安徽六校教育研究会2020届高三数学(文科)第二次素质测试 含答案

合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题(文科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷 (60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}1 3 5 7A =，，，，{}28xB x =>，则A B =IA.{}1B.{}1 3，C.{}5 7，D.{}3 5 7，，2.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+将自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数sin θ、cos θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数z 满足()i e i z iπ+⋅=，则z =A.1B.2 C.3D.2 3.若实数x ，y 满足约束条件240 40 3230 x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，，，则2z x y =-的最小值是A.16B.7C.-4D.-5 4.已知数列{}n a 是等差数列，若22a =，639S =，则7a =A.18B.17C.15D.14 5.在平行四边形ABCD 中，若DE EC =uuu r uu u r ，AE 交BD 于F 点，则AF =u u u rA.2133AB AD +uu u r uuu rB.2133AB AD -uu u r uuu rC.1233AB AD -uu u r uuu rD.1233AB AD +uuu r uuu r6.函数()()sin f x A x ωϕ=+00 02A πωϕ⎛⎫>><<⎪⎝⎭，，的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是 A.函数()f x 的图像可由sin y A x ω=的图像向左平移6π个单位得到 B.函数()f x 的图像关于直线3x π=对称C.函数()f x 在区间 33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增 D.函数()f x 图像的对称中心为 0212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，(k Z ∈)7.若函数()()42F x f x x =-是奇函数，()()12xG x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，则()1f -=A.52-B.54-C.54D.528.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” 魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是①由图1和图2面积相等可得ab d a b =+；②由AE AF ≥可得22+22a b a b+≥； ③由AD AE ≥可得22+2112a b a b ≥+； ④由AD AF ≥可得222a b ab +≥. A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.①③ 9.已知函数()22log 111x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，，，则()()1f x f x <+的解集为A.()1 -+∞，B.()1 1-，C.12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， D.1 12⎛⎫- ⎪⎝⎭，10.已知12F F ，为椭圆C ：221x y m+=的两个焦点，若C 上存在点M 满足120MF MF ⋅=uuur uuuu r ，则实数m取值范围是A.[)10 2 2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U ，， B.[)1 122⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U ，， C.(]10 1 22⎛⎤⎥⎝⎦U ，， D.(]1 11 22⎡⎫⎪⎢⎣⎭U ，，11.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A B C ，，三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶.经过前期走访得知，这四个贫困户甲、乙、丙、丁选择A B C ，，三个项目的意向如下：扶贫项目 AB C 选择意向贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁每个项目至多有两户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为A.38B.58C.516D.1212.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示.已知半球的半径为6，则当此几何体的体积最小时，它的表面积为A.24πB.()1833π+C.21πD.()1842π+第Ⅱ卷 (90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 第16题第一空2分，第二空3分. 把答案填在答题卡上的相应位置.13.曲线()2x f x ex e =-(e 是自然对数的底数)在1x =处的切线方程为 . 14.若数列{}n a 的首项为1-，12n n n a a +⋅=-，则数列{}n a 的前10项之和等于 . 15.已知双曲线22:12x C y -=的右焦点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，点P 为双曲线C 左支上的一个动点，则BPF ∆周长的最小值等于 .16.在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ===，，，点P 是线段1B C 上的一个动点，则：(1)1AP D P +的最小值等于 ；(2)直线AP 与平面11AA D D 所成角的正切值的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()tan 2cos sin cos 2sin A C A A C -=-. ⑴求角B 的大小；⑵若角B 为锐角，1b =，ABC ∆3ABC ∆的周长.18.(本小题满分12分)在矩形ABCD 中，E F ，在边CD 上，1BC CE EF FD ====，如图(1).沿BE AF ，将CBE ∆和DAF ∆折起，使平面CBE 和平面DAF 都与平面ABEF 垂直，连结CD ，如图(2).⑴证明：//CD AB ； ⑵求三棱锥D BCE -的体积.19.(本小题满分12分)已知圆()()224425x y -+-=经过抛物线E :22y px =(0p >)的焦点F ，且与抛物线E 的准线l 相切.⑴求抛物线E 的标准方程；⑵设经过点F 的直线m 交抛物线E 于A B ，两点，点B 关于x 轴的对称点为点C ，若ACF ∆的面积为6，求直线m 的方程.20.(本小题满分12分)随着运动app 和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健步达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友(共500人)的走路步数，并整理成下表：分组(单位：千步) [0，4) [4，8) [8，12) [12，16) [16，20) [20，24) [24，28) [28，32] 频数602401006020182值作代表)；⑵若用A 表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件A 发生的概率；⑶若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人共有300人，其中健步达人恰有150人，请填写下面2×2列联表.根据列联表判断，有多大把握认为，健步达人与年龄有关？健步达人 非健步达人合计 40岁以上 不超过40岁 合计附：()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++.P (2K k≥)0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82821.(本小题满分12分)已知函数()sin x f x e x =.(e 是自然对数的底数) ⑴求()f x 的单调递减区间；⑵若函数()()2g x f x x =-，证明()g x 在(0，π)上只有两个零点.(参考数据：2 4.8e π≈)请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(ϕ为参数). 以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 33πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.⑴曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；⑵若直线l 与曲线C 交于P Q ，两点，M (2，0)，求MP MQ +的值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 若不等式135x x m -+-<的解集为(32n ，). ⑴求n 的值；⑵若三个正实数a b c ，，满足a b c m ++=.证明：2222222b c c a a b a b c+++++≥.合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.y ex e =- 14.31 15.422+ 16.17，1133⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(第一空2分，第二空3分)三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)解：(1)∵()tan 2cos sin cos 2sin A C A A C -=-，∴222sin cos sin cos 2cos sin A C A A A C -=-.化简得1sin cos cos sin 2A C A C +=，即()1sin 2A C +=，∴()1sin 2B π-=，即1sin 2B =. ∴6B π=或56B π=. ………………………………5分 (2)∵B 是锐角，∴6B π=，由13sin 2ABC S ac B ∆==得，3ac =. 在ABC ∆中，由余弦定理得22222cos ()23b a c ac B a c ac ac =+-=+--∴()()22123313a c +=++=+，∴13a c +=+，∴ABC ∆的周长为23+ ………………………………12分18.(本小题满分12分)⑴证明：分别取AF BE ，的中点M N ，，连结DM CN MN ，，. 由图(1)可得，ADF ∆与BCE ∆都是等腰直角三角形且全等， ∴DM AF ⊥，CN BE ⊥，DM CN =.∵平面ADF ⊥平面ABEF ，交线为AF ，DM ⊂平面ADF ，DM AF ⊥， ∴DM ⊥平面ABEF .同理，CN ⊥平面ABEF ，∴//DM CN .又∵DM CN =，∴四边形CDMN 为平行四边形，∴//CD MN . ∵M N ，分别是AF BE ，的中点，∴//MN AB ， ∴//CD AB . ………………………………5分⑵由图可知，D BCE B DCE V V =三棱锥－三棱锥－，∵13EF AB ==，，∴2CD MN ==， ∴22B DCE B EFC C EFB V V V ==三棱锥－三棱锥－三棱锥－.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBDBDDCACAAD由(1)知，CN ⊥平面BEF .∵2CN =12BEF S ∆=，∴2C EFB V 三棱锥－，∴2D BCE V =三棱锥－………………………………12分19.(本小题满分12分)解：⑴由已知可得：圆心(4，4)到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等，即点(4，4)在抛物线E 上，∴168p =，解得2p =.∴抛物线E 的标准方程为24y x =. ………………………………5分 ⑵由已知可得，直线m 斜率存在，否则点C 与点A 重合. 设直线m 的斜率为k (0k ≠)，则():1AB y k x =-.由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得 ()2222220k x k x k -++=. 设A (11x y ，)，B (22x y ，)，∴12242x x k+=+，121x x =.………………………………7分由对称性可知，C (22 x y -，)，∴11AF x =+，21CF x =+.设直线m (AB )的倾斜角为α，则tan k α=， ∴()22222sin cos 2tan 2sin sin 2sin 22sin cos sin cos tan 11kAFC k αααπααααααα∠=-=====+++，∴()()()1212122111sin 2121AFCk S x x x x x x k α∆=++=+++⋅⎡⎤⎣⎦+4k =.……………………………10分 由已知可得46k =，解得23k =±. ∴直线m 的方程为()213y x =±-，即2320x y ±-=. ………………………………12分20.(本小题满分12分)解：⑴()12606240101001460182022183028.432500x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以这一天小王500名好友走路的平均步数约为8432步.……………………………3分 ⑵()10.432602401000.62165004p A ⎛⎫=++⨯= ⎪⎝⎭， 所以事件A 的概率约为0.6216. ………………………………………………………5分(3)……………………………………………………8分()()()()()()22250022500750031.2510.828200300300200n ad bc K a b c d a c b d --===>++++⨯⨯⨯，…………10分健步达人 非健步达人 合计 40岁以上 150 150 300 不超过40岁50 150 200 合计 200 300 500∴有99.9﹪以上的把握认为，健步达人与年龄有关. ………………………………12分21.(本小题满分12分)解：(1)()sin x f x e x =，定义域为R .()()sin cos 2sin 4x x f x e x x e x π⎛⎫'=+=+⎪⎝⎭. 由()0f x '<得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得372244k x k ππππ+<<+(k Z ∈). ∴()f x 的单调递减区间为372 244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，(k Z ∈).………………………………5分 (2)∵()()sin cos 2x g x e x x '=+-，∴()2cos x g x e x ''=. ∵()0x π∈，，∴当0 2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x ''>；当2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x ''<.∴()g x '在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减， 又∵()0120g '=-<，2202g e ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()20g e ππ'=--<，∴()g x '在()0π，上图象大致如右图.∴10 2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()10g x '=，()20g x '=， 且当()10x x ∈，或()2x x π∈，时，()0g x '<；当()12x x x ∈，时，()0g x '>.∴()g x 在()10x ，和()2x π，上单调递减，在()12x x ，上单调递增. ∵()00g =，∴()10g x <.∵202g e πππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，∴()20g x >，又∵()20g ππ=-<，由零点存在性定理得，()g x 在()12x x ，和()2x π，内各有一个零点，∴函数()g x 在()0π，上有两个零点. ………………………………12分 22.(本小题满分10分)(1)曲线C 的参数方程3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数ϕ得，曲线C 的普通方程为221259x y +=. ∵sin 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3cos sin 230ρθρθ+-=，∴直线l 的直角坐标方程为3230x y +-=. ………………………………5分(2)设直线l 的参数方程为1223x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630t t --=，∴1212697t t t t +==-，.∵点M (2，0)在直线l 上，∴()21212123630243649MP MQ t t t t t t +=-=+-+=………………………………10分23.(本小题满分10分)(1)由题意知，32为方程135x x m -+-=的根，∴391522m -+-=，解得1m =. 由1351x x -+-<解得，3724x <<，∴74n =. ………………………………5分 (2)由(1)知1a b c ++=，∴222222222b c c a a b bc ac aba b c a b c +++++≥++. ()()()()22222222222222222221a b b c c a a b b c b c c a c a a b abc abc ⎡⎤=++=+++++⎣⎦， ()()222122222abc ab c bc a ca b a b c abc abc ≥++=++=， ∴2222222b c c a a b a b c+++++≥成立. ………………………………10分。

安徽省合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学（文科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数(3)(2)z m i i =+-+在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,(1,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭2．如图，在等腰三角形ABC 中，已知120BAC ∠=︒，阴影部分是以AB 为直径的圆与以AC 为直径的圆的公共部分，若在ABC ∆内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A 31π- B ．31π-C ．312π-D ．132π3．设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，若双曲线的渐近线被圆M ：22100x y x +-=所截得的两条弦长之和为12，已知ABP V 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则sin sin sin P A B-的值等于( )A ．35B ．7C ．53 D 74．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 340a a B B -+=，27b =则ABC V 的面积为 A ．2B 2 C ．2335．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，M 是抛物线C 上的点，且MF x ⊥轴，若以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2，则p =( )A ．2B ．2C ．4D ．426．已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=( )A．725B．725-C．2325D．2325-7．在ABCV中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知()()32sin B A sin B A sin A-++=，且7c=，3Cπ=，则ABCV的面积是()n nA．33B．73C．21D．33或738．已知x，y满足不等式220101x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3z y x=-的最小值是（）A．1 B．﹣3 C．﹣1 D．72-9．在ABC∆中，1,,,64a A Bππ=∠=∠=则c=A．622+B．62-C．6D．2210．若函数()22f x x a x=++，x∈R在区间[)3,+∞和[]2,1--上均为增函数，则实数a的取值范围是（）A．11,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B．[]6,4--C．3,22⎡⎤--⎣⎦D．[]4,3--11．已知函数()f x的图象如图所示，则()f x的解析式可能是（）A．()cosxf x e x=⋅B．()ln cosf x x x=⋅C．()cosxf x e x=+D．()ln cosf x x x=+12．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A ．6B ．26C ．155D ．105二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学(文科)试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。

1.已知复数z = m(3 + z)-(2 + z)在复平面内对应的点在第三象限，则实数刀的取值范围是( )2.如图，在等腰三角形A8C 中，已知ZBAC = 120°,阴影部分是以AB 为直径的圆与以AC 为直径的 圆的公共部分，若在AABC 内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()后兀 ]~921也兀2 9~设双曲线的方程为二一］=1(。

〉0，〉0),若双曲线的渐近线被圆M ： x 2 + y 2-10x-0所截得的a" b3 77 5A. 3 * 5B. 3 c. 3 d .4. 在AABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别。

、b 、c ,满足疽一2a(sin3 + 0cos3)+ 4 = 0 ,人=2占,则A3C 的面积为A. 2也B.也C. 2右d .右5. 已知抛物线。

：尸=2px(p>0)的焦点为F ,准线/与工轴的交点为A , Af 是抛物线C 上的点，且若以AF 为直径的圆截直线A"所得的弦长为2,则。

=()A. 2B. 2也C. 4D. 4皿6. 已知cost 1 = |,则cos2a =( )两条弦长之和为12,已知ABP 的顶点A, B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则A.25B.25C.25D.257.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B-A)+5/n(B+A)=3sin2A,且c=由,C=|,则ABC的面积是()3也7^3巨匝7也A. B.6 c.3d.或6442x-y-2<08.已知x,y满足不等式"+y—1Z0,则Z=y-3入的最小值是()y<iA.1B.-3_7 C.-1 D.29.在AA3C中,。

安徽省六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学试题（文）一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{21A x x =-≤<或}23x <≤，集合{}2,1,1,2,3B =--，则集合A B 中的元素个数为（ ） A.2 B. 3C.4 D. 5『答案』B 『解析』因为{2,1,3}AB --=，所以A B 中元素的个数为3.故选：B.2.已知复数z 满足：i 34i z =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A. 43i +B. 4i 3-C. 43i -+D. 43i --『答案』A『解析』由34zi i =+，则3434431i i z i i +-===--， 所以z =43i +. 故选：A.3.已知命题2 :1,2log 1x p x x ∀≥-≥，则p ⌝为（ ） A. 21,2log 1xx x ∀<-< B. 21,2log 1xx x ∀≥-< C. 21,2log 1xx x ∃<-<D. 21,2log 1xx x ∃≥-<『答案』D『解析』因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:p 1x ∀≥，22log 1xx -≥，:p ⌝1x ∃≥，22log 1x x -<.故选：D.4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%.2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A.75B.4835C.4735D.3728『答案』C『解析』由图表得，2019年的年脱贫率为()0.40.950.40.950.10.90.10.90.94E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的0.94470.735=. 故选：C.5.已知首项为正数的等比数列{}n a 中，247941499,22a a a a ==，则13a =（ ） A.932 B.1232 C. 932±D. 1232±『答案』B『解析』因为2243492a a a ==，10a >，所以2310a a q =>，即3232a =. 因为1079102412a a q a a ==，1013321012313222a a q ==⨯=. 故选：B.6.已知函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为[],a b ，值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的值可能为（ ） A.3π B. πC.32π D. 2π『答案』B『解析』令3x t π+=，sin y t =的图象如下所示：因为值域为1[,1]2-， 所以t 的最大范围为7[2,2]66k k ππππ-++， 最小范围为[2,2]62k k ππππ-++.所以722636k x k πππππ-+≤+≤+，52226k x k ππππ-+≤≤+， 22632k x k πππππ-+≤+≤+，2226k x k ππππ-+≤≤+.即b a -的最大值为54=623πππ+，最小值为2=623πππ+. 所以b a -可能为π. 故选：B.7.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C 的一条渐近线交于点O 及点3,22A ⎛ ⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ）A. 2213y x -=B. 22126x y -=C. 2213x y -=D. 22162x y -=『答案』C『解析』由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，则渐近线方程：by x a=±，b ∴=，连接FA ，则FAb AO a ===2c =， 所以2224c a b =+=，解得223,1a b ==.故双曲线方程为2213x y -=.故选：C.8.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A. 2114mB. 257mC. 254mD. 248m『答案』C『解析』如图所示：设OA OB a ==，284AOB ππ∠==.221002a a a a =+-⨯⨯，解得：250(2a =+.因为21sin 1)24AOBSa π==.所以每块八卦田的面积211)41)2548S ππ=-⨯=-≈. 故选：C.9.锐角ABC ∆中，角,,A B C ，所对的边分别为,,a b c ，若()sin 04A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，1b c ==，则角C 的大小为（ ）A12πB.6π C.3π D.512π 『答案』D『解析』因为sin())04A B C π+++=，sin()04A A A A A A π+=-=-=. 因为ABC ∆为锐角三角形，所以04A π-=，即4A π=.2221)21)4a =+-⨯=，即2a =. 因为sin sin a c A C =2=，解得：sin C = 因为ABC ∆为锐角三角形，所以512C π=. .故选：D.10.函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A. B.C. D.『答案』D『解析』当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥，所以函数在[]0,2π上单调递增，令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-， 根据三角函数的性质，当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小， 当[],2x ππ∈时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥， 所以函数[]2,0π-上单调递增，令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大， 当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ， 故选：D.11.若定义在R 上的增函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称 ，且()22f =， 令()()1g x f x =-，则下列结论不一定成立的是（ ）A. ()10g =B. ()01g =-C. ()()110g g -+<D. ()()122g g -+>-『答案』A『解析』因为函数(1)=-y f x 向左平移一个单位得到()y f x =，函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)对称，所以()y f x =的图象关于点(0,0)，即函数()y f x =为定义在R 上奇函数. B 选项，(0)(0)1011g f =-=-=-，故B 正确.C 选项，(1)(1)(1)1(1)1(1)1(1)120g g f f f f -+=--+-=--+-=-<， 故C 正确.D 选项，(1)(2)(1)1(2)1(2)(1)2g g f f f f -+=--+-=--， 因为()f x 在R 上为增函数，所以(2)(1)f f >，即(2)(1)0f f ->. 所以(1)(2)(2)(1)22g g f f -+=-->-，故D 正确. 故选：A.12.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11C D 上任意一点，则PM MN +的最小值为（ ）A.4B.2C. 1D.『答案』C『解析』连接1C D ，过M 作1MH C D ⊥，连接HN ，过H 作111HH C D ⊥.因为平面1AC D ⊥平面111CC D D C D =，1MH C D ⊥ 所以MH ⊥平面11CC D D .因为AD ⊥平面11CC D D ，所以//MH AD .所以11C HMH AD C D=. 又因为11//HH DD ，所以1111HH C HDD C D=. 即11HH MH AD DD =. 因为1AD DD =，所以1MH HH =. 在RT MHN 中，222MN MH HN =+.因为1HN HH ≥，所以2222212MH HN MH HH MH +≥+=.即222MN MH ≥，MN ≥.所以12PM MN PM MH +≥+≥.即2PM MN +的最小值为1 故选：C.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知平面向量,a b ，满足21,2,2()a b b a a b ===-，则向量,a b 的夹角为__________.『答案』120『解析』22()b a a b =-，2222b a a b =-，解得1a b =-.因为1cos 2a ba bθ==-，所以120θ=.故答案为：120θ=14.已知函数()2sin 21,0,62f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则使得()0f x ≥的x 的取值范围为_________.『答案』,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦『解析』由题知：()0f x ≥，即1sin(2)62x π-≥. 因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤. 因为1sin(2)62x π-≥，所以52666x πππ≤-≤，解得62x ππ≤≤.故答案为：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为___________『答案』32π『解析』由题知：三视图的直观图为直三棱柱，由图知：几何体外接球球心为上下底面外心连线的中点O 处. 在ABC 中，如图所示：D 为AB中点，tan A ==6A π=.2BC ==，2241sin 2BC r A ===，2r .R ==2432S R ππ==.故答案为：32π16.已知点P 为直线40ax y +-=上一点，,PA PB 是椭圆()222:10x C y a a+=>的两条切线，若恰好存在一点P 使得PA PB ⊥，则椭圆C 的离心率为__________.『答案』3『解析』设(,)P m n ，过点P 切线为()y n k x m -=-，由题知：联立222222222()(1)2()[()1]01y n k x m k a x ka n km x a n km x y a-=-⎧⎪⇒++-+--=⎨+=⎪⎩，因为直线与椭圆相切，所以2422222=4()4(1)[()1]0k a n km a k a n km ∆--+--=，整理得：2222()210a m k mnk n -++-=. 设切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，因为PA PB ⊥，所以212221=1n k k a m-=--，即2221m n a+=+. 所以点P 在以(0,0)即(0,0)到直线40ax y +-=.d ==a =又因为1b =，所以c =，3e ==. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答. 17.已知数列{}n a 前n 项和为 n S ，且()1*2333n n n S a n N +=-+∈（1）设3nn n a b =，求证：数列{}n b 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设123,?··3n nn n n na a c T c c c c n =-=++++，求n T 解：（1）由题知：12333n n n S a +=-+①， 当2n ≥时，112333nn n S a --=-+②，①-②得：1123323323n nn n n n n a a a a a --=--⇒=+.所以11233n n n n a a --=+，11233n n n n a a ---= 即：12n n b b --=(2)n ≥.当1n =时，112393a a =-+，解得16a =，则1123a b ==. 的所以{}n b 是以首项为2，公差为2的等差数列.22(1)2n b n n =+-=，即23n n a n =.（2）2323n n nn n a a c n n =-=-. 22(333)2(12)n n T n =+++-+++…………123(13)(1)2233132n n n n n n +-+=-=----.18.受“非洲猪瘟”的影响，10月份起，某地猪肉的单价随着每周供应量的不足而上涨， 具体情形统计如下表所示：（1）求猪肉单价y 关于x 的线性回归方程y bx a =+（2）当地有关部门已于11月初购入进口猪肉，如果猪肉单价超过30元/斤，则释放进口猪肉增加市场供应量以调控猪肉价格，试判断自受影响后第几周开始需要释放进口猪肉？参考数据：51340.6i ii x y==∑，参考公式：1221ˆˆˆ·,ni ii nii x y nx y bay bx xnx ==-==--∑∑ 解：（1）1234535x ++++==，1618.520.623.726.2215y ++++==. 522222211234555ii x==++++=∑，51340.6i ii x y==∑.所以340.653212.565559ˆb-⨯⨯==-⨯，21 2.5631.ˆ332a =-⨯=.故 2.5613.32y x =+.（2）当6x =时，28.68y =，当7x =时，31.24y =， 所以应从第7周开始释放进口猪肉.19.如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB 为等腰直角三角形， BC ⊥平面PAB，,2,PA PB AB BC AD BD =====（1）求证：PA ⊥平面PBC ； （2）求顶点C 到平面PAD 的距离.（1）证明：因为PAB △为等腰直角三角形，所以PA PB ⊥. BC ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以BC PA ⊥.PA PB PA BCPA BC PB B ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩平面PBC . （2）解：取AB 的中点O ，连接PO ，DO . 因为PAB △和DAB 均为等腰三角形，所以PO AB ⊥，⊥DO AB .因BC ⊥平面PAB ，PO ⊂平面PAB ，所以PO BC ⊥.PO AB PO BCPO AB BC B ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩平面ABCD .在RT PAO 中，1PO AO ==，所以PA ==在RT DAO 中，1AO =，AD =2DO ==.又因为⊥DO AB ，CB AB ⊥，2DO BC ==， 所以四边形BCDO 为矩形，即1CD =，112ADCSCD DO =⨯⨯=.在RT PDO 中，1PO =，2DO =，所以PD ==.因为在PAD △中，PA =，PD AD ==所以1322PADS==. 设点C 到平面PAD 的距离为d ， 因为C PAD P ADC V V --=，即13111323d ⨯⨯=⨯⨯，23d =. 20.已知函数()1)cos (xxf x e e x λ=--，直线l 是曲线()y f x =在0x =处的切线经过点(1,6).（1）求实数λ的值； （2）若函数()()x f x g x e=，试判断函数()g x 的零点个数并证明. 解：（1）2()(cos )(sin )2sin cos ()x x x x x xf x e e x e e x e e x x λλλ'=-++=+-.因为(0)f λ=-，所以切点为(0,)λ-.(0)2k f λ'==-.所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(2)y x λλ=--. 将(1,6)代入，解得：2λ=-. （2）()()2cos x xx f x g x e e x e-==-+()2sin 2sin 22sin 0x x g x e e x x x -'=+-≥=-≥所以函数()g x 在R 上单调递增，又22()02g ee πππ--=-<，(0)20g =>.所以函数()g x 在区间(,0)2π-上存在唯一零点，即函数()g x 存在唯一零点.21.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(),3A a ，点P 为抛物线C 上的动点O 为坐标原点.（1）若PA PF +的最小值为5，求实数a 的值；（2）若梯形OPMN 内接于抛物线C ，//OP MN ，,OM PN 的交点恰为A ，且MN =MN 的方程.解：（1）①当线段AF 与抛物线C 没有公共点，即94a >时,设抛物线C 的准线为l ，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ， 过点A 作l 的垂线，垂足为B ，则1PA PF PA PQ AB a +=+≥=+， 故154a a +=⇒=.②当线段AF 与抛物线C 有公共点，即94a ≤时，PA PF AF +≥=53a =⇒=-或5a =（舍去）.综上43a a ==-或.（2）设00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则0020000044OP y y k y x y ===--，121222121212444MN y y y y k y y x x y y --===-+-. 因为MN OP k k =，所以012y y y =+，即01222y y y +=. 即线段OP 与MN 的中点纵坐标相同，故OP 中点与MN 中点连线平行于x 轴. 由平面几何知识知：点A 在OP 与MN 中点连线上，故00362y y =⇒=.于是20094y x ==，0023MN OPy k k x ===. 设直线MN 的方程为23y x t =+， ()222241239034y x t x t x t y x⎧=+⎪⇒+-+=⎨⎪=⎩. 123(3)x x t +=-，2129·4t x x =. 所以MN=229(3)91396513t t t =--=-=.解得：83t =-， 故直线MN 的方程为2833y x =-，即2380x y --=.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为实数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=，曲线1C 与曲线2C 交于,A B ，两点，线段AB 的中点为M ．（1）求线段AB 长的最小值； （2）求点M 的轨迹方程．解：()1曲线2C 的方程化成直角坐标方程为228x y y +=即()22416,x y +-=圆心()20,4C ，半径4r =，曲线1C 为过定点()2,2P 的直线， 易知()2,2P 在圆2C 内， 当2PC AB ⊥时，线段AB 长最小为==()2当点M 与点P 不重合时，设()2,,M x y C M PM ⊥，()()()22420C M PM x x y y ∴=-+--=，化简得()()223:12x y -+-=， 当点M 与点P 重合时，也满足上式， 故点M 的轨迹方程为()()2213 2.x y -+-= 23.已知非零实数,a b 满足a b <． （1）求证：332222a b a b ab -<-； （2）是否存在实数λ，使得2211b a a b a b λ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围； 若不存在，请说明理由 解：()()()()()3322221222a b a b aba b aab b ab a b ---=-++--()()()2222324b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫=--+=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,0a b a b <∴-< 又223024b a b ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭ 332222a b a b ab ∴-<-()22211b a a b a b λ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭即3322b a b aa b ab λ--≥ 即()2222*b ab a a b abλ++≥①当0ab >时，()*即22221b ab a b a a b a b λ++≤=++恒成立 22b a b aa b a b+≥= （当且仅当a b =时取等号），故3λ≤②当时()0,*ab <22221b ab a b a a b a b λ++≥=++恒成立 22b a b a b a a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+-≤---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（当且仅当=-a b 时取等号），故1λ≥- 综上，[]1,3λ∈-。