2018-2019学年安徽省阜阳市太和中学高一下学期期中考试数学试题(文)数学试题

太和中学2018~2019第二学期高一第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知数列{}n a 满足11a =，()*1(1)2n n n a a n +=-⨯∈N ，则4a =（ ）A. 4B. -4C. 8D. -82.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，过11A B 的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是（ ）A. 异面B. 平行C. 相交D. 以上均有可能3.在等差数列{}n a 中，若3691215120a a a a a ++++=，则12183a a -的值为（ ） A 24B. 36C. 48D. 604.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）A. B.C. D..5.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且1b =，2c =，2A B =，则3s i n s i n3BB等于（ ）A.2B. 3C.3D.326.在等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S .若公差12d =，且100145S =，则24698100...a a a a a +++++的值为（ ） A. 70 B. 75 C. 80 D. 857.已知圆方程为22680x y x y +--=，设该圆过点(3,5)P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A.B.C.D.8.如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB =，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD 构成几何体A BCD -，则在几何体A BCD -中，下列结论正确的是（ ）A. 平面ADC ⊥平面ABCB. 平面ADC ⊥平面BDCC. 平面ABC ⊥平面BDCD. 平面ABD ⊥平面ABC9.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法错误的是（ ） A. 2q = B. 数列{}2n S +是等比数列C. 8510S =D. 数列{lg }n a 是公差为2的等差数列10.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222b a c ac =++，且sin sin 1A C +=，则ABC ∆的形状为（ ） A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 最大角为锐角的等腰三角形D. 最大角为钝角的等腰三角形11.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个题目：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”.其大意是“今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺.蒲的生长逐日减其一半，莞的生长逐日增加一倍.问几日蒲、莞长度相等？”若本题改为求当蒲、莞长度相等时，莞的长度为（ ） A. 4尺B. 5尺C. 6尺D. 7尺12.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且)(s i n s i n )()s i n b A B c b C -=-，a =S 为ABC ∆的面积，则cos S B C +的最大值为（ ）A. 1B. 2D. 二、填空题。

安徽省太和中学2017-2018学年高一下学期第一次教学质量检测数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题）一、单选题 1．与终边相同的角为（ ）A.B.C.D.2．某高中共有个班，调查各班月考数学成绩及格的人数，所得数据的茎叶图如图所示，则这个班月考数学成绩及格人数的众数为 （ ）A.B.C.D.3．已知角的终边过点，则等于（ ）A.B.C.D.4．已知，且，则角是 （ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 5．通过实验，得到一组数据如下：，已知这组数据的平均数为，则这组数据的方差为 （ ）A.B.C.D.6．已知，则 （ ）A.B.C.D.7．人在打把中连续射击次，事件“次都中靶”的对立事件是 （ ）A. 此都不中靶B. 至多有次中靶C. 至少有次中靶D. 只有次中靶 8．函数的定义域为（ ）A.B.C.D.9．从自然数，四个数中任取个不同的数，则这个数的差的绝对值等于的概率为（ ）A.B.C.D.10．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（ ）A. 53B. 62C. 63D. 71 11．已知集合，集合，若的概率为 ，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.12．已知函数，若关于的方程在上此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号卷有个解，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知扇形的面积为，扇形的圆心角的弧度数是，则扇形的周长为__________．14．为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体名员工中抽名员工做体检，现从名员工从到进行编号，在中随机抽取一个数，如果抽到的是，则从这个数中应抽取的数是__________．15．下列判断正确的是__________．（填序号）①；②；③；④.16．已知样本数据的方差，则样本数据的平均数为__________．三、解答题 17．求函数的定义域.18．化简：（1）；（2）.19．关于某实验仪器的使用年限（年）和所支出的维修费用（万元）由如下的统计资料：由表中的数据显示与之间存在线性相关关系，试求： （1）对的线性回归方程；（2）估计使用年限为年时，维修费用是多少？附：（参考数据：）20．小王、小张两位同学玩投掷正四面体（每个面都为等边三角形的正三棱锥）骰子（骰子质地均匀，各面上的点数分别为）游戏，规则：小王现掷一枚骰子，向下的点数记为，小张后掷一枚骰子，向下的点数记为， （1）在直角坐标系中，以为坐标的点共有几个？试求点落在直线上的概率；（2）规定：若，则小王赢，若，则小张赢，其他情况不分输赢，试问这个游戏公平吗？请说明理由.21．为了调查中小学课外使用互联网的情况，教育部向华东、华北、华南和西部地区60所中小学发出问卷10000份， 10000名学生参加了问卷调查，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图）.（1）要从这10000名中小学中用分层抽样的方法抽取100名中小学生进一步调查，则在[)2,2.5（小时）时间段内应抽出的人数是多少？（2）若希望75%的中小学生每天使用互联网时间不少于x （小时），请估计x 的值，并说明理由.22．已知函数 .（1）当有是实数解时，求实数的取值范围；（2）若，对一切恒成立，求实数的取值范围.安徽省太和中学2017-2018学年高一下学期第一次教学质量检测数学答案1．C【解析】120°角的终边位于第二象限，240°角的终边位于第三象限，很明显30°角与60°角终边不相同，而，故-300°的终边与60°的终边相同.本题选择C选项.2．C【解析】阅读茎叶图可知，及格人数分别为：结合众数的定义可得这个班月考数学成绩及格人数的众数为25.本题选择C选项.3．B【解析】由点的坐标有：，结合三角函数的定义可知：，则：.本题选择B选项.4．D【解析】有可知，结合可得：，即，据此可得角是第四象限角.本题选择D选项.5．B【解析】由题意可得：，则这组数的方差为：.本题选择B选项.6．C 【解析】令可得：，则.本题选择C选项.7．B【解析】由对立事件的定义可知：事件“次都中靶”的对立事件是至多有次中靶.本题选择B选项.8．C【解析】函数有意义，则：，求解三角不等式可得函数的定义域为：.本题选择C选项.点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．9．C【解析】由题意可知，从自然数，四个数中任取个不同的数的不同取法为：种，若所取两数差的绝对值等于2，则取到的数对为：或两种情况，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.本题选择C选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.10．C【解析】执行程序框图可得：故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.11．B【解析】由题意可知，集合A表示圆上的点组成的集合，结合B表示直线上的点组成的集合，若的概率为，则直线与圆恒有公共点，即圆心到直线的距离不大于半径，据此有：，求解关于实数a 的不等式组可得：.本题选择B选项.12．A【解析】由题意可得，当时，函数的解析式为，当时，函数的解析式为，绘制函数图象如图所示，满足题意时，该函数与函数有4个不同的交点，观察函数图象可得，实数的取值范围是.本题选择A选项.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．13．【解析】设扇形的弧长为，半径为，由题意可得：，解得：，则扇形的周长为：.故答案为：．14．52【解析】由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为7，公差为15的等差数列，则从这个数中应抽取的数是：.故答案为：52．15．④【解析】由题意结合诱导公式可得：，①错误；，②错误；，③错误；，则，④正确；综上可得判断正确的序号为④.16．或【解析】设样本数据的平均数为，则方差：结合可得：，即样本数据的平均数为2或-2，则样本数据的平均数为：或.故答案为：或．点睛：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．要注意其区别与联系.17．【解析】试题分析：由题意知，即，求解三角不等式可得函数的定义域为.试题解析：由题意知，即，结合正弦函数的图象可知，所以，所以函数的定义域为.18．（1）2；（2）1【解析】试题分析：(1)由题意结合坐标轴上角的三角函数值可得三角函数式的值为2；(2)由题意结合诱导公式可得三角函数式的值为1.试题解析：（1）；（2）.19．（1）；（2）12.38【解析】试题分析：（1）首先求得样本中心点，然后结合回归方程系数计算公式可得回归方程为.（2）由(1)中的结果结合回归方程的预测作用可得使用年限为年时，维修费用是万元.试题解析：（1），，所以.（2）当时，（万元）.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．20．（1）16，；（2）不公平【解析】试题分析：（1）由题意列出所有可能的事件可知共个，结合古典概型计算公式可得点落在直线上的概率为；（2）结合(1)中的结论和古典概型计算公式可得小王赢的概率为，小张赢的概率为，小王赢的概率小于小张赢的概率，所以这个游戏不公平.试题解析：（1）由于，则以为坐标的点有：，共个，其中落在直线上，因此所求的概率为；（2）满足的点有：共个，所以小王赢的概率为，满足的点有共个，所以小张赢的概率为，故小王赢的概率小于小张赢的概率，所以这个游戏不公平.21．（1）30；（2）1.7【解析】试题分析：（1）分层抽样的方法利用概率计算，由直方图可知抽取的100名中小学生，每天使用互联网的时间在[)2,2.5（小时）时间内的概率为0.60.50.3⨯=，则10000名中小学会的人（2）75%的中小学生每天使用互联网的时间不少于x（小时），则[)1.5,2x∈，所以()20.50.15x-⨯=，解得 1.7x=.试题解析：（1）抽取的100名中小学生，每天使用互联网的时间在[)2,2.5（小时）时间内的概率为0.60.50.3⨯=所以这10000名中小学生每天使用互联网的时间在[)2,2.5（小时）时间内的人数为100000.33000⨯=，望75%的中小学生每天使用互联网的时间不少于x （小时），则[) 1.5,2x ∈，所以()20.50.15x -⨯=，解得 1.7x =.22．（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题意可知实数的取值范围为函数的值域，结合三角函数的范围和二次函数的性质可知时函数取得最小值，当时函数取得最大值，实数的取值范围是.（2）由题意可得时函数取得最大值，当时函数取得最小值，原问题等价于，求解不等式组可得实数的取值范围是.试题解析： （1）因为，可化得，若方程有解只需实数的取值范围为函数的值域，而，又因为，当时函数取得最小值，当时函数取得最大值，故实数的取值范围是.（2）由，当时函数取得最大值，时函数取得最小值故对一切恒成立只需，解得，所以实数的取值范围是.点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．。

太和中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册、必修第二册第六章～第九章第1节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D.3. 已知为虚数单位，则复数（ ）A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ）A. B. C. D. 5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A. 63%B. 47%C. 55%D. 42%6. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3）()()6i 17i +-()1f x x=1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭()1,00,2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦(],2-∞-10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦i 421i 1i+=-+3i+3i-3i-+3i--1212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭152b =21log 5c =a b c <<a c b <<c<a<bc b a<<A.B. 2C.D.7. 已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（ ）A.B.C. 2D.8. 已知内有一点满足，则向量与夹角为（ ）A 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 在边长为1正方形中，分别为的中点，则（ ）A. B. C. D. 10. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ）A. B. C. D. 11. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且，则（ ）A. B. 为偶函数C. D. 上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若一组数据，，平均数为4，则数据，，的平均数为_________．13. 函数的零点是_________．14. 如图，在中，，为的中点．将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为_________．的.的在的ABC V 2BC =D AC AC BD =BC 234383ABC V O 2222OA OB AC BC -=-OC ABABCD ,E F ,BC CD 2ADAB EF -= 2AF EC FC=+ ()2AF AE AB AD+=+ 1AF AE ⋅=,a b 22a b ab +=24a b +≥4a b +≥2ab ≤2248a b +≥()22ππsin cos (018)88f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=---<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π4()g x 3π116g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()()0f xg x +=π16f x ⎛⎫-⎪⎝⎭()3π08g x g x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭()g x π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1a 2a 3a 122a +222a +322a +()3,0,7,0x x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩Rt ABC △AB BC ==D AC BCD △BD C E π2ADE ∠=E ABD -四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知的内角所对的边分别为．（1）若，，，求；（2）若，且的面积为的最小值．16. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .（1）求角的大小；（2）若的面积为，，求的周长.17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．18. 如图，在正方体中，为的中点．（1）求证：‖平面；（2）上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的中点，，．ABC V ,,A B C ,,a b c 3a =1b =4cos 5A =sin B 222c a b ab =+-ABC Vc ABC V tan A =B ABC V 14b =ABC V a b c ABC V A B C 2cos 2a cC b-=B 3b =sin C=ABC V 1111ABCD A B C D -E 1DD 1BD AEC 1CC F AEC 1BFD F P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD AB BD ⊥E PD 22AD PA ==BD =（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的大小．AE PAB E AB D --太和中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】10【13题答案】【答案】【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）； （2）．【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）（2【18题答案】【答案】（1）证明略 （2）存在，点为的中点【19题答案】【答案】（1 （2）7-152π3B =30π3F 1CC 30︒。

安徽省阜阳三中2018-2019高一年级下学期周考(文科平行班)数学试题2019.4.27一.选择题(本题共12个小题，每小题 5分，共60分)1．已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，b ＝7，c ＝3，B ＝π6，那么a 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．1或42．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin A ＋b sin B ＝c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3.(上周错题变式)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3a =,c =，sin cos()6b A a B π=+，则b = ( )A ．1 B． CD ．4．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为35，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是( )A ．3和5B ．4和6C ．6和8D ．5和75．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形6．若把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A ． 3B ．2393C ．2633D ．2928．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2C ． 2D ． 39．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6， b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°.其中满足上述条件的三角形有两解的是( ) A ．①② B ．①④ C ．①②③ D ．③④ 10．(上周错题变式)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 1sin 2B C =，222c b ab -=， 则cos A =( )A ．38B ．58C ．1116D ．51611．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对边的边长，若cos A ＋sin A －2cos B ＋sin B ＝0，则a ＋bc 的值是( )A ．1B ． 2C ． 3D ．212．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20 n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2＋6)n mile/hB ．20(6－2)n mile/hC ．20(3＋6)n mile/hD ．20(6－3)n mile/h二、填空题(本大题共4个小题，每个小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，已知b ＝1，sin C ＝35，b cos C ＋c cos B ＝2，则AC →·BC →＝___ _． 14．(上周错题变式)在△ABC 中，20bc=, ABC S =V△ABC a = ．15．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝___ _．16．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝3ab ，且c ＝4，则△ABC 面积的最大值为___ _．三、解答题(本大题共6个小题，第17题10分，其余每题均为12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝3，cos B ＝14． (1)求b 的值；(2)求sin C 的值．18．(上周错题变式) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2a B b c +=． (1)求A 的大小；(2)若a =2b =，求△ABC 的面积．19．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 内不能收到手机信号．检查员抽查阜阳市一考点，在考点正西约3 km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h 的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？20．在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac ．(1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．21．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a cos B ＋b cos A ＝2． (1)求c 的值；(2)若C ＝2π3，试写出△ABC 的周长f (B )，并求出f (B )的最大值．22．如图所示，甲船以每小时30 2 n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20 n mile. 当甲船航行20 min 到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10 2 n mile ，问乙船每小时航行多少n mile?参考答案：1-12 CBCDC ABDAC BB13. 85或－85 14.315. 2113 16. 4317. (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋32－2×2×3×14＝10，∴b ＝10．(2)∵cos B ＝14，∴sin B ＝154．由正弦定理，得b sin B ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin B b ＝3×15410＝368．18. [解析]， 根据正弦定理，将上式中的，，替换为，得：，而，所以所以， 因为，所以，又，所以；由余弦定理可得， 因为，，所以，所以，因此．19. [解析] 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1km ．在△ABC 中，AB ＝3≈1.732，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1． 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1．∵BC12×60＝5，∴在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min ．∴最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 该考点才算合格． 20. [解析] (1)由余弦定理及题设条件得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22． 又0<B <π，所以<B ＝π4． (2)由(1)知A ＋C ＝3π4，则2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4． 因为0<A <3π4，所以当A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1． 21. [解析] (1)由a cos B ＋b cos A ＝2及余弦定理，得 a ×a 2＋c 2－b 22ac ＋b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝2，整理解得c ＝2．(2)由c ＝2和C ＝2π3及正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin 2π3＝433， ∴△ABC 的周长f (B )＝a ＋b ＋c ＝433sin A ＋433sin B ＋2 由三角形内角和为π，得A ＝π3－B ，∴f (B )＝433sin(π3－B )＋433sin B ＋2＝2＋433(12sin B ＋32cos B )＝433sin(B ＋π3)＋2，又∵B ∈(0，π3)，∴B ＋π3∈(π3，2π3)，当B ＋π3＝π2，即B ＝π6时，f (B )取得最大值433＋2． 22. [解析] 解法一：如图，连结A 1B 2，由题意知A 2B 2＝10 2 n mile ，A 1A 2＝302×2060＝10 2 n mile ． 所以A 1A 2＝A 2B 2．又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， 所以△A 1A 2B 2是等边三角形． 所以A 1B 2＝A 1A 2＝10 2 n mile ．由题意知，A 1B 1＝20 n mile ，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°， 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200． 所以B 1B 2＝10 2 n mile ．因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h)． 答：乙船每小时航行30 2 n mile ． 解法二：如下图所示，连结A 2B 1， 由题意知A 1B 1＝20 n mile ，A 1A 2＝302×2060 ＝10 2 n mile ，∠B 1A 1A 2＝105°， 又cos105°＝cos(45°＋60°) ＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝2(1－3)4， sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60° ＝2(1＋3)4，在△A 2A 1B 1中，由余弦定理，得A 2B 21＝A 1B 21＋A 1A 22－2A 1B 1·A 1A 2·cos105° ＝202＋(102)2－2×20×102×2(1－3)4＝100(4＋23)，所以A 2B 1＝10(1＋3)n mile由正弦定理，得sin ∠A 1A 2B 1＝A 1B 1A 2B 1·sin ∠B 1A 1A 2＝2010(1＋3)×2(1＋3)4＝22， 所以∠A 1A 2B 1＝45°，即∠B 1A 2B 2＝60°－45°＝15°，cos15°＝sin105°＝2(1＋3)4．在△B 1A 2B 2中，由题知A 2B 2＝10 2 n mile ， 由余弦定理，得B 1B 22＝A 2B 21＋A 2B 22－2A 2B 1·A 2B 2·cos15° ＝102(1＋3)2＋(102)2－2×10(1＋3)×102×2(1＋3)4 ＝200，所以B 1B 2＝10 2 n mile ，故乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h)． 答：乙船每小时航行30 2 n mile ．。