面面垂直的性质定理课件

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【数学课件】两个平面垂直的判定和性质

两个平面垂直的判定和性质
面面垂直
线面垂直
两个平面平行的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
B
α
a
？思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC，问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相平行？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
S
D O
A
C B
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面的直线。
β
A
B
α
a
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α. 证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有
一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与b直线
重合.
β
所以a α.
α
P
a
b
c
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，再第一个平面。
α
P
a
β
例2 求证：垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,

高中数学：面面垂直判定课件共20张PPT

二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D
C
A
OB
两平面垂直
1、定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直
记作α⊥β
性质: 1、凡是直二面角都相等
2、两个平面相交,可引成四个二面角,如果其中有一个是直二面角,那么其他各个二面角都是直二面角
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都要垂直于二面角的棱
A O
l
B
10
二面角的大小二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． ① 两个半平面重合：二面A角是 0o； ② 两个半平面合成一个平面：180o；
二面角的范围：[ 0o, 180o ]． B
③ 平面角是直角的二面角叫直二面角．
O
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列
二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
2、判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
D
A
C
B
线面垂直
面面垂直
2、判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
符号表示：
l l
α β
αβ
l
线线垂直线面垂直

线面垂直面面垂直的性质与判定定理课件

学习目标
学习者能够理解面面垂直的性质与判定定理的基本概念。
学习者能够通过实际案例分析，提高解决实际问题的能力。
学习者能够掌握面面垂直的性质与判定定理的应用方法。
02
线面垂直的性质
定义与性质
01
02
03
定义
线面垂直是指一条直线与某一平面内的任意一条直线都垂直。
性质1
线面垂直，则该直线与平面内任意直线都垂直，且线段与平面所成的角为直角。
06
实例分析
线面垂直实例
总结词
线面垂直的判定定理
详细描述
若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该直线与该平面垂直。
实例
一个长方体，其一条棱与底面垂直，则该棱与底面所在的平面垂直。
面面垂直实例
总结词
面面垂直的判定定理
详细描述
若两个平面内各有一条相交直线互相垂直，则这两个平面互相垂直。
实例
证明2
根据判定定理2，如果一个平面$alpha$与另一个平面$beta$的垂线$c$平行，那么可以证明平面$alpha$与平面 $beta$垂直。设过直线$c$作平面$gamma$与$beta$相交于直线$d$，由于$c parallel d$，且$c perp beta$ ，则$d perp beta$。又因为直线$d$在平面$alpha$内，所以平面$alpha perp beta$。
平面与平面垂直的判定定理证明
假设平面β内有一条直线m与平面α垂直，那么可以通过平面的性质证明平面β与平面α 互相垂直。
05
面面垂直的判定定理
判定定理
判定定理1
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直。

面面垂直的判定与性质课件

详细描述
如果两个平面都与同一直线垂直，那么这两个平面之间的夹角为90度，即这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。

8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定定理课件高一下学期数学人教A版

探究新知
观察建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与水平面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于水平面，否则他就认为墙面不垂直于水平面．你能明白这种方法的道理吗？
No
Image
猜想：如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直.
探究新知
已知：AB , AB (图１) 求证：
受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
β
α
以二面角的棱上任意一点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
探究新知
二面角的平面角说明:
(1)角的顶点在棱上;
B
(2)角的两边分别在两个面内;
β
(3)角的边都垂直于二面角的棱。
lO
A α
A
A
l
O
B
O B
猜想：如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直.
探究新知
5．平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直.
a a
简记：线面垂直
a
面面垂直
例题讲解
例1:已知：如图, 正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证：平面A′BD⊥平面ACC'A'.
使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G- SEF，则四面体S-EFG中
必有( ).
A.SG⊥△EFG所在平面
S
G3
B.SD⊥△EFG所在平面 F
C.GF⊥△SEF所在平面
D
D.GD⊥△SEF所在平面 G1

面面垂直的判定公开课课件

直。由此可知，平面β与平面α垂直。
方法2：利用面面平行的性质判定面面垂直
总结词
通过证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质判定两个平面垂直
详细描述
首先证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质，即如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
证明过程
利用三垂线定理证明一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
要点三
证明过程
设直线a、b为平面α内的两条相交直线，直线c为平面β外的一条直线，我们需要证明直线a、b与平面β垂直，进而证明平面α与平面β垂直。根据三垂线定理，如果直线c与平面β的斜线 c'在点A处相交，那么c'在点A处的垂足d在直线a、b上，且直线c、a、b 都与直线d垂直。由此可知，直线a、 b与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
设平面α与平面β平行，直线a在平面α内，我们需要证明直线a与平面β垂直。由于平面α 与平面β平行，根据面面平行的性质，平面α内的任意一条直线都与平面β垂直。因此，直线a与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
方法3：利用三垂线定理判定面面垂直
要点过三垂线定理证明两个平面垂直
面面垂直的判定公开课课件
$number {01}
目录
• 面面垂直的判定定理 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的判定方法 • 面面垂直的实例分析 • 面面垂直的习题与解答
01
面面垂直的判定定理
判定定理的陈述
• 判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直。
判定定理的证明
• 证明：假设平面α内有直线l，且l与平面β垂直。为了证明平面α 与平面β垂直，我们需要证明平面α上的任意一条直线m都与平面β垂直。设直线m在平面α上并与直线l相交于点P。由于l与β 垂直，根据直线与平面垂直的性质定理，l与β上的任意一条直线（包括m）都垂直。因此，m与β也垂直。由于m是平面α上的任意一条直线，所以我们可以得出结论：平面α与平面β垂直。

高中数学2.3.3线面垂直_面面垂直的性质定理优秀课件

【答案】 B
4．设两个平面互相垂直，则( ) A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面 B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面内 C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面 D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
【答案】 B
C
D
B
A
思考:如果直线a，b都垂直于平面α，
由观察可知a//b，从理论上如何证明这个结论？
a b b’
c
α
O
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行。
ab
用符号表示?
α
作用: ①证明线线平行 ②作平行线
2.直线与平面垂直的其他性质： (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线． (2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行． (3)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面．
练习一
❖ 1.判断以下命题正确的选项是_______ ❖ (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ❖ (2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ❖ (3)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,那
么这两条直线互相垂直.
2 .已知 a ,b 和直平 ,且线 a 面 ba, ,则 b 与的
AB ?⊥
在内引直线BE⊥ CD, 垂足为B,
则∠ ABE是二面角-CD- 的
平面角, 由 ⊥ 知,
AB⊥ BE,又BE与CD
是内的两条
相交直线.
C
E
D
BA
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
简记为:面面垂直,那么线面垂直.

直线与平面垂直的判定定理与性质定理ppt课件

24
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质个平面的两
定条直线理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一判定个平面的_垂_线__，
定理则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.

面面垂直的判定与性质ppt 人教课标版

A S
G
H
F
B C
A
C
E
D
D
B
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
读一本好书，就是和许多高尚的人谈话。 ---歌德书籍是人类知识的总结。书籍是全世界的营养品。 ---莎士比亚书籍是巨大的力量。 ---列宁好的书籍是最贵重的珍宝。 ---别林斯基任何时候我也不会满足，越是多读书，就越是深刻地感到不满足，越感到自己知识贫乏。 ---马克思书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料。 ---雨果喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。 ---孟德斯鸠如果我阅读得和别人一样多，我就知道得和别人一样少。 ---霍伯斯[英国作家] 读书有三种方法：一种是读而不懂，另一种是既读也懂，还有一种是读而懂得书上所没有的东西。 ---克尼雅日宁[俄国剧作家・诗人] 要学会读书，必须首先读的非常慢，直到最后值得你精读的一本书，还是应该很慢地读。 ---法奇(法国科学家) 了解一页书，胜于匆促地阅读一卷书。 ---麦考利[英国作家] 读书而不回想，犹如食物而不消化。 ---伯克[美国想思家] 读书而不能运用，则所读书等于废纸。 ---华盛顿(美国政治家) 书籍使一些人博学多识，但也使一些食而不化的人疯疯颠颠。 ---彼特拉克[意大利诗人] 生活在我们这个世界里，不读书就完全不可能了解人。 ---高尔基读书越多，越感到腹中空虚。 ---雪莱(英国诗人) 读书是我唯一的娱乐。我不把时间浪费于酒店、赌博或任何一种恶劣的游戏；而我对于事业的勤劳，仍是按照必要，不倦不厌。 ---富兰克林书读的越多而不加思索，你就会觉得你知道得很多；但当你读书而思考越多的时候，你就会清楚地看到你知道得很少。 ---伏尔泰(法国哲学家、文学家) 读书破万卷，下笔如有神。---杜甫读万卷书，行万里路。 ---顾炎武读书之法无他，惟是笃志虚心，反复详玩，为有功耳。 ---朱熹读书无嗜好，就能尽其多。不先泛览群书，则会无所适从或失之偏好，广然后深，博然后专。 ---鲁迅读书之法，在循序渐进，熟读而精思。 ---朱煮读书务在循序渐进；一书已熟，方读一书，勿得卤莽躐等，虽多无益。 ---胡居仁[明] 读书是学习，摘抄是整理，写作是创造。 ---吴晗看书不能信仰而无思考，要大胆地提出问题，勤于摘录资料，分析资料，找出其中的相互关系，是做学问的一种方法。---顾颉刚书犹药也，善读之可以医愚。 ---刘向读书破万卷，胸中无适主，便如暴富儿，颇为用钱苦。 ---郑板桥知古不知今，谓之落沉。知今不知古，谓之盲瞽。 ---王充举一纲而万目张，解一卷而众篇明。 ---郑玄

面面垂直的判定和性质精选教学PPT课件

αa β
Mb cN P
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法二：
任取P∈a，过点P作b⊥γ.
因为α ⊥γ，所以b α，因为β ⊥γ，
同一法
因此b β，故α ∩ β= b. 由已知 α∩ β= a， γ
αa Pβ b
所以a与 b重合，
所以a ⊥γ.
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
我唯一的靠山倒了，但是母亲教会了我在逆境中学会坚强，勇敢地面对困难和失败，适应任何环境而求生存，这就是我的母亲留给我的无比珍贵的财富和爱。母亲虽然走了，可她永远活在我的心里，我永远怀念她，她是我地唯一，无人取代，也是我的最爱，更是难忘的爱！
我想不起小姨妈在母亲有病的时候是怎样抱着我，还是背着我，我不知道，从小姨妈对那段往事的回忆中，我才知道别人对她的冷眼，天寒地冷的无奈…… 我才知道她的棉衣前襟是明亮发光的，而且经常是湿地；才知道烧无烟煤时熏黑了的脸上那双有黑有大的眼睛的明亮。那时候小姨妈只有十六岁，一个失去父母关爱的小女孩，能在姐姐病重的时候撑起一个家，还带着一个不满周岁的孩子，可想而知，这是多么不容易
线线垂直
小结
β A B αa
线面垂直
面面垂直
线线平行面面平行
思考题：如图，在正三棱柱ABC-A1 B1C1 中，
（正三棱柱指底面是正三角形，侧棱与底面垂
直的三棱柱），E为B B1 的中点，
求证：截面A1 EC⊥侧面AC1 。
A
C
B
A1
E
C1
B1
小时候，我可以在母亲的背上无忧无虑的长大，是母亲编织了女儿的梦，点燃了心中那盏灯，伴我走过人生那坎坷的路程。
当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不

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AB⊥l， BCβ，DE β，BC⊥DE.
求证：AC⊥DE.
A
B
l
D
C
E
面面垂直的性质定理
面面垂直的性质定理
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面面垂直的性质定理
求:A 证 B α.
证明:在平面 α内作BE⊥CD,垂足为B。
则∠ABE就是二面角α-CD-β的
A
平面角。
A B E 9 0 0 A B B E
D BE
AB BE
C
AB CD BE CD B
AB
BE
CD
面面垂直的性质定理
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知:平面α⊥平面β,α∩β＝l,则
平面与平面垂直的性质定理
两Ⅰ个. 观平察面实垂验直,则一个平面观内察垂两垂直直于平交面线中的,一直线与个另平一面内个的平直面线垂与直另.
一符个号平表面示的：有哪些位置关系?
Ⅱ.概括结论
l
b
bbbll 面bb简面述垂为：直该命题正确线吗？面垂直
面面垂直的性质定理
已 α β α 知 β , C A D β A B , C ,于 B B D .
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β
（ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β
（ ×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此
√ 垂线必垂直于平面β（）
面面垂直的性质定理
思
平考面⊥平面β，点P在平面内，过点P作平面β的垂线PC，直线PC与平面具有什么位置关系？
α P
B β
C
A
猜想：直线PC在平面内
面面垂直的性质定理
已知：⊥β，∩β=AB， P∈ ，
PC ⊥ β.求证：PC 。
α P
B β
DC
A 过P做PD⊥AB，垂足为D。 ∵PD⊥AB，∴PD⊥面β。 ∵过一点只能做一条直线与平面垂直。 ∴PC与PD必重合，即PC在面α内。
面面垂直的性质定理
例1如：图:已知平面α，β， ⊥β,直线a满
面面垂直的性质定理
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2、证明线面垂直的两种方法：线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。
面面垂直的性质定理
当堂达标
1、如图,α⊥β,α∩β=l，AB α，
P
C
A
O
B
面面垂直的性质定理
例3：如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
P
A
C
B
面面垂直的性质定理
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一种证明线面垂直的方法
2、本题充分地体现了面面垂直与线面垂直之间的相互转化关系。
面面垂直
性质定理判定定理
线面垂直
2.3.4平面与平面垂直的性质
面面垂直的性质定理
面面垂直的性质定理
提出问题：
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂
线，则这两该个命平面题垂正直确。吗？
符号表示：
b
bb
面面垂直的性质定理
足 a⊥β，a ，判断直线a与平面
的直线b。 α
∵ ⊥β
ba
∴b ⊥β(平面与平面垂直的性质定理)
∵ ⊥β
β
∴a//b(直线与平面垂直的性质定理)
又∵a
∴a// (直线与平面平行的判定定理)
即直线a与平面平行。
面面垂直的性质定理
例2：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC， (1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。