1,在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x ＋m 恒成立,则实数m 的取值范围是________．解析：f(x)>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m,即x 2－3x ＋1－m>0, 令g(x)＝x 2－3x ＋1－m,要使g(x)＝x 2－3x ＋1－m>0在[－1,1]上恒成立,只需使函数g(x)＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． 因为g(x)＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减, 所以g(x)min ＝g(1)＝－m －1. 由－m －1>0,得m<－1 .因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞,－1)． 答案：(－∞,－1)[基础题组练]1．已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22,则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 解析：选C.因为函数f(x)＝k·x α是幂函数,所以k ＝1,又函数f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22,解得α＝12,则k ＋α＝32. 2．若幂函数f(x)＝x mn(m,n ∈N *,m,n 互质)的图象如图所示,则( )A ．m,n 是奇数,且mn <1B ．m 是偶数,n 是奇数,且mn >1C ．m 是偶数,n 是奇数,且mn <1D ．m 是奇数,n 是偶数,且mn>1解析：选C.由图知幂函数f(x)为偶函数,且mn <1,排除B,D ；当m,n 是奇数时,幂函数f(x)非偶函数,排除A ；选C.3．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意的x∈R 都有f(x －1)＝f(3－x),则以下结论中正确的是( ) A ．f(0)<f(－2)<f(5) B ．f(－2)<f(5)<f(0) C ．f(－2)<f(0)<f(5)D ．f(0)<f(5)<f(－2)解析：选A.若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意的x∈R 都有f(x －1)＝f(3－x),则f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝1且函数f(x)的图象的开口方向向上,则函数f(x)在(1,＋∞)上为增函数,所以f(2)<f(4)<f(5),又f(0)＝f(2),f(－2)＝f(4),所以f(0)<f(－2)<f(5)．4．(2020·瑞安四校联考)定义域为R 的函数f(x)满足f(x ＋1)＝2f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)＝x 2－x,则当x∈[－2,－1]时,f(x)的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．0解析：选A.当x∈[－2,－1]时,x ＋2∈[0,1],则f(x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2,又f(x ＋2)＝f[(x ＋1)＋1]＝2f(x ＋1)＝4f(x),所以当x∈[－2,－1]时,f(x)＝14(x 2＋3x ＋2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－116,所以当x ＝－32时,f(x)取得最小值,且最小值为－116,故选A.5．若函数f(x)＝x 2－2x ＋1在区间[a,a ＋2]上的最小值为4,则a 的取值集合为( ) A ．[－3,3] B ．[－1,3] C ．{－3,3}D ．{－1,－3,3}解析：选C.因为函数f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2,对称轴为x ＝1,因为在区间[a,a ＋2]上的最小值为4,所以当1≤a 时,y min ＝f(a)＝(a －1)2＝4,a ＝－1(舍去)或a ＝3,当a ＋2≤1时,即a≤－1,y min ＝f(a ＋2)＝(a ＋1)2＝4,a ＝1(舍去)或a ＝－3,当a<1<a ＋2,即－1<a<1时,y min ＝f(1)＝0≠4,故a 的取值集合为{－3,3}．6．(2020·温州高三月考)已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0),g(x)＝f(f(x)),若g(x)的值域为[2,＋∞),f(x)的值域为[k,＋∞),则实数k 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C.设t ＝f(x),由题意可得g(x)＝f(t)＝at 2＋bt ＋c,t ≥k,函数y ＝at 2＋bt ＋c,t ≥k 的图象为y ＝f(x)的图象的部分,即有g(x)的值域为f(x)的值域的子集, 即[2,＋∞)⊆[k,＋∞), 可得k≤2,即有k 的最大值为2. 故选C.7．已知幂函数f(x)＝x －12,若f(a ＋1)<f(10－2a),则实数a 的取值范围是________．解析：因为f(x)＝x －12＝1x (x>0),易知x∈(0,＋∞)时为减函数,又f(a ＋1)<f(10－2a),所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a>0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a>－1，a<5，a>3，所以3<a<5. 答案：(3,5)8．已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R,值域为[1,＋∞),则a 的值为________． 解析：由于函数f(x)的值域为[1,＋∞),所以f(x)min ＝1.又f(x)＝(x －a)2－a 2＋2a ＋4,当x∈R 时,f(x)min ＝f(a)＝－a 2＋2a ＋4＝1,即a 2－2a －3＝0,解得a ＝3或a ＝－1.答案：－1或39．(2020·杭州四中第一次月考)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋1,若存在x 0使|f(x 0)|≤14,|f(x 0＋1)|≤14同时成立,则实数a 的取值范围为________．解析：由f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋4－a 24,考察g(x)＝x 2＋h,当h ＝0时,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤14,⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1≤14同时成立；当h ＝－12时,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤14,|g(－12＋1)|≤14同时成立．所以－12≤h ≤0,即－12≤4－a 24≤0,解得－6≤a ≤－2或2≤a≤ 6.答案：[－6,－2]∪[2,6]10．设函数f(x)＝x 2－1,对任意x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立,则实数m 的取值范围是________．解析：依据题意,得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x－1)2－1＋4(m 2－1)在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立,即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．当x ＝32时,函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53,所以1m 2－4m 2≤－53,即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0,解得m≤－32或m≥32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 11．已知幂函数f(x)＝(m 2－5m ＋7)x m －1为偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)－ax －3在[1,3]上不是单调函数,求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意m 2－5m ＋7＝1,解得m ＝2或m ＝3, 若m ＝2,与f(x)是偶函数矛盾,舍去, 所以m ＝3,所以f(x)＝x 2.(2)g(x)＝f(x)－ax －3＝x 2－ax －3,g(x)的对称轴是x ＝a 2,若g(x)在[1,3]上不是单调函数, 则1<a2<3,解得2<a<6.12．(2020·台州市教学质量调研)已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3),且关于直线x ＝1对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若m ＜3,求函数f(x)在区间[m,3]上的值域．解：(1)因为函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3),且关于直线x ＝1对称, 所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ＝3－b 2＝1,解得b ＝－2,c ＝0,所以f(x)＝x 2－2x.(2)当1≤m＜3时,f(x)min ＝f(m)＝m 2－2m, f(x)max ＝f(3)＝9－6＝3, 所以f(x)的值域为[m 2－2m,3]；当－1≤m＜1时,f(x)min ＝f(1)＝1－2＝－1, f(x)max ＝f(－1)＝1＋2＝3,所以f(x)的值域为[－1,3]．当m ＜－1时,f(x)min ＝f(1)＝1－2＝－1, f(x)max ＝f(m)＝m 2－2m,所以f(x)的值域为[－1,m 2－2m]．[综合题组练]1．(2020·台州质检)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分,图象过点A(－3,0),对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a－b ＝1；③a－b ＋c ＝0；④5a<b.其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B.因为二次函数的图象与x 轴交于两点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,①正确；对称轴为x ＝－1,即－b2a ＝－1,2a －b ＝0,②错误；结合图象,当x ＝－1时,y>0,即a －b ＋c>0,③错误；由对称轴为x ＝－1知,b ＝2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确．故选B.2．(2020·温州市十校联考)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x≥0时,f(x)＝12(|x －a 2|＋|x－2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R,f(x －1)≤f(x),则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：选B.因为当x≥0时,f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2),所以当0≤x≤a 2时,f(x)＝12(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2)＝－x ；当a 2＜x ＜2a 2时,f(x)＝12(x －a 2＋2a 2－x －3a 2)＝－a 2；当x≥2a 2时,f(x)＝12(x －a 2＋x －2a 2－3a 2)＝x －3a 2.综上,函数f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2＜x ＜2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R 上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x ∈R,f(x －1)≤f(x),则需满足2a 2－(－4a 2)≤1,解得－66≤a ≤66. 3．已知函数f(x)＝|x 2＋ax ＋b|在区间[0,c]内的最大值为M(a,b ∈R,c ＞0为常数)且存在实数a,b,使得M 取最小值2,则a ＋b ＋c ＝________．解析：函数y ＝x 2＋ax ＋b 是二次函数,所以函数f(x)＝|x 2＋ax ＋b|在区间[0,c]内的最大值M 在端点处或x ＝－a 2处取得．若在x ＝0处取得,则b ＝±2, 若在x ＝－a 2处取得,则|b －a24|＝2,若在x ＝c 处取得,则|c 2＋ac ＋b|＝2. 若b ＝2,则|b －a 24|≤2,|c 2＋ac ＋b|≤2,解得a ＝0,c ＝0,符合要求,若b ＝－2,则顶点处的函数值的绝对值大于2,不成立． 可得a ＋b ＋c ＝2.故答案为2. 答案：24．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知f(x)＝34x 2－3x ＋4,若f(x)的定义域和值域都是[a,b],则a＋b ＝________．解析：因为f(x)＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1,所以x ＝2是函数的对称轴,根据对称轴进行分类讨论：①当b<2时,函数在区间[a,b]上递减,又因为值域也是[a,b],所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝bf （b ）＝a ,即⎩⎪⎨⎪⎧34a 2－3a ＋4＝b 34b 2－3b ＋4＝a,两式相减得34(a ＋b)(a －b)－3(a －b)＝b －a,又因为a≠b ,所以a ＋b ＝83,由34a 2－3a ＋4＝83－a,得3a 2－8a ＋163＝0,所以a ＝43,所以b ＝43,故舍去． ②当a<2≤b 时,得f(2)＝1＝a,又因为f(1)＝74<2,所以f(b)＝b,得34b 2－3b ＋4＝b,所以b ＝43(舍)或b＝4,所以a ＋b ＝5.③当a≥2时,函数在区间[a,b]上递增,又因为值域是[a,b],所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝af （b ）＝b ,即a,b 是方程34x 2－3x ＋4＝x 的两根,即a,b 是方程3x 2－16x ＋16＝0的两根,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝4,但a≥2,故应舍去．综上得a ＋b ＝5.答案：55．已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0,b ∈R,c ∈R)． (1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0,且c ＝1,F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a ＝1,c ＝0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1,a －b ＋c ＝0,且－b2a ＝－1,解得a ＝1,b ＝2,所以f(x)＝(x ＋1)2.所以F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0. 所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f(x)＝x 2＋bx,原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立, 即b≤1x －x 且b≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x∈(0,1]时,1x －x 的最小值为0,－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．6．(2020·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f(x)＝－x 2＋2bx ＋c,设函数g(x)＝|f(x)|在区间[－1,1]上的最大值为M.(1)若b ＝2,试求出M ；(2)若M≥k 对任意的b 、c 恒成立,试求k 的最大值．解：(1)当b ＝2时,f(x)＝－x 2＋4x ＋c 在区间[－1,1]上是增函数, 则M 是g(－1)和g(1)中较大的一个, 又g(－1)＝|－5＋c|,g(1)＝|3＋c|,则M ＝⎩⎪⎨⎪⎧|－5＋c|，c ≤1|3＋c|，c>1.(2)g(x)＝|f(x)|＝|－(x －b)2＋b 2＋c|,(ⅰ)当|b|>1时,y ＝g(x)在区间[－1,1]上是单调函数, 则M ＝max{g(－1),g(1)},而g(－1)＝|－1－2b ＋c|,g(1)＝|－1＋2b ＋c|,则2M≥g(－1)＋g(1)≥|f(－1)－f(1)|＝4|b|>4,可知M>2.(ⅱ)当|b|≤1时,函数y ＝g(x)的对称轴x ＝b 位于区间[－1,1]之内, 此时M ＝max{g(－1),g(1),g(b)}, 又g(b)＝|b 2＋c|,①当－1≤b≤0时,有f(1)≤f(－1)≤f(b),则M ＝max{g(b),g (1)}≥12(g(b)＋g(1))≥12|f(b)－f(1)|＝12(b －1)2≥12；②当0<b≤1时,有f(－1)≤f(1)≤f(b)．则M ＝max{g(b),g(－1)}≥12(g(b)＋g(－1))≥12|f(b)－f(－1)|＝12(b ＋1)2>12.综上可知,对任意的b 、c 都有M≥12.而当b ＝0,c ＝12时,g(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 2＋12在区间[－1,1]上的最大值M ＝12,故M≥k 对任意的b 、c 恒成立的k 的最大值为12.。

第4讲 奇穿偶回法一、学习目标1.理解奇穿偶回法的本质：是否变号2.能用奇穿偶回法解决乘积型函数的两类问题：（1）不等式问题；（2）极值点问题.二、典例分析 例1.（1）设b a <，函数2))((b x x a y --=的图象可能是（ ）（2）函数()()212x y x x e =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是( ) A. B. C. D.【答案】（1）B ； （2）A例2.（1）已知a ，b R ∈且0ab ≠，对于任意0x ≥均有()()(2)0x a x b x a b ----≥， 则（ ）A ．0a <B ．0a >C ．0b <D ．0b >（2）若不等式(21)ln 0ax x -≥对任意0x >恒成立，则a =________.【答案】（1）C ； （2）12. 例3.（1）若函数2()()f x x x a =-在2=x 处取得极小值，则=a _______.（2）设函数32()31f x x x =++，已知0a ≠，且2()()()(),f x f a x b x a x R -=--∈， 则实数a =________，b =_________.【答案】（1）2a =； （2）2a =-，1b =.三、课外作业1．设函数()x f x xe =，则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点【答案】D2．设函数f(x)＝(1)(1)(1,2)x k e x k --=，则( ) A.当1k =时，()f x 在1x =处取到极小值 B.当1k =时，()f x 在1x =处取到极大值C.当2k =时，()f x 在1x =处取到极小值D.当2k =时，()f x 在1x =处取到极大值【答案】C3．已知a ，R b ∈，关于x 的不等式2()ln 0x ax b x ++⋅≥在(0,)+∞上恒成立，则（ ） A. 当2a =-时，存在b 满足题意 B.当0a =时，不存在b 满足题意C. 当1b =时，存在a 满足题意D.当2b =时，不存在a 满足题意【答案】D4．已知函数2()()()0xf x x ax b e e =++-≤，a ，b R ∈，当0x >时，()0f x ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A. 20a -≤≤B.10a -≤≤C. 1a ≥-D.01a ≤≤【答案】C5．已知a ，b R ∈，且0ab ≠，对任意0x >均有(ln )()()0x a x b x a b ----≥，则（ ） A ．0a <，0b < B ．0a <，0b > C ．0a >，0b < D ．0a >，0b >【答案】B6．设0a <，不等式2(3)(2)0x a x b ++≥，在(,)a b 上恒成立，则b a -的最大值为（ ） A. 1 B. 12 C. 13 D. 14【答案】C 7．设a ，b Z ∈，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则a =_______，b =________.【答案】1a =，2b =.8．对任意的(0,)x ∈+∞，不等式2(ln )(210)0x x a x ax a-+-++≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.109．设a R ∈，若0x >时均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥，则a =_______. 【答案】3210.已知a ，R b ∈，若对任意0x ≤，不等式2(2)(21)0ax x bx ++-≤恒成立，则a b +的最小值为________. 3。

第4讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用1.“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示．(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤1．概念辨析(1)将函数y ＝3sin2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( )(3)将函数y ＝2sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数y＝2sin x2的图象．( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8答案 A解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅是2，周期T ＝2π2＝π，频率f ＝1T ＝1π，初相是π4，故选A.(2)用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、__________、________、________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0解析 列表：五个点依次是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1、⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1、⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0.(3)将函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝________.答案32解析 函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后得函数y ＝－12cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝sin π3＝32.(4)(2018·长春模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解析 由图象可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x＋φ)，又f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝－2，所以2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.题型 一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2答案 D解析 由C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋π2＝cos ( 2x ＋π6 )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12. 根据三角函数图象变换的规律，可得D 正确．2．(2018·蚌埠一模)已知ω>0，顺次连接函数y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx 的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝( )A ．π B.6π2 C.4π3D.3π 答案 B解析 当正弦值等于余弦值时，函数值为±22，故等边三角形的高为2，由此得到边长为2×33×2＝263，边长即为函数的周期，故2πω＝263，ω＝6π2.3．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上单调递增，求ω的最大值．解 函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω上单调递增，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4.解得0<ω≤32，所以ω的最大值为32.4．已知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在区间[0，π]内的图象；(3)说明y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由y ＝cos x 的图象经过怎样的变换而得到．解 (1)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的振幅为1，周期T ＝2π2＝π，初相是－π3. (2)列表：描点，连线．(3)解法一：把y ＝cos x 的图象上所有的点向右平移π3个单位长度，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象；再把y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．解法二：将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝cos2x 的图象；再将y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象常用的两种方法(1)五点法作图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象的变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.1.要想得到函数y ＝sin2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A.向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度答案 B解析 先将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin2x ＋1的图象，故选B.2.(2018·青岛模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，在g (x )图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( )A.x ＝－π24B ．x ＝π4C.x ＝5π24D ．x ＝π12答案 A解析 当函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变时，此时函数解析式可表示为f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )可以表示为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.则函数g (x )的图象的对称轴可表示为4x ＋2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝－π24＋k π4，k∈Z .则g (x )的图象离原点最近的对称轴，即g (x )的图象离y 轴最近的对称轴为x ＝－π24.题型 二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A ．2 2 B. 2 C ．－22 D ．－24答案 D解析 依题意得f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象，则T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，即φ＝π4，所以f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24. 2.设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，其图象上最高点M 的坐标是(2，2)，曲线上的点P 由点M 运动到相邻的最低点N 时，在点Q (6,0)处越过x 轴．(1)求A ，ω，φ的值；(2)函数f (x )的图象能否通过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，写出变换方法；若不能，说明理由．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝(6－2)×4＝16，所以ω＝2πT ＝π8.又因为Q (6,0)是零值点，且|φ|<π，所以π8×6＋φ＝π，所以φ＝π4，经验证，符合题意．所以A ＝2，ω＝π8，φ＝π4.(2)f (x )的图象经过平移变换能得到一个奇函数的图象．由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4，当f (x )的图象向右平移2个单位长度后，所得图象的函数解析式为g (x )＝2sin π8x ，是奇函数.确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)中参数的方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：1．(2018·四川绵阳诊断)如图是函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象，则f (3x 0)＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 D解析 ∵f (x )＝cos(πx ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴32＝cos φ，结合0<φ<π2，可得φ＝π6.∴由图象可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，πx 0＋π6＝2π－π6，解得x 0＝53. ∴f (3x 0)＝f (5)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π＋π6＝－32.2.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24等于________．答案3解析 观察图象可知T 2＝3π8－π8，所以π2ω＝π4，ω＝2，所以f (x )＝A tan(2x ＋φ)．又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ，所以3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4.又图象过点(0,1)，所以A ＝1.综上知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝ 3.题型 三 三角函数图象性质的应用角度1 三角函数模型的应用1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5 B ．6 C ．8 D ．10答案 C解析 由图象可知，y min ＝2，因为y min ＝－3＋k ，所以－3＋k ＝2，解得k ＝5，所以这段时间水深的最大值是y max ＝3＋k ＝3＋5＝8.角度2 函数零点(方程根)问题2.已知关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，则实数a的取值范围是________．答案 [2,3)解析 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a －12，令t ＝x ＋π6，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3得，t ＝x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，画出函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象和直线y ＝a －12，当12≤a －12<1，即2≤a <3时，函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象和直线y ＝a －12有两个公共点，原方程有两个根.角度3 三角函数图象性质的综合3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则( )A ．函数f (x )的对称轴方程为x ＝4k π＋π4(k ∈Z )B.函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k π＋π4，8k π＋5π4(k ∈Z )C.函数f (x )的递增区间为[8k ＋1,8k ＋5](k ∈Z )D.f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －13，8k ＋73(k ∈Z )答案 D解析 由题图知，A ＝2，函数f (x )的最小正周期T ＝4×(3－1)＝8，故ω＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ，因为点(1,2)在图象上，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝2，因为|φ|<π2，所以φ＝π4，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，由π4x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝4k ＋1，即函数f (x )的对称轴方程为x ＝4k ＋1(k ∈Z )，所以A 项错误；由2k π＋π2≤π4x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )得8k ＋1≤x ≤8k ＋5，即函数f (x )的单调减区间为[8k ＋1,8k ＋5](k ∈Z )，所以B ，C两项错误；由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≥1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≥12，所以2k π＋π6≤π4x ＋π4≤2k π＋5π6(k ∈Z )，解得8k －13≤x ≤8k ＋73(k ∈Z )，即不等式f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －13，8k ＋73(k ∈Z )，故选D.(1)三角函数模型在实际应用中体现的两个方面①已知三角函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；②把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)三角函数的零点、不等式问题的求解思路①把函数表达式转化为正弦型函数形式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)； ②画出一个周期上的函数图象；③利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题.1.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 A解析 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象如图所示，由图象可知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数．故选A.2.一个大风车的半径为8 m,12 min 旋转一周，它的最低点P 0离地面2 m ，风车翼片的一个端点P 从P 0开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系式是( )A ．h (t )＝－8sin π6t ＋10B.h (t )＝－cos π6t ＋10C.h (t )＝－8sin π6t ＋8D.h (t )＝－8cos π6t ＋10答案 D解析 设h (t )＝A cos ωt ＋B ，因为12 min 旋转一周， 所以2πω＝12，所以ω＝π6，由于最大值与最小值分别为18,2.所以⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝18，A ＋B ＝2，解得A ＝－8，B ＝10.所以h (t )＝－8cos π6t ＋10.3.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 答案 B解析 依题意，函数f (x )图象的一条对称轴为x ＝0＋π32＝π6，又因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，所以π6－0≤T 4≤π2－π6，所以2π3≤T ≤4π3.根据选项可得，f (x )的最小正周期为π.。

专题4.4 三角函数图像与性质【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1． 函数y ＝2sin 12x －3的最小正周期是________．【解析】最小正周期T ＝2π12＝4π.2． 函数y ＝A sin x ＋1(A >0)的最大值是5，则它的最小值是________．【解析】依题意得A ＋1＝5，所以A ＝4，所以函数y ＝4sin x ＋1的最小值为－4＋1＝－3. 3.判断函数y ＝2cos x 在[－π，0]上的单调性：____________．(填“增函数”或“减函数”) 【解析】由余弦函数的单调性，得函数y ＝2cos x 在[－π，0]上是增函数． 4.不等式2sin x >3的解集为______________________________． 【解析】不等式2sin x >3，即sin x >32，由函数y ＝sin x 的图像得所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x π3＋2k π<x <2π3＋2k π，k ∈Z .题组二 常错题5．函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间是___________________________．【解析】函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间即函数y ＝－cos x 的单调递减区间，也即函数y ＝cos x 的单调递增区间，即[2k π－π，2k π](k ∈Z )．6．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为________．【解析】设直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 的图像的交点为M (a ，y 1)，直线x ＝a 与函数g (x )＝cos x的图像的交点为N (a ，y 2)，则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫a －π4≤2，7．函数f (x )＝2sin x4对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．题组三 常考题8．定义在区间[0，2π]上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝sin x 的图像的交点个数是________． 【解析】由sin 2x ＝sin x 得sin x ＝0或cos x ＝12，因为x ∈[0，2π]，所以x ＝0，π3，π，5π3，2π，交点个数是5.9． 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|sin x |，③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5中，最小正周期为π的所有函数是________．(填序号)【解析】函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝sin x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻折至x 轴上方，即可得到y ＝|sin x |的图像，所以其最小正周期为π，②正确；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的最小正周期为π2，④不正确．【知识清单】1．正弦、余弦、正切函数的图像与性质 1.三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。

高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x =+>的单调性知识点2 二次函数区间求最值知识点3 已知一半求另一半（奇偶性） 知识点4单调奇偶联袂 二、题型归类练专练一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x=+>的单调性例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()f x x x=+. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】（1）函数()f x 为奇函数；（2）()f x 在区间()2,+∞上是增函数；证明见详解. （1）解：由题可知，4()f x x x=+，则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称，又44()()()f x x x f x x x-=--=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数.（2）解：()f x 在区间()2,+∞上是增函数， 证明：12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <， 有12121244()()()()f x f x x x x x -=+-+ 121244()()x x x x =-+-121212(4)x x x x x x -=-， 122x x <<，1212124,40,0x x x x x x >->-<∴,121212(4)0x x x x x x -∴-<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数.名师点评：对于函数()(0)af x x a x =+>主要性质如下：①定义域(,0)(0,)-∞+∞； ②奇偶性：奇函数；③单调性：当0x >时；()(0)af x x a x =+>在上单调递减；在)+∞的单调增；④值域与最值：当0x >时；()(0)af x x a x =+>值域为)+∞，当x =小值特别提醒同学们函数()(0)af x x a x =+>我们称为对钩函数（耐克函数），注意需要0a >这个大前提，当0a ≤时都不再是对钩函数，此时不具有对钩函数的性质。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练专题04 函数的图象、零点及应用考点1 作函数的图象 1.作出下列函数的图象． (1)y ＝⎩⎨⎧－2x ＋3，x ≤1，－x 2＋4x －2，x >1；(2)y ＝2x ＋2；【解析】(1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y ＝2x ＋2的图象是由y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．考点2 识图与辨图2.已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )【答案】D【解析】法一：先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象； 然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D. 法二：先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.3．（2021·浙江省诸暨市第二高级中学高三模拟）函数()21xy x e =-的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()21xy x e =-，则()21xy x e '=+，1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()210x y x e '=+<，所以函数()21x y x e =-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()210x y x e '=+>，所以函数()21x y x e =-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，且12x <时，()210xy x e =-<，所以BCD 均错误，故选：A.4．（2021·吉林高三模拟）函数()6cos 2sin xf x x x=-的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数()6cos 2sin xf x x x=-为奇函数，所以排除选项BC ，又当0x >时，()f x 第一个零点为2x π=，所以令4x π=，则有222sin 0,cos0242x x ππ--=>=>，所以排除D.故选：C 考点3 函数图象的应用 考向1 研究函数的性质5.已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 【答案】C【解析】将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．6．（2021·山东烟台高三模拟）设函数()2,01,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．()0,∞+ C ．()1,0- D ．(),0-∞【答案】D【解析】作出函数()f x 的图象如下图所示：所以，函数()f x 在(),0-∞上为减函数，且当0x ≥时，()1f x =， 因为()()12f x f x +<，观察图象可得2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是(),0-∞.故选：D. 考向2 求不等式解集7.若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2] B.)1,22(C ．(1，2) D ．(2，2) 【答案】A【解析】要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．8.（2021·甘肃省会宁县第一中学高三模拟）已知)(f x 在R 上是可导函数，)(f x 的图象如图所示，则不等式)()(2230x x f x '-->解集为（ ）A ．)()(,21,-∞-⋃+∞B ．)()(,21,2-∞-⋃C ．)()()(,11,02,-∞-⋃-⋃+∞D ．)()()(,11,13,-∞-⋃-⋃+∞ 【答案】D【解析】原不等式等价于()22300x x f x '⎧-->⎪⎨>⎪⎩或()22300x x f x '⎧--<⎪⎨<⎪⎩，结合)(f x 的图象可得，3111x x x x ><-⎧⎪⎨-⎪⎩或或或1311x x -<<⎧⎨-<<⎩，解得1x <-或3x >或11x -<<．故选：D ． 考点4 函数图象对称性的应用9.已知lga ＋lgb ＝0，函数f(x)＝a x 与函数g(x)＝－log b x 的图像可能是( )【答案】B【解析】∵lga ＋lgb ＝0，∴lgab ＝0，ab ＝1，∴b ＝1a .∴g(x)＝－log b x ＝log a x ，∴函数f(x)与g(x)互为反函数，图像关于直线y ＝x 对称，故选B.10．（2021·云南高三模拟）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且满足()()11f x f x =+-，当(]0,1x ∈，()ln f x x =，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为1B ．函数()f x 在()0,2021内单调递增C ．函数()f x 相邻两个对称中心的距离为2D ．函数()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点 【答案】D【解析】由()()11f x f x =+-得：()()2f x f x +=，()f x ∴最小正周期为2，A 错误； 当(]0,1x ∈时，()ln f x x =，又()f x 为R 上的奇函数，则()00f =， 可得()f x 大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 在()0,2021上没有单调性，B 错误；()f x 的对称中心为()()0,k k Z ∈，则相邻的对称中心之间距离为1，C 错误；()ln y f x x =+在区间()0,2021内的零点个数等价于()f x 与ln y x =-在()0,2021内的交点个数，在平面直角坐标系中画出()f x 与ln y x =-大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 与ln y x =-在每个()()2,22k k k Z +∈内都有1个交点，且在区间内的交点横坐标等于或小于21k +，∴两个函数在()0,2021内有1010个交点，即()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点，D正确.故选：D.11．（2021·山东淄博高三模拟）已知函数()y f x =的定义域为{|0}x x x ∈≠R ，，且满足()()0f x f x --=，当0x >时，()ln 1f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由()()0f x f x --=得函数()f x 为偶函数，排除A 、B 项， 又当0x >时，()ln 1f x x x =-+，∴(1)0f =，()20f e e =-<.故选:D 考点5 判断函数零点所在的区间12.设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间)1,1(e，(1，e)内均有零点B ．在区间)1,1(e，(1，e)内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】D【解析】法一：图象法 令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图， 显然y ＝f (x )在)1,1(e内无零点，在(1，e)内有零点．法二：定理法当x ∈),1(e e 时，函数图象是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x <0，所以函数f (x )在),1(e e 上单调递减．又f )1(e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．13．（2021·黑龙江高三模拟）函数()1293xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（）A ．()1,2B ．()1,0-C ．()0,1D ．()2,1--【答案】D【解析】如图，绘出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数29y x =+的图像，结合图像易知，函数()1293xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是()2,1--，故选：D.考点6 判断函数零点(或方程根)的个数14.(2021·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】解方程法，令f (x )＋3x ＝0， 则⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.15．（2021·山东潍坊高三模拟）已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围（ ） A ．()1,0- B ．[]1,0-C ．（0，1）D ．[]0,1【答案】C【解析】因为函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点．作出函数()y f x =图象，由图可知，实数m 的取值范围是(0,1)．故选：C ．16．（2021·浙江镇海中学高三模拟）函数4()log (||1)cos f x x x π=+-的零点个数为（ ） A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】令()4log (||1)x g x =+ ，因为10x +>恒成立，则()g x 的定义域为R ， 由()()44log (||1)log (||1)x g x x g x --+=+==，所以()g x 为偶函数， 当0x >时，()4log (1)g x x +=，在()0,∞+上单调递增，令()cos h x x π=， 分别画出()g x 与()h x 的函数图象，由图可知，()g x 与()h x 有六个交点， 即函数4()log (||1)cos f x x x π=+-有六个零点.故选: D.考点7 函数零点的应用 考向1 根据零点的范围求参数17.若函数f(x)＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2) 【答案】C【解析】由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a －3)<0，解之得0<a<3.18．（2021·浙江高一期末）已知函数()()2log 1,1212,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，若函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．()2,3C ．(]3,4D ．()2,+∞【答案】A【解析】函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，分别画出()y f x =与()h x k =的图象，如图所示，5(1)2f -=，观察图象可得，当522k <≤时，两图象有3个交点，即函数()()F x f x k =-恰有3个零点.故选：A.19．（2021·江西高三模拟）设函数,10()11,01(1)x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，若函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,{0}4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】因为()(),1011,011x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩所以(),1011,011x x f x x x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，其图象如下：函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，等价于()40f x t -=在区间()1,1-内有且仅有一个实数根，又等价于函数()y f x =的图象与直线4y t =在区间()1,1-内有且仅有一个公共点. 于是41t ≤-或40t =，解得14t ≤-或0t =.故选：D 考向2 已知函数零点或方程根的个数求参数20．（2020·湖南高三模拟）已知函数2141,0()1,02x x x x f x x +⎧-+≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()g x f x a =-恰好有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[0,1) B ．(0,1)C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由条件可知()0f x a -=()a f x ⇒=()()g x f x a =-恰好有3个零点，等价于y a =与()y f x =有3个交点，如图画出函数的图象，由图象可知112a <≤.故选：D21.(2021·安庆摸底)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】]2,41[-【解析】∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解． 方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝2)412(-x －14，∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈]2,21[，∴2)412(-x －14∈]2,41[-∴实数a 的取值范围是]2,41[-考点8 用函数图象刻画变化过程22.甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④ 【答案】B【解析】由题知速度v ＝st 反映在图象上为某段图象所在直线的斜率．由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图①符合，乙与图④符合．23．（2021·重庆高三模拟）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，xhr H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得2223333222333r H vt H v h vt h h t H r r πππ⋅=⇒=⇒=⋅，而,,r H v 都是常数，即2323H v r π是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是23323H v h tr π=⋅，203r H t v π≤≤，223323103H v h t r π-'=⋅>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同.故选：A 24．（2021·浙江高三模拟）如图，设有圆O 和定点C ，当l 从0l 开始在平面上绕O 匀速旋转（旋转角度不超过90︒）时，它扫过圆内阴影部分面积S 是时间t 的函数，它的图像大致是如下哪一种（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当直线l 从初始位置0l 转到经过点C 的过程中阴影部分面积增加的越来越快，图像越来越“陡峭”；l 从过点C 的位置转至结束时阴影部分面积增加的越来越慢，图像越来越“平缓”，故选：C.考点9 应用所给函数模型解决实际问题25.某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表： 月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3 4元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元 D ．10元 【答案】A【解析】根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.26．（2021·湖南高三期末）某工厂8年来某种产品年产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示.以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年到第八年每年的年产量保持不变. 其中说法正确的序号是________. 【答案】②④【解析】由图可知，前3年的产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确； 第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确； 综合所述，正确的为：②④. 故答案为：②④.27．（【百强校】福建师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题）如图所示，边长为 1的正方形PABC 沿 x 轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处，点B 恰好能经过原点．设动点P 的纵坐标关于横坐标的函数解析式为()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x = 是偶函数； ②()y f x =是周期为 4 的函数；③函数 ()y f x =在区间[10，12] 上单调递减； ④函数 ()y f x = 在区间[1，1] 上的值域是[1，2] 其中判断正确的序号是_______．(写出所有正确结论的序号) 【答案】①②④【解析】当2x 1-≤<-时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆当1x 1-≤<时，P 的轨迹是以B 为圆心，半径为2的14圆 当1x 2≤<时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的14圆当2x 3≤≤时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆 故函数的周期为4因此最终构成图象如下所示：①根据图象的对称性可知函数()y f x =是偶函数；故正确②由图可得()f x 的周期为4，故正确③函数()y f x =在区间[2，4]上为增函数，故在区间[10，12]上也是增函数，故错误 ④在区间[1，1]上的值域是[1，2]，故正确 综上，正确的序号是①②④考点10 构建函数模型解决实际问题 考向1 构建二次函数模型28.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计) 【答案】2 500【解析】设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )． 当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)．29．（2021·四川高三模拟）某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为6元，即最初3km （不含3km ）计费6元.若某人乘坐该市的出租车去往13km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么他需要支付的车费为_____. 【答案】19.2【解析】乘车距离为x km ，车费为y 元，由题意得：6,036 1.2,346 1.22,456 1.23,56x x y x x <<⎧⎪+≤<⎪⎪=+⨯≤<⎨⎪+⨯≤<⎪⎪⎩， 所以当13x =时，()6132 1.219.2y =+-⨯=元，所以他需要支付的车费为19.2元，故答案为：19.230（2021·河南郑州一中高三模拟）在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为100万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚20万元．该化工厂一次性投资500万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累计收入是关于月份x 的二次函数，前1月、前2月、前3月的累计收入分别为100.5万元、202万元和304.5万元．当改造后累计纯收入首次多于不改造的累计纯收入时，x =（ ）A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】A【解析】不妨设投产后的累计收入2y ax bx c =++，则100.520242304.593a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得1,100,02a b c ===， 211002y x x ∴=+， ∴改造后累计纯收入为215001005002y x x -=+-， 不改造的累计纯收入为()10020x -，令()21100500100202x x x +->-， 即212050002x x +->， 解得201014x >-+201014x <--，20101417.4x ∴>-+，x N *∈，x 的最小值为18.故选：A 考向2 构建指数函数、对数函数模型31.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况【答案】B【解析】设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．32.声强级1L （单位：dB ）与声强I 的函数关系式为：11210lg 10I L -⎛⎫= ⎪⎝⎭.若普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ） A ．610倍B ．510倍C ．410倍D ．310倍【答案】B【解析】设普通列车的声强为1I ，高速列车的声强为2I ，因为普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，所以1129510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2124510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()11129510lg 10lg 1210I I -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得12.5lg I -=，所以 2.5110I -=， ()22124510lg 10lg 1210I I -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得27.5lg I -=，所以7.5210I -=， 两式相除得 2.5517.52101010I I --==， 则普通列车的声强是高速列车声强的510倍.故选：B.33．（2020·重庆市酉阳第一中学校高三月考）为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，并提出著名的普森公式：22112.51g E m m E -=-，联系两个天体的星等1m ､2m 和它们对应的亮度1E ､2E .这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是1.26，猎户星座的“参宿一”星等是1.76，则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的（ ）倍.（当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.567B ．1.568C ．1.569D ．1.570 【答案】B【解析】设“十字架三”的星等是1m ，“参宿一”的星等是2m ，“十字架三”的亮度是1E ，“参宿一”的亮度是2E ，则1 1.26m =，2 1.76m =，设12E rE =， 两颗星的星等与亮度满足22112.51gE m m E -=-， 211.76 1.26 2.51g E E ∴-=-，0.21210E E =0.22101 2.30.2 2.7(0.2) 1.568r ∴=≈+⨯+⨯=，∴与r 最接近的是1.568，故选B ． 考向3 构建分段函数模型34（2021·广东江门市·高三模拟）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（时）之间近似满足如图所示的图象．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为___________小时．【答案】7916【解析】当01t ≤≤时，函数图象是一个线段，由于过原点与点()1,4，故其解析式为4,01y t t =≤≤，当 1t ≥时，函数的解析式为12t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()1,4M 在曲线上，所以1142a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得 3a =， 所以函数的解析式为31,12t y t -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭， 综上，34(01)()1(1)2t t t y f t t -≤<⎧⎪==⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，由题意有340.2510.252t t -≥⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1165t t ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，所以1516t ≤≤， 所以服药一次治疗疾病有效的时间为17951616-=个小时，故答案为：7916． 35．（2020·福建三明市·三明一中高三期中）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是21300,0300()245000,300x x x P x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≥⎩，则总利润最大时店面经营天数是__________，最大总利润是__________．【答案】200 10000元【解析】由题意，0300x ≤<时，221130010010000(200)1000022y x x x x =---=--+，200x ∴=时，10000max y =；300x ≥时，4500010010000350001005000y x x =--=-≤，200x ∴=天时，总利润最大为10000元 故答案为：200, 10000元。

第4讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A.x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C.x ＝k π2－π12(k ∈Z )D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 答案 B2.(2017·衡水中学金卷)若函数y ＝sin(ωx －φ)(ω>0，|φ |<π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A.ω＝2，φ＝π3 B.ω＝2，φ＝－2π3 C.ω＝12，φ＝π3D.ω＝12，φ＝－2π3解析 由图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝π3－k π(k ∈Z )，而|φ|<π2，所以φ＝π3，故 选A. 答案 A3.(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位后的图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( ) A.π6B.π3C.π2D.2π3解析 依题意得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，因为函数f (x －a )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －π6的图象关于y 轴对称，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －π6＝±1，a ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π3，k ∈Z ，因此正数a 的最小值是π3，选B. 答案 B4.(2016·长沙模拟)函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是( )A.2B.3C.4D.5解析 函数y ＝3sin π2x 的周期T ＝2ππ2＝4，由log 12x ＝3，可得x ＝18.由log 12x ＝－3，可得x ＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y ＝3sin π2x 和y ＝log 12x的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f (x )有5个零点.答案 D5.(2017·呼和浩特调研)如图是函数f (x )＝sin 2x 和函数g (x )的部分图象，则g (x )的图象可能是由f (x )的图象( ) A.向右平移2π3个单位得到的 B.向右平移π3个单位得到的 C.向右平移7π12个单位得到的 D.向右平移π6个单位得到的解析 由函数f (x )＝sin 2x 和函数g (x )的部分图象，可得g (x )的图象位于y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为m ，则有17π24－m ＝π4－π8，解得m ＝7π12，故把函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移7π12－π4＝π3个单位，即可得到函数g (x )的图象，故选B. 答案 B 二、填空题6.(2016·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.解析 因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5， 所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6），所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝23－5×12＝20.5. 答案 20.57.(2016·全国Ⅲ卷)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到. 答案 2π38.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )的解析式为________.解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋（1＋1）2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ.又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12， 又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6.答案 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6三、解答题9.已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，其中x ∈R ，ω＞0.(1)当ω＝1时，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)当f (x )的最小正周期为π时，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上取得最大值时x 的值.解 (1)当ω＝1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＋cos π2＝32＋0＝32.(2)f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝sin ωx ＋32cos ωx －12sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.∵2π|ω|＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，得2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.解 (1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32.(2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象， 所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6 ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ).11.(2017·西安调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则下列结论正确的是( )A.f (x )的图象关于直线x ＝π3对称 B.f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C.f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数D.把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象 解析 对于函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin 5π6＝12，故A 错；当x ＝π6时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π2＝1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0不是函数的对称点，故B 错；函数的最小正周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，此时函数为增函数，故C 正确；把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＝sin 2x ，函数是奇函数，故D 错. 答案 C12.(2017·承德一模)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪[6，＋∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.(－∞，－2]∪[6，＋∞)D.(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.答案 D13.已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________. 解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z ). 令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π， ∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案 π14.(2017·郑州模拟)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象.若关于x 的方程g (x )－(2m ＋1)＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围.解 (1)根据表中已知数据， 解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6. 数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －π6.(2)通过平移，g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，方程g (x )－(2m ＋1)＝0可看成函数y ＝g (x )和函数y ＝2m ＋1的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个交点，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，为使直线y ＝2m ＋1与函数y ＝g (x )的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个交点，结合函数y ＝g (x )在[0，π2]上的图象，只需52≤2m ＋1<5，解得34≤m <2. 即实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2.。