2.浙教版数学七年级下册第二章《二元一次方程》复习：知识点与练习(优选.)

认识二元一次方程组、本节学习指导重点理解二元一次方程组的解，二元一次方程组的解一定满足此二元一次方程组，这一点就跟前面学习的一元一次方程一样。

这一节的知识主要是为后面学习求二元一次方程组的解做基础，如果有知识点不理解的话，也不用着急！待学完整章节了，相信你就能够理解了。

二、知识要点1、二元一次方程组（1）、概念：二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是 1 的方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成了二元一次方程组。

（2）、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：【重点】使二元一次方程左右两边的值相等（即等式成立）的两个未知数的值，②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地,只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解（即无公共解）。

2、二元一次方程组的解的讨论：【重点】已知二元一次方+ bly = cl程鉅,a■刼十=(2①、当al/aS) W ^l/b2时，有唯一解：②、当al/a2 = bl/b2 H cl/c2 时，无解土③、，当al/a2 = bl/b2二cl/c2时，有无救解・x + y = 4例！判断下列有程组是否対二元一袂方程组!例如！对应方程组’①、呛- 5y二召②、3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：【重点】用含X的代数式表示Y,就是先把X看成已知数，把Y看成未知数；用含Y的代数式表示X,则相当于把Y看成已知数，把X看成未知数。

例：在方程2x + 3y = 18中，用含x的代数式表示y为：____________________ ,用含y的代数式表示x为：________________ .4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值：要抓住两个方面：①、未知数的指数为1,②、未知数前的系数不能为0综合上面的可得出，由1条件得a工2,b占3;由2条件得a=2或a=-2,b=3 或b=-3故求出：a=-2,b=3精品文档5、求二元一次方程的整数解【重点】解这种题要会分析，注意是整数解，往往求出来的是不等式形式，然后根据条件 求出整数解。

七年级下册数学二元一次方程组的知识点
七年级下册数学有关二元一次方程组的知识点
学生们在享受假期的同时，也要面对一件重要的事情那就是学习。

店铺为大家提供了七年级下册数学知识点，希望对大家有所帮助。

1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的.方程叫做二元一次方程，一般形式是ax+by=c(a0，b0)。

如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解，若加条件限定有有限个解。

二元一次方程组，则一般有一个解，有时没有解，有时有无数个解。

2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。

4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。

5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。

归纳：基本思路：消元把二元变为一元。

浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章 二元一次方程组2.4二元一次方程组的应用（2）【知识重点】1．当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程.2．一般地，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为：(1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)；(2)制定计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)；(3)执行计划(列出方程组并求解，得到答案)；(4)回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意).【经典例题】【例1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x ，个位上的数字为y ，列方程组为（ ）A ．{x −y =210x +y −(10y +x)=18B ．{x −y =210y +x −(10x +y)=18C ．{y −x =210y +x −(10x +y)=18D ．{y −x =210x +y −(10y +x)=18【例2】某旅游景点今年“五一”小长假共接待游客39200人，和去年同时期相比，游客总数增加了12%，其中省外游客增加了17%，省内游客增加了10%，求该景点去年“五一”小长假接待的省外游客和省内游客各是多少人？【基础训练】1．举办“书香文化节”的活动中，将x 本图书分给了y 名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，下列方程组正确的是（ ） A ．{6y −40=x 8y +50=x B ．{6y +40=x 8y −50=x C ．{6x +40=y 8x −50=y D ．{6y −40=x 8y −50=x2．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：含有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡有x 只，兔有y 只，下列方程组正确的是（ ）A ．{x +y =352x +4y =94B ．{x +y =354x +2y =94C ．{x +y =354x +4y =94D ．{x +y =35x +4y =943．我校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人，设运动员人数为x 人，组数为y 组，则列方程组为（ ）A ．{7y =x −38y +5=xB ．{7y =x +38y +5=xC ．{7y =x −38y =x +5D ．{7y =x +38y =x +54．在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图所示的方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则C ．19D ．215．某班级为了奖励在期中考试中取得好成绩的同学，花了900元钱购买甲、乙两种奖品共50件，其中甲种奖品每件15元，乙种奖品每件20元，若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 元，则所列方程组正确的是（ ）A ．{x +y =5015x +20y =900B ．{x +y =5020x +15y =900C ．{15x +20y =50x +y =900D ．{20x +15y =50x +y =9006．有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和为6，且这个两位数是个位数字的6倍，则这个两位数是 ．7．“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积极性，某粮食生产专业户去年计划生产小麦和玉米共18吨，实际生产了20吨，其中小麦超产12％，玉米超产10％，该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨？8场计划购进甲、乙两种手机各多少部？9．某工厂去年的利润（总产值－总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润比去年的利润增加了580万元．问今年的总产值、总支出各是多少万元？ 10．小明的妈妈今天在菜市场买回2斤萝卜、1斤排骨共花了43.8元，而两个月前买同重量的这两样菜只要37元，与两个月前相比，这次萝卜的单价下降了10%，但排骨单价却上涨了20%，求：两个月前买的萝卜和排骨的单价分别为多少元？【培优训练】11．小明带15元去学习用品商店购买A ，B ，C 三种学习用品，其中A ，B ，C 三种学习用品的单价分别为5元、3元、1元，要求每种学习用品至少买一件且A 种学习用品最多买两件，若15元刚好用完，则小明的购买方案共有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种12．在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是{2x +y =11，4x +3y =27，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（ ）A ．{3x +2y =−14，x +4y =23B ．{3x +2y =−9，x +4y =23C ．{3x +2y =19，x +4y =3D ．{3x +2y =19，x +4y =2313．用如图 ① 中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图 ② 的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有 m 张正方形纸板和 n 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则 m +n 的值可能是（ ）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022 14．若关于x 、y 的方程组 {x +y =2ax +2y =8的解为整数，则满足条件的所有a 的值的和为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．1615．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）A ．80cmB ．75cmC ．70cmD ．65cm16．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大27，则原来的两位数是 ．17．工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．则记录有误的是第次．18．甲、乙两块试验田去年春季共产小麦若干千克．改用良种后，去年秋季甲、乙的产量分别比去年春季增产了25%，20%，总产量比去年春季增产了22%；今年春季甲、乙的产量分别比去年春季增产了24%，22%，则今年春季总产量比去年春季总产量增加的百分率是．19．甲、乙两种商品原来的单价和为100元．因市场变化，甲商品提价40%，乙商品降价10%，两种商品的单价和比原来提高了20%．问甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？20．某商场在今年“双十一”期间购进甲、乙两种商品共50件销售，已知甲种商品每件进价为35元，利润率为20%，乙种商品每件进价为20元，利润率为15%，共获利278元，问甲、乙两种商品各购进多少件？21．小亮想开一家服装专卖店，开店前他到其他专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将此套服装的上衣按50%的利润定价，裤子按40%的利润定价，由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件衣服均按9折出售，这样此套服装共获利157元，小亮觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣每件的成本，但店员有事走开了，你能帮助他吗？22．列方程组解应用题：全自动红外体温检测仪是一种非接触式人体测温系统，通过人体温度补偿、温度自动校正等技术实现准确、快速的测温工作，具备人体非接触测温、高温报警等功能．为了提高体温检测效率，某医院引进了一批全自动红外体温检测仪．通过一段时间使用发现，全自动红外体温检测仪的平均测温用时比人工测温快2秒，全自动红外体温检测仪检测60个人的体温的时间比人工检测40个人的体温的时间还少50秒，请计算全自动红外体温检测仪和人工测量测温的平均时间分别是多少秒？【直击中考】23．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是（ ）A ．{y −x =4.52x −y =1B ．{x −y =4.52x −y =1C ．{x −y =4.5y 2−x =1D ．{y −x =4.5x −y 2=1 24．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）A ．5B ．6C ．7D ．825．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 两．。

浙教版七年级下册数学第二章二元一次方程组含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏区规则如下，如图掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分（掷中一次记一个点）现统计小华、小明和小芳掷中与得分情况，如图所示，依此方法计算小芳的得分为（）A.76B.74C.72D.702、如表，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．则每一行的和是（）3 4 x﹣2 y a2y﹣x c bC.5D.43、已知∠1与∠2互补，并且∠1比∠2的3倍还大20°，若设∠1=x°，∠2=y°，则x、y满足的方程组为（）A. B. C. D.4、若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为（）A. B. C.﹣ D.﹣5、甲仓库乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%．结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨．若设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨，则有（）A. B. C.D.6、如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（）A.35B.45C.55D.657、方程组的解是( )A. B. C. D.8、若方程组中x与y的值相等，则k等于（）A.1或-1B.1C.5D.-59、我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题：一百马，一百瓦，大马一个拖三个，小马三个拖一个.大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A. B. C. D.10、下列方程中是二元一次方程的是（）A. B. C. D.11、某校春季运动会比赛中，七年级六班和七班的实力相当，关于比赛结果，甲同学说：六班与七班的得分比为4：3，乙同学说：六班比七班的得分2倍少40分，若设六班得x分，七班得y分，则根据题意可列方程组（）A. B. C. D.12、有3堆硬币，每枚硬币的面值相同．小李从第1堆取出和第2堆一样多的硬币放入第2堆；又从第2堆中取出和第3堆一样多的硬币放人第3堆；最后从第3堆中取出和现存的第1堆一样多的硬币放人第1堆，这样每堆有16枚硬币，则原来第1堆有硬币多少枚（）A.22B.16C.14D.1213、一只笼子装有鸡和兔共有10个头，34只脚，每只鸡有两只脚，每只兔有四只脚．设鸡有x只，兔有y只，则可列二元一次方程组（）A. B. C. D.14、有下列说法：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②无论k取任何实数，多项式x2﹣ky2总能分解成两个一次因式积的形式；③若（t﹣3）3﹣2t=1，则t可以取的值有3个；④关于x，y的方程组为，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当a每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是.其中正确的说法是（）A.①④B.①③④C.②③D.①②15、扬州某中学七年级一班40名同学第二次为四川灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表：捐款（元） 20 40 50 100人数 10 8表格中捐款40元和50元的人数不小心被墨水污染已看不清楚、若设捐款40元的有x名同学，捐款50元的有y名同学，根据题意，可得方程组（）A. B. C.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如果，则=________．17、已知已知是方程组的解，则(m﹣n)2＝________．18、已知关于x，y的方程组的解满足x+y＞0，则a的取值范围是________19、二元一次方程组的解为________。

第2章 二元一次方程 第1讲 二元一次方程组命题点一：二元一次方程的定义 【思路点拨】二元一次方程需满足三个条件：①是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次.不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程. 例1若(m －1)x ＋10y |2m －1|＝250是关于x 的二元一次方程，则m 的值是(B )A ．0或1B ．0C ．1D ．任何数例2若3x 3m ＋5n ＋9＋4y 4m －2n －7＝2是关于x ，y 的二元一次方程，则m n等于(D )A ．73B ．37C ．－73D ．－37命题点二：解二元一次方程组 例3解下列方程组：(1)⎩⎨⎧4x －3y ＝17，y ＝7－5x . (2)⎩⎨⎧5x －2y ＝4，2x －3y ＝－5. 解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3. 解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3.【思路点拨】对于(3)，运用整体叠加法解；对于(4)，可以整体设元后解决．(3)⎩⎨⎧2 017x －2 018y ＝2 016，2 016x －2 015y ＝2 017.(4)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y 4＋2x －3y3＝7，2x ＋3y 3＋2x －3y 2＝8.解：(3) ⎩⎨⎧2 017x －2 018y ＝2 016，①2 016x －2 015y ＝2 017.②①－②，得x －3y ＝－1.③ ①＋②，得4 033x －4 033y ＝4 033，即x －y ＝1.④ ④－③，得2y ＝2，解得y ＝1.把y ＝1代入③，得x ＝2，则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.(4)设2x ＋3y ＝a ，2x －3y ＝b ，则⎩⎨⎧a 4＋b3＝7，a 3＋b2＝8，解得⎩⎨⎧a ＝60，b ＝－24.即⎩⎨⎧2x ＋3y ＝60，2x －3y ＝－24.则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝9，y ＝14.(5)⎩⎨⎧3x ＋2y ＋z ＝13，x ＋y ＋2z ＝7，2x ＋3y －z ＝12.解：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，z ＝1.例4解下列方程组：(1)⎩⎨⎧2a －b ＝32，a －3b ＝1. (2)⎩⎨⎧3(x －1)＝y ＋5，x ＋22＝y －13＋1. (3)⎩⎨⎧217x ＋314y ＝2，314x ＋217y ＝2.解：(1)⎩⎨⎧a ＝19，b ＝6. (2)⎩⎨⎧x ＝6，y ＝10.(3)⎩⎨⎧217x ＋314y ＝2，①314x ＋217y ＝2.②①＋②，得531(x ＋y )＝4，即x ＋y ＝4531. ③①－③×217，得97y ＝2－4×217531，解得y ＝2531. 将y ＝2531代入③，得x ＝2531，则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2531，y ＝2531.(4)⎩⎨⎧3(x ＋y )－5(x －y )＝16，2(x ＋y )＋(x －y )＝15.(5)⎩⎨⎧3x －2y ＋z ＝6，2x ＋3y －z ＝11，x ＋2y ＋z ＝8.解：⎩⎨⎧x ＝4.y ＝3.解：⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，z ＝1.命题点三：方程组的解 例5(1)若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2的解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝6，则方程组⎩⎨⎧5a 1(x －1)＋3b 1(y ＋1)＝4c 1，5a 2(x －1)＋3b 2(y ＋1)＝4c 2的解为 ⎩⎨⎧x ＝5，y ＝7． (2)甲、乙两人同时解方程组⎩⎨⎧mx ＋y ＝5，①2x －ny ＝13. ②甲解题看错了①中的m ，解得⎩⎨⎧x ＝72，y ＝－2，乙解题时看错②中的n ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－7，则原方程组的解为 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3．例6(1)如果关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝－2，a 2x －b 2y ＝4的解为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，那么方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝－2＋a 1，a 2x －b 2y ＝4＋a 2的解为(C ) A ．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3 B ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3 C ．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 D ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2(2)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝－26，ax －by ＝－4和方程组⎩⎨⎧3x －5y ＝36，bx ＋ay ＝－8的解相同，则b －2a 的值是 －3 ．命题点四：整数解问题【思路点拨】求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解. 例7阅读下列材料，然后解答后面的问题．我们知道方程2x ＋3y ＝12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．例：由2x ＋3y ＝12，得y ＝12－2x 3＝4－23x .(x ，y 为正整数)∴⎩⎨⎧x ＞0，12－2x ＞0，则有0＜x ＜6.又∵y ＝4－23x 为正整数，则23x 为正整数．由2与3互质，可知x 为3的倍数，从而x ＝3，代入y ＝4－23x ＝2.∴2x ＋3y ＝12的正整数解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2.(1)请你写出方程2x ＋y ＝5的一组正整数解： ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1(只要写出其中的一组即可) ．(2)若6x －2为自然数，则满足条件的x 值有(C ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个(3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？解：设购买单价为3元的笔记本m 本，单价为5元的钢笔n 支． 根据题意，得3m ＋5n ＝35，其中m ，n 均为正整数．变形，得n ＝35－3m 5＝7－35m ，得⎩⎨⎧m ＞0，7－35m ＞0.∴0＜m ＜353. 由于n ＝7－35m 为正整数，则35m 为正整数，可知m 为5的倍数．∴当m ＝5时，n ＝4；当m ＝10时，n ＝1.答：有两种购买方案：购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．例8(北京“迎春杯”竞赛题)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧2x －ay ＝6，4x ＋y ＝7的解是整数，a 是正整数，那么a 的值为 2 ．命题点五：解含参的二元一次方程组 【思路点拨】本题是一个含字母系数的方程组．解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零． 例9已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0， ①6x －my ＋3＝0 ②有无数个解，则m 的值为 9 ．例10已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋2y ＝1，①2x ＋3y ＝b .②(1)当a ，b 为何值时，方程组有唯一解？ (2)当a ，b 为何值时，方程组无解？ (3)当a ，b 为何值时，方程组有无穷解？ 解：(1)当a ≠43时，方程组有唯一解．(2)当a ＝43，b ≠32时，方程组无解．(3)当a ＝43，b ＝32时，方程组有无穷解．课后练习1．已知关于x ，y 的方程x 2m －n －2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为(A )A ．m ＝1，n ＝－1B ．m ＝－1，n ＝1C ．m ＝13，n ＝－43D ．m ＝－13，n ＝432．(2019·南通)已知a ，b 满足方程组⎩⎨⎧3a ＋2b ＝4，2a ＋3b ＝6，则a ＋b 的值为 (A )A ．2B ．4C ．－2D ．－43．已知方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝k ，2x ＋y ＝1的解满足x －y ＝3，则k 的值为(B )A ．2B ．－2C ．1D ．－14．已知方程组⎩⎨⎧4x －y ＝5，ax ＋by ＝－1和⎩⎨⎧3x ＋y ＝9，3ax ＋4by ＝18有相同的解，求a ，b 的值(B ) A ．a ＝2，b ＝3 B ．a ＝－11，b ＝7 C ．a ＝3，b ＝2 D ．a ＝7，b ＝－11 5．(2018·德州)对于实数a ，b ，定义运算“◆”：a ◆b ＝⎩⎨⎧a 2＋b 2，(a ≥b )ab .(a <b )例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3＝42＋32＝5.若x ，y 满足方程组⎩⎨⎧4x －y ＝8，x ＋2y ＝29，则x ◆y ＝ 60 ．6．(2018·滨州)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧3x －my ＝5，2x ＋ny ＝6的解是⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，则关于a ，b 的二元一次方程组⎩⎨⎧3(a ＋b )－m (a －b )＝5，2(a ＋b )＋n (a －b )＝6的解是 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12 ．7．(2019·越城区期末)3x ＋2y ＝20的正整数解有 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝7或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝6，y ＝1 .8．(2019·天台期末)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝k ，2x ＋3y ＝3k －1有以下结论：①当k ＝0时，方程组的解是⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1；②方程组的解可表示为⎩⎨⎧x ＝3k －2，y ＝1－k ；③不论k 取什么实数，x ＋3y 的值始终不变．其中正确的有 ①②③ ．(填序号) 9．根据要求，解答下列问题．(1)解下列方程组．(直接写出方程组的解即可)①⎩⎨⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝3的解为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1 ； ②⎩⎨⎧3x ＋2y ＝10，2x ＋3y ＝10的解为 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 ； ③⎩⎨⎧2x －y ＝4，－x ＋2y ＝4的解为 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4． (2)以上每个方程组的解中，x 值与y 值的大小关系为 x ＝y ． (3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解． 解：⎩⎨⎧3x ＋2y ＝25，2x ＋3y ＝25，解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝5.10．如果⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2是关于x ，y 的方程(ax ＋by －12)2＋||ay －bx ＋1＝0的解，求a ，b 的值．解：把⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2代入方程，得(a ＋2b －12)2＋||2a －b ＋1＝0.又根据非负数性质，得方程组⎩⎨⎧a ＋2b －12＝0，2a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5.11．阅读材料：善于思考的小军在解方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝3，①4x ＋11y ＝5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形，得4x ＋10y ＋y ＝5，即 2(2x ＋5y )＋y ＝5.③把方程①代入③，得2×3＋y ＝5. ∴y ＝－1.把y ＝－1代入①，得x ＝4. ∴方程组的解为⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－1.请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组⎩⎨⎧3x －2y ＝5，①9x －4y ＝19. ②(2)已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧3x 2－2xy ＋12y 2＝47，①2x 2＋xy ＋8y 2＝36. ②求x 2＋4y 2的值． 解：(1)把方程②变形，得3(3x －2y )＋2y ＝19.③ 把①代入③，得15＋2y ＝19，即y ＝2. 把y ＝2代入①，得x ＝3， 则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2.(2)由①，得3(x 2＋4y 2)＝47＋2xy ， 即x 2＋4y 2＝47＋2xy3.③把③代入②，得2×47＋2xy3＝36－xy .解得xy ＝2， 则x 2＋4y 2＝17.12．关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋ay ＋1＝0，bx －2y ＋1＝0有无数组解，则a ，b 的值为(B )A ．a ＝0，b ＝0B ．a ＝－2，b ＝1C ．a ＝2，b ＝－1D ．a ＝2，b ＝1 13．若对任意有理数a ，b ，关于x ，y 的二元一次方程(a －b )x －(a ＋b )y ＝a ＋b 有一组公共解，则公共解为 ⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1.14．(全国初中数学竞赛)若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求代数式5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．解：由⎩⎨⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z ， 得⎩⎨⎧x ＝3z ，y ＝2z .代入，得原式＝－13.。

浙教版数学七年级下册知识点汇总复习第一章平行线一、三线八角在三线八角中，同位角、内错角和同旁内角都是成对的，每一对角都有一条公共边，在截线上。

同位角包括∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8；内错角包括∠3与∠5，∠4与∠6；同旁内角包括∠4与∠5，∠3与∠6.这些角的位置关系可以通过描线法来判断。

二、平行线在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线。

平行线的距离是同时垂直于这两条平行线的垂线段的长度。

画平行线的方法有一贴、二靠、三推、四画。

同位角、内错角和同旁内角的位置关系可以用角平分线来判断。

如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。

三、平行线的判定及性质平行线的判定定理是同位角相等、内错角相等或同旁内角互补。

平行线的性质定理是同位角相等的两条直线平行，内错角相等的两条直线平行，同旁内角互补的两条直线平行。

根据这些定理可以推论出垂直于同一条直线的两条直线互相平行，平行于同一条直线的两条直线互相平行。

四、图形的平移平移不改变图形的形状和大小。

每组对应点的连线平行且相等。

平移的距离是对应点连线的长度。

画平移后的图形需要定方向、画方向、定距离和描点连线。

第二章二元一次方程组一元一次方程只有一个未知数，二元一次方程有两个未知数。

解二元一次方程组的方法有代入法和加减法。

如果未知数系数是1或-1，可以使用代入法。

如果未知数系数不是1或-1，则需要使用加减法。

在解题时，如果方程组中有括号或分数，需要先整理，将未知数放在左边，常数放在右边。

二元一次方程组可以应用在行程问题、工程问题、调配问题、配套问题、利润问题、利率问题、几何问题和集合问题等方面。

对于有多个未知数的问题，需要建立多层关系。

第三章整式的乘除在整式的乘除中，有各种各样的运算法则，如同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法、零次幂和负次幂。

这些法则可以通过条件描述、数学语言和例子来理解。

例如，同底数幂相乘时，底数不变，指数相加；幂的乘方中，底数不变，指数相乘；积的乘方等于乘方的积。

浙教版七年级下册数学第二章二元一次方程组含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、若方程组的解x与y的和为O，则m等于（）A.﹣2B.-1C.1D.22、若（m﹣3）x+4y|2m﹣5|＝25是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（）A.3或2B.2C.3D.任何数3、方程kx+3y=5有一组解是，则k的值是（）A.1B.﹣1C.0D.24、若二元一次方程2x+y=3，3x-y=2和2x-my=-1有公共解，则m取值为( )A.－2B.－1C.3D.45、方程组的解为（）A. B. C. D.6、若二元一次方程组的解也是二元一次方程3x－4y=6的解，则k 的值为（）A.4B.8C.6D.-67、若是方程3x+ay＝1的解，则a的值是（）A. a＝1B. a＝﹣1C. a＝2D. a＝﹣28、已知∠A，∠B互余，∠A比∠B大30度．设∠A，∠B的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是（）A. B. C. D.9、在求代数式-x2 +ax+b的值时，小红用x=2代入时，求得的值是1；小丽用x=-2代入时，求得的值是3，那么小英用x=4代人时，求得的值是 ( )A.-12B.10C.12D.2010、若（2a﹣1）2+2|b﹣3|=0，则a b=（）A. B. C.6 D.11、某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（）A. B. C. D.12、若是关于于x．y的方程2x-y+2a=0的一个解，则常数a为（）A.1B.2C.3D.413、已知和都是关于x，y的二元一次方程ax-y=b的解，则a、b的值分别是( )A.-5、2B.5、-2C.5、2D.以上都不对14、二元一次方程2x+y＝5的正整数解有（）A.一组B.2组C.3组D.无数组15、小明去超市买东西花20元，他身上只带了面值为2元和5元的纸币，营业员没有零钱找给他，那么小明付款方式有（）．A.2种B.3种C.4种D.5种二、填空题(共10题，共计30分)16、若，则x+y+z=________ ．17、 6月14日，第21届世界杯足球赛在俄罗斯举行.小李在网上预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共10张，总价为15800元，其中小组赛门票每张850元，决赛门票每张4500元，若设小李预定了小组赛门票x张，决赛门票y张，根据题意，可列方程组为________.18、某班共有48个学生，且男生比女生多10个，设男生个，女生个，根据题意，列出方程组：________．19、一条船顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是3小时，求船在静水中的速度为________20、若方程组的解满足，则a=________.21、若单项式﹣3x4a﹣b y2与3x3y a＋b是同类项，则这两个单项式的积为________．22、乙组人数是甲组人数的一半，且甲组人数比乙组多15人.设甲组原有x 人，乙组原有y人，则可得方程组为________.23、小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这个数=________．24、若是关于x、y二元一次方程mx+2y=4的解，则m=________．25、已知方程组由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，若按正确的a、b计算,则原方程组的解为________；三、解答题(共5题，共计25分)26、已知|x+y﹣17|+（5x+3y﹣75）2=0，求2x+3y的值．27、已知：4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），求c的值．28、某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒，利用边角余料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽和正方形的边长相等，现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用来制作这两种小盒，可以制作甲、乙两种小盒各多少个？29、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？30、今年“五一”小长假期间，我市外来和外出旅游的总人数为208万人，分别比去年同期增加20%和10%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．求我市今年外来与外出旅游的人数．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、B3、A4、C5、C6、B7、B9、A10、D11、C12、B13、C14、B15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。

浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章 二元一次方程组（解析版）2.5三元一次方程组及其解法（选学）【知识重点】 1．三元一次方程含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程. 2．三元一次方程组概念由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 3．三元一次方程组的解同时满足三元一次方程组中各个方程的解，叫做这个三元一次方程组的解. 4．解三元一次方程组基本步骤为解三元一次方程组的消元方法也是“代入法”或“加减法”，通过消元使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程. 【经典例题】【例1】解方程组{2x −3y +4z =12x −y +3z =44x +y −3z =−2【答案】解：{2x −3y +4z =12(1)x −y +3z =4(2)4x +y −3z =−2(3)（2）+（3）得： 5x=2，∴x=25，由（2）得： y=x+3z-4 （4），将（4）代入（1）得： 2x-3（x+3z-4 ）+4z=12，解得：z=-225，将x=25，z=-225代入（4）得：y=-9625， ∴原方程组的解为：{x =25y =−9625z =−225.【解析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：方程②③中y ，z 的系数都互为相反数，因此由（2）+（3）消去y ，z 可求出x 的值；然后求出y ，z 的值，即可得到方程组的解.【例2】解方程组 {2x +y +z =−7①x +2y +z =−8②x +y +2z =−9③【答案】解：{2x +y +z =−7①x +2y +z =−8②x +y +2z =−9③由①+②+③得：4x+4y+4z=-24； x+y+z=-6④由①-④得：x=-1； 由②-④得：y=-2由③-④得：z=-3∴原方程组的解为：{x =−1y =−2z =−3.【解析】观察方程组中同一个未知数的系数和特点：①②③相加之后，x 、y 、z 的系数和相等，从而可以得出x+y+z 的值。

第2章二元一次方程组一、选择题下列是二元一次方程的是（）A．x﹣xy＝0B．x﹣2＝3y C．2x＝3+3x D．x﹣＝22二元一次方程3x+y＝6的解可以是（）A．B．C．D．3足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x负的场数为y，则可列方程组为（）A．B．C．D．4关于x、y的方程组的解是，则|m﹣n|的值是（）A．5B．3C．2D．15若是方程nx+6y＝4的一个解，则代数式3m﹣n+1的值是（）A．3B．2C．1D．﹣16当a为何值时，方程组的解，x、y的值互为相反数（）A．a＝﹣8B．a＝8C．a＝10D．a＝﹣107与方程5x+2y＝﹣9构成的方程组，其解为的是（）A．x+2y＝1B．3x+2y＝﹣8C．3x﹣4y＝﹣8D．5x+4y＝﹣38李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x、y分钟，列出的方程是（）A．B．C．D．二、填空题9解方程组，当采用加减消元法时，先消去未知数比较简便．10是关于x，y的方程ax﹣y＝3的解，则a＝．11已知3x﹣2y﹣3＝0，求23x÷22y＝．12方程组（a为常数）的解满足方程x﹣3y＝﹣1，则a＝．13甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，若设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，可列方程组．三.解答题14解方程组：（1）；（2）．15某单位在疫情期间购买甲、乙两种防疫品共三次，只有一次甲、乙同时打折，其余两次均按标价购买．三次购买甲、乙的数量和费用如下表：购买甲的数量（个）购买乙的数量（个）购买总费用（元）第一次购物60501140第二次购物30701110第三次购物90801062（1）该单位在第次购物时享受了打折优惠；（2）求出防疫品甲、乙的标价．16课本里，用代入法解二元一次方程组的过程是用下面的框图表示：根据以上思路，请用代入法求出方程组的解（不用画框架图）．第2章二元一次方程组一、选择题下列是二元一次方程的是（）A．x﹣xy＝0B．x﹣2＝3y C．2x＝3+3x D．x﹣＝2【考点】二元一次方程的定义．【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；符号意识．【答案】B【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．【解答】解：A．x﹣xy＝0，是二元二次方程，故本选项不合题意；B．x﹣2＝3y，属于二元一次方程，故本选项符合题意；C.2x＝3+3x，是一元一次方程，故本选项不合题意；D.，是分式方程，故本选项不合题意；故选：B．2二元一次方程3x+y＝6的解可以是（）A．B．C．D．【考点】二元一次方程的解．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】将x＝0代入方程求出y的值，判断所求值与各选项中对应的y的值是否一致，从而得出答案．【解答】解：A．当x＝0时，y＝6，是方程的解；B．当x＝1时，9+y＝6，解得y＝3≠2，故不是方程的解；C．当x＝2时，6+y＝6，解得y＝0≠1，故不是方程的解；D．当x＝3时，9+y＝6，解得y＝﹣3≠3，故不是方程的解；故选：A．3足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x负的场数为y，则可列方程组为（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】A【分析】设这个队胜x场，负y场，根据在8场比赛中得到12分，列方程组即可．【解答】解：设这个队胜x场，负y场，根据题意，得．故选：A．4关于x、y的方程组的解是，则|m﹣n|的值是（）A．5B．3C．2D．1【考点】二元一次方程组的解．【专题】常规题型．【答案】D【分析】根据二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组，求解得到m、n 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵方程组的解是，∴，解得，所以，|m﹣n|＝|2﹣3|＝1．故选：D．5若是方程nx+6y＝4的一个解，则代数式3m﹣n+1的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1【考点】二元一次方程的解．【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】把代入方程nx+6y＝4得出﹣2n+6m＝4，求出3m﹣n＝2，再代入求出即可．【解答】解：∵是方程nx+6y＝4的一个解，∴代入得：﹣2n+6m＝4，∴3m﹣n＝2，∴3m﹣n+1＝2+1＝3，故选：A．6当a为何值时，方程组的解，x、y的值互为相反数（）A．a＝﹣8B．a＝8C．a＝10D．a＝﹣10【考点】二元一次方程组的解．【专题】实数；一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】B【分析】①﹣②×2得出﹣x﹣19y＝36，得出方程组，求出x、y的值，再把x＝2，y＝﹣2代入①求出a即可．【解答】解：当x、y互为相反数时，x+y＝0，∵，∴①﹣②×2得：﹣x﹣19y＝36，解方程组得：，把x＝2，y＝﹣2代入①得：6+10＝2a，解得：a＝8，故选：B．7与方程5x+2y＝﹣9构成的方程组，其解为的是（）A．x+2y＝1B．3x+2y＝﹣8C．3x﹣4y＝﹣8D．5x+4y＝﹣3【考点】二元一次方程组的解．【答案】C【分析】将分别代入四个方程进行检验即可得到结果．【解答】解：A、将代入x+2y＝1，得左边＝﹣2+1＝﹣1，右边＝1，左边≠右边，所以本选项错误；B、将代入3x+2y＝﹣8，得左边＝﹣6+1＝﹣5，右边＝﹣8，左边≠右边，所以本选项错误；C、将代入3x﹣4y＝﹣8，得左边＝﹣6﹣2＝﹣8，右边＝﹣8，左边＝右边，所以本选项正确；D、将代入5x+4y＝﹣3，得左边＝﹣10+2＝﹣8，右边＝﹣3，左边≠右边，所以本选项错误；故选：C．8李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x、y分钟，列出的方程是（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【答案】D【分析】根据关键语句“到学校共用时15分钟”可得方程：x+y＝15，根据“骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米”可得方程：250x+80y＝2900，两个方程组合可得方程组．【解答】解：他骑车和步行的时间分别为x分钟，y分钟，由题意得：，故选：D．二、填空题9解方程组，当采用加减消元法时，先消去未知数比较简便．【考点】解二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】y．【分析】由未知数的系数的特点，y的系数互为相反数，即可得到答案．【解答】解：把两个方程进行相加，即可消去未知数y，故答案为：y．10是关于x，y的方程ax﹣y＝3的解，则a＝．【考点】二元一次方程的解．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】5．【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．【解答】解：代入方程得：a﹣2＝3，解得：a＝5，故答案为：5．11已知3x﹣2y﹣3＝0，求23x÷22y＝．【考点】同底数幂的除法．【专题】整式；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】把3x﹣2y﹣3＝0变形为3x﹣2y＝3，再根据同底数幂的除法法则计算即可．【解答】解：由3x﹣2y﹣3＝0得3x﹣2y＝3，∴23x÷22y＝23x﹣2y＝23＝8．故答案为：8．12方程组（a为常数）的解满足方程x﹣3y＝﹣1，则a＝．【考点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】2.5．【分析】将只含有x，y的两个方程联立，解出x，y，代入含a的方程中求出a即可．【解答】解：，解得：，代入ax﹣y＝4得：2a﹣1＝4，∴a＝2.5．故答案为：2.5．13甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，若设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，可列方程组．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，得出等量关系：①乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙；②乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，得出方程组即可．【解答】解：根据乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙，得方程5x＝5y+10；根据乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，得方程4x＝4y+2y．可得方程组．故答案为：．三.解答题14解方程组：（1）；（2）．【考点】解二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】（1）；（2）..【分析】（1）利用代入法解方程组即可得到答案；（2）加减消元法求解可得答案．【解答】解：（1）解方程组，由①得，x＝6+2y③把③代入②得，2（6+2y）+3y＝﹣2解得，y＝﹣2把y＝14代入③得，x＝2所以原方程组的解为：；（2）①﹣②，得：7y＝14，解得：y＝2，将y＝2代入①，得：3x﹣2×2＝20，解得：x＝8，所以原方程组的解为：．15某单位在疫情期间购买甲、乙两种防疫品共三次，只有一次甲、乙同时打折，其余两次均按标价购买．三次购买甲、乙的数量和费用如下表：购买甲的数量（个）购买乙的数量（个）购买总费用（元）第一次购物60501140第二次购物30701110第三次购物90801062（1）该单位在第次购物时享受了打折优惠；（2）求出防疫品甲、乙的标价．【考点】二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由第三次购买的东西多且总费用底，可得出该单位在第三次购物时享受了打折优惠；（2）设甲的标价是x元，乙的标价是y元，根据总价＝单价×数量结合前两次购物的数量和费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）观察表格数据，可知：第三次购物购买的物品更多，总费用反而更少，∴该单位在第三次购物时享受了打折优惠．故答案为：三．（2）设甲的标价是x元，乙的标价是y元，依题意，得：，解得：．答：甲的标价是9元，乙的标价是12元．16课本里，用代入法解二元一次方程组的过程是用下面的框图表示：根据以上思路，请用代入法求出方程组的解（不用画框架图）．【考点】绝对值；解二元一次方程组．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【答案】见试题解答内容【分析】根据阅读材料中的思路利用代入法求出方程组的解即可．【解答】解：由①得：x＝y③，把③代入②得：|y﹣2y|＝2，解得：y＝2或y＝﹣2，当y＝2时，x＝y＝2；当y＝﹣2时，x＝y＝﹣2，∴方程组的解为或．。

浙江版七年级数学下册第2章二元一次方程组2.3 二元一次方程组本节应掌握和应用的知识点1.用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．基础知识和能力拓展训练一、选择题1．代入法解方程组723{212x yx y-=-=-①②有以下步骤：(1)由①，得2y＝7x－3③；(2)把③代入①，得7x－7x－3＝3；(3)整理，得3＝3；(4)∴x可取一切有理数，原方程组有无数组解．以上解法造成错误步骤是( )A. 第(1)步B. 第(2)步C. 第(3)步D. 第(4)步2．二元一次方程组210{2x yy x+==的解是( )A.2{4xy==B.3{6xy==C.4{3xy==D.4{2xy==3．用代入法解方程组352{9223x yx y-=+=的最佳策略是（）A. 消y，由②得y=12(23－9x) B. 消x，由①得x=13(5y+2)C. 消x，由②得x=19(23－2y) D. 消y，由①得y=15(3x－2)4．已知方程5m －2n ＝1，当m 与n 相等时，m 与n 的值分别是( )A. 2{ 2m n ==B. 3{ 3m n =-=- C. 1{ 1m n =-=- D. 13{13m n ==5．用加减法解方程组3x+2y=6{2x+3y=1时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四种变形正确的是（ ） ①9x+6y=6{4x+6y=2②9x+6y=18{4x-6y=2③9x+6y=18{4x+6y=2④6x+4y=12{6x+9y=3A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④ 6．方程组25{328y x x y =--=消去y 后所得的方程是（ ）A. 3x －4x ＋10＝8B. 3x －4x ＋5＝8C. 3x －4x －5＝8D. 3x －4x －10＝8 7．若方程组(){312y kx by k x =+=-+有无穷多组解，则2k ＋b 2的值为( )A. 4B. 5C. 8D. 10二、填空题 8．方程组3{26x y x y +=-=-的解是________．9．已知x 与y 互为相反数，且3x －y ＝4，则x ＝______，y ＝______． 10．x 2{1y ==是方程2x －ay ＝5的一个解，则a ＝______．11．已知2{1x y ==是方程组ax 5{1by bx ay +=+=的解，则a ﹣b 的值是___________12．已知方程8mx ny +=的两个解是3{ 2x y ==， 1{ 2x y ==-，则m =___________， n =___________13．用换元法解方程组12+34+y {31-24+yx x x x ==时，如果设1u 4x =， 1w x y=+，那么原方程组可化为关于u、v的二元一次方程组是__________________．三、解答题14．解下列方程组（1）5{3210x yx y-=+=（2）2530{2510x yx y+=-=-（3）355{3423x yx y+=-=（4）379{475x yx y+=-=(5)3410 {5642 x yx y-=+=15．已知2,{1xy==是二元一次方程组8,{-1mx nynx my+==的解,求2m-n的算术平方根.16．阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组515{42ax y x by +=-=-①②由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为3{1x y =-=-乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为5{ 4x y ==试求出a 、b 的正确值，并计算a 2 017＋(－110b)2 018的值．17．阅读材料：善于思考的小军在解方程组253{ 4115x y x y +=+=①②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形： 4105x y y ++=即()2255x y y ++=③ 把方程①带入③得： 2351y y ⨯+=∴=-，把1y =-代入①得4x =∴，方程组的解为4{ 1x y ==-．请你解决以下问题：()1模仿小军的“整体代换”法解方程组325{ 9419x y x y -=-=①②()2已知x y ，满足方程组2222321247{2836x xy y x xy y -+=++=①②．()i 求224x y +的值； ()ii 求112x y+的值．18．阅读下列材料，然后解答后面的问题.我们知道方程2x+3y=12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解.例：由2x+3y=12，得1222433xy x-==-，（x、y为正整数）∴{1220xx>->则有0<x<6.又243y x=-为正整数，则23x为整数.由2与3互质，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入243y x=-=2.∴2x+3y=12的正整数解为3 {2 xy==问题：（1）若62x-为自然数，则满足条件的x值有个（2）请你写出方程2x+y=5的所有正整数解：（3）若(x+3)y=8，请用含x的式子表示y，并求出它的所有整数解.参考答案1．B【解析】试题解析：错的是第()2步，应该将③代入②. 故选B. 2．A【解析】试题解析：将y=2x 代入x+2y=10中，得 x+4x=10，即5x=10，∴x=2．∴y=2x=4．∴二元一次方程组210{ 2x y y x +＝＝的解为2{ 4x y ==．故选C ． 3．B【解析】试题解析：因为方程②中x 的系数是方程①中x 的系数的3倍， 所以用代入法解方程组3529{ 223x y x y -=+=①②的最佳策略是：由①得()1523x y =+③，再把③代入②，消去x . 故选B. 4．D【解析】试题解析：根据已知，得521m m -=，解得1.3m = 同理，解得1.3n = 故选D. 5．C【解析】试题分析： 326{231x y x y +=+=①②把y 的系数变为相等时，①×3，②×2得，9618{462x y x y +=+=，把x 的系数变为相等时，①×2，②×3得，6412{ 693x y x y +=+=，所以③④正确．故选C ．6．A 【解析】25{328y x x y =--=①②，把①代入②得：3x −2(2x −5)=8，去括号得：3x −4x +10=8， 故选A. 7．B【解析】试题分析：当两个二元一次方程完全相同的时候，则方程组有无数个解，则31{ 2k kb -==，解得： 1{ 22k b ==，则原式=1+4=5，故选B ．点睛：本题主要考查的就是二元一次方程组的解的问题，属于中等难度的题目．对于二元一次方程组111222{a xb yc a x b y c +=+=，当111222a b c a b c ==，则方程组有无数个解；当111222a b ca b c =≠，则方程组有无解；当111222a b c a b c ≠≠，则方程组有唯一解．对于根据方程组的个数求参数的取值范围的时候我们就按照这个方法来解就不会出现问题． 8．1{4x y =-=【解析】3{26x y x y +=-=-①②，由①得：y =3－x ，将y =3－x 代入②，得2x －（3－x ）=－6，解得x =－1，所以y =4. 故答案为1{4x y =-=.点睛：解二元一次方程组的方法有：加减消元法、代入消元法，根据方程组的特点选择恰当的方法解方程组. 9． 1 －1【解析】解：∵x 与y 互为相反数，∴x =-y ，∴3（-y ）-y =4，∴y =-1．∴x =1．故答案为：1，-1． 10．-1【解析】试题解析：把x2{1y==代入方程2x-ay=5，得：4-a=5，解得：a=-1.11．4;【解析】试题解析：把2{1xy==代入方程组得：25{21a bb a++＝①＝②，①×2-②得：3a=9，即a=3，把a=3代入②得：b=-1，则a-b=3+1=4，12． 4 -2【解析】把3{2xy==，1{2xy==-代入8mx ny+=得3m+2n=8{m-2n=8解得4{2mn==-，故答案为4，-2.13．y=2x﹣1【解析】设14x=u，，1x y+=v，，则34x=3u，2x y+=2v，从而得出关于u、v的二元一次方程组．解：设14x=u，1x y+=v，原方程组变为23{32u vu v+=-=，故答案为23{32u vu v+=-=．“点睛”本题考查用换元法使分式方程简便.换元后再在方程两边乘最简公分母可以把分式方程转化为整式方程.应注意换元后字母系数.14．（1）4{1xy==-（2）5{4xy==（3）5{2xy==-（4）2{37xy==（5）6{2xy==【解析】试题分析: （1）方程组利用加减消元法求出解即可．（2）方程组利用加减消元法求出解即可．（3）方程组利用加减消元法求出解即可．（4）方程组利用加减消元法求出解即可．（5）先找出某个未知数系数的最小公倍数，然后用加减消元法求出方程组的解．试题解析:(1)5{3210 x yx y-=+=①②①×2+②得：5x=20，即x=4，把x=4代入①得：y=−1，则方程组的解为4{1xy==-.(2)2530{2510x yx y+=-=-①②①＋②得,4x=20x=5把x=5代入①得,10+5y=30y=4∴原方程组的解为5{4xy==.(3)355{3423 x yx y+=-=①②①-②得,9y=-18y=-2把y=-2代入①得, 3x+5×(-2)=5x=5∴原方程组的解为5{2xy==-.(4)379{475 x yx y+=-=①②①＋②得,7x=14x=2把x=2代入①得, 6+7y=9y=3 7∴原方程组的解为2 {37xy==；(5)3410{5642 x yx y-=+=①②①×5−②×3得：−38y=−76，y=2，代入①得：3x−8=10，x=6.则原方程组的解为6{2xy==.15．2【解析】试题分析：首先将2,{1xy==代入二元一次方程组8,{-1mx nynx my+==解得3,{2.mn==，再求2m-n的算术平方根即可.试题解析：∵2,{1xy==是二元一次方程组8,{-1mx nynx my+==的解,∴28,{2-1,m nn m+==解得3,{2.mn====2,即2m-n的算术平方根为2.．故答案为：2．16．0.【解析】试题分析：把3{1xy==-代入4x﹣by=﹣2求出b，把5{4xy==代入ax+5y=15求出a，代入求出即可．试题解析：解：根据题意把3{1xy==-代入4x﹣by=﹣2得：﹣12+b=﹣2，解得：b=10，把5{4xy==代入ax+5y=15得：5a+20=15，解得：a=﹣1，所以a2017+（﹣110b）2018=（﹣1）2017+（﹣110×10）2018=0．点睛：本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程，求代数式的值的应用，能求出a 、b 的值是解此题的关键．17．（1）3{ 2x y ==；（2）()i 17； ()5 4ii ±． 【解析】试题分析：（1）模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可；（2）方程组整理后，模仿小军的“整体代换”法，求出所求式子的值即可．试题解析： ()1把方程②变形： ()332219x y y -+=③，把①代入③得： 15219y +=，即2y =，把2y =代入①得： 3x =，则方程组的解为3{ 2x y ==；()()2i 由①得： ()2234472x y xy +=+，即2247243xyx y ++=③，把③代入②得： 4722363xyxy +⨯=-，解得： 2xy =，则22417x y +=；()22417ii x y +=，222(2)4417825x y x y xy ∴+=++=+=，25x y ∴+=或25x y +=-， 则1125224x yx y xy ++==±．18．（1）4个；(2) 1{ 3x y ==， 2{ 1xy == (3) 2{ 8xy =-= 1{ 4x y =-= 1{2x y == 5{1x y ==. 【解析】根据已知代数式为自然数，确定出x 的值即可；（2）用x 表示出y ，确定出方程的正整数解即可；（3）用x 表示出y ，确定出方程的整数解即可．解：(1)由题意得：x−2=1，x−2=2，x−2=3，x−2=6，解得：x=3，x=4，x=5，x=8，共4个；故答案为：4；(2)方程整理得：y=−2x+5，当x=1时，y=3；当x=2时，y=1，则方程的正整数解为1{3xy==，2{1xy==；故答案为：1{3xy==，2{1xy==(3)根据题意得：y=83x+，根据题意得：x+3=1，x+3=2，x+3=4，x+3=8，解得：x=−2，x=−1，x=1，x=5，相应的y=8，y=4，y=2，y=1，∴它的所有整数解为2{8xy=-=1{4xy=-=1{2xy==5{1xy==.。