第四章 矢量代数与空间解析几何
微积分二大纲要求
了解 两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念，常用二次曲面的方程及其图
形，空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影.
会 求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、
垂直、相交等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的方程，求空间曲线在坐标平面上的投影方程.
理解 空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式 掌握 向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），用坐标表达式进行向量运算的方法，
平面方程和直线方程及其求法.
第一节 矢量代数
一、内容精要 （一） 基本概念 1.矢量的概念
定义4.1 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。
定义4.2两个矢量a 与b
，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作b a =.
换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改 变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。
k a j a i a a
3211(++=称为按照k j i ,,的坐标分解式，},,{321a a a a = 称为坐标式。
.||2
32221a a a a ++= 若,0≠a 记|
|0a a a
=。知0a 是单位矢量且与a 的方向一致，且0||a a a =。
因此，告诉我们求矢量a 的一种方法，即只要求出a 的大小||a 和与a
方向一致的单位矢量0
a ，则
.||0a a a
=若},{321a a a a = ，知
},cos ,cos ,{cos },
,
{
2
3
2
22
13
2
3
2
22
12
2
3
2
22
11
0γβα=++++++=a a a a a a a a a a a a a
其中γβα..是a
分别与Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴正向的夹角，而
,cos ,cos ,cos 2
3
2
22
13
2
3
2
22
12
3
3
22211
a a a a a a a a a a a a ++=
++=
++=
γβα
且.1cos cos cos 2
2
2
=++γβα
2.矢量间的运算
设}.,,{},,,{},,,{321321321c c c c b b b b a a a a ===
).0||,0|(||
|||cos ),0(cos ||||≠≠⋅=≤≤=⋅b a b a b a b a b a θπθθ .cos ,
2
3
22212
3
2
22
13
32211332211b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a ++++++=
++=⋅θ
a a a a a a a a ⋅===⋅知,0cos 2
b a ⨯的确定（1）,sin ||||||θb a b a =⨯（2）b a ⨯与b a
,所确定的平面0,0||,||,(=⨯=⨯≠b a b a b a b a 即知若，方向可任意确定）垂直，且b a b a
⨯,,构成右手系若
c b a ,, 用坐标式给出，则
k a b b a j b a b a i b a b a b b b a a a k j i b a
)()()(2121133123323
21321-+---==⨯
由行列式的性质可知.a b b a
⨯-=⨯
b a ⨯的几何意义：b a
⨯表示以b a ,为邻边的平行四边形
的面积，即.||sin ||||||s h a b a b a ===⨯
θ 容易知道以b a
,为邻边的三角形面积为
||2
1b a s ⨯=.
容易验证 ()
.||||||2
22
2b a b
a b a
=⋅+⨯
3
2
13213
21)(c c c b b b a a a c b a =⋅⨯
c b a
⋅⨯)(的性质可用行列式的性质来记，其余没有提到的性质与以前代数运算性质完全相同。 c b a ⋅⨯)(的几何意义 |)(|c b a ⋅⨯表示以c b a
,,为邻边的平行六面体的体积，即
θcos |||||)(|c b a c b a
⋅⨯=⋅⨯
.||cos ||||v sh h b a c b a ==⨯=⋅⨯=
θ
b a ⨯
b
a
图4-1
b
h
θ
θsin ||b h =
图4-2
c
b c
