分式的运算与分式方程

分式的加减法及分式方程 与分式方程2
221414x x x -=-存在 对分式 的具体区别与联系，以及解题时会出现的易错点解析。

【知识要点】
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

一般步骤：当分子分母是多项式时，先进行因式分解，再约去公因式。

注意：结果必须为最贱分式或整式，负号要放在分式前面。

3．分式的乘方法那么
分式的乘方，就是把分子、分母分别乘方，用式子表示：〔a b 〕n =a n
b n (n 为正整数)
4、乘除法的考前须知：
⑴分式与分式相乘时，如果分子和分母是多项式，应先分解因式，能约分的应先约分，然后再相乘。

⑵整式和分式相乘，可以直接把整式和分式的分子相乘作为分子，分母不变。

⑶运算时，乘除运算时同级运算 2221414x x x ---
⑷在进行分式的乘方运算时，要将分子、分母整体各自乘方
⑸计算的结果必须是最简分式，负号放在最前面
5、分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

6、分式方程的解法：
一般步骤：去分母
解方程〔去括号，移项，合并同类项，系数化1〕
验根
解方程产生增根的原因是去分母造成的，两边同时乘以一个代数式，但我们并不知道这个代数式的值是否为0，这就是方程要验根的原因。

八年级数学辅导资料二分式的运算及分式方程专题辅导第一部分：分式的运算一、选择题1.下列分式是最简分式的是（ ）A 、11m m --；B 、3xy y xy-； C 、22x y x y -+； D 、6132m m -； 2.对于分式11-x ，永远成立的是（ ） A ．1211+=-x x B. 11112-+=-x x x C. 2)1(111--=-x x x D. 3111--=-x x 3.下列各题中，所求的最简公分母，错误的是（ ）A ．x 31与26x a 最简公分母是26x B. 3231b a 与cb a 3231最简公分母是c b a 323 C.n m +1与n m -1的最简公分母是22n m - D.)(1)(1x y b y x a --与是简公分母是))((x y y x ab -- 4.如果把分式2x x y+的x 和y 都扩大k 倍，那么分式的值应 ( ) A ．扩大k 倍 B ．不变 C ．扩大k 2倍 D ．缩小k 倍5.在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为V 1(km/h)下坡时的速度为V 2，（km/h),则他在这段路上、下坡的平均速度为（ ）A.221v v +B.2121v v v v ++C. 21212v v v v + D. 无法确定 6.若y x 23=，则2232yx 等于（ ） (A)、94 （B ）、827 (C)、278 (D)、49 7.大拖拉机m 天耕地a 公顷,小拖拉机n 天耕地b 公顷,大拖机的工作效率是小拖机的工作效率( )倍 A.b a B.m n C. bm an D. mnab 8.分式212x x m -+，若不论x 取何值总有意义，则m 的取值范围是（ ）. A m ≥1 B m>1 C m ≤1 D m<1二、填空题1.若分式11x x -+的值为零，则x 的值为2.若分式44422++-m m m 的值为0，则=m 。

初二数学分式计算初二数学(下): 分式的运算及分式方程一、基本运算1.计算 $17x^2y-9ab^3\div\frac{222x-6x+9x+2xy}{51xy}$，化简得 $\frac{17x^2y-9ab^3}{222x+2xy}$。

2.计算 $\frac{2}{x-4}-\frac{x}{x-3}\div(-x)$，化简得$\frac{2x-7}{(x-4)(x-3)}$。

3.计算 $\frac{-y}{xz}\div\frac{-x}{yz}$，化简得$\frac{y^2}{x^2}$。

4.计算 $\frac{24}{a-bab-a^2}\div\frac{22}{4a+abab-a}$，化简得 $\frac{12}{a+b}$。

5.计算 $\frac{4x^2-4xy+y^2}{2x-y}\div(4x^2-y^2)$，化简得 $\frac{1}{2x+y}$。

6.计算 $\frac{2x-y}{x+3y}\div\frac{2x-3y}{2-x}$，化简得$\frac{2-x}{3y}$。

7.计算 $\frac{2xy}{xy+a}+\frac{6}{a}-\frac{a}{a+3}-\frac{3}{a}$，化简得 $\frac{8xy+6a}{a(a+3)(xy+a)}$。

8.计算 $\frac{2}{2x+y}-\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}-\frac{y}{x}$，化简得$\frac{2x^2-xy-2y^2}{(2x+y)(x-y)(x+y)}$。

9.计算 $\frac{2}{x+y}-\frac{2}{x-y}+\frac{a}{x+y}-\frac{3a}{a-3}$，化简得$\frac{-2x+2y+4a}{(x+y)(x-y)(a-3)}$。

10.计算$\frac{x^2a^2+3a+12b^2}{1+12a-b}-(x-1)\div(a-1)$，化简得$\frac{x^2a^2+15a+12b^2-12bx+12b}{(1+12a-b)(a-1)}$。

分式与分式方程------- 分式的乘除一、学习准备1、分式的乘除法法则（与分数的乘除法法则类似）：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的 ，把分母相乘的积作为积的 ；两分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式 。

2、分式乘除法运算步骤和运算顺序：（1）步骤：对分式进行乘除运算时，先观察各分式，看各分式的分子、分母能否分解因式，若能分解因式的应先分解因式。

当分解因式完成以后，要进行____________，直到分子、分母没有______________时再进行乘除。

（2）顺序：分式乘除法与整式乘除法运算顺序相同，一般从左向右，有除法的先把除法转化为乘法。

()222244229164311y x x y y xy x y x x y y x +-∙+--∙２ ） 计算：（例4、计算：（1）222c a b ab c ⋅ （2）223425n m m n-⋅ （3）2222412144a a a a a a --⋅-+++（4）285y xy x -÷ (5) 27y x x ⎛⎫÷- ⎪⎝⎭(6) 269(3)2y y y y -+÷-+5、计算：)22(22)1(11)1(1)1(22222ab ab b a a b ab ab a x x x x -÷-÷+--+∙-÷--） （模块三 提升1、计算：（1）231x y x y ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭ （2）2510321b bc ac a ⎛⎫÷- ⎪⎝⎭ （3）222432a b ab ab a b-⋅-（4）x y y x x y y x -÷-⋅--9)()()(3432 （5）22222)(x y x xy y xy x x xy -⋅+-÷-2、计算： (1))6(4382642z y x y x y x -÷⋅- (2)9323496222-⋅+-÷-+-a a b a b a a(3)229612316244y y y y y y --÷+⋅-+- (4)xyy xy y x xy x xy x -÷+÷-+222)(模块四 小结分式的乘除法法则（与分数的乘除法法则类似）：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的 ，把分母相乘的积作为积的 ；两分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式 。

分式与分式方程知识点总结分式是一种特殊的代数表达式，有分子和分母组成，通常用斜杠“/”或者横线“-”表示分数线。

分式可以表示为a/b的形式，其中a为分子，b为分母。

分式的乘法和除法的法则：1.分式乘法法则：分式的乘法可以简化为分子相乘，分母相乘的运算。

即(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)。

2.分式除法法则：将除法转化为乘法后，取除数的倒数，然后按照分式乘法法则进行运算。

即(a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)。

分式的加法和减法的法则：1.分式加法法则：要进行分式的加法，需要先找到两个分式的共同分母。

然后将分式的分子按照共同分母的比例进行加法运算。

即a/b+c/d=(a*d+b*c)/(b*d)。

2.分式减法法则：和分式加法法则类似，需要找到两个分式的共同分母。

然后将分式的分子按照共同分母的比例进行减法运算。

即a/b-c/d=(a*d-b*c)/(b*d)。

分式的化简：将分式化简为最简形式的步骤如下：1. 如果分子和分母有相同的公因子，可以约分掉。

即a/b =(a/gcd(a,b)) / (b/gcd(a,b))。

2.如果分数的分子和分母都是整数，并且分子能整除分母，可以化简为整数。

即a/b=a/b，其中a能整除b。

3.如果分式的分子和分母都是多项式，并且可以进行因式分解，可以使用因式分解后的形式来化简分式。

分式方程是包含一个或多个分式的方程。

求解分式方程的一般步骤如下：1.将方程两边的分式通过相乘分母的方法，化简为有理式。

2.对于有理式的方程，可以通过解方程的方法求出x的值。

3.检验所求得的x的值是否满足原方程，如果满足，即为解；如果不满足，则该方程无解。

在求解分式方程时，需要注意以下几个问题：1.分母不能为0，需要排除分母为0的解。

2.对于含有分式的方程，需要注意去除分式的分母后方程是否成立，避免出现无意义的解。

3.可能出现分母为0的情况，需要排除该解，以免引起除法运算错误。

分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，B≠0那么式子A / B 就叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母。

分式是不同于整式的另一类式子。

定义：形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式（fraction）。

其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

如是分式，还有也是分式例如；：要使分式有意义，则y不等于0。

（注意）掌握分式的概念应注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/ B的形式，关键要满足：（1）分式的分母中必须含有字母。

（2）分母的值不能为零。

若分母的值为零，则分式无意义。

（由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

）整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式无理式和有理式统称代数式。

常见题型：（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。

基本性质：1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：，（A,B,C为整式，且B、C≠0）。

2.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

3.分式的约分步骤：（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。

（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。

约分时，一般将一个分式化为最简分式。

5.根据分式的基本性质，异分母的分数可以通分，使几个分数的的分母相同；同样，根据分式的基本性质，分式也可以进行类似的变形，使几个异分母分式的分母相同，而分式的值不变。

分式与分式方程知识点分式是数学中的一个重要概念，它是由两个整数的比构成的表达式。

在分数中，分子表示被分割的数量，分母表示将整体划分的份数。

掌握好分式的相关知识，对于解决各种实际问题以及在后续数学学习中起到至关重要的作用。

1. 分式的基本运算在进行分式的基本运算时，需要掌握分式的相加、相减、相乘和相除四种基本运算法则。

首先，当分式的分母相同的时候，可以直接将分子相加或相减。

例如，分式 1/4 + 2/4 = 3/4；分式 5/7 - 3/7 = 2/7。

其次，当分式的分母不同但可以化为相同分母的时候，可以通过找到最小公倍数，将分数化为相同的分母之后再进行运算。

例如，分式 1/2 + 1/3 可以通过最小公倍数为6，将分式转化为 3/6 + 2/6 = 5/6。

另外，分式的相乘和相除运算需要分别将分子与分母相乘或相除。

例如，分式 2/3 * 4/5 = 8/15；分式 3/7 ÷ 1/4 = 12/7。

2. 分式方程的解分式方程是由分式构成的方程，它的未知数通常出现在分数的分子或分母中。

解分式方程的关键在于消除分母，使方程转化为一般方程，从而求解未知数。

解分式方程的基本步骤如下：(1) 消去分母。

通过将方程两边同乘以分母的最小公倍数，可以将方程中的分母消除，形成原方程的等效方程。

例如，对于分式方程 1/x + 1/(x+1) = 1/2，可以将方程两边同乘以2x(x+1)，得到 2(x+1) + 2x = x(x+1)。

(2) 解一元方程。

将经过一次化简后的方程转化为一般的方程形式，并进行进一步的求解。

对于上述的等效方程，按照一般方程的解法进行处理，得到 x = 2。

(3) 验证解的可行性。

将得到的解代入原方程进行验证，确保解的可行性。

对于分式方程 1/x + 1/(x+1) = 1/2，将 x = 2 代入方程左侧得到 1/2 +1/3 = 1/2，等式成立。

因此， x = 2 是原方程的解。