基本函数的图象及其基本性质、分段函数、复合函数、抽象函数的图象与

2023函数及其图象•函数的基本概念•函数的图像•不同类型函数的图像目录•函数图像的应用•函数图像的艺术01函数的基本概念设x和y是两个变量，D是一个给定的集合，在D上有唯一确定的y值与x对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。

集合D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。

函数的定义函数的表示方法图象法用图象表示函数，如f(x)=x^2的图象为开口向上的抛物线。

表象法用表格表示函数，如t=sin(x)。

解析法用等式表示函数，如y=2x+1。

函数的分类•常数函数：f(x)=c(c为常数)•一次函数：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)•二次函数：f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)•反比例函数：f(x)=k/x(k为常数，k≠0)•幂函数：f(x)=x^a(a为常数)•指数函数：f(x)=a^x(a为常数，a>0且a≠1)•对数函数：f(x)=log_a x(a为常数，a>0且a≠1)•复合函数：f(x)=u(x)+g(x)，其中u和g都是简单函数。

02函数的图像1函数图像的概念23将函数表达式中自变量与因变量之间的关系用图形表示出来。

函数图像在平面直角坐标系中，以横轴表示自变量，纵轴表示因变量。

坐标系根据函数表达式的性质，图像呈现不同形状，如直线、曲线、折线等。

函数图像的形状描点法根据函数表达式，求出一些自变量对应的因变量值，然后在坐标系上描出对应的点，最后用平滑的曲线或直线将这些点连接起来。

图示法利用计算器或编程语言，直接在计算机上绘制出函数图像。

绘制函数图像的方法函数图像的变换伸缩将函数图像按比例进行缩放，可以是横向或纵向。

平移将函数图像沿横轴或纵轴方向移动一定距离。

翻折将函数图像以某一条直线或点为对称中心进行翻折。

复合变换以上变换可以同时进行，也可以多次进行。

旋转将函数图像按一定角度顺时针或逆时针旋转一定角度。

03不同类型函数的图像线性函数一次函数的图像是直线，表达式为$y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是截距。

函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。

2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。

（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。

对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。

（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。

3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。

（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。

（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。

二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。

2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。

（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。

周期函数的图像具有周期性。

（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。

三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。

六大基本初等函数图像及其性质(总12页)抛物线函数 y = x^2- 图像为开口朝上的抛物线，顶点在原点(0,0)- 奇函数，即f(-x) = -f(x)- 定义域为全体实数，值域为[0, +∞)- 极值点为顶点(0,0)，不存在最大值和最小值- 函数单调递增且无拐点反比例函数 y = 1/x-tu.grid正比例函数 y = x- 图像为平面直线，通过原点(0,0)- 定义域为全体实数，值域为全体实数- 函数单调递增，无拐点- 斜率代表变化率，斜率越大表示变化速度越快，斜率为正则表示函数单调增加，斜率为负则表示函数单调减少指数函数 y = a^x (a>0且a≠1)- 图像为上凸曲线，通过点(0,1)- 定义域为全体实数，值域为(0,+∞)- 当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减- 随着自变量x的增大，函数值加速增大或减小对数函数y = logₐ(x) (a>0且a≠1)- 反指数函数，图像和指数函数的图像呈镜像关系- 定义域为(0,+∞)，值域为全体实数- 当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减- 随着自变量x的增大，函数值增长速度逐渐变慢三角函数 y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x)- 正弦函数图像为周期性上下波动的连续曲线，取值范围[-1, 1] - 余弦函数图像为周期性波动的连续曲线，取值范围[-1, 1]- 正弦函数、余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1, 1]- 正弦函数、余弦函数是周期性函数，周期为2π- 正切函数图像为周期性波动的连续曲线，定义域为实数集合-{(2n + 1)π/2 | n∈Z}，值域为全体实数这些基本初等函数的图像和性质对数学的学习和应用有着重要的作用，掌握这些函数的图像及其性质，有助于理解数学问题的规律，并能够在实际问题中进行分析和求解。

常见函数的图像和性质在数学的世界里，函数就像是一座桥梁，连接着不同的数量关系。

而函数的图像和性质，则是我们理解和把握这些关系的关键。

今天，咱们就来一起聊聊常见函数的图像和性质。

首先，咱们来看看一次函数。

一次函数的表达式一般写作 y ＝ kx＋ b （k、b 为常数，k ≠ 0）。

它的图像是一条直线。

当 k ＞ 0 时，直线是上升的，意味着函数值 y 随着 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，直线是下降的，函数值 y 随着 x 的增大而减小。

b 呢，则决定了直线与 y轴的交点，当 b ＞ 0 时，交点在 y 轴的正半轴；当 b ＜ 0 时，交点在 y 轴的负半轴；当 b ＝ 0 时，直线过原点。

再来说说反比例函数，它的表达式通常是 y ＝ k ／ x （k 为常数，k ≠ 0）。

反比例函数的图像是两条曲线，叫做双曲线。

当 k ＞ 0 时，双曲线在一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，双曲线在二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。

二次函数也是常见函数中的重要一员，其表达式一般为 y ＝ ax²＋bx ＋ c （a、b、c 为常数，a ≠ 0）。

二次函数的图像是一条抛物线。

当a ＞ 0 时，抛物线开口向上，有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，有最大值。

抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／ 2a 。

而且，判别式Δ ＝ b²4ac 能帮助我们判断抛物线与 x 轴的交点情况。

当Δ ＞ 0 时，抛物线与x 轴有两个交点；当Δ ＝ 0 时，抛物线与 x 轴有一个交点；当Δ ＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点。

接下来看看指数函数，它的表达式是 y ＝ a^x （a ＞ 0 且a ≠ 1）。

当 a ＞ 1 时，函数单调递增，图像从左到右逐渐上升；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减，图像从左到右逐渐下降。

指数函数的图像恒过点（0, 1)。

常见函数的图像和性质函数是高中数学学习中不可避免的部分，常见函数有一些图像和性质。

本文将介绍常见函数的图像和性质，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数。

线性函数是最基本的函数之一，也是最容易理解的函数之一。

线性函数的一般式是y = kx + b，其中k和b是常数，x和y表示函数的自变量和因变量。

线性函数的图像是一条直线，斜率k和截距b决定了直线的位置和倾斜程度。

当k>0时，函数是单调递增的，当k<0时，函数是单调递减的。

斜率越大，直线越陡峭，斜率越小，直线越平缓。

截距决定直线和y轴的交点。

当b>0时，直线在y轴上方，当b<0时，直线在y轴下方，当b=0时，直线经过原点。

线性函数的性质是简单的，任何两个不同的点都能确定一条直线，而且任何一条直线都可以写成y = kx + b的形式。

二次函数是另一个基本函数，一般式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。

二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，抛物线的开口方向由系数a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

二次函数图像的性质和线性函数有所不同，首先，二次函数不是单调函数，也就是说，它有一个最值点，最值点的坐标为（-b/2a，c-b^2/4a）。

第二，二次函数图像的对称轴是一个垂直于x轴的线，它的坐标是x = -b/2a。

第三，二次函数图像上任何一条水平线和抛物线只有一个交点，因此，二次函数也称为单峰函数。

指数函数是一种以底数为e的指数型函数，一般式是y = a^x，其中a是正常数。

指数函数的图像呈现出一种快速增长或快速衰减的趋势，指数函数的性质是独特的。

当a>1时，指数函数单调递增，当0<a<1时，指数函数单调递减，当a=1时，指数函数恒等于1。

指数函数图像的特点是固定的x值下y值呈指数型增长或衰减，在坐标系中的图像表现出“指数型曲线”。

高中不得不掌握的函数图像与常用性质高中常用函数有14种，它们是:1.正比例函数；2.反比例函数；3.根式函数；4一次函数；5.二次函数；6双勾函数.；7. .双抛函数；8.指数函数；9对数函数；10. 三角函数；11分段函数.；12. 绝对值函数；13. 超越函数；14.抽象函数。

而函数的性质常见的有：1.定义域；2.值域；3.单调性；4.奇偶性；5.周期性；6.对称性；7.有界性；8.反函数；9.连续性.高中都是从函数解析式入手画出函数图像，再利用函数图像研究其性质，下面我们就函数的图像和性质做归纳总结。

1.正比例函数4一次函数5二次函数8.指数函数11.分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。

其图像的画法是按定义域的划分分别作图。

其性质主要是考察求值域和属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。

考单调性。

求值域时一定要首先看x察单调性主要是整个定义域为增函数还是减函数，相当于是恒成立问题。

（1）设函数⎩⎨⎧≥--<+=)1(14)1)(1)(x x x x x f （，则使得1)(≥x f 的自变量x 取值范围是(2)已知⎩⎨⎧<-≥=)0(1)0(1)(x x x f 则不等式5)2()2(≤+++x f x x 的解集是＿＿（3）已知⎩⎨⎧≥<+-=)1()1(12)(x a x x a x f x）（是R 上的增函数，则a 的取值范围是＿＿ 13.绝对值函数 一般有)()()(x g x f y x f y +==和两种类型，只需按绝对值的定义转化为分段函数即可画出图像；其主要考察值域和单调性。

如设的解集求5)(54)(2≥--=x f x x x f 。

14.超越函数 超越函数主要是由1-11种基本初等函数中的两种组合在一起的，例如xxx f sin )(=、12ln )(++=x x x f ；其常见的题型是利用11种函数性质解题，特别是利用可导性、对称性、单调性、奇偶性来判断图像。

常见函数的图像及其性质数学中的函数就像我们日常生活中的“机器”，通过给出一个输入，便能得到一个输出。

而函数所表示的“规律”，可以通过数学的方法加以描述和解释。

在数学中，常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

本文将介绍这些函数的图像及其性质。

一、线性函数线性函数是最基本、最简单的函数之一。

线性函数的一般形式为：y = kx + b其中，k和b是常数，x是自变量，y是因变量。

这里k表示直线斜率，b表示直线截距。

线性函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。

当直线斜率为正时，函数是增长函数；当直线斜率为负时，函数是减少函数；斜率为0时，函数是常量函数。

二、二次函数二次函数是一种二次多项式函数，其一般形式为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c是常数，x是自变量，y是因变量。

二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线，因为其自变量是平方项的形式。

二次函数的性质包括：1. 当a > 0时，函数开口向上，有最小值；当a < 0时，函数开口向下，有最大值。

2. 当二次函数的判别式b²-4ac > 0时，函数图像与x轴有两个交点；当b²-4ac = 0时，函数图像与x轴有一个交点；当b²-4ac < 0时，函数图像与x轴没有交点。

三、指数函数指数函数是一种以常数e（自然对数常数）为底，自变量是指数的函数。

其一般形式为：y = a^x其中，a是一个大于0且不等于1的常数，x是自变量，y是因变量。

指数函数的图像有如下特点：1. 当a > 1时，函数在x轴右侧增长；当0 < a < 1时，函数在x 轴左侧增长。

2. 当a > 1时，函数的y值无上限，但x轴是渐近线；当0 < a < 1时，函数的y值趋于0，但x轴是渐近线。

四、对数函数对数函数是指既然函数，其一般形式为：y = logₐx其中，a是底数，a > 0且a ≠ 1，x是自变量，y是因变量。

六大基本初等函数图像及其性质六大基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

1. 常数函数：y = c，其中c是一个常数。

常数函数的图像是一条平行于x轴的直线，与y轴相距c个单位。

它没有自变量的限制，函数值始终为常数。

2. 幂函数：y = x^n，其中n是任意实数。

幂函数的图像依赖于指数n的符号及大小。

当n为正数时，随着x的增大，函数值也增大；当n为负数时，随着x的增大，函数值减小。

若n为奇数，图像穿过原点；若n为偶数，图像在原点有一个极小值或极大值。

3. 指数函数：y = a^x，其中a是一个正数且不等于1。

指数函数的图像是递增或递减的曲线。

如果a大于1，函数图像是递增的，如果a在0和1之间，函数图像是递减的。

指数函数没有定义域的限制，但其值范围从0到正无穷大。

4. 对数函数：y = log_a(x)，其中a是一个正数且不等于1。

对数函数的图像与指数函数的图像是关于直线y = x对称的。

当x在0到正无穷大之间变化时，函数值从负无穷大逐渐增大到正无穷大。

对数函数的定义域为正实数，值域为负无穷大到正无穷大。

5. 三角函数：包括正弦函数y = sin(x)，余弦函数y = cos(x)，正切函数y = tan(x)，割函数y = sec(x)，余割函数y = csc(x)，和余切函数y = cot(x)。

三角函数的图像是周期性的波形，沿x 轴变化。

例如，正弦函数和余弦函数的图像是在[-π, π]范围上的曲线。

正弦函数的值域在[-1, 1]之间，余弦函数的值域也在[-1, 1]之间。

6. 反三角函数：包括反正弦函数y = arcsin(x)，反余弦函数y = arccos(x)，反正切函数y = arctan(x)，反割函数y = arcsec(x)，反余割函数y = arccsc(x)，和反余切函数y = arccot(x)。

反三角函数的图像是由对应的三角函数的图像上截取而来的。