平面与平面之间的位置关系(附答案)

平面和平面的位置关系一、知识梳理1.两个平面的位置关系（1）两个平面平行：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．（2）两个平面相交：如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，称这两个平面相交． （3）两个平面的位置关系只有两种：①两个平面平行：没有公共点；②两个平面相交：有一条公共直线． （4）两个平面平行的画法：画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行（图1，而不应画成图2那样）．平面α和β平行，记作βα//．图1 图22.两个平面平行的判定工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡都在中央，就能判断桌面是水平的。

该检测原理就是：（1）[两个平面平行的判定定理]：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：若,,a b a b A αα⊂⊂= ，且//,//,a b ββ则//αβ。

（线线平行，则线面平行）。

（2）垂直直于同一直线的两平面平行。

（3）平行于同一平面的两平面平行。

3.两个平面平行的性质（1）两平行平面被第三个平面所截，则交线互相平行。

（2）直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个。

（3）过平面外一点，有且只有一个平面与之平行。

（4）两平面平行，则在其中一个平面内的所有直线必平行于另一个平面。

（5）两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面。

4.两个平行平面的距离（1）两个平面的公垂线及公垂线段：直线a 与两个平面α、β都垂直，我们把与两个平行平面都垂直的直线称作两个平行平面的公垂线。

公垂线夹在两个平行平面之间的线段称为这两个平行平面的公垂线段。

注意：两个平面不平行时，由于不可能存在同时与它们垂直的直线，因此此时没有公垂线可言，换句话说，当论及公垂线时，就隐含着两个平面平行。

（2）两个平行平面的距离我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离． 说明：两个平行平面的公垂线段都相等． 5、二面角半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。

空间几何中的平面与平面的位置关系在空间几何中，平面与平面的位置关系是一项重要的研究内容。

平面是一个无限大的二维空间，由无数个点组成，而两个平面之间的位置关系可以分为三种基本情况：平行、相交、重合。

本文将对这三种平面与平面的位置关系逐一进行说明。

一、平行的平面两个平行的平面是指在空间中永远不会相交的两个平面。

平行的平面具有以下特点：1. 平行平面之间的任意两个点之间的距离相等。

2. 平行的平面在空间中永远不会相交，它们之间始终保持一定的距离。

3. 平行平面之间的夹角为零度。

以图示的方式，可以更直观地理解平行平面的位置关系：（插入示意图）二、相交的平面两个相交的平面是指在空间中有一条直线可以同时属于这两个平面。

相交的平面具有以下特点：1. 相交平面之间的夹角不为零度，可以是锐角、直角或钝角。

2. 相交的平面在相交的直线上具有共同的点。

3. 相交的平面之间没有交点。

相交平面的位置关系可以通过以下图示来说明：（插入示意图）三、重合的平面两个重合的平面是指在空间中完全重合的两个平面，它们的所有点都是重合的。

重合的平面具有以下特点：1. 重合平面之间的夹角为零度。

2. 重合的平面在空间中完全重合，它们的每个点都是重合的。

3. 重合的平面在位置上无区别，可以互换位置。

重合平面的位置关系可以通过以下图示来说明：（插入示意图）综上所述，空间几何中的平面与平面的位置关系主要可以分为平行、相交和重合三种情况。

通过对这三种关系的理解，我们可以更好地理解和应用空间几何的知识，为实际问题的求解提供帮助。

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α＝A a∥α图形暗示2．两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．【对点训练】1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确；②错误，如图1所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.【对点训练】2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 63．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．【练习反馈】1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2.如图所示，用符号语言可暗示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行．答案：0或15．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.。

平面与平面之间的位置关系[学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类⎩⎨⎧有无公共点⎩⎪⎨⎪⎧直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行(2)按直线是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内——所有点在平面内直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面平行思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？答 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行.知识点二 两个平面的位置关系思考分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.题型一直线与平面的位置关系例1下列命题中，正确命题的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.A.0B.2C.1D.3答案 C解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC ⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C.跟踪训练1以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 A解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.题型二平面与平面的位置关系例2以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行.A.③④B.②③④C.②④D.①④答案 A解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.跟踪训练2两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 B解析①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.分类讨论思想例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.分析决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论.解由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交2.下列命题中，正确的命题是()A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥αB.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点D.若a⊄α，则a与α没有公共点3.下列命题中，正确的有()①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.1个B.2个C.3个D.4个4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.都相交C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行5.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.一、选择题1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.b⊂α、相交或平行2.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A.α内的所有直线均与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点4.以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③5.过平面外一条直线作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作6.下列命题正确的是()①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；②两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交.A.①B.②③④C.①②③D.①④7.在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.9.下列命题正确的是________.①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.10.给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确有________个.三、解答题11.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.12.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.当堂检测答案1.答案 D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.2.答案 C解析对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a 可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错.3.答案 B解析②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误.4.答案 D解析这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.5.答案①②解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.课时精练答案一、选择题1.答案 D解析如图所示，选D.2.答案 D解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3.答案 D解析若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确.4.答案 D解析对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.5.答案 C解析因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出惟一的一个符合题意的平面.6.答案 B解析①不正确，因为这两条直线可能是异面；②③④都正确，可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模型进行判断.7.答案 B解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.二、填空题8.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.9.答案①③解析对于①，如图，∴命题①正确；对于②，α、β也可能相交，②不正确；对于③，若a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；对于④，当a与b重合时，a在β内；当a∥b时，a∥β；当a与b相交时，a与β相交，④不正确.10.答案 1解析①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确.三、解答题11.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.12.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C 是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交.。

D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。

叫做垂足。

的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。

符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

所成的角。

2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。

三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．知识梳理1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a ∩α＝A 1个平行a ∥α0个在平面内a ⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l 无数个5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)，π2.常用结论1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)两两相交的三条直线共面．(×)2．(必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，直线BD 1与直线AA 1所成角的余弦值是()A.12B.13C.63D.33答案D解析连接BD (图略)，由于AA 1∥DD 1，所以∠DD 1B 即为直线BD 1与直线AA 1所成的角，不妨设正方体的棱长为a ，则BD ＝2a ，BD 1＝D 1D 2＋BD 2＝3a ，所以cos ∠DD 1B ＝DD 1D 1B ＝13＝33.3．(多选)给出以下四个命题，其中错误的是()A ．不共面的四点中，其中任意三点不共线B ．若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面C ．若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面D ．依次首尾相接的四条线段必共面答案BCD解析反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上，根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A 正确；如图1，A ，B ，C ，D 共面，A ，B ，C ，E 共面，但A ，B ，C ，D ，E 不共面，故B 错误；如图2，a ，b 共面，a ，c 共面，但b ，c 异面，故C 错误；如图3，a ，b ，c ，d 四条线段首尾相接，但a ，b ，c ，d 不共面，故D 错误．图1图2图34.如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则：(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形；(2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形．答案(1)AC ＝BD(2)AC ＝BD 且AC ⊥BD解析(1)由题意知，EF ∥AC ，EH ∥BD ，且EF ＝12AC ，EH ＝12BD ，∵四边形EFGH 为菱形，∴EF ＝EH ，∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题型一基本事实的应用例1已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．证明(1)如图所示，连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)因为EF∥BD且EF<BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1在如图所示的空间几何体中，四边形ABEF 与ABCD 都是梯形，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为AF ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由题设知，因为G ，H 分别为AF ，FD 的中点，所以GH ∥AD 且GH ＝12AD ，又BC ∥AD 且BC ＝12AD ，故GH ∥BC 且GH ＝BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)解C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：由BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 是AF 的中点知BE ∥GF 且BE ＝GF ，所以四边形EFGB 是平行四边形，所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH .故EC ，FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．题型二空间位置关系的判断例2(1)(多选)下列推断中，正确的是()A ．M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ⇒M ∈lB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ，B ，C ∈α，A ，B ，C ∈β，且A ，B ，C 不共线⇒α，β重合答案ABD解析对于A ，因为M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，由基本事实3可知M ∈l ，故A 正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，故B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，α，β重合，故D正确．(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是() A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面答案D解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，此时a和c相交；②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面．思维升华判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断．二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．”跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD 的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况，由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况．(2)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是()A ．直线AM 与CC 1是相交直线B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线BN 与MB 1是异面直线D ．直线AM 与DD 1是异面直线答案CD解析因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以直线AM 与CC 1是异面直线，故A 错误；取DD 1的中点E ，连接AE (图略)，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，所以AM 与BN 不平行，故B 错误；因为点B 1与直线BN 都在平面BCC 1B 1内，点M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故C 正确；同理D 正确．题型三异面直线所成的角例3(1)如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为()A.33B.55C.306D.66答案D解析如图，过点E 作圆柱的母线交下底面于点F ，连接AF ，易知F 为 AD 的中点，设四边形ABCD 的边长为2，则EF ＝2，AF ＝2，所以AE ＝22＋(2)2＝ 6.连接ED ，则ED ＝ 6.因为BC ∥AD ，所以异面直线AE 与BC 所成的角即为∠EAD (或其补角)．在△EAD 中，cos ∠EAD ＝6＋4－62×2×6＝66.所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为66.(2)四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为105，则四棱锥外接球的表面积为()A ．48πB ．12πC ．36πD ．9π答案D解析如图，将其补成长方体．设PA ＝x ，x >0，连接AB 1，B 1C ，则异面直线AC 与PD 所成的角就是∠ACB 1或其补角．则cos ∠ACB 1＝105＝8＋x 2＋4－x 2－42×22×x 2＋22，解得x ＝1(舍去负值)，所以外接球的半径为12×12＋22＋22＝32，所以该四棱锥外接球的表面积为4π＝9π.思维升华异面直线所成角的求法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解跟踪训练3(1)(2023·莆田模拟)若正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，高为6，则直线AE 1和EF 所成角的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C解析如图所示，EF ∥E 1F 1，则∠AE 1F 1即为所求．∵AF ＝EF ＝1，EE 1＝6，且∠AFE ＝2π3，∴AE ＝AF 2＋EF 2－2AF ·EF ·cos2π3＝3，∴AE 1＝AE 2＋EE 21＝3，AF 1＝AF 2＋FF 21＝7，∴cos ∠AE 1F 1＝AE 21＋E 1F 21－AF 212AE 1·E 1F 1＝9＋1－72×3×1＝12，∴∠AE 1F 1＝π3，即直线AE 1和EF 所成角的大小为π3.(2)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13答案A解析如图所示，过点A 补作一个与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体，易知平面α为平面AF 1E ，则m ，n 所成的角为∠EAF 1.∵△AF 1E 为正三角形，∴sin ∠EAF 1＝sin 60°＝32.课时精练一、单项选择题1．若直线上有两个点在平面外，则()A ．直线上至少有一个点在平面内B ．直线上有无穷多个点在平面内C ．直线上所有点都在平面外D ．直线上至多有一个点在平面内答案D解析根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．2．已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n .“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析由m ，n ，l 在同一平面内，可能有m ，n ，l 两两平行，所以m ，n ，l 可能没有公共点，所以不能推出m ，n ，l 两两相交．由m ，n ，l 两两相交且m ，n ，l 不经过同一点，可设l ∩m ＝A ，l ∩n ＝B ，m ∩n ＝C ，且A ∉n ，所以点A 和直线n 确定平面α，而B ，C ∈n ，所以B ，C ∈α，所以l ，m ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内．3．已知平面α∩平面β＝l ，点A ，C ∈α，点B ∈β，且B ∉l ，又AC ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A ．直线CMB ．直线BMC ．直线ABD ．直线BC答案B解析已知过A ，B ，C 三点确定的平面为γ，则AC ⊂γ.又AC ∩l ＝M ，则M ∈γ，又平面α∩平面β＝l ，则l ⊂α，l ⊂β，又因为AC ∩l ＝M ，所以M ∈β，因为B ∈β，B ∈γ，所以β∩γ＝BM .4.如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 为A 1C 1的中点，则AM 与BC 1所成角的余弦值为()A.153B.155C.64D.104答案D 解析如图，取AC 的中点D ，连接DC 1，BD ，易知AM ∥DC 1，所以异面直线AM 与BC 1所成角就是直线DC 1与直线BC 1所成的角，即∠BC 1D ，因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，可设三棱柱的棱长都为2，则DC 1＝5，BD ＝3，BC 1＝22，则在△BDC 1中，由余弦定理可得cos ∠BC 1D ＝(5)2＋(22)2－(3)22×5×22＝104，即异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值为104.5．四边形ABCD 是矩形，AB ＝3AD ，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 绕EF 旋转至与四边形BEFC 重合，则直线ED ，BF 所成角α在旋转过程中()A ．逐步变大B ．逐步变小C ．先变小后变大D ．先变大后变小答案D 解析由题可知初始时刻ED 与BF 所成的角为0，如图1，故B ，C 错误；图1在四边形AEFD 绕EF 旋转过程中，EF ⊥DF ，EF ⊥FC ，DF ∩FC ＝F ，DF ，FC ⊂平面DFC ，所以EF ⊥平面DFC ，EF ⊂平面EFCB ，所以平面DFC ⊥平面EFCB ，故D 在平面BCFE 内的投影P 一直落在直线CF 上，如图2，图2所以一定存在某一时刻EP ⊥BF ，而DP ⊥平面EFCB ，DP ⊥BF ，又DP ∩PE ＝P ，DP ，PE ⊂平面DPE ，所以BF ⊥平面DPE ，此时DE 与BF 所成的角为π2，然后α开始变小，故直线ED ，BF 所成角α在旋转过程中先变大后变小，故A 错误，D 正确．6．在正四棱锥P －ABCD 中，AB ＝2，E ，F ，G 分别为AB ，PC ，AD 的中点，直线BF 与EG 所成角的余弦值为63，则三棱锥P －EFG 的体积为()A.5212 B.24 C.23 D.26答案B解析连接BD ，DF ，AC ，CG ，CE ，如图，设BF ＝DF ＝x ，由BD ∥EG ，得∠FBD 即为BF 与EG 所成的角，在△FBD 中，易知BD ＝22，cos ∠FBD ＝x 2＋8－x 242x＝63，解得x ＝ 3.设PB ＝PC ＝y ，在△PFB ＋3－23·y 2cos ∠PFB ＝y 2，①因为∠PFB ＋∠BFC ＝180°，故cos ∠BFC ＝cos(180°－∠PFB )＝－cos ∠PFB ，则在△BCF ＋3－23·y 2cos ∠BFC ＝4，即＋3＋23·y 2cos ∠PFB ＝4，②①＋②得y 22＋6＝y 2＋4，因为y >0，解得y ＝2.因为F 为PC 的中点，故V 三棱锥P －EFG ＝V 三棱锥C －EFG ＝V 三棱锥F －ECG ，因为PA 2＋PC 2＝AC 2，PA ＝PC ，所以△PAC 为等腰直角三角形，则在等腰直角三角形PAC 中，易求得点P 到AC 的距离即点P 到底面的距离为2×222＝2，故点F 到平面CEG 的距离为22，S △ECG ＝S ▱ABCD －S △AEG －S △CDG －S △CEB ＝2×2－12×1×1－12×2×1－12×1×2＝4－12－1－1＝3 2，故所求三棱锥的体积为13×32×22＝24.二、多项选择题7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是()A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，B1，B四点共面D．D1，D，O，M四点共面答案AB解析∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和点C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，∴点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O 三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确．8．(2024·朝阳模拟)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝AC＝BD＝5，则() A．AB⊥CDB．三棱锥A－BCD的体积为23C．三棱锥A－BCD外接球的半径为6D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为35答案ABD解析将三棱锥补形为长方体，如图所示．其中BE ＝BN ＝1，BF ＝2，所以AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝AC ＝BD ＝5，连接MF ，则AM ∥BF ，AM ＝BF ，所以四边形AMFB 为平行四边形，所以AB ∥MF ，又四边形MCFD 为正方形，所以MF ⊥CD ，所以AB ⊥CD ，故A 正确；长方体的体积V 1＝1×1×2＝2，三棱锥E －ABC 的体积V 2＝V 三棱锥A －BEC ＝13×12×1×2×1＝13，同理，三棱锥N －ABD ，三棱锥F －BCD ，三棱锥M －ACD 的体积也为13，所以三棱锥A －BCD 的体积V ＝2－4×13＝23，故B 正确；长方体的外接球的直径为12＋12＋22＝6，所以长方体的外接球的半径为62，长方体的外接球也是三棱锥A －BCD 的外接球，所以三棱锥A －BCD 外接球的半径为62，故C 错误；连接MN ，交AD 于点O ，因为MN ∥BC ，所以∠AOM (或其补角)为异面直线AD 与BC 所成的角，由已知OA ＝12AD ＝52，OM ＝12MN ＝52，AM ＝2，所以cos ∠AOM ＝54＋54－42×52×52＝－35，所以异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为35，故D 正确．9．已知α，β是不同的平面，l ，m ，n 是不同的直线，P 为空间中一点．若α∩β＝l ，m ⊂α，n ⊂β，m ∩n ＝P ，则点P 与直线l 的位置关系用符号表示为________．答案P ∈l 解析∵m ⊂α，n ⊂β，m ∩n ＝P ，∴P ∈α且P ∈β，又α∩β＝l ，∴点P 在直线l 上，即P ∈l .10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对．答案3解析画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB ，GH )，(AB ，CD )，(GH ，EF )．故共有3对．11．(2023·南阳模拟)如图，AB 和CD 是异面直线，AB ＝CD ＝3，E ，F 分别为线段AD ，BC上的点，且AE ED ＝BF FC ＝12，EF ＝7，则AB 与CD 所成角的大小为________．答案60°解析在平面ABD 中，过E 作EG ∥AB ，交DB 于点G ，连接GF ，如图，∵AE ED ＝12，∴BG GD ＝12，又BF FC ＝12，∴BG GD ＝BF FC，∴∠EGF (或其补角)即为AB 与CD 所成的角，在△EGF 中，EG ＝23AB ＝2，GF ＝13CD ＝1，EF ＝7，∴cos ∠EGF ＝22＋12－(7)22×2×1＝－12，∴∠EGF ＝120°，∴AB 与CD 所成角的大小为60°.12．(2023·长春模拟)如图，在底面为正方形的棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为棱CC 1，BB 1，CF ，AF 的中点，对空间任意两点M ，N ，若线段MN 与线段AE ，BD 1都不相交，则称点M 与点N 可视，下列与点D 不可视的为________．(填序号)①B 1；②F ；③H ；④G .答案①②③解析如图所示，连接B 1D 1，BD ，DB 1，EF ，DE ，DH ，DF ，DG ，因为E ，F 分别为棱CC 1，BB 1的中点，所以EF ∥BC ，又底面ABCD 为正方形，所以BC ∥AD ，所以EF ∥AD ，所以四边形EFAD 为梯形，所以DH 与AE 相交，DF 与AE 相交，故②③不可视；因为B 1D 1∥DB ，所以四边形B 1D 1DB 是梯形，所以B 1D 与BD 1相交，故①不可视；因为EFAD 为梯形，G 为CF 的中点，即G ∉EF ，则D ，E ，G ，A 四点不共面，所以DG 与AE 不相交，若DG 与BD 1相交，则D ，B ，G ，D 1四点共面，显然D ，B ，B 1，D 1四点共面，G ∉平面DBB 1D 1，所以D ，B ，G ，D 1四点不共面，即假设不成立，所以DG 与BD 1不相交，即点G 与点D 可视，故④可视．四、解答题13.已知ABCD 是空间四边形，如图所示(M ，N ，E ，F 分别是AB ，AD ，BC ，CD 上的点)．(1)若直线MN 与直线EF 相交于点O ，证明：B ，D ，O 三点共线；(2)若E ，N 为BC ，AD 的中点，AB ＝6，DC ＝4，NE ＝2，求异面直线AB 与DC 所成角的余弦值．(1)证明因为M ∈AB ，N ∈AD ，AB ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以MN ⊂平面ABD ，因为E ∈CB ，F ∈CD ，CB ⊂平面CBD ，CD ⊂平面CBD ，所以EF ⊂平面CBD ，由于直线MN 与直线EF 相交于点O ，即O ∈MN ，O ∈平面ABD ，O ∈EF ，O ∈平面CBD ，又平面ABD ∩平面CBD ＝BD ，则O ∈BD ，所以B ，D ，O 三点共线．(2)解连接BD ，作BD 的中点G ，并连接GN ，GE ，如图所示，在△ABD 中，点N ，G 分别是AD 和BD 的中点，且AB ＝6，所以GN ∥AB ，且GN ＝12AB ＝3，在△CBD 中，点E ，G 分别是BC 和BD 的中点，且DC ＝4，所以GE ∥CD ，且GE ＝12DC ＝2，则异面直线AB 与DC 所成的角等于直线GE 与GN 所成的角，即∠EGN 或∠EGN 的补角，又NE ＝2，由余弦定理得cos ∠EGN ＝GE 2＋GN 2－NE 22GE ·GN ＝22＋32－222×2×3＝34>0，故异面直线AB 与DC 所成角的余弦值为34.14.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，点E 是PB 的中点．(1)线段PA 上是否存在一点G ，使得点D ，C ，E ，G 共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；(2)若PC ＝2，求三棱锥P －ACE 的体积．解(1)存在．当G 为PA 的中点时满足条件．如图，连接GE ，GD ，则GE 是△PAB 的中位线，所以GE ∥AB .又AB ∥DC ，所以GE ∥DC ，所以G ，E ，C ，D 四点共面．(2)因为E 是PB 的中点，所以V 三棱锥P －ACE ＝V 三棱锥B －ACE ＝12V 三棱锥P －ACB .又S △ABC ＝12AB ·AD ＝12×2×1＝1，V 三棱锥P －ACB ＝13PC ·S △ABC ＝23，所以V 三棱锥P －ACE ＝13.15.(多选)如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动，则下列判断中正确的是()A ．DP ∥平面AB 1D 1B ．三棱锥C －AD 1P 的体积为定值C ．平面PB 1D ⊥平面ACD 1D ．异面直线DP 与AD 1所成角的范围是π4，π2答案ABC 解析对于A ，连接DB ，C 1D ，AB 1，D 1B 1，因为BC 1∥AD 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1，因为DB ∥D 1B 1，DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1，所以DB ∥平面AB 1D 1，又DB ∩BC 1＝B ，DB ，BC 1⊂平面BDC 1，所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1，又DP ⊂平面BDC 1，所以DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确；对于B ，由点P 在线段BC 1上运动知平面AD 1P 即平面AD 1C 1B ，故点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥C －AD 1P 的体积不变，故B 正确；对于C ，因为四边形DCC 1D 1为正方形，则CD 1⊥C 1D ，而AD ⊥平面DCC 1D 1，CD 1⊂平面DCC 1D 1，所以CD 1⊥AD ，又AD ∩C 1D ＝D ，AD ，C 1D ⊂平面AB 1C 1D ，则CD 1⊥平面AB 1C 1D ，而DB 1⊂平面AB 1C 1D ，因此DB 1⊥CD 1，同理DB 1⊥CA ，又CD 1∩CA ＝C ，CD 1，CA ⊂平面ACD 1，所以DB 1⊥平面ACD 1，又DB 1⊂平面PB 1D ，则平面PB 1D ⊥平面ACD 1，故C 正确；对于D ，由AD 1∥BC 1，异面直线DP 与AD 1所成角即为DP 与BC 1所成角，又△DBC 1为等边三角形，当P 与线段BC 1的两端点重合时，DP 与AD 1所成角取最小值π3，当P 与线段BC 1的中点重合时，DP 与AD 1所成角取最大值π2，故DP 与AD 1所成角的范围为π3，π2，故D 错误．16．(2023·孝感模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有顶点均在体积为43π的球O 上，则该正方体的棱长为________，若动点P 在四边形A 1B 1C 1D 1内运动，且满足直线CC 1与直线AP 所成角的正弦值为13，则OP 的最小值为________．答案262解析设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，球O 的半径为R ，则由正方体体对角线L ＝3a ＝2R 得R ＝3a 2，所以V 球O ＝43πR 3＝43π3a 23＝43π，故a ＝2，因为CC 1∥AA 1，所以AA 1与AP 所成角的正弦值也是13，即sin ∠A 1AP ＝13，又因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1P ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以AA 1⊥A 1P ，故sin ∠A 1AP ＝A 1P AP ＝A 1P A 1P 2＋AA 21，即A 1P A 1P 2＋4＝13，解得A 1P ＝22，所以点P 的轨迹是以A 1为圆心，22为半径的圆与四边形A 1B 1C 1D 1内的一段弧，如图所示，设正方形A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，连接O 1P ，OO 1，因为O 1A 1＝12A 1C 1＝12×22＋22＝2，所以(O 1P )min ＝O 1A 1－A 1P ＝22，所以(OP )min ＝OO 21＋(O 1P )2min ＝1＋12＝62，即(OP )min ＝62.。

平面与平面的位置关系在几何学中，平面与平面的位置关系是一个重要的研究课题。

当两个平面存在相交、平行或者垂直的关系时，我们可以通过几何分析来确定它们之间的具体位置关系。

本文将介绍平面与平面的三种基本位置关系，并通过几个实际例子来加深理解。

相交是最常见的平面与平面的位置关系。

当两个平面有一个或多个交点时，称它们相交。

相交的平面可以形成各种形状，比如交叉、叠加、垂直等等。

例如，一张桌子的表面和一个墙壁可以被视为两个相交的平面。

它们在桌角位置相交，形成一个垂直的关系。

在几何分析中，我们可以通过找到两个平面的交线来确定它们的相交关系。

平行是平面与平面的另一种常见位置关系。

当两个平面上的任意两条直线都平行时，称这两个平面平行。

平行的平面在空间中没有交点，永远保持相同的距离。

例如，两张平行的地板可以被认为是两个平行的平面。

它们永远不会相交，无论它们在空间中的位置如何变化。

在几何分析中，我们可以通过比较两个平面上的法向量来确定它们的平行关系。

垂直是平面与平面的第三种基本位置关系。

当两个平面的法向量互相垂直时，称这两个平面垂直。

垂直的平面形成一个直角关系，它们在空间中相交成一条直线。

例如，一张水平的地板和一面垂直的墙壁可以被视为两个垂直的平面。

它们在地板边缘相交，形成一个垂直的直角关系。

在几何分析中，我们可以通过比较两个平面的法向量的点积是否为零来确定它们的垂直关系。

除了相交、平行和垂直之外，平面与平面还可以存在其他一些特殊的位置关系。

例如，两个平面可能互相包含，其中一个平面完全位于另一个平面之内。

或者两个平面可能共面，即它们在空间中重合成一个平面。

这些特殊的位置关系都可以通过几何分析来确定。

在实际应用中，平面与平面的位置关系在建筑设计、机械工程、计算机图形学等领域中发挥着重要作用。

例如，在建筑设计中，两个相交的平面可以构成一个角度，决定着各种结构的稳定性和外观效果。

在机械工程中，平行的平面常用于配合零件的设计和加工。