《离散数学》第二章二元关系

第一章集合习题1.11.a){0, 1, 2, 3, 4}b){11, 13, 17, 19}c){12, 24, 36, 48, 64}2.a){x | x ∈ N 且x ≤ 100}b)E v = {x | x ∈ N 且2整除x }O d = {x | x ∈ N 且2不能整除x }c){y | 存在x ∈ I 使得y = 10 • x } 或{x | x/10 ∈ I }3. 极小化步骤省略a)①{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ⊆ A ；②若α, β∈ A，则α•β∈ A 。

或①{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ⊆ A ；②若α∈ A 且a ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，则a•α∈ A 。

或①{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ⊆ A ；②若α∈ A 且a ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，则α•a ∈ A 。

b)①{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ⊆ A ；②若α, β∈ A 且α≠ 0，则α•β∈ A 。

c)①若a ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，则a. ∈ A ；②若α∈ A 且a ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，则α•a ∈ A ；若α∈ A 且a ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，则a•α∈ A 。

或①{0., 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.} ⊆ A ；②若α∈ A 且a ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，则α•a ∈ A ；若α∈ A 且a ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，则a•α∈ A 。

d)①{0, 10} ⊆ A ；②若α∈ A，则1•α∈ A ；若α, β∈ A 且α≠ 0，则α•β∈ A 。

二元关系离散数学
二元关系是离散数学中非常重要的概念之一。

二元关系是指将两个元素组合在一起形成的一种关系。

例如，整数之间的“大于”、“小于”等关系。

在二元关系中，每个元素都称为关系的一部分。

二元关系可以用箭头或括号表示。

例如，如果我们有集合A={1，2，3}和集合B={a，b，c}，那么我们可以定义二元关系R={(1，a)，(1，b)，(2，b)}，这表示1和a、1和b，2和b之间存在关系。

二元关系的性质也是离散数学中非常重要的。

二元关系可以是自反的，反对称的，传递的和等价的。

自反关系表示每个元素都与自己存在关系，反对称关系表示如果两个元素之间存在关系，那么它们不能同时与相同的元素存在关系，传递关系表示如果两个元素之间存在关系，那么这种关系会传递到它们之间的其他元素之间，等价关系表示该关系是自反的、对称的和传递的。

这些性质有助于我们理解和描述二元关系。

二元关系在离散数学中有许多应用。

例如，它们可以用于网络分析、逻辑推理、图像处理等领域。

在计算机科学中，二元关系在数据库中的查询和排序算法中也有广泛应用。

总之，二元关系是离散数学中重要的概念之一，它将两个元素联系在一起，并具有许多重要的性质和应用。

《离散数学》中二元关系传递性的判定
在离散数学中，二元关系是指一个关联两个元素的集合。

传递性是二元关系的一个重要性质。

传递性是指如果某个关系中的元素a与另外两个元素b和c之间有关联，而且b 与c之间也有关联，那么就可以推断出a与c之间也有关联。

传递性的判定方法有多种，下面我们将介绍两种常用的判定方法。

一、图形法
图形法是通过绘制一个关系的有向图，并判断图中是否存在从一个元素到另一个元素的路径来判定传递性。

具体操作步骤如下：
1. 绘制有向图：将关系中的元素表示为图中的结点，关系表示为有向边。

根据关系定义，确定图中的结点以及结点之间的有向边。

2. 找到路径：从一个元素出发，通过有向边找到与它关联的所有元素，然后再通过有向边找到这些元素关联的所有元素，一直继续下去，直到找不到新的元素为止。

3. 判断传递性：如果从一个元素出发，可以找到与之存在关联的所有元素，那么就说明关系是传递的。

二、矩阵法
矩阵法是将一个关系表示为一个方阵，通过矩阵的乘法运算来判定传递性。

1. 构建矩阵：将关系中的元素表示为矩阵的行和列，关系的存在与否表示为矩阵元素的值。

如果元素a与元素b之间存在关系，那么矩阵的第a行第b列的值为1，否则为0。

2. 矩阵乘法：将矩阵与自身进行乘法运算，得到的结果是一个新的矩阵。

这两种判定传递性的方法都比较简单直观，可以根据具体情况选择适用的方法。

在实际应用中，传递性的判定常常与其他性质一起使用，以提供更准确的判断结果。

《离散数学》中二元关系传递性的判定离散数学是计算机科学中的重要基础学科之一，而二元关系是离散数学中的重要概念之一。

二元关系是指给定集合上的两个元素之间的一种关系，它可以用来描述集合中元素之间的某种联系或者性质。

在离散数学中，二元关系的性质和特性是非常重要的，其中传递性是二元关系的一个重要性质之一。

在本文中，我们将介绍离散数学中二元关系传递性的判定方法，以及一些相关的例子和应用。

让我们来回顾一下二元关系的定义。

设A是一个集合，R是A上的二元关系，即R是A的子集。

对于A中的元素a和b，如果(a, b)∈R，我们就说a和b满足关系R。

假设A={1,2,3}，R={(1,1),(2,2),(2,3)}，则R是A上的一个二元关系，因为R是A的子集，并且R中的元素都是A中的元素对。

在离散数学中，二元关系的传递性是一个非常重要的性质。

一个二元关系R在集合A 上是传递的，如果对于A中的任意元素a、b和c，如果(a, b)∈R且(b, c)∈R，则(a, c)∈R。

换句话说，如果R中的元素对(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也属于R。

这种传递性的性质在实际应用中非常重要，它可以用来描述很多实际情况下元素之间的某种传递关系。

那么，我们如何判定一个二元关系是否具有传递性呢？在离散数学中，有几种方法可以用来判定二元关系的传递性。

下面我们将介绍其中的一些方法。

方法二：矩阵分解法另一种判定二元关系传递性的方法是使用矩阵分解。

设A是一个有限集合，R是A上的一个二元关系，我们可以用一个|A|×|A|的矩阵M来表示R。

如果R是传递的，那么M 的幂运算M^2、M^3等也会反映这种传递性质。

我们可以通过计算M、M^2、M^3等来判断R是否具有传递性。

方法三：通过定义直接推导根据二元关系传递性的定义，我们还可以通过对二元关系的定义进行直接推导，以判断它是否具有传递性。

对于一个给定的二元关系R，在集合A上是传递的，如果对于A中的任意元素a、b和c，如果(a, b)∈R且(b, c)∈R，则(a, c)∈R。

《离散数学》中二元关系传递性的判定什么是二元关系？在离散数学中，二元关系是指集合之间的一种关联关系，它描述了集合中元素之间的某种联系。

在集合论中，二元关系是指集合A和B之间的一个子集R，它将A中的元素和B 中的元素一一对应起来，并表示它们之间的某种关系。

如果存在一个集合A={1, 2, 3, 4}和一个集合B={a, b, c}，那么A和B之间的一个二元关系可以被表示为一个有序对的集合，比如R={(1, a), (2, b), (3, a), (4, c)}。

这个关系表示了A中的元素与B中的元素之间的对应关系。

二元关系的性质二元关系可以有许多不同的性质，其中传递性是其中一个非常重要的性质。

在离散数学中，二元关系的传递性是指如果关系R中的元素a与b有关系，b与c有关系，那么a 与c也应该有关系。

换句话说，如果对于任意的a、b和c，只要(a, b)和(b, c)都属于关系R，那么(a, c)也应该属于关系R。

这就是传递性的定义。

传递性的判定在离散数学中，我们经常需要判定一个二元关系是否具有传递性。

这个判定其实并不复杂，只需要依据传递性的定义进行逐一检查即可。

1. 我们需要知道该二元关系R中的所有有序对。

2. 然后，对于R中的每一个有序对(a, b)和(b, c)，我们需要检查是否(a, c)也属于关系R。

举个例子来说明传递性的判定过程。

假设我们有一个集合A={1, 2, 3, 4}和一个关系R={(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4)}。

现在我们来判定这个关系R是否具有传递性。

我们列出关系R中的所有有序对：R={(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4)}对于(1, 1)和(1, 2)，由于1与1和2之间没有直接的联系，所以不需要考虑传递性。

对于(1, 2)和(2, 3)，这两个有序对满足传递性要求，因为1与2有关系，2与3有关系，所以1与3也应该有关系。

通过刚才的例子，我们可以看到一个具有传递性的关系的特点。

《离散数学》中二元关系传递性的判定1. 引言1.1 介绍二元关系二元关系是离散数学中一个非常重要的概念。

在离散数学的研究中，我们常常需要研究元素之间的各种关系，而二元关系就是其中一种最基本的形式。

简而言之，二元关系就是一个元素对的集合，其中每个对代表了两个元素之间的关系。

举个简单的例子来说明二元关系。

假设我们有一个集合A={1,2,3,4}，我们可以定义一个二元关系R为{(1,2),(2,3),(3,4)}。

在这个关系中，元素1和2之间存在关系，元素2和3之间也存在关系，但是元素1和3之间并没有直接的关系。

二元关系可以通过图形的形式来表示，通常我们用有向图或者无向图来表示不同类型的二元关系。

有向图中，每个节点代表集合中的一个元素，而每条边代表元素之间的关系。

无向图则更多地表示元素之间的对称关系。

通过研究二元关系，我们可以更深入地探讨元素之间的关系性质，为解决各种离散数学中的问题奠定基础。

在接下来的我们将深入研究二元关系的性质以及传递性的重要性。

1.2 引入传递性概念传递性是离散数学中一个重要的性质，它指的是如果集合中的元素之间存在某种关系，那么这种关系是否能够由某种规律或者条件连接起来，使得如果集合中的某两个元素之间存在这种关系，那么它们之间也存在这种关系。

传递性是二元关系中的一个基本概念，它能够帮助我们理解和分析集合中元素之间的关系，从而推断出更多的信息。

在离散数学中，传递性的概念是非常重要的。

通过传递性，我们可以将复杂的关系简化为更加清晰和直观的形式，从而更好地理解集合中元素之间的联系。

传递性也为我们解决问题提供了一种有效的方法，例如在图论、逻辑推理和关系代数等领域中，传递性都扮演着重要的角色。

了解二元关系的传递性及其判定方法对于深入学习离散数学是非常有帮助的。

在接下来的正文中，我们将详细介绍二元关系的定义、性质和传递性的概念，以及如何判定二元关系是否具有传递性，希望能够带给读者更多的启发和认识。