下载文档原格式
初二数学下册知识点归纳初二数学下册知识点归纳篇1第一章分式1、分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于零的整式，分式的只不变2、分式的运算(1)分数的乘除乘定律:分数乘以分数，分子的乘积作为乘积的分子，分母的乘积作为乘积的分母。
除法定律:分数被分数除，除数的分子和分母颠倒后，再乘以除数。
（2）分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减3、整数指数幂的加减乘除法4、分式方程及其解法第二章反比例函数1、反比例函数的表达式、图像、性质图像：双曲线表达式：y=k/x（k不为0）性质：两支的增减性相同；2、反比例函数在实际问题中的应用第三章勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形第四章四边形1、平行四边形性质：对边相等；对角相等；对角线互相平分。
判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。
2、特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形（1）矩形性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形具有平行四边形的所有性质判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（2）菱形性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形具有平行四边形的一切性质判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。
(3)正方形:它既是一个特殊的长方形，又是一个特殊的菱形，所以它具有长方形和菱形的所有性质。
3、梯形：直角梯形和等腰梯形等腰梯形:等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等；在同一个底边上有两个等角的梯形是等腰梯形。
八年级华师大版数学（下）第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
分 式一、概念：定义1：整式A 除以整式B ，可以表示成BA的形式。
如果除式．．B ．中含有分母．．．．．，那么称BA为分式。
（对于任何一个分式，分母不为0。
如果除式B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。
分式：分母中含有字母。
整式：分母中没有字母。
而代数式则包含分式和整式。
）定义2：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
定义3：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。
（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。
）定义4：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
定义5：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 定义6：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常称为增根。
二、基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母都．乘以（或除以）同．一个不等于零．．．．的整式，分式的值不变。
三、运算法则：1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;（用符号语言表示：b a ﹒d c =bdac）2、分式的除法的法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（用符号语言表示：b a ÷dc =b a ﹒cd =bcad） 分式乘除法的运算步骤：当分式的分子与分母都是单项式时： (1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分。
(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。
当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式. 3、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。
八年级上册数学分式和分式方程一、分式的概念。
1. 定义。
- 一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子(A)/(B)就叫做分式。
例如(x + 1)/(x)，(2)/(x - 1)等都是分式。
- 整式和分式的区别在于分母是否含有字母，整式的分母不含有字母，而分式的分母含有字母。
2. 分式有意义、无意义和值为零的条件。
- 分式有意义的条件：分母不为零。
例如对于分式(1)/(x - 2)，当x-2≠0，即x≠2时，分式有意义。
- 分式无意义的条件：分母为零。
如在分式(3)/(x + 1)中，当x + 1=0，即x=-1时，分式无意义。
- 分式值为零的条件：分子为零且分母不为零。
对于分式(x)/(x - 3)，当x = 0且x-3≠0（即x≠3）时，分式的值为零。
二、分式的基本性质。
1. 基本性质。
- 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
即(A)/(B)=(A× C)/(B× C)，(A)/(B)=(A÷ C)/(B÷ C)（C≠0）。
例如(2)/(3)=(2×2)/(3×2)=(4)/(6)，对于分式(x)/(x + 1)，(x)/(x + 1)=(x×2)/((x + 1)×2)=(2x)/(2x + 2)。
2. 约分和通分。
- 约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
例如对于分式(6x^2y)/(9xy^2)，分子分母的公因式是3xy，约分后得到(2x)/(3y)。
- 通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
例如将(1)/(x)和(1)/(x + 1)通分，先找最简公分母为x(x + 1)，则(1)/(x)=(x+1)/(x(x + 1))，(1)/(x + 1)=(x)/(x(x + 1))。
三、分式的运算。
认识分式知识点总结一、分式的概念分式是由一个整数除另一个整数得到的数，通常是在一个分数形式中表示。
分式的基本形式为a/b，其中a称为分子，b称为分母，a和b都是整数，b不为0。
分式也可以表示成小数形式。
二、分式的运算分式的运算包括加、减、乘、除四种运算，具体如下：1. 加法和减法：当两个分式的分母相同时，直接对分子进行加法或减法运算。
当分母不同时，需要通分之后再进行加减法运算。
2. 乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘。
3. 除法：将除数取倒数，再进行乘法运算。
三、分式的化简化简分式是将分式约分到最简形式的过程。
化简分式的步骤如下：1. 对分子和分母同时除以它们的最大公因数。
2. 将分子和分母中的负号移到分式外部。
3. 如果分子可以被分母整除，则化为整数。
化简分式的目的是为了简化计算，减少冗余。
四、分式的乘方分式的乘方是指将分式的分子和分母分别进行乘方运算。
具体规则如下：1. 分子的乘方：对分式的分子进行乘方运算。
2. 分母的乘方：对分式的分母进行乘方运算。
五、分式方程分式方程是指含有分式的方程。
求解分式方程的步骤如下：1. 化简分式，使方程中不含有分式。
2. 消去分母，转化为整式方程。
3. 求解整式方程，得到分式方程的解。
六、分式不等式分式不等式是指含有分式的不等式。
求解分式不等式的步骤如下：1. 化简分式，使不等式中不含有分式。
2. 消去分母，转化为整式不等式。
3. 求解整式不等式，得到分式不等式的解。
七、常见的分式类型1. 真分式：分子的次数小于分母的次数。
2. 假分式：分子的次数大于分母的次数。
3. 显示分式：分子和分母都是多项式。
4. 隐式分式：分子或分母中至少有一部分是隐含的。
五、结语分式在数学中应用广泛，涉及到方程、不等式、函数等各个领域。
掌握分式的概念、运算、化简、乘方、方程和不等式求解等知识点，对于学习数学和应用数学都具有重要意义。
因此，需要认真学习和理解分式相关知识，熟练掌握分式的运算规则和求解方法，提高自己的数学能力。
初二数学分式知识点一、引言分式是初中数学中的重要概念，它在代数运算、方程求解以及后续的高中数学学习中都扮演着关键角色。
本文旨在总结初二数学中分式的基本概念、性质、运算规则以及应用实例，帮助学生掌握分式相关知识点。
二、分式的定义1. 分式：形如 \(\frac{a}{b}\) 的代数式，其中 \(a\) 称为分子，\(b\) 称为分母，\(b \neq 0\)。
2. 条件：分母不能为零，因为除以零没有定义。
三、分式的基本性质1. 等值变换：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。
2. 符号规则：分式的符号由分子和分母的符号决定，分子分母同号结果为正，异号结果为负。
3. 约分：通过找出分子和分母的最大公约数并约去，简化分式。
4. 通分：将多个分式转化为具有相同分母的分式，便于进行加减运算。
四、分式的运算规则1. 加减法：- 同分母分式相加减：分子相加减，分母不变。
- 异分母分式相加减：先通分，再按照同分母分式进行加减。
2. 乘法：- 分式的乘法：分子乘分子，分母乘分母。
3. 除法：- 分式的除法：将除数的分式取倒数，然后进行乘法运算。
4. 乘方：- 分式的乘方：分子和分母分别取方。
五、分式的解方程1. 一元一次方程：通过移项和化简分式，求解未知数。
2. 一元二次方程：在解一元二次方程时，要注意分式的化简和检验根。
六、分式的应用题1. 比例问题：利用分式表示比例关系，解决实际问题。
2. 工作问题：通过分式方程解决工作效率和工作时间的问题。
3. 浓度问题：使用分式计算溶液的稀释和浓缩。
七、常见题型与解题技巧1. 化简求值：熟练掌握分式的化简方法，准确求出分式的值。
2. 分式方程：注意检验解的有效性，避免出现除以零的情况。
3. 应用题：理解题意，找出等量关系，建立分式方程求解。
八、总结分式是初中数学的重要内容，掌握分式的性质和运算规则对于提高数学成绩至关重要。
通过不断的练习和应用，可以加深对分式概念的理解，提高解题能力。
分式与分式方程分式是指形如 $\frac{a}{b}$ 的数，其中 a 和 b 都是实数，且 b 不等于零。
分式方程则是含有分式的方程。
在解分式方程之前，我们先来了解一下分式、分式的化简和分式方程的一些基本概念。
一、分式的基本概念分式由分子和分母组成，分子表示分式的被除数，而分母则表示分式的除数。
1. 真分数和假分数当分子小于分母时，分式称为真分数；当分子大于等于分母时，分式称为假分数。
如 $\frac{3}{4}$ 是真分数，$\frac{5}{3}$ 是假分数。
2. 约分和通分约分是指将分式的分子和分母同时除以一个公约数，使得分子和分母的最大公约数为1。
通分是指将分式的分子和分母同时乘以一个系数，使得分式的分母相等。
通分后可以进行分式的加减运算。
如$\frac{3}{8}$ 和 $\frac{6}{16}$ 可以通分为 $\frac{6}{16}$ 和$\frac{6}{16}$。
二、分式的运算法则1. 分式的加减法当分母相同时，可以直接相加或相减分子，而分母保持不变。
例如，$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$。
当分母不同时，需要先通分，然后再进行加减运算。
通分后，将分子相加或相减，分母保持不变。
例如，$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} =\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$。
2. 分式的乘法分式的乘法是将两个分式的分子相乘，分母相乘。
例如，$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$。
3. 分式的除法分式的除法是将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘。
例如，$\frac{2}{3} \div\frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} =\frac{5}{6}$。
初中数学分式知识点归纳分式是初中数学中的一个重要内容，分式的概念和运算在解决实际问题中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我将对初中数学中常见的分式知识点进行归纳，帮助学生更好地理解和掌握分式。
一、分式的定义和基本性质分式可以表示为a/b的形式，其中a称为分子，b称为分母。
分式的值可以为整数、小数或无理数。
在分式中，分子和分母都可以是整数、代数式或其他形式。
1.1 分式的定义分式是用一个数的算式表示另一个数。
1.2 分式的基本性质（1）两个分数相等的充要条件是分子与分母分别相等。
（2）分子分母的积是一个确定的数，即a/b * b/a = 1。
（3）一个分数乘以或除以一个非零数，其值不变，即a/b * c = ac/b，a/b ÷ c = a/b * 1/c。
（4）分子分母同时乘（或除）以同一个非零数，不改变分数的值，即a/b = a * c /b * c，a/b = a ÷ c /b ÷ c。
二、分式的基本运算分式的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算，下面将逐一介绍这些运算的具体方法。
2.1 分式的加法和减法（1）同分母的分式相加（减）：保持分母不变，分子相加（减），结果的分子写在分数线上，分母不变。
（2）异分母的分式相加（减）：找到它们的公倍数作为新的分母，然后将分子按照原来的分母和新分母的比例相加（减），得到的结果即为最简分数，如果需要化简，在得到的结果上进行约分。
2.2 分式的乘法分式的乘法中，将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母，并将结果化简为最简分数。
2.3 分式的除法分式的除法可以转化为分式的乘法，即将除号转化为乘号，同时将除数的分子与被除数的分母相乘作为新的分子，将除数的分母与被除数的分子相乘作为新的分母，并将结果化简为最简分数。
三、分式的化简和分式方程的解法化简分式的目的是将分式转化为最简分数的形式，使得分子和分母互质。
化简分式的方法包括约分和转换为连分数等。
八年级数学上册分式知识点八年级数学上册分式知识点在我们的学习时代，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。
哪些才是我们真正需要的知识点呢？下面是店铺帮大家整理的八年级数学上册分式知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。
八年级数学上册分式知识点1分式知识点1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0;分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件：分式AB=0的条件是A=0，且B≠0.(首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
)4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为(其中A、B、C是整式)，5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;(2)如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;(3)如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;(2)找公因式的方法：①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式;②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。
分式的概念、运算及分式方程中考要求例题精讲模块一分式的概念【例1】x为何值时，分式29113xx-++有意义？【解析】根据题意可得：110330xx⎧+≠⎪+⎨⎪+≠⎩，解得3x≠-且4x≠-;如果问：x为何值时，分式29113xx-++值为零，答案为3x=.【答案】3x=【巩固】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则x;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则x;【解析】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则3x≠且3x≠-且4x≠-;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则3x=或3x=-或4x=-；【答案】⑴3x≠且3x≠-且4x≠-；⑵3x=或3x=-或4x=-【例2】解下列不等式：①53xx-<-；②523xx->-【解析】①由题意可知5030xx->⎧⎨-<⎩或者5030xx-<⎧⎨->⎩，解得3x<；5x>，所以原不等式的解集为3x<或5x>；②5203x x -->-，即11303xx ->-，由题意可知113030x x ->⎧⎨->⎩或者113030x x -<⎧⎨-<⎩， 解得1133x <<；无解，所以原不等式的解集为1133x <<.【答案】3x <或5x >；1133x <<．【巩固】⑴解不等式304x x +<- ；⑵解不等式334x x +>- .【解析】 ⑴由题意可知3040x x +>⎧⎨-<⎩或者3040x x +<⎧⎨->⎩,由得34x -<<；无解集，所以原不等式的解集为34x -<<；⑵由题意可知3304x x +->-，15204xx ->-，可得：152040x x ->⎧⎨->⎩或者152040x x -<⎧⎨-<⎩得1542x <<；无解集，所以原不等式的解集为1542x <<. 【答案】34x -<<；1542x <<．模块二 分式的运算☞分式的化简求值裂项【例3】 设n 为正整数，求证：1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+. 【解析】1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+，故111111111(1.....)(1)233521212212n n n -+-++-=-<-++【答案】1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+【巩固】化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++. 【解析】 111111111.........(1)(1)(2)(99)(100)11299100x x x x x x x x x x x x +++=-+-+-++++++++++ 211100100100x x x x =-=++ 【答案】2100100x x+【巩固】化简：22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++【解析】 原式11111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)x x x x x x x x x x =+++++++++++++211555x x x x=-=++ 【答案】255x x+【例4】 化简：222()()()()()()a bc b ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++. 【解析】 22()()()()a bc a ac ac bc a ca b a c a b a c a b a c-+--==-++++++ 同理，2()()b ac b a b c b a b c b a -=-++++，2()()c ab c bc a c b c a c b-=-++++ 故2220()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++=++++++.【答案】0【巩固】(第11届希望杯试题)已知a ，b ，c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，求abcab bc ca++. 【解析】 由已知可知 113114115a b b cc a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，三式相加得，1116a b c ++=，故1111116abc ab bc ca ab bc ca abc a b c===++++++. 【答案】16【巩固】化简：222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+. 【解析】 221111()()a b c a b a c a ab ac bc a b a c a b a c a b c a---+-==+=---+------ 同理，2211b c a b ab bc ac b c a b --=---+--，2211c a b c ac bc ab c a b c --=---+-- 故2222220a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++=--+--+--+ 【答案】0☞分式的恒等变形部分分式【例5】 下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B .【解析】 2222465()()()()x y x y x y A x y B x y B A x A B y AB -+--=--++=-+--+-，故有4B A -=，6A B +=，所以1A =，5B =. 【答案】1A =5B =【巩固】若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则p 的最大值是 . 【解析】设原式可分解为22()()x ax m x ax n ++++，展开可得：224322()()2()()x ax m x ax n x ax a m n x a m n x mn ++++=+++++++. 比较等号两边的系数可得：32a m n mn p =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，，故22(2)21(1)1p m m m m m =-=-=--≤，最大值为1.【答案】1【例8】 若213111a M Na a a -=+--+，求M 、N 的值. 【解析】 2213()()1111a M N M N a M N a a a a -++-=+=--+-，所以31M N M N +=-⎧⎨-=⎩，所以12M N =-⎧⎨=-⎩ 【答案】1,2M N =-=-【巩固】(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244x x -，求a ，b . 【解析】 22()2()42244a b a b x a b xx x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【答案】2,2a b ==分式恒等证明【例9】 求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭【解析】 左边()()333333333322a b a b a b a a b a a b a b a b a b a b a b -+--⎛⎫⎛⎫-+=--=⋅ ⎪⎪--++-+⎝⎭⎝⎭ ()()33332222a b a b a ab b a ab b a b a b -+=⋅=++-+=-+右边。
【答案】()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭【巩固】已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z =.【解析】 由11x y y z +=+，得11y z x y z y yz --=-=，故y z yz x y -=-，同理可得z x zx y z -=-，x yxy z x-=-， 故2221y z z x x yx y z x y y z z x---=⋅⋅=---.【答案】1条件分式求值【例10】（2007全国初中数学联赛试题）已知x y z ，，满足235x y z z x==-+，则52x yy z-+的值为（ ） A.1 B.13C.13-D.12【解析】 由235x y z z x ==-+得332y x z x ==，，∴55312333x y x x y z x x --==++ 【答案】B【巩固】（1996年武汉市初中数学竞赛试题）设有理数a b c ，，都不为0，且0a b c ++=，则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值为___________。
【解析】 由0a b c ++=，得2222a b c a ab b c +=-++=，，∴2222a b c ab +-=-. 同理，22222222b c a bc c a b ca +-=-+-=-，.故原式11102222a b cbc ca ab abc++=++==----【答案】0分式与数论【例11】将a b b a -写成两个因式的积，使它们的和为a bb a+，求这两个式子。
【解析】 因为a b a b a b b a a b +--=⋅，且a b a b b aa b a b+-+=+，∴所求的两个式子分别为a b a ba b+-，． 【答案】a b a ba b+-，【巩固】求最大的正整数n ，使得3100n +能被10n +整除。
【解析】 332100100090090010100101010n n n n n n n ++-==-+-+++，所以10n +整除3100n +必须且只需10n +，整除900。
又要n 取最大值，故10900n +=。
从而符合要求的正整数n 的最大值为890。
【答案】800模块三 分式的方程☞解分式方程【例6】 解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+ 【解析】设2234x xy x x +=+-，则原方程变为：11112312y y +=．去分母整理得：261140y y -+=．解得：143y =，212y =．由223443x x x x +=+-，得：1,2x ． 由223142x x x x +=+-，得：31x =-，44x =- 经检验：1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的根．此方程的分子、分母均含有x 的二次多项式，若采用去分母的方法会出现一元高次方程，且不易求解．观察发现两分式成倒数形式，所以可用换元求解．【答案】1,2x =，31x =-，44x =-【巩固】解方程：2221120102910451069x x x x x x +-=------【解析】设21045x x t --=，则原方程可化为：11201624t t t +-=+-，解之得，6t =- 故221045610390x x x x --=-⇒--= ()()31303x x x +-=⇒=-或13x =点评：下面提供一种更好的换元的解法，设21037x x t --=，则原方程可化为： 11208832t t t +-=-+-，2226432t t t =-- 116432t t t=--，故2t = 然后可得，210390x x --=故()()3130x x +-=⇒3x =-或13x =．【答案】3x =-或13x =【巩固】解方程：222111011828138x x x x x x ++=+-+---【解析】设28x y -=，则原方程化为：111011213x y x y y x++=++-整理可得，2249y x =，故7y x =±若7y x =，则2780x x --=，()()180x x +-=，故1x =-或8x =； 若7y x =-，则2780x x +-=，()()180x x -+=，故1x =或8x =-．经检验，上述四个值均是原方程的解．【答案】1x =-，8x =，1x =或8x =-☞分式方程的增根及根的讨论【例12】已知关于x 的方程233x mx x -=--有一个正整数解，求m 的取值范围． 【解析】233x mx x -=-- 2(3)x x m --= 6x m =-∵方程有一个正整数解 ∴60m ->且6m -是整数 ∴6m <且m 是整数∴当m 取小于6的整数时，原方程有一个正整数解．【答案】6m <且m 是整数【巩固】当m 为何值时，关于x 的方程123(2)(3)x x x mx x x x ++-=-+-+的解为负数？ 【解析】去分母得53x m =-，解得35m x -=，令305m x -=<，解得3m <∴当3m <时原方程的解是负数．【答案】3m <【巩固】关于x 的方程22124x m x x +=--的解也是不等式组1222(3)8xx x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的一个解，求m 的取值范围 【解析】由22124x mx x +=--去分母得24(2)2x x x m --+=，解得2x m =-- 由题意知2x ≠±，∴22m --≠±，即4,0m m ≠-≠且解不等式组1222(3)8xx x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩得2x ≤-，即22m --≤-，∴0m ≥综上可知，m 的取值范围是0m >【答案】0m >☞一元一次分式方程的应用【例13】 为响应低碳号召，李老师上班的交通方式由开汽车改为骑自行车．李老师家距学校10千米，由于汽车的速度是自行车速度的4倍，所以李老师每天比原来提前30分钟出发，才能按原来的时间到校，求李老师骑自行车的速度．【解析】设李老师骑自行车的速度为x 千米/时．根据题意，得：103010460x x+=．解得：15x =．经检验：15x =是原方程的解，且符合题意． ∴15x =．答：李老师骑自行车的速度为15千米/时．【答案】15【巩固】为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？【解析】设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，依题意得12001200101.5x x-=解得：40x=经检验：40x=是原方程的根，所以1.560x=【答案】40【巩固】某铁路有一隧道，由A队单独施工，预计200天贯通．为了公路早日通车，由A，B两队同时施工，结果120天就贯通了．试问：如果由B队单独施工，需要多少天才能贯通？【解析】设B队单独施工需要x天才能贯通，1201201200x+=解方程得300x=，经检验300x=是原方程的根，且符合题意．答：B队单独施工需要300天才能贯通．【答案】300☞二元一次分式方程的应用【例14】“端午”节前，第一次爸爸去超市购买了大小、质量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时随机取出火腿粽子的概率为13；妈妈发现小亮喜欢吃的火腿粽子偏少，第二次妈妈又去买了同样的5只火腿粽子和1只豆沙粽子放入同一盒中，这时随机取出火腿粽子的概率为12．（1）请计算出第一次爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若妈妈从盒中取出火腿粽子4只、豆沙粽子6只送爷爷和奶奶后，再让小亮从盒中不放回地任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用字母和数字表示豆沙粽子和火腿粽子，用列清法计算）【解析】（1）设第一次爸爸买了火腿粽子x只，豆沙粽子y只，根据题意得：135162xx yxx y⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪++⎩，解得48xy=⎧⎨=⎩（经检验48xy=⎧⎨=⎩是原方程的根）（2）在妈妈买过后，盒中有火腿粽子9只，从盒中取出火腿粽子4只、豆沙粽子送给爷爷、奶奶后，盒中还有火腿粽子5只和豆沙粽子3只，最后小亮任意取两只，恰有火腿粽子、豆沙粽子各一只的概率是3015 5628=．【答案】（1）设第一次爸爸买了火腿粽子4只，豆沙粽子8只；（2）15 28【巩固】内江市对城区沿江两岸的部分路段进行亮化工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成．从两个公司的业务资料看到：若两个公司合做，则恰好用12天完成；若甲、乙合做9天后，由甲再单独做5天也恰好完成．如果每天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为1.2万元和0.7万元．试问：（1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？（2）要使整个工程费用不超过22.5万元，则乙公司最少应施工多少天？【解析】（1）解析：通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“若两个公司合做，则恰好用12天完成”和“若甲、乙合做9天后，由甲再单独做5天也恰好完成”，根据这两个等量关系可列出方程组．（2）在（1）的基础上，可知“甲乙合作必须完成”和“总费用不超过22.5万元”据此列方程和不等式，进行解答．【答案】20,30x y ==；15（1）设甲公司单独做需x 天完成，乙公司单独做需y 天完成，则由已知条件可列：1111211519x y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩ 解分式方程组得：2030x y =⎧⎨=⎩，经检验是方程组的根．答：甲公司单独做需20天完成，乙公司单独做需30天完成． （2）设甲安装公司安装m 天，乙公司安装n 天可以完成这项工程．120301.20.722.5m nm n ⎧+=⎪⎨⎪+≤⎩ 由①得3260m n +=，所以6023nm -=③，把③代入②，得()1.26020.722.53n n -+≤解得：15n ≥．答：乙公司最少施工15天．【巩固】用大、小两种货车运送360台机械设备，有三种运输方案．方案1：设备的12用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车27辆； 方案2：设备的13用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车28辆； 方案3：设备的23用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车26辆； （1）每辆大、小货车各可运送多少台机械设备？（2）如果每辆大货车的运费比每辆小货车的运费高m%（m ＞0），请你从中选择一种方案，使得运费最低，并说明理由．【解析】设大货车运送x 台，小货车运送y 台．则由题可列：36036022273602360332824012026xy xy x y ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎪⎪⎪⎩整理得：20203306071206013x y xy y x xy y x xy +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：1512x y =⎧⎨=⎩，经检验是方程组的根．答：每辆大、小货车各可运送15、12台机械设备． （2）设小货车每辆运费为x 元，则大货车每辆()1%m x +元，方案一：1270.12y x mx =+； 方案二：2280.08y x mx =+； 方案三：3260.16y x mx =+． 当123y y y ==时，25m =，故：当25m =时，123y y y ==，三种方案运费一样； 当m ﹥25时，213y y y ﹤﹤，方案二运费最低； 当025m ﹤﹤时，312y y y ﹤﹤，方案三运费最低． 【答案】15,12；当25m =时，123y y y ==，三种方案运费一样，当m ﹥25时，213y y y ﹤﹤，方案二运费最低，当025m ﹤﹤时，312y y y ﹤﹤，方案三运费最低．☞分式方程组解分式方程组的关键就是利用换元法或者倒数法，将复杂的分式方程组转化为整式方程组，然后利用解整式方程组的方法进行求解，得到换元后的未知数的值，代入后得到,,x y z 的解．【例15】解方程组：1231 2491 4692 x y z x y z xy z⎧++=-⎪⎪⎪--=-⎨⎪⎪+-=⎪⎩【解析】①×3＋②可得：524x y+=-④，①×3＋③可得：7121x y+=-⑤，解④、⑤组成的方程组可得1x=-，2y=，进而可得3z=-【答案】123 xyz=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩【巩固】解方程组661283310x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ① ②【解析】把方程组的每一个方程去分母，转化为整式方程组，将得到二元二次方程组，目前我们还不会解这类方程组．若认真观察这个方程组得特点，则原方程组可写成1116621118310x yx y⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪⋅-=⎪⎩，只需把11,x y分别看作是一个整体，则利用换元法就可以转化为二元一次方程组求解．设11m nx y==，，则原方程组可化为166238310m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩．解这个方程组，得120130mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11201130xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴2030xy=⎧⎨=⎩经检验2030xy=⎧⎨=⎩是原方程组的解．【答案】2030 xy=⎧⎨=⎩【巩固】解方程组：54212732012x yx y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪+=⎪+-⎩【解析】观察原方程组可得：1154 21211732012x yx y⎧⋅+⋅=⎪+-⎪⎨⎪⋅-⋅=⎪+-⎩，令11ax=+，12by=-，原方程组转化为二元一次方程组：5427320a ba b+=⎧⎨-=⎩，解得：22ab=⎧⎨=-⎩；从而解得方程组的解为1232xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．此题是较复杂的方程组类问题，通常依据整体的思想，采用换元法，能使问题得到简化． 【答案】1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【例16】 解方程222222212121a b a b c b c a c ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，其中0a ≠，0b ≠，0c ≠． 【解析】2222221121112a a b a a b b a +=⇒=⇒=++①，同理2211c b =+②，2211a c =+③． ①+②+③可得2221112223a b c a b c+++=++． 移项并配方可得，2221111110a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故11111a b c a b c ===⇒===． 【答案】1a b c ===【巩固】解方程组3136232x y x y x y x y +⎧-=-⎪-⎪⎨+⎪+=⎪-⎩【解析】按常规想法将两个分式方程去分母后变形为整式方程组，去解即按例1方法去解此方程组，会出现高次方程，目前我们还不会解．因此观察特点，特别是反复出现的字母形式，再利用换元思想（或叫整体代换）去解这个方程组．设x y m +=，1n x y=- 则原方程组变形为1336232m n m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② 化简整理方程组：将方程①两边同乘以6，得：2181m n -=-将方程②两边同乘以2得：46m n +=∴原方程组化为218146m n m n -=-⎧⎨+=⎩③④ 解方程组：③-④×2 ∴12n = 把12n =代入④，142m +⨯ ∴4m = ∴412m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，即4112x y x y +=⎧⎪⎨=⎪-⎩，∴42x y x y +=⎧⎨-=⎩⑤⑥ 再解方程组：⑤+⑥得3x =将3x =代入⑤得1y =∴31x y =⎧⎨=⎩经检验：31x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解． 点评：（1）换元法是初中数学中要掌握的一种重要的数学方法，尤其是换元法在各类的解方程中的运用，更为重要．它可以通过换元手段，使复杂的问题变得简单，疑难问题变得容易，在学习数学知识的同时，一定要掌握一些典型的数学方法．这种换元的方法将来在初三还会专门学习．（2）“换元”是求原方程未知数的值的一种手段，不是目的．目的是求原来未知数（如x ，y ）的值．所以当求得辅助未知数（如m ，n ）的值以后，一定要把原来未知数（x ，y ）的值求出来．（3）由以上两个例题可以看出，把分式方程组转化为整式方程组，可以用去分母的方法，也可以用换元法．究竞用哪种方法合适，要具体问题具体分析．【答案】31x y =⎧⎨=⎩课堂检测【练习1】解方程221122710x x x x +=+-++ 【解析】原方程变形为()()()()1122125x x x x +=+-++ 1111112312325x x x x ⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥-+++⎣⎦⎣⎦整理得：11615x x -=-+ 两边同乘以()()15x x -+，并整理得2460x x +-=解得：2x =-经检验，原方程的两根为2x =-【答案】2x =-【练习2】化简：()()()()()()a b b c c a c a c b b a a c b c b a ---++------ 【解析】 原式()()()()()()()()()()()()c b c a b a a c b a b c c a c b b a a c b c b a ----+----=++------ 1111112c a c b a c b a b c b a b c=-+++-=------- 【答案】2b c-【练习3】若对于3±以外的一切数，28339m n x x x x -=+--均成立，求mn . 【解析】 22()3()83399m n m n x m n x x x x x --+-==+--- 所以80m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得44m n =⎧⎨=-⎩，所以16mn =-【答案】16mn =-【练习4】若关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N .【解析】 222(2)(2)2()Mx N c c x b ac x x x a x b x a b x ab +-+-=-=+-+++++，所以1222a b c ab c M b ac N+==⎧⎪=-⎪⎨-=⎪⎪-=⎩， 利用配方思想解得：12a b =-⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=-⎩，∵a b >，∴21a b =⎧⎨=-⎩，∴4N =- 【答案】4N =-【练习5】若a b x a b -=+，b c y b c -=+，c a z c a-=+，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y z +++=--- 【解析】 (1)(1)(1)x y z +++111a b b c c a a b b c c a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2228()()()a b c abc a b b c c a a b b c c a =⋅⋅=++++++ (1)(1)(1)x y z ---111a b b c c a a b b c c a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭222b c a a b b c c a =⋅⋅+++8()()()abc a b b c c a =+++ 【答案】8()()()abc a b b c c a =+++【练习6】解方程组：21232(1)(2)43xy x x y xz x x z y z y z +⎧=⎪++⎪+⎪=⎨++⎪⎪++=⎪++⎩【解析】原方程可变为：11(1)221(2)3(1)(2)1(1)(2)4x y x y x z x z y z y z ⎧++=⎪+⎪⎪++=⎨+⎪⎪+++=⎪++⎩， 即1111211123111124x y x z y z ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪++⎩，易解得17241512411224x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪⎩+，即24719522x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩【答案】24719522x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩课后作业1. 解方程22631042101322x x x x x x x x ++++-+=++++ 【解析】观察方程知，可先考虑各分式简化． 原方程转化为252313201322x x x x x -⎛⎫+-++-= ⎪++++⎝⎭ 整理得：252301322x x x x x ---=++++ 去分母，整理得90x +=，9x =-．经检验知，9x =-是原方程的解．【答案】9x =-2. 解方程16252736x x x x x x x x +++++=+++++ 【解析】原方程化为()()()()116723x x x x =++++， 即290x +=，解得92x =-． 【答案】92x =-3. 将269x -化为部分分式. 【解析】 ∵()()2933x x x -=-+,故设269x =-3A x +3B x +-. ∵(3)(3)()(33)33(3)(3)(3)(3)A B A x B x A B x A B x x x x x x -++++-++==+-+-+- ∴26()(33)9(3)(3)A B x A B x x x ++-+=-+-比较两边分子对应项的系数，得 0336A B A B +=⎧⎨-+=⎩ 解之得11A B =-⎧⎨=⎩∴2611933x x x =-+-+-. 【答案】2611933x x x =-+-+-4. 若21(2)a x b xy -=--，且0ab >，求111...(1)(1)(2007)(2007)xy x y x y +++++++的值． 【解析】 由题意可知，1x =，2y =，故11111...(1)(1)(2007)(2007)1223xy x y x y +++=+++++⨯⨯ 1111112008....1 (20082009223200820092009)++=-+-++-=⨯． 【答案】200820095. 若1abc =，求证：1111a b c a ab b bc c ca++=++++++. 【解析】 解法1：因为1abc =，故0a ≠，0b ≠，0c ≠.则111a b c a ab b bc c ca++++++++ 111a a b ab c a ab a b bc ab c ca =+⋅+⋅++++++1a ab abc a ab a ab abc ab abc abca=++++++++， 注意到1abc =，故上式1111a ab a ab a ab a ab =++++++++11a ab a ab++=++1=. 解法2：因为1abc =，故0a ≠，0b ≠，0c ≠. 则111a b c a ab b bc c ca ++++++++11a b b c abc a ab b bc b c ca=++⋅++++++ 111b bc b bc b bc b bc abc =++++++++1111b bc b bc b bc b bc =++++++++11b bc b bc++=++1=. 解法3：由1abc =可得1a bc=， 则111a b c a ab b bc c ca ++++++++1111111b c bc b bc b c c bc bc bc=++++++⋅++⋅ 1111b bc b bc b bc b bc =++++++++11b bc b bc++=++1=. 点评：使用各种各样的代入方法进行化简，题目赋予的信息要充分利用.三种解法的思想是一样的，但是细微之处需要大家用心揣摩，尤其是“1”在其中的使用，更是值得细细品味.当然，我们也可以通分后再代入计算，但是存在一个问题——过于烦琐，有兴趣的学生可以尝试一下这种思路． 【答案】1111a b c a ab b bc c ca++=++++++6. 解方程组：4503043x y x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪-=⎪+-⎩【解析】此题是分式方程组，可采用去分母的方法将方程组转化为整式方程组来解．去分母：将方程①两边同乘以xy ，得：450y x +=③将方程②两边同乘以()()43x y +-得：x ，整理方程：()343120xy x xy y x --+++=，343120xy x xy y x -----=∴6412x y +=-④∴原方程组化为：5406412x y x y +=⎧⎨+=-⎩③④ 解方程组：④-③得：12x =- 把12x =-代入③，()51240y ⨯-+= ()51240y ⨯-+=∴15y =∴将1215x y =-⎧⎨=⎩代入原方程组检验适合 ∴原方程组的解为1215x y =-⎧⎨=⎩．【答案】1215x y =-⎧⎨=⎩。
