2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(理科) (解析版)

2020年湖南省长沙市长高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知复数z 满足(1−i )⋅z =|√3+i|，则z =( )A. 1−iB. 1+iC. 2−2iD. 2+2i2. 已知集合A ={x|1≤x ≤4}，B ={x 2≥9}，则A ∩(∁R B)=( )A. [3,4]B. (−3,4]C. [1,3)D. (−∞,−3]∪[1,+∞)3. 若光线从点A(−3,5)射到直线3x −4y +4=0上，反射后经过点B(2,15)，则光线从A 点反射到B 点所经过的路程为( )A. 5√2B. 5√13C. 5√17D. 5√54. 某校周五的课程表设计中，要求安排8节课(上午4节、下午4节)，分别安排语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻(注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻)，则周五的课程顺序的编排方法共有( )A. 4800种B. 2400种C. 1200种D. 240种5. 过点P(2,1)的直线l 与函数f(x)=2x+32x−4的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. √5 B. 2√5 C. 5 D. 106. 已知两条直线a ，b 和平面α，若a ⊥b ，b ⊄α，则“a ⊥α”是“b//α”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 如右图所示的程序框图中，如果输入三个实数为=3，=7，=2，则输出结果为( )A. 2B. 3C. 7D. x8.函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(x∈R,ω>0,0≤ϕ<2π)的部分图象如图所示，则()A. ω=π2,ϕ=π4B. ω=π3,ϕ=π6C. ω=π4,ϕ=π4D. ω=π4,ϕ=5π49.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y−2)2=1相切，则双曲线的离心率为()A. √2B. 2C. √3D. 310.在数列{a n}中，若对任意的n∈N∗，均有a n+a n+1+a n+2为定值，且a7=2,a9=3,a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=()A. 132B. 299C. 68D. 9911.已知函数f(x)满足f(x)=f′(1)e x−1−f(0)x+12x2，则f(x)的单调递增区间为()A. (−∞,0)B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. (0,+∞)12.已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，ΔABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为()A. √26B. √36C. √23D. √22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.公差d不为0的等差数列{a n}的部分项a k1，a k2，a k3，…构成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=6，则k4=________．14.函数y=x3−2x2+x的单调递减区间是____________．15.已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是抛物线上一点，|AF|=54x0，则x0=______．16.若函数f(x)=ax3−x2+x−5在区间(1,2)上单调递增，则a的范围为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知ba+c =a+b−ca+b．(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若a=15，b=10，求cos B的值．18.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD上的一点，且EB=ED=EC=BC，连接CE并延长交AD于F．(1)若G为PD的中点，求证：平面PAD⊥平面CGF；(2)若BC=2，PA=3，求平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P，Q在椭圆上，P点坐标是(3,1)，△PF1F2的面积为2√2．(1)①求椭圆C的标准方程；②若∠F1QF2=π3，求QF1⋅QF2的值．(2)直线y=x+k与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．20.进入高三，同学们的学习越来越紧张，学生休息和锻炼的时间也减少了．学校为了提高学生的学习效率，鼓励学生加强体育锻炼．某校高中三年级共有学生1000人，其中男生650人，女生350人．为调查该年级学生每周平均体育锻炼时间t(单位：小时)的情况，考虑到性别差异，现采用分层抽样的方法，收集200名学生每周体育锻炼时间t的样本数据．(1)根据这200个样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间t的频率分布直方图(如图所示).其中样本数据分组区间为：(0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12].根据图中数据，求t的平均数并估计该年级学生每周平均体育锻炼时间大于6小时的概率．(2)在样本数据中，有25位女生的每周平均体育锻炼时间t超过6个小时．请填写下面每周平均体育锻炼时间t与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该年级学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.已知函数f(x)=−e x+a(x+1)．(Ⅰ)讨论函数f(x)单调性；(Ⅱ)当f(x)有最大值且最大值大于−a2+a时，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤a<π)，曲线C的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设C与l交于M、N两点(异于O点)，求|OM|+|ON|的最大值．23.设函数f(x)=|2x+2|−|x−2|．(Ⅰ)求不等式f(x)>2的解集；(Ⅱ)若∀x∈R，f(x)≥m恒成立，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，与复数的模化简求得z，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，与复数的模，是基础题．解：根据题意得，z=|√3+i|1−i =21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，故选B．2.答案：C解析：解：B={x|x≤−3，或x≥3}；∴∁R B={x|−3<x<3}；∴A∩(∁R B)=[1,3)．故选：C．可求出集合B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．3.答案：B解析：本题考查光线从A到B的路程，利用轴对称转化成两点间距离公式，属基础题．解：根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于直线3x−4y+4=0的对称点A′到点B的距离，设A关于直线3x−4y+4=0对称的点A′(a,b)，则3×−3+a2−4×5+b2+4=0且b−5a+3×34=−1，解得a=3，b=−3，即A′(3,−3)，所以A′B=√3−22+(15+3)2=5√13．故选B．4.答案：B解析：本题考查分步计数原理和排列的综合运用，属于中档题．分三步，利用相邻问题用捆绑法，特殊位置优先排列，进行求解即可．解：分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置把生物安排，有A 21=2种编排方法；第二步：因为数学和英语在安排时必须相邻，注意数学和英语之间还有一个排列，有5A 22=10种编排方法；第三步：剩下的5节课安排5科课程，有A 55=120种编排方法． 根据分步计数原理知共有2×10×120=2400种编排方法． 故选B ．5.答案：D解析：解：f(x)=2x+32x−4=1+72x−2，∴函数f(x)=2x+32x−4的图象关于点P(2,1)对称，∴过点P(2,1)的直线l 与函数f(x)=2x+32x−4的图象交于A ，B 两点， A ，B 两点关于点P(2,1)对称，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22+1=√5， ∴则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×5=10． 故选：D ． f(x)=2x+32x−4=1+72x−2，可得函数f(x)=2x+32x−4的图象关于点P(2,1)对称，过点P(2,1)的直线l 与函数f(x)=2x+32x−4的图象交于A ，B 两点，A ，B 两点关于点P(2,1)对称⇒OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2即可．本题考查了函数的对称性及向量的运算，属于中档题．6.答案：A解析：解：若a⊥b，b⊄α，a⊥α，则b//α，是充分条件，若a⊥b，b⊄α，b//α，推不出a⊥α，不是必要条件，则“a⊥α”是“b//α”的充分不必要条件，故选：A．分别判断出充分性和不必要性即可．本题考查了充分必要条件，考查线面、线线的位置关系，是一道基础题．7.答案：C解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是判断并输出三个数中最大值。

2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(理科)(二)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={y|y =x 2+2,x ∈R}，B ={y|y =4−x,x ∈R}，则A ∩B =( )A. {3,6}B. {−2,1}C. {y|y ≥2}D. R2. 下面是关于复数z =2−1+i 的四个命题：其中的真命题为( )，p 1：|z|=2， p 2：z 2=2i ，p 3：z 的共轭复数为1+i ， p 4：z 的虚部为−1．A. p 2，p 3B. p 1，p 2C. p 2，p 4D. p 3，p 43. 如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是( )A. 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B. 1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C. 2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D. 2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率 4. 数列{2an+1}是等差数列，且a 1=1，a 3=−13，那么a 2020=( ) A. 10091010B. −10091010C. 20192020D. −201920205. (√x 3−2x )8二项展开式中的常数项为( )A. 56B. −56C. 112D. −1126. 已知a =(12)0.3,b =log 120.3,c =a b，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. c <a <bC. a <c <bD. b <c <a7. 已知，则sin2α=( )A. 12B. √32C. −12D. −√328. 2019年4月25日−27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为( )A. 198B. 268C. 306D. 3789. 在不等式组{x +y −2⩾0,x −y −2⩽0,y ⩽2,，所确定的三角形域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均大于1的概率是( )A. π8B. 4−π2C. 1−π8D. 1−π410. 已知圆x 2+y 2=r 2(r >0)与抛物线y 2=2x 交于A,B 两点，与抛物线的准线交于C,D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于( )A. √22B. √2C. √52D. √511. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =2，AA 1=4，M 是BB 1的中点，点P 在长方体内部或表面上，且平面AB 1D 1，则动点P 的轨迹所形成的区域面积是( )A. 6B. 4√2C. 4√6D. 912. 已知圆C 1：x 2+2cx +y 2=0，圆C 2：x 2−2cx +y 2=0，椭圆C ：x 2a +y 2b=1(a >b >0)，若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( )A. [12,1)B. (0,12]C. [√22,1) D. (0,√22] 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)在(0,+∞)内可导，且f(e x )=x +e x ，则f′(1)=________． 14. 已知|a ⃗ |=1，b ⃗ =(1,√3)，(b ⃗ −a ⃗ )⊥a ⃗ ，则向量a ⃗ 与向量b ⃗ 的夹角为______．15. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示事件从甲罐取出的球是红球，白球和黑球;再从乙罐中随机取出1个球，以B表示事件从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是(写出所有正确结论的编号)． ①P(B)=25; ②P(B|A1)=511; ③事件B与事件A1相互独立; ④A1，A2，A3是两两互斥的事件．16.已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+n，则a2013=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别为a，b，c.已知a2+b2+5abcosC=0，sin2C=72sinAsinB．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若a=1，求△ABC面积．18.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，∠PAD=45°，点E在线段AB上，PE⊥AD且AB=3，AD=PE=AE=2．(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD．(2)求直线PA与平面PDE所成角的正弦值．19.设椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12，已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12．(Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程；(Ⅱ)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为√62，求直线AP的方程．20.已知函数f(x)=m(x2−1)x−2lnx．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若m=12，证明f(x)有且只有三个零点．21. [某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料統计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列为其中0<a <1，0<b <1(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；(2)商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X(单位：元) ①求X 的分布列；②若P(X ≤500)≥0.8，求X 的数学期望EX 的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1−√22ty =2+√22t，(t 为参数)，以坐标原点为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=sinθ． (1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，P(−1,2)，求|PA|⋅|PB|．23.已知函数f(x)=|x+1|．(I)求不等式f(x)<|2x+1|−1的解集M；(Ⅱ)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(a)−f(−b)．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：根据集合的基本运算即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．解：A={y|y=x2+2,x∈R}={y|y≥2}，B={y|y=4−x,x∈R}=R，则A∩B={y|y≥2}，故选：C2.答案：C解析：解：∵z=2−1+i =2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i，∴p1：|z|=√2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为−1+i，p4：z的虚部为−1，故选：C．由z=2−1+i =2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i，知p1：|z|=√2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为−1+i，p4：z的虚部为−1，由此能求出结果．本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：D解析：解析：本题主要考查学生的数据分析能力和图形阅读理解能力，属于基础题．根据图表中包含的信息对照选项分析即可判断真假．解：对于A，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例．所以西安所占比例为3287>13，故A 正确，对于B ，由曲线图可知.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B 正确，对于C ，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213−116−97例，故C 正确， 对于D ，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了98−8888=544，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了88−7474=737，显然737>544，故D 错误．故选：D ．4.答案：B解析：解：设等差数列{2a n+1}的公差为d ，且a 1=1，a 3=−13，∴2a 1+1=1，2a 3+1=3，∴3=1+2d ，解得d =1． ∴2a n +1=1+n −1=n ，∴a n =2n−1．那么a 2020=22020−1=−10091010． 故选：B ． 设等差数列{2an+1}的公差为d ，且a 1=1，a 3=−13，可得2a 1+1=1，2a 3+1=3，3=1+2d ，解得d.可得通项公式，进而得出结论．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项． 解：(√x 3−2x )8二项展开式的通项公式为T r+1=C 8r⋅x8−r3⋅(−2)r ⋅x −r =(−2)r ⋅C 8r⋅x8−4r3，令8−4r 3=0，求得r =2，可得展开式的常数项为4C 82=112，故选C ．6.答案：B解析：解：b =log 120.3>log 1212=1>a =(12)0.3，c =a b <a ．∴c <a <b ． 故选：B ．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：A解析：本题考查二倍角公式以及诱导公式，属于基础题． 由，得，再运用二倍角公式以及诱导公式计算，即可得到答案．解：由，得，=−[1−2sin 2(π4+α)]=−(1−2×34)=12． 故选A ．8.答案：A解析：由排列组合及计数问题分类讨论：①若选两个国内媒体一个国外媒体，②若选两个外国媒体一个国内媒体，可得解．本题考查了排列组合及计数问题，属中档题．。

2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷1（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2+2x=0}，B={−3,−2,−1}，则A∩B=()A. {−2,0}B. {−2}C. {1}D. {−3,−2,−1}2.若复数z1=−1，z2=2+i分别对应复平面上的点P、Q，则向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是()A. 3−iB. 1−iC. 3+iD. 1+i3.已知命题p:∃x0∈R，sinx0≤1，则命题p的否定是()A. ∀x∈R,sinx>1B. ∃x∈R,sinx≥1C. ∃x∈R,sinx≥1D. ∀x∈R,sinx>14.已知a=2−13，，c=log1213，则()A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a5.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位：℃)数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是A. 各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B. 全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C. 全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个D. 从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势6.执行如图所示的程序框图，程序所输出的结果是()A. 4B. 10C. 46D. 227.已知sin(π4−α)=35，0<α<π4，则tanα=()A. 14B. 15C. 16D. 178.直线2x−y−1=0被圆(x−2)2+(y+2)2=9截得的弦长为()A. 2√5B. 4C. 3D. 29.数列{a n}中，a2=3，a5=1，且数列{{1a n+1}}是等差数列，则a8等于()A. 13B. 34C. 23D. 110.函数f(x)=(x+1)ln(|x−1|)的大致图像是()A. B.C. D.11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱A1D1，A1B1，CD的中点，则平面MNP与正方形BCC1B1相交形成的线段的长度为()A. 1B. √2C. 2D. 2√212.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为() A. √2+1 B. √3+1 C. 2 D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 连续抛掷两枚骰子，向上的点数之和为6的概率为______．14. 已知a >0且a ≠1，若函数f (x)={3−x,x ≤2,log a x,x >2的值域为[1,+∞)，则a 的取值范围是__________． 15. 数列{a n }中，若a n +a n+1=7n +5，n ∈N ∗，则a 1+a 100= ______ ．16. 如图，棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的有______ ①三棱锥M −DCC 1的体积为定值 ②DC 1⊥D 1M③∠AMD 1的最大值为90° ④AM +MD 1的最小值为2．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A+B)a+b=sinA−sinBa−c，b =3．(Ⅰ)求角B ；(Ⅱ)若cosA =√63，求△ABC 的面积．18. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA =√6，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC =60°，M ，N 分别为BC 和PB 的中点．．(Ⅰ)求证：平面PBC ⊥平面PMA ； (Ⅱ)求四面体M −AND 的体积．19. 如图是某企业2012年至2018年的污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018．(1)建立y 关于t 的回归方程，预测2019年该企业的污水净化量； (2)请用数据说明回归方程预报的效果．参考数据：y −=54；∑(7i=1t i −t −)(y i −y −)=21,∑(7i=1y i −y ∧)=94参考公式：线性回归方程：y ∧=b ∧t +a ∧；b ∧=7i=1i −t)(y i −y)∑(7i=1t −t)2y −=bt −+a.反映回归效果的公式为：R 2=1−∑(y i −y i ∧)2n i=1∑(y i −y −)2n i=120.已知函数f(x)=e x+ax2(a∈R,e为自然对数的底数)．(Ⅰ)当a=−e2时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)≥x+1在x≥0时恒成立，求实数a的取值范围．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．22.选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，)，将直线l1绕极点O x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为θ=α(0<α<π2个单位得到直线l2．逆时针旋转π3(1)求C和l2的极坐标方程；(2)设直线l1和曲线C交于O,A两点，直线l2和曲线C交于O,B两点，求|OA|+|OB|的最大值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|2x+1|，记不等式f(x)<4的解集为M．(1)求M；(2)设a，b∈M，证明：|ab|−|a|−|b|+1>0．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查集合的运算，属于基础题．根据集合的交集定义即可求得．【解答】解：集合A={x|x2+2x=0}={−2,0}，B={−3,−2,−1}，则A∩B={−2}．故选B．2.答案：C解析：解：∵复数z1=−1，z2=2+i，∴z2−z1=(2+i)−(−1)=3+i．⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数：3+i．∴向量PQ故答案为：C．⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数就是两个复数的差的运算，要复数的实部和虚部分别相减，得到差对应的复数即向量PQ可．本题考查复数的运算和几何意义，解题的关键是写出对应的点的坐标，有点的坐标以后，点的位置就显而易见．3.答案：D解析：【分析】本题主要考查命题的否定．【解答】解：已知已知命题p:∃x0∈R，sinx0⩽1，对命题进行否定：∃x0∈R的否定为∀x∈R，sinx0⩽1的否定为sinx>1，所以命题p的否定是∀x∈R,sinx>1．故选D．4.答案：C解析：【分析】本题考查了指数式与对数式的比较大小，属于基础题．【解答】解：0<a=2−13<20=1，b=log213<log21=0，c=log1213>log1212=1，即0<a<1,b<0,c>1，所以c>a>b．故选C．5.答案：D解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．全年中各月最高气温平均值不低于25℃的月份有5个，从而在这12个月中任取1个月，则所取这个月的最高气温平均值不低于25℃的概率为512．【解答】解：由2017年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值(单位：℃)数据，绘制出的折线图，知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值8月高于7月，故D错误．6.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得i=1，s=1执行循环体，i=2，s=4不满足条件i>3，执行循环体，i=3，s=10不满足条件i>3，执行循环体，i=4，s=22此时，满足条件i>3，退出循环，输出s的值为22．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.答案：D解析：解：∵0<α<π4，∴−π4<−α<0，∴0<π4−α<π4．∵sin(π4−α)=35，∴cos(π4−α)=45，∴tan(π4−α)=34，即1−tanα1+tanα=34，解得tanα=17．故选D．根据同角的三角函数的关系以及两角差的正切公式即可求出．本题考查了同角的三角函数的关系以及两角差的正切公式，属于基础题．解析： 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题． 根据直线和圆的位置关系求解即可． 【解答】解：由题意可得圆心为(2,−2)，半径为r =3，圆心到直线的距离d =2()2=√5， 所以直线被圆截得的弦长为2√r 2−d 2=4； 故选B ．9.答案：A解析： 【分析】本题考查数列的第8项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 求出数列{1a n +1}的公差d =11+1−13+15−2=112，首项1a1+1=11+3−112=16，由此能求出a 8． 【解答】解：∵数列{a n }中，a 2=3，a 5=1，且数列{1a n +1}是等差数列，∴数列{1an +1}的公差d =11+1−13+15−2=112，1a 1+1=11+3−112=16，∴1a8+1=16+7×112=34， 解得a 8=13． 故选：A ．10.答案：B解析：【分析】本题考查根据函数的解析式识别函数的图像，利用排除法，代入特殊值法可得结果． 当x >2时，函数值大于0，可排除A 选项；当x <−1时，函数值小于0，可排除C 和D 选项．进而得到B 正确．【解答】解：当x >2时，函数值大于0，可排除A 选项；当x <−1时，函数值小于0，可排除C 和D 选项．故选B ．11.答案：B解析：【分析】本题考查平面的性质，面与面的交线问题，属于基础题．先找出平面MNP 与正方形BCC 1B 1的交线是QH ，从而求出QH =√2即可．【解答】解：取BC 中点Q ，BB 1中点H ，因为QP//MN,QH//NP ，故平面MNP 与正方形BCC 1B 1的交线为QH ，而QH =√1+1=√2．故选B ．12.答案：B解析：【分析】本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，联立直线与双曲线方程，利用FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0求解即可．【解答】解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)直线方程为y =√3x ，代入双曲线方程(b 2−3a 2)x 2=a 2b 2，x 1+x 2=0，x 1x 2=−a 2b 2b 2−3a 2，y 1y 2=3x 1x 2， ∵以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，∴FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(x 1−c,y 1)·(x 2−c,y 2) =x 1x 2−c(x 1+x 2)+y 1y 2+c 2=0，所以−4a 2b 2b −3a +c 2=0，4a 2(c 2−a 2)−c 2(c 2−4a 2)=0，e 4−8e 2+4=0，(e >1)，解得e =√3+1，故选B ．13.答案：536解析：【分析】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n =6×6=36，再用列举法求出向上的点数之和为6包含的基本事件有5个，由此能求出向上的点数之和为6的概率．【解答】解：连续抛掷两枚骰子，基本事件总数n =6×6=36，向上的点数之和为6包含的基本事件有5个，分别为：(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，向上的点数之和为6的概率为p =536．故答案为：536． 14.答案：(1,2]解析：【分析】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．利用分段函数的表达式，结合函数的值域，列出不等式求解a 的范围即可．【解答】解：a >0且a ≠1，若函数f(x)={3−x,x ≤2log a x,x >2的值域为[1,+∞)， 当x ≤2时，y =3−x ≥1，所以{x >2log a x ≥1，可得1<a ≤2． 故答案为：(1,2]．15.答案：355解析：解：∵a n +a n+1=7n +5，n ∈N ∗，∴a 1+a 100=(a 1+a 2)−(a 2+a 3)+(a 3+a 4)−⋯+(a 99+a 100)=12+7×49=355． 故答案为：355．本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，利用a 1+a 100=(a 1+a 2)−(a 2+a 3)+(a 3+a 4)−⋯+(a 99+a 100)是关键．16.答案：①②解析：解：①∵A 1B//平面DCC 1D 1，∴线段A 1B 上的点M 到平面DCC 1D 1的距离都为1，又△DCC 1的面积为定值12，因此三棱锥M −DCC 1的体积V =13×1×12=16为定值，故①正确． ②∵A 1D 1⊥DC 1，A 1B ⊥DC 1，∴DC 1⊥面A 1BCD 1，D 1P ⊂面A 1BCD 1，∴DC 1⊥D 1P ，故②正确．③当0<A 1P <√22时，在△AD 1M 中，利用余弦定理可得∠APD 1为钝角，∴故③不正确； ④将面AA 1B 与面A 1BCD 1沿A 1B 展成平面图形，线段AD 1即为AP +PD 1的最小值，在△D 1A 1A 中，∠D 1A 1A =135°，利用余弦定理解三角形得AD 1=√1+1−2×1×1×cos135°=√2+√2<2，故④不正确．因此只有①②正确．故答案为①②．①由A1B//平面DCC1D1，可得线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值12，即可得出三棱锥M−DCC1的体积为定值．②由A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，可得C1⊥面A1BCD1，即可判断出正误．③当0<A1P<√22时，利用余弦定理即可判断出∠APD1为钝角；④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，再利用余弦定理即可判断出正误．本题考查了空间位置关系、线面平行于垂直的判断与性质定理、空间角与空间距离，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)因为A+B+C=π，所以A+B=π−C，所以sin(A+B)=sinC，由正弦定理得：ca+b =a−ba−c，整理得a2+c2−b2=ac，由余弦定理得：cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12.又B∈(0,π)，所以B=π3．(Ⅱ)因为cosA=√63，且A∈(0,π)，所以sinA=√1−cos2A=√33，由正弦定理可得：√33=√32，解得a=2.又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√33×12+√63×√32=√3+3√26.所以△ABC的面积S =12absinC =12×2×3×√3+3√26=√3+3√22．解析：本题主要考查了诱导公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． (Ⅰ)由三角形内角和定理和诱导公式，正弦定理化简已知等式得a 2+c 2−b 2=ac ，由余弦定理求出cos B 的值，结合范围B ∈(0,π)，可求B 的值；(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，由正弦定理可得a 的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin C 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．18.答案：(Ⅰ)证明：连结AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，又∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形，∵M 是BC 中点，∴AM ⊥BC ，∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，在平面PMA 中AM ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PMA ．∴平面PBC ⊥平面PMA ；(Ⅱ)解：∵四边形ABCD 是菱形，且AB =2，PA ⊥平面ABCD ，PA =√6，∴V M−AND =V N−AMD =13S △AMD ×12PA =13×12×2×ABsin60°×√62=√2．解析：(Ⅰ)连结AC ，由四边形ABCD 是菱形，且∠ABC =60°，得△ABC 是等边三角形，再由M 是BC 中点，得AM ⊥BC ，由已知PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥BC ，在线面垂直的判定得BC ⊥平面PMA ，从而得到平面PBC ⊥平面PMA ；(Ⅱ)由已知直接利用等积法求得四面体M −AND 的体积．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.答案：解：(1)根据题目中数据可求得：t =4，∑(7i=1t i −t)2=28，∴b ̂=7i=1i −t)(y i −y)∑ 7i=1(t −t)2=2128=34，又y =54， ∴a ̂=y −b ̂ t =54−34×4=51， ∴y 关于t 的线性回归方程为y ̂=b ̂t +a ̂=34t +51． 将2019年对应的t =8代入得y ̂=34×8+51=57，所以预测2019年该企业污水净化量约为57吨． (2)根据题目中数据可求得∑(7i=1y i −y)2=18， 因为R 2=1−7i=1i i 2∑ 7(y −y)2 =1−94×118=1−18=78=0.875， 这说明回归方程预报的效果是良好的．解析：本题主要考查回归直线的求法，属于基础题．(1)根据已知数据，求出回归系数，可得到回归方程，2019年对应的t 值为8，代入即可预测2019年该企业的污水净化量． (2)求出R 2，越接近于1说明效果越好．20.答案：解：(Ⅰ)当a =−e 2时，f(x)=e x −e2x 2，故f′(x)=e x −ex ，设g(x)=f′(x)=e x −ex ，则g′(x)=e x −e ，当x <1时，e x <e ，故g′(x)<0，g(x)递减，当x >1时，e x >e ，故g′(x)>0，g(x)递增，故g(x)≥g(1)=e −e =0，即f′(x)≥0恒成立，故f(x)在R 递增，函数f(x)在E 递增，无递减区间；(Ⅱ)令ℎ(x)=f(x)−(x +1)=e x +ax 2−x −1(x ≥0)，则ℎ′(x)=e x +2ax −1，且ℎ(0)=ℎ′(0)=0，记p(x)=e x +2ax −1，(x ≥0)，则p′(x)=e x +2a ，①当2a ≥−1，即a ≥−12时，p′(x)≥p′(0)≥0恒成立，故函数p(x)在[0,+∞)递增，即函数ℎ′(x)在[0,+∞)递增，故ℎ′(x)≥ℎ′(0)=0，ℎ(x)递增，故ℎ(x)≥ℎ(0)=0，即f(x)≥x +1恒成立；②当2a <−1即a <−12时，由p′(x)<0，得x <ln(−2a)，故函数p(x)在(0,ln(−2a))递减，即函数ℎ′(x)在(0,ln(−2a))递减，故ℎ′(x)<ℎ′(0)=0，故函数ℎ(x)在(0,ln(−2a))递减，故当x ∈(0,ln(−2a))时，ℎ(x)<ℎ(0)=0，显然f(x)≥x +1不能恒成立，综上，a 的范围是[−12,+∞)．解析：(Ⅰ)代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (Ⅱ)令ℎ(x)=f(x)−(x +1)=e x +ax 2−x −1(x ≥0)，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而确定a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.答案：解：(Ⅰ)由题意得a =2，e =c a =√32，所以c =√3． 因为a 2=b 2+c 2，所以b =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)若四边形PAMN 是平行四边形，则 PA//MN ，且|PA|=|MN|．所以 直线PA 的方程为y =k(x −2)，所以 P(3,k)，|PA| =√k 2+1．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).由{y =kx +√3x 2+4y 2=4得 (4k 2+1)x 2+8√3kx +8=0，由Δ>0，得 k 2>12，且x 1+x 2=−8√3k 4k 2+1，x 1x 2=84k 2+1． 所以|MN|=√(k 2+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2．因为|PA|=|MN|，所以 √(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2=√k 2+1．整理得 16k 4−56k 2+33=0，解得 k =±√32，或 k =±√112． 经检验均符合Δ>0，但k =− √32时不满足PAMN 是平行四边形，舍去． 所以 k =√32，或 k =±√112．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b ，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)直线PA 的方程为y =k(x −2)，得到 P(3,k)，求出|PA| =√k 2+1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．22.答案：解：(1)将C 的参数方程化为普通方程得(x −1)2+(y −√3)2=4，将代入，并化简得C 的极坐标方程为． l 2的极坐标方程为θ=α+π3(ρ∈R)．(2)依题意可得，即， ，即， ，因为0<α<π2，所以π3<α+π3<5π6，当α+π3=π2，即时，|OA|+|OB|取得最大值4√3.解析：本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)先将参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程可得C 的极坐标方程，由旋转的性质可得l 2的极坐标方程；(2)利用极坐标的几何意义，得出A ，B 坐标，利用三角函数求出最值．23.答案：解：(1)f(x)=|2x −1|+|2x +1|，可得x ≥12时，f(x)<4即2x −1+2x +1<4，解得12≤x <1；当x ≤−12时，f(x)<4即1−2x −2x −1<4，解得−1<x ≤−12；当−12<x <12时，f(x)<4即1−2x +2x +1<4，解得−12<x <12；则M =(−1,1)；(2)证明：要证|ab|−|a|−|b|+1>0，即证(|a|−1)(|b|−1)>0，由a ，b ∈M ，即−1<a <1，−1<b <1，可得|a|<1，|b|<1，即|a|−1<0，|b|−1<0，可得(|a|−1)(|b|−1)>0，故|ab|−|a|−|b|+1>0成立．解析：(1)由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，再求并集可得M ；(2)运用分析法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的证明，注意运用分类讨论思想和分析法证明，考查运算能力和推理能力，属于基础题．。

2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次高考适应性考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)本试题卷共8页,23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2、选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5、考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =-≤,{}|1381x B x =<<,{}|2,C x x n n N ==∈,则()A B C ⋃⋂=（ ）A. {}2B. {}0,2C. {}0,2,4D. {}2,4【答案】B【解析】 ∵集合{}2|20A x x x =-≤ ∴{}02A x x =≤≤∵集合{}|1381x B x =<< ∴{}04A x x =<< ∴{}04A B x x ⋃=≤<∵集合{}|2,C x x n n N ==∈∴{}()0,2A B C ⋃⋂=故选B.2.要完成下列三项调查：①某商城从10台同款平板电脑中抽取4台作为商城促销的奖品；②某酒厂从某白酒生产线上抽取40瓶进行塑化剂检测：③某市从老、中、青三代市民中抽取100人调查他们网络购物的情况.适合采用的抽样方法依次为（ ）A. ①用简单随机抽样：②③均用系统抽样B. ①用抽签法；②③均用系统抽样C. ①用抽签法：②用分层抽样：③用系统抽样D. ①用随机数表法；②用系统抽样；③用分层抽样【答案】D【解析】根据系统抽样､分层抽样､抽签法和随机数表法的各自特点,分析各项调查的具体情况,即可得出对应的抽样方法.【详解】对于①,所收集的数据没有明显差异,且数量较少,应用抽签法;对于②,所收集的数据没有明显差异,且数量较多,应用系统抽样;对于③,所收集的数据差异明显,应用分层抽样;故选:D.3.已知i 是虚数单位,复数122,2z i z i =+=-,给出下列命题：21121:p z z z ⋅=；122:z p z 的虚部为45i ；132:z p z 在复平面内对应的点位于第四象限；1423:5z p z -是纯虚数.其中是假命题的为（ ） A. 24,p pB. 123,,p p pC. 34,p pD. 23,p p【答案】D【解析】 利用复数的运算法则计算出12z z ⋅和12z z ,再根据复数的基本概念判断四个命题的真假. 【详解】复数122,2z i z i =+=-, 则命题1p 中,12(2)(2)5z z i i ⋅=+-=,215z =,故1p 是真命题;。

2019-2020学年湖南省长沙市长郡双语实验中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转后，终边经过点，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先建立角和旋转之后得所到的角之间的联系，再根据诱导公式和二倍角公式进行计算可得。

【详解】设旋转之后的角为，由题得，，，又因为，所以得，故选B。

【点睛】本题考查任意角的三角函数和三角函数的性质，是基础题。

2. 函数f(x)＝a| x－b |＋2在[0, ＋∞)上为增函数，的充分必要条件是（）A．a＝1且b＝0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b≤0 D．a＞0且b<0参考答案：C3. 函数f（x）=2x﹣4sinx，x∈[﹣，]的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：D考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先验证函数是否满足奇偶性，由f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除AB，再由函数的极值确定答案．解答：解：∵函数f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）=2x﹣4sinx的图象关于原点对称，排除AB，函数f′（x）=2﹣4cosx，由f′（x）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C，故选：D．点评：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．4. 已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（）A．[6，10] B．（6，10] C．（﹣2，10] D．[﹣2，10）参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，z取最大值，由，得A（4，﹣2），此时z max=3×4﹣2=10；当直线y=﹣3x+z过点B时，由，解得B（0，﹣2），故z＞3×0﹣2=﹣2．综上，z=3x+y的取值范围为（﹣2，10]．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5. 下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数对应的是（）(A) ①，②，③，④(B) ①，②，③，④(C) ①，②，③，④(D) ①，②，③，④参考答案：B略6. 当实数x，y满足不等式组时，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D7. 点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点. 给出三个命题：①；②的周长有最小值；③曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（）A.１B.２C.３ D.０C8. 已知，则的值为（）A．2B．－2 C．D．参考答案：B9. 设f(x)是R上的任意函数，给出下列四个函数：①f(x)f(－x)；②f(x)|f(－x)|；③f(x)－f(－x)；④f(x)＋f(－x)．则其中是偶函数的为()A．①② B．②③ C．③④ D．①④参考答案：D10. 若两条异面直线所成的角为，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为A．24 B．48 C. 72 D．78参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞）上是增函数，且f（）＝0，则不等式f（log4x）＞0的解集是______________．因为偶函数f（x）在［0，＋∞）上是增函数，且f（）＝0，所以当时,.所以所求不等式的解集为.12. 设，，若是的真子集，则的取值范围是．参考答案：试题分析：如图，作直线，直线，显然集合表示的平面区域在内部（含边界），而集合是以原点为圆心，5为半径的圆，直线过原点，要满足题意，它与直线的交点必在点上方（可重合），同样它与直线的交点必在点上方（不可重合），所以，即．考点：二元一次不等式组表示的平面区域．【名师点睛】求解平面区域与函数图象、曲线方程等一些综合问题时,要以数形结合思想方法为核心,充分利用函数图象与曲线方程的特征(增减性、对称性、经过的定点、变化趋势等),与平面区域的位置和形状联系起来,对参数的取值情况分析讨论,进行求解.13. 如图所示，△ABC内接于⊙O，PA是⊙O的切线，PB⊥PA，BE=PE=2PD=4，则PA= ，AC= ．参考答案：4；5．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】利用切割线定理求PA，利用相交弦定理求出CE，即可求出AC．【解答】解：由题意，PD=DE=2，∵PA是⊙O的切线，∴由切割线定理可得PA2=PD?PB=2×8=16，∴PA=4，∵PB⊥PA，∴AE=4，由相交弦定理可得CE===，∴AC=AE+CE=5．故答案为：4；5．【点评】本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．14. 已知，，且，则与夹角的余弦值为___________.参考答案：，，．15. 已知向量，满足＝3，＝2，＝5，则在方向上的投影是______。