2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习：第一章3.3 全称命题与特称命题的否定 1 Word版含解析

本文涵盖资料目录2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章章末综合检测 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章章末综合检测 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章章末综合检测 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章 4.1-4.2 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章 4.1-4.2 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章1 命题 1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章1 命题 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章2.1-2.2 充分条件必要条件 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章2.2 必要条件 1 Word 版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章2.3 充要条件 1 Word 版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章2.3 充要条件 2 Word 版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章3.1-3.2 全称量词与全称命题存在量词与特称命题 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章3.2 存在量词与特称命题 1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章3.3 全称命题与特称命题的否定 1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章3.3 全称命题与特称命题的否定 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章4.3 逻辑联结词“非” 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章章末综合检测 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章1 从平面向量到空间向量 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章2 空间向量的运算 1 Word 版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章2 空间向量的运算 2 Word 版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章3.1-3.2 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理 1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章3.1-3.2 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章3.3 空间向量运算的坐标表示 1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章3.3 空间向量运算的坐标表示 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章4 用向量讨论垂直与平行 1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章4 用向量讨论垂直与平行 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章5 夹角的计算 1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章5 夹角的计算 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章6 距离的计算 1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章6 距离的计算 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章章末综合检测 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章1.1 椭圆及其标准方程 1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章1.1 椭圆及其标准方程 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章1.2 椭圆的简单性质（1）2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章1.2 椭圆的简单性质（1）1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章1.2 椭圆的简单性质（2）2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章1.2 椭圆的简单性质（2）1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章2.1 抛物线及其标准方程 1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章2.1 抛物线及其标准方程 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章2.2 抛物线的简单性质（1） 1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章2.2 抛物线的简单性质（1） 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章2.2 抛物线的简单性质（2） 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章2.2 抛物线的简单性质（2）1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章3.1 双曲线及其标准方程 1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章3.1 双曲线及其标准方程 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章3.2 双曲线的简单性质 1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章3.2.1 双曲线的简单几何性质 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章3.2.2 直线与双曲线的位置关系 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章4.1 曲线与方程 1 Word 版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章4.1 曲线与方程 2 Word 版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章4.2-4.3 圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点 1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章4.2-4.3 圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章章末综合检测 Word版含解析(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“任意x∈R，e x＞x2”的否定是()A．存在x∈R，使得e x≤x2B．任意x∈R，使得e x≤x2C．存在x∈R，使得e x＞x2D．不存在x∈R，使得e x＞x2解析：选A.此命题是全称命题，其否定为：“存在x∈R，e x≤x2”．2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．aα，b⊥β，α∥βD．aα，b∥β，α⊥β解析：选C.∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α，又aα，∴a⊥b.3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是()A．(非p)或q B．p且qC．(非p)且(非q) D．(非p)或(非q)解析：选D.∵p真q假，∴非p假，非q真，故选D.4．命题“存在x∈R，2x＋x2≤1”的否定是()A．对于任意的x∈R，2x＋x2＞1，假命题B．对于任意的x∈R，2x＋x2＞1，真命题C．存在x∈R，2x＋x2＞1，假命题D．存在x∈R，2x＋x2＞1，真命题解析：选A.因为x＝0时，20＋02＝1≤1，所以该命题的否定“对于任意的x∈R，2x＋x2＞1”是假命题．5．已知平面α，直线lα，直线mα，则“直线l∥α”是“l∥m”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B.l∥α，lα，mα，l与m可能平行或异面；反过来，若l∥m，lα，mα，则l∥α.6．命题p：“若x2－3x＋2≠0，则x≠2”，若p为原命题，则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.∵p真，其逆否命题为真；逆命题为假，否命题也为假，故选B.7．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，则下列命题不正确的是() A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m∥n，nβ，则α⊥βD．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n解析：选D.对D，m与n可能平行，也可能异面，D不正确，A、B、C中命题均正确．8．下列命题中，真命题是()A．任意x∈R，x2≥xB．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题C．存在x∈R，x2≥xD．命题“若x≠y，则sin x≠sin y”的逆否命题解析：选C.对A，当x∈(0，1)时，A为假命题；B的逆命题为：“若x2＝1，则x＝1”，此命题为假命题，B为假命题；对C，当x＝1时成立，C为真命题；对D，D的逆否命题为：“若sin x＝sin y，则x＝y”．此命题为假，例如sin 30°＝sin 150°，但30°≠150°，D为假命题，故选C.9．已知a、b为非零向量，则“a⊥b”是“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)＝a·b x2＋(b2－a2)x－a·b，若“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”，则a·b＝0，即“a⊥b”；若“a⊥b”，当a2＝b2时，f(x)＝0，就不是一次函数，故“a⊥b”，是“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”的必要不充分条件．10．命题p：“任意x∈[1，2]，2x2－x－m＞0”，命题q：“存在x∈[1，2]，log2x＋m ＞0”，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是()A．m＜1 B．m＞－1C．－1＜m＜1 D．－1≤m≤1解析：选C.p为真时，m＜2x2－x，x∈[1，2]恒成立，2x2－x在x∈[1，2]上的最小值为1，∴m＜1；q为真时，m＞－log2x，x∈[1，2]能成立，－log2x在[1，2]上的最小值为－1，∴m＞－1；∵p且q为真命题，∴p和q都是真命题，故－1＜m＜1.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．若“x＝2”是“x2－2x＋c＝0”的充分条件，则c＝________．解析：由题意x＝2⇒x2－2x＋c＝0，∴22－2×2＋c＝0，∴c＝0.答案：012．若命题“存在x＜2 014，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：∵“存在x＜2 014，x＞a”是假命题，∴其否定：“对任意x＜2 014，x≤a”为真命题，∴a≥2 014.答案：[2 014，＋∞)13．若a与b－c都是非零向量，则“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的________条件．解析：若a·b＝a·c，则a·b－a·c＝0，即a·(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)；反之，若a⊥(b －c)，则a·(b－c)＝0，即a·b－a·c＝0，所以a·b＝a·c.从而有a·b＝a·c⇔a⊥(b－c)．答案：充要14．已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0；q：对任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假，则实数m的取值范围是________．解析：p或q为假，则非p和非q均为真．非p：对任意x∈R，mx2＋1＞0为真时，m≥0；非q：存在x∈R，x2＋m＋1≤0为真时，Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2，故m的取值范围是{m|m≥0}∩{m|m≤－2或m≥2}＝{m|m≥2}．答案：[2，＋∞)15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1­C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线D1A1.其中真命题的编号是________．解析：对①，P在直线BC1上运动时，S△AD1P为定值，C到底面AD1P的距离为定值，①为真命题；对②，P在直线BC1上运动时，P到底面ACD1的距离PO(O为垂足)不变，但线段OA 的长是变化的；∴②是假命题；对③，由于BC1∥AD1，③为真命题；对④，由于直线D1A1上任一点到点D和C1距离相等，又D1A1平面A1B1C1D1，④为真命题．答案：①③④三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)判断下列命题的真假：(1)“π是无理数”，及其逆命题；(2)“若实数a，b不都为0，则a2＋b2≠0”；(3)命题“任意x∈(0，＋∞)，有x＜4且x2＋5x－24＝0”的否定．解：(1)原命题为真命题，其逆命题为：无理数是π，为假命题；(2)原命题的逆否命题为“若a2＋b2＝0，则实数a，b同时为0”，显然为真，故原命题为真；(3)原命题的否定为：存在x ∈(0，＋∞)，使x ≥4或x 2＋5x －24≠0显然为真命题．17．(本小题满分10分)(2014·孝感市高二检测)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：设A ＝{x |(4x －3)2≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝{x |12≤x ≤1}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． 由非p 是非q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A 是B 的真子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.(等号不同时成立) 故所求实数a 的取值范围是[0，12]． 18．(本小题满分10分)已知命题p ：函数y ＝(a －1)x 在R 上单调递增，命题q ：不等式x ＋|x －3a |＞1的解集为R ，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：若p 真，则a －1＞1⇒a ＞2，q 真⇔x ＋|x －3a |＞1恒成立，设h (x )＝x ＋|x －3a |，则h (x )min ＞1.∵h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3a ，x ≥3a 3a ， x ＜3a ，易知h (x )min ＝3a ， ∴3a ＞1，即a ＞13. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则a ＞2且a ≤13，矛盾． ②若p 假q 真，则a ≤2且a ＞13⇒13＜a ≤2， 综上可知，a 的取值范围是(13，2]． 19．(本小题满分12分)已知集合M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的充要条件．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件．解：(1)由M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}，结合集合M ，P 可得－3≤a ≤5.故－3≤a ≤5是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的必要条件．下面证明这个条件也是充分的．证明：当－3≤a ≤5时，集合P ＝{x |a ≤x ≤8}，集合M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，故M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}．综上可知，－3≤a ≤5是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的充要条件．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件．20．(本小题满分13分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(－1，0)，是否存在常数a ，b ，c 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立？ 解：假设存在常数a ，b ，c 使题设命题成立．∵f (x )图像过点(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0，∵x ≤f (x )≤1＋x 22对一切x ∈R 均成立， ∴当x ＝1时，也成立，即1≤a ＋b ＋c ≤1，故有a ＋b ＋c ＝1.∴b ＝12，c ＝12－a . ∴f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a ， ∴x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22对一切x ∈R 成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，（1－2a ）x 2－x ＋2a ≥0恒成立 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧14－4a ⎝⎛⎭⎫12－a ≤0，1－8a （1－2a ）≤0，a ＞0，1－2a ＞0，∴a ＝14.∴c ＝12－a ＝14. ∴存在一组常数a ＝14，b ＝12，c ＝14，使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立．(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D解析：选A.∵BD →＝BC →＋CD →＝2(a ＋2b )＝2AB →，B 为公共点， ∴A 、B 、D 三点共线．2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B ．NP → C ．0D ．MN →解析：选C.PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝0.3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一组基底的关系是( )A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC →解析：选C.对于选项A ，由结论OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇒M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于B ，D 选项，易知MA →，MB →，MC →共面，故只有选项C 中MA →，MB →，MC →不共面．4．平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →，则x ＋y ＋z 等于( )A ．1B ．76C.56D ．23解析：选 B.在平行六面体中，AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →－C 1C →.比较系数知x ＝1，y ＝12，z ＝－13，∴x ＋y ＋z ＝76.5．已知两个平面的一个法向量分别是m ＝(1，2，－1)，n ＝(1，－1，0)，则这两个平面所成的二面角的平面角的余弦值为( )A ．－36B ．36 C ．－36或36D ．－33或33解析：选C.cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－16×2＝－36， 由于两平面所成角的二面角与〈m ，n 〉相等或互补．故选C.6．已知a ＝(2，－1，2)，b ＝(2，2，1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.65 B ．652C ．4D ．8解析：选A.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝43×3＝49，sin 〈a ，b 〉＝1－⎝⎛⎭⎫492＝659，∴S ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝9×659＝65. 7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点，则MN 与平面B 1BCC 1的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，C 1D 1→＝(0，a ，0)为平面B 1BCC 1的一个法向量， M (a ，12a ，12a )，N (12a ，12a ，a )， MN →＝(－12a ，0，12a )，由于C 1D 1→·MN →＝0，且M N ⃘平面B 1BCC 1， ∴MN ∥平面B 1BCC 1. 8．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →的值等于( )A ．0B ．94C ．4D ．－94解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得，|AC |2＝42＋42－2×4×4cos 30°＝32－163， ∴|AC |＝2(6－2)，cos ∠CAD ＝cos 〈AD →，AC →〉＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝6＋24， 又AD ＝12AB ＝2，∴AD →·AC →＝|AD →||AC →|cos 〈AD →，AC →〉＝4(6－2)×6＋24＝4，故选C.9．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是( ) A.24 B ．23 C.63D ．32解析：选C.以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，C 1(0，1，1)．∴DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)，BC 1→＝(－1，0，1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1B 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DA 1→·n ＝0，DB →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，∴x ＝－y ＝－z .令x ＝1，得n ＝(1，－1，－1)． 设直线BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BC 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC 1→|n ||BC 1→|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23·2＝63. 10．四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝2，E ，F 分别为PB ，PD 的中点，则P 到直线EF 的距离为( )A ．1B ．22 C.32D ．62解析：选D.建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，设AC 与BD 的交点为O ，∵|PB |＝|PD |， ∴PO ⊥BD ， 又O (1，1，0)，∴P 点到BD 的距离为|PO |＝（1－0）2＋（1－0）2＋（0－2）2＝6， 又EF 綊12BD ，∴P 到EF 的距离为62. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知向量a ＝(0，－1，1)，b ＝(4，1，0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝________． 解析：λa ＋b ＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋（1－λ）2＋λ2＝29，且λ＞0，解得λ＝3. 答案：312．若A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于________． 解析：AB →＝(1－x ，2x －3，－3x ＋3)，所以|AB →|＝（1－x ）2＋（2x －3）2＋（－3x ＋3）2 ＝14x 2－32x ＋19＝14（x －87）2＋57，当x ＝87时，|AB →|取得最小值．答案：8713．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1，1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．解析：a ·b ＝－3－2(x －1)－3＝－2x －4，由题意知cos 〈a ，b 〉∈(－1，0)，即－1≠－2x －422×x 2－2x ＋3＜0，解之得x ＞－2且x ≠53.答案：(－2，53)∪(53，＋∞)14．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各侧面均为正方形，侧面AA 1C 1C 的对角线相交于点M ，则BM 与平面AA 1C 1C 所成角的大小是________．解析：法一：取AC 的中点D ，连接BD ，MD ，由于BD ⊥平面AA 1C 1C ，故∠BMD 即为所求直线与平面所成角，设三棱柱棱长为a ，其中BD ＝32a ，DM ＝a 2， 故tan ∠BMD ＝BDDM＝3，解得∠BMD ＝60°. 法二：由题意知此三棱柱为各棱长均相等的正三棱柱，设棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (3，1，0)，M (0，1，1)，BM →＝(－3，0，1)， 取平面ACC 1A 1的一个法向量n ＝(1，0，0)， cos 〈BM →，n 〉＝－32×1＝－32，设BM 与平面ACC 1A 1所成的角为θ， 则sin θ＝32，∴θ＝60°. 答案：60°15.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为________．解析：∵A 1B 1∥平面D 1EF ，∴G 到平面D 1EF 之距等于A 1点到平面D 1EF 之距，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，F (1，1，12)，E (1，0，12)，设平面D 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0n ·ED 1→＝0，易求得平面D 1EF 的一个法向量n ＝(1，0，2)，A 1E →＝(0，0，－12)，∴d ＝|A 1E →·n ||n |＝55. 答案：55三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)(2014·德州高二检测)已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)，若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．解：AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)，设a ＝(x ，y ，z )， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0a ·AC →＝0x 2＋y 2＋z 2＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0x 2＋y 2＋z 2＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1. ∴a ＝(1，1，1)或a ＝(－1，－1，－1)． 17．(本小题满分10分)已知在空间四边形OABC 中，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，如图所示，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →.解：ON →＝12(b ＋c )，OM →＝12a ，MN →＝12b ＋12c －12a ，∵MG →＝2GN →，∴MG →＝23MN →＝13b ＋13c －13a ，∴OG →＝OM →＋MG →＝12a ＋13b ＋13c －13a ＝16a ＋13b ＋13c .18．(本小题满分10分)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是AB 的中点，点F 是AA 1上靠近点A的三等分点，在线段DD1上是否存在一点G，使CG∥EF？若存在，求出点G 的位置，若不存在，说明理由．解：存在．如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则E(1，12，0)，F(1，0，13)，C(0，1，0)，假设在DD1上存在一点G，使CG∥EF，则CG→∥EF→，由于点G在z轴上，设G(0，0，z)，∴EF→＝(0，－12，13)，CG→＝(0，－1，z)．∵CG→∥EF→，∴CG→＝λEF→，即(0，－1，z)＝λ(0，－12，13)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝λ×0，－1＝－12λ，z＝13λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，z＝23.由于z＝23∈[0，1]，所以点G在线段DD1上，其坐标为(0，0，23)，故在线段DD1上存在一点G，使CG∥EF，点G是DD1上靠近点D1的三等分点．19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，且∠ACB＝90°，AC＝BC＝CP＝2.(1)求二面角B-AP-C的余弦值；(2)求点C到平面P AB的距离．解：(1)如图，以C为原点建立空间直角坐标系．则C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)．易得面P AC的法向量为n1＝(1，0，0)，P A→＝(0，2，－2)，PB→＝(2，0，－2)，n2＝(x，y，z)为平面P AB的法向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧n2·P A→＝0n2·PB→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y－2z＝02x－2z＝0.可取n2＝(1，1，1)．∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝13＝33.∴二面角B-AP-C的余弦值为33.(2)d＝|CA→·n2||n2|＝23＝233，∴点C 到平面P AB 的距离为233.20．(本小题满分13分)已知在几何体A -BCED 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥平面ABC ，平面BCED 为梯形，且AC ＝CE ＝BC ＝4，DB ＝1.(1)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；(2)试探究在DE 上是否存在点Q ，使得AQ ⊥BQ ，并说明理由．解：(1)由题知，CA ，CB ，CE 两两垂直，以C 为原点，以CA ，CB ，CE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则A (4，0，0)，B (0，4，0)，D (0，4，1)，E (0，0，4)， ∴DE →＝(0，－4，3)，AB →＝(－4，4，0)， ∴cos 〈DE →，AB →〉＝－225，∴异面直线DE 与AB 所成角的余弦值为225.(2)设满足题设的点Q 存在，其坐标为(0，m ，n )，则AQ →＝(－4，m ，n )， BQ →＝(0，m －4，n )，EQ →＝(0，m ，n －4)，QD →＝(0，4－m ，1－n )． ∵AQ ⊥BQ ，∴m (m －4)＋n 2＝0，①∵点Q 在ED 上，∴存在λ∈R (λ＞0)使得EQ →＝λQD →， ∴(0，m ，n －4)＝λ(0，4－m ，1－n )，∴m ＝4λ1＋λ，②n ＝4＋λ1＋λ.③ 由①②③得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋41＋λ2＝16λ（1＋λ）2，∴λ2－8λ＋16＝0，解得λ＝4. ∴m ＝165，n ＝85.∴满足题设的点Q 存在，其坐标为⎝⎛⎭⎫0，165，85.(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知椭圆x 225＋y 216＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7解析：选D.设另一个焦点为F ，由椭圆定义知3＋|PF |＝10，∴|PF |＝7.2．抛物线y ＝－x 2的焦点坐标为( ) A ．(0，－18)B ．(－14，0)C ．(0，－14)D ．(0，－12)解析：选C.方程化为标准形式为x 2＝－y ，故其焦点坐标为(0，－14)．3．双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B ．22C ．1D ． 2解析：选B.双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1，0)，渐近线为y ＝±x ，∴x ±y ＝0，∴顶点到渐近线的距离为d ＝|±1±0|2＝22. 4．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的准线与圆x 2＋y 2－4y －5＝0相切，则p 的值为( ) A ．10 B ．6 C.18D ．124解析：选C.抛物线方程可化为x 2＝12p y (p >0)，由于圆x 2＋(y －2)2＝9与抛物线的准线y＝－18p 相切，∴3－2＝18p ，∴p ＝18.5．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±52xC ．y ＝±12xD ．y ＝±6x解析：选C.由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±ab x ，e 2＝c 2a 2＝1＋(b a )2＝5，∴b a ＝2，故渐近线方程为y ＝±12x . 6．若直线l 过点(3，0)与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C.双曲线方程可化为x 29－y 24＝1，知(3，0)为双曲线的右顶点，故符合要求的直线l 有3条，其中一条是切线，另两条是交线(分别与两渐近线平行)．7．已知定直线l 与平面α成60°角，点P 是平面α内的一动点，且点P 到直线l 的距离为3，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．椭圆解析：选D.以l 为轴底面半径为3的圆柱被与l 成60°的平面α所截，截线为椭圆． 8．设P 为双曲线x 2－y 23＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝5∶3，则△PF 1F 2的面积是( )A ．4 2B ．6C ．7D ．8解析：选B.a ＝1，c ＝2，|PF 1|－|PF 2|＝2①，|PF 1||PF 2|＝53，②由①②得|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，又|F 1F 2|＝4， ∴∠PF 2F 1＝90°，故S △PF 1F 2＝12|PF 2||F 1F 2|＝12×3×4＝6.9．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5D ．92解析：选A.如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点M (0，2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点M (0，2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M (0，2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b 2，4b 2]，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．[33，22]B ．[53，32] C ．[22，53] D ．[33，32] 解析：选B.由对称性知矩形中心在原点，且两组对边平行x 轴，y 轴，设矩形在第一象限的顶点坐标为(x ，y )(x >0，y >0)，S 矩形＝4xy ＝2ab (2x a ·y b )≤2ab (x 2a 2＋y 2b 2)＝2ab ∈[3b 2，4b 2]，∴3b 2≤2ab ≤4b 2，即12≤b a ≤23，e 2＝c 2a 2＝1－(b a )2∈[59，34]，故e ∈[53，32]． 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上) 11．椭圆x 2m 2＋y 23－m＝1的一个焦点为(0，1)，则m ＝________．解析：由题意a 2＝3－m ，b 2＝m 2，又c ＝1，∴12＝a 2－b 2＝3－m －m 2，即m 2＋m －2＝0，∴m ＝－2或m ＝1，均满足3－m >m 2. 答案：－2或112．如图，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为________．解析：对椭圆，离心率越小，椭圆越圆，∴0<e 1<e 2<1； 对双曲线，离心率越大，张口越大，∴1<e 4<e 3，故e 1<e 2<e 4<e 3. 答案：e 1<e 2<e 4<e 313．在平面直角坐标系xOy 中，焦点为F (5，0)的抛物线的标准方程是________． 解析：由题意p2＝5，p ＝10，故焦点为(5，0)的抛物线的标准方程为y 2＝20x .答案：y 2＝20x14．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程为________．解析：y 2＝8x 的焦点为(2，0)，∴a ＝2.又双曲线的焦点为(±2，0)， ∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝4－2＝2，椭圆方程为x 24＋y 22＝1. 答案：x 24＋y 22＝115．抛物线y 2＝2x 上距点M (m ，0)(m >0)最近的点恰好是抛物线的顶点，则m 的取值范围是________．解析：设P (x ，y )为抛物线上任一点，则|PM |2＝(x －m )2＋y 2＝x 2－2(m －1)x ＋m 2 ＝[x －(m －1)]2＋2m －1. ∵m >0，∴m －1>－1.由于x ≥0，且由题意知当x ＝0时，|PM |最小． 则对称轴x ＝m －1应满足－1<m －1≤0，∴0<m ≤1. 答案：(0，1]三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分．求椭圆的标准方程及其离心率．解：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知：2a ＝18，2a ＝6c ，所以解得a ＝9，c ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝72，所以椭圆C 的方程是x 281＋y 272＝1，离心率e ＝c a ＝39＝13.17．(本小题满分10分) k 代表实数，讨论方程kx 2＋2y 2－8＝0所表示的曲线． 解：当k <0时，曲线y 24－x 2－8k＝1为焦点在y 轴上的双曲线；当k ＝0时，曲线2y 2－8＝0为两条平行于x 轴的直线y ＝2或y ＝－2； 当0<k <2时，曲线x 28k ＋y 24＝1为焦点在x 轴上的椭圆；当k ＝2时，曲线x 2＋y 2＝4为一个圆；当k >2时，曲线y 24＋x 28k＝1为焦点在y 轴上的椭圆．18．(本小题满分10分)已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)证明：如图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1）消去x 后，整理，得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得y 1·y 2＝－1. ∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2.∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∴k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，则x ＝－1，即N (－1，0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2| ＝12|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝12⎝⎛⎭⎫－1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，∴10＝121k 2＋4， 解得k ＝±16.19．(本小题满分12分)已知：双曲线x 2－2y 2＝2的左、右焦点分别为F 1、F 2，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝4.(1)求：动点P 的轨迹E 的方程；(2)若M 是曲线E 上的一个动点，求|MF 2|的最小值．并说明理由． 解：(1)F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 且|PF 1|＋|PF 2|＝4>23，∴P 点的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，且a ＝2，c ＝3，从而b ＝1.∴动点P 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x ，y )，则|MF 2|＝（x －3）2＋y 2， ∵x 24＋y 2＝1，∴y 2＝1－x 24，∴|MF 2|＝34x 2－23x ＋4＝（32x －2）2＝⎪⎪⎪⎪32x －2. ∵M ∈E ，∴x ∈[－2，2]， ∴|MF 2|＝2－32x ，x ∈[－2，2]． 显然|MF 2|在[－2，2]上为减函数， ∴|MF 2|有最小值2－ 3.20．(本小题满分13分)如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )，将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |·sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.[基础达标]1.“若x 2－7x ＋12≠0，则x ≠3且x ≠4”的否定为( ) A ．若x 2－7x ＋12＝0，则x ＝3或x ＝4 B ．若x 2－7x ＋12＝0，则x ＝3且x ＝4 C ．若x 2－7x ＋12≠0，则x ＝3或x ＝4 D ．若x 2－7x ＋12≠0，则x ≠3且x ≠4解析：选C.不否定条件“x 2－7x ＋12≠0”，只否定结论“x ≠3且x ≠4”，此结论的否定为：“x ＝3或x ＝4”，故选C.2.若p 、q 是两个简单命题，“p 或q ”的否定是真命题，则必有( ) A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假D ．p 假q 真解析：选B.“p 或q ”的否定是真命题，故“p 或q ”为假命题，所以p 假q 假． 3.若命题“p 且q ”为假，且非p 为假，则( ) A ．“p 或q ”为假 B ．q 为假 C ．p 为假D ．q 为真解析：选B.∵非p 为假，∴p 为真，又“p 且q ”为假，∴q 必为假，故选B. 4.设命题p ：方程x 2＋3x －1＝0的两根符号不同；命题q ：方程x 2＋3x －1＝0的两根之和为3，判断命题“非p ”、“非q ”、“p 且q ”、“p 或q ”为假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.由于Δ＞0，且两根⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝－1，x 1＋x 2＝－3，p 为真命题，q 为假，∴非p 为假命题，非q 为真命题；p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，故选C.5.已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，若命题p ：a ∈A ∪B ，则命题“非p ”是( ) A ．a ∈A B ．a ∈∁U BC ．a ∉A ∩BD ．a ∈(∁U A )∩(∁U B )解析：选D.因为(∁U A )∩(∁U B )正好是A ∪B 的补集，所以a ∉A ∪B ⇔a ∈(∁U A )∩(∁U B )． 6.若“x ∈[2，5]或x ∈{x |x ＜1或x ＞4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 解析：∵原命题为假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5或x ＜2，1≤x ≤4，∴1≤x ＜2.故x 的取值范围是[1，2)． 答案：[1，2)7.已知命题p ：不等式|x |≥m 的解集是R ，命题q ：f (x )＝2－mx在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p 或q ”为真，则实数m 的范围是________．解析：p 为真，则m ≤0；q 为真，则2－m ＞0，即m ＜2.由于“p 或q ”为真，∴p 为真或q 为真，故m 的取值范围是(－∞，0]∪(－∞，2)＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)8.已知p ：x ＞1或x ＜－15，q ：1x 2＋4x －5＞0，则非p 是非q 的________条件．解析：由1x 2＋4x －5＞0得，x 2＋4x －5＞0，∴x ＜－5或x ＞1，由于{x |x ＞1或x ＜－15}{x |x ＞1或x ＜－5}, ∴p 是q 的必要不充分条件，即p ⇐,⇒/)q ，∴非q ⇐,⇒/)非p ，即非p 是非q 的充分不必要条件．答案：充分不必要9.写出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p ：5是有理数，q ：5是整数；(2)p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)，q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)．解：(1)p 或q ：5是有理数或5是整数； p 且q ：5是有理数且5是整数； 非p ：5不是有理数．因为p 假，q 假，所以p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真．(2)p 或q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；p 且q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；非p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集不是(－∞，－1)． 因为p 假，q 假，所以p 或q 假，p 且q 假，非p 为真．10.已知p ：|x －4|≤6，q ：x 2＋3x ≥0，若命题“p 且q ”和“非p ”都为假，求x 的取值范围．解：p ：－2≤x ≤10，q ：x ≤－3或x ≥0.若命题“p 且q ”和“非p ”都为假，则p 为真q 为假，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤10－3＜x ＜0.∴－2≤x ＜0.故x 的取值范围是{x |－2≤x ＜0}．[能力提升]1.已知命题p 1：函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x－⎝⎛⎭⎫12－x在R 上为减函数，p 2：函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋⎝⎛⎭⎫12－x在R 上为增函数，则在命题q 1：p 1或p 2，q 2：p 1且p 2，q 3：p 2或非p 1，q 4：p 1且非p 2中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：选C.因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x－2x是R 上的减函数，所以命题p 1是真命题；因为x ＝1和x ＝－1时，都有y ＝12＋2＝52，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋2x 不是R 上的增函数，故p 2是假命题，所以p 1或p 2是真命题，p 1且p 2是假命题，p 2或非p 1是假命题，p 1且非p 2是真命题，所以真命题是q 1，q 4，故选C.2.命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数y ＝－(5－2a )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：先求出命题p ，q 为真命题时实数a 的取值范围，x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，则Δ＝(2a )2－4×1×4＜0，解得－2＜a ＜2，即命题p ：－2＜a ＜2；函数y ＝－(5－2a )x 是减函数，则5－2a ＞1，得a ＜2，即命题q ：a ＜2.p 或q 为真命题，则p 和q 至少有一个为真，p 且q 为假命题，则p 和q 至少有一个为假，所以p 和q 一真一假，但本题中p 为真时，q 一定为真，故p 假且q 真，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]3.已知命题p ：任意的x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解：∵p 且q 为真命题，∴p 和q 均为真命题，由命题p 为真命题，得a ≤x 2，x ∈[1，2]，当x ∈[1，2]，x 2的最小值为1，∴a ≤1； 由命题q 为真命题，得Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，∴a ≤－2或a ≥1， 故a 的取值范围是{a |a ≤1}∩{a |a ≤－2或a ≥1}＝{a |a ≤－2或a ＝1}．4．设命题p ：函数f (x )＝(a －32)x 是R 上的减函数；命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0，a ]上的值域是[－1，3]．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．解：若命题p 为真，则0＜a －32＜1，得32＜a ＜52，若命题q 为真，即f (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域是[－1，3]，得2≤a ≤4. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p ，q 中一真一假． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧32＜a ＜52，a ＜2或a ＞4，得32＜a ＜2；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤32或a ≥52，2≤a ≤4，得52≤a ≤4.综上：实数a 的取值范围为32＜a ＜2或52≤a ≤4.[A.基础达标]1．若“p或q”是假命题，则()A．p是真命题，q是假命题B．p，q均为假命题C．p，q至少有一个是假命题D．p，q至少有一个是真命题解析：选B.“p或q”为假命题⇔p，q均为假命题．2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是()A．“p或q”为假，“q”为真B．“p或q”为真，“q”为真C．“p且q”为假，“p”为真D．“p且q”为真，“p或q”为假解析：选B.易知p为假命题，q为真命题，可得“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，故选B.3．若“x∈[1，5]或x∈{x|x<3或x>6}”是假命题，则x的取值范围是()A．5≤x≤6B．5<x≤6C．5<x<6 D．x<5或x>6解析：选B.因为x∈[1，5]或x∈{x|x<3或x>6}，即x∈(－∞，5]∪(6，＋∞)，因为该命题是假命题，所以x的取值范围是(5，6]．4．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则()A．p真q假B．p且q为真C．p或q为假D．p假q真解析：选D.命题p：x>0⇒x2>0，但x2>0⇒/ x>0，故p为假命题；命题q：在△ABC中，A>B⇔a>b⇔2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B，故q为真命题，易得“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．5．命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”；命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”，若“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题，则实数a的取值范围是() A．a>0 B．a≥0C．a>1 D．a≥1解析：选B.若p为真⇔Δ＝4－4a≥0，即a≤1；若q为真⇔a2－a>0，即a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．由题意可得p，q一真一假．若p真q假，a∈[0，1]；若p假q真，a∈(1，＋∞)，综上所述，a∈[0，＋∞)．6．给定下列命题：p：0不是自然数，q：2是无理数，在命题“p且q”“p或q”中，真命题是________．解析：因为0是自然数，2是无理数，所以p是假命题，q是真命题，故“p且q”为假命题，“p或q”为真命题．答案：p或q7．已知命题p：不等式|x|≥m的解集是R，命题q：f(x)＝2－mx在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p或q”为真，则实数m的范围是________．解析：p为真，则m≤0；q为真，则2－m＞0，即m＜2.由于“p或q”为真，所以p为真或q为真，或p、q都为真，故m的取值范围是(－∞，2)．答案：(－∞，2)8．对于命题p和命题q，给出下列说法，其中正确说法的序号是________(填序号)．。

§1命题学习目标 1.了解命题的概念(重点).2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式(重点).3.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系(重、难点).4.会判断四种命题的真假(重、难点).知识点一命题(1)概念：可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.(2)真假命题：命题中判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题. 知识点二命题的结构一般地，每一个命题都可以写成“若p，则q”的形式，其中命题中的p叫作命题的条件，q叫作命题的结论，也就是说，命题由条件和结论两部分组成.【预习评价】1.表述命题的语句有什么特点？提示必须是陈述句，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.2.语句“x＞0”可以判断真假吗？提示由于不知道x的范围，所以无法判断真假.知识点三四种命题的定义(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫作互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆命题.(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，把这样的两个命题叫作互否命题.如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作原命题的否命题.(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，把这样的两个命题叫作互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作原命题的逆否命题.【预习评价】1.如何确定命题的条件和结论？提示命题中已知的事项为条件，由已知推出的事项为结论.2.如何确定“若p，则q”为真？提示能够利用公理、定理等已有知识和条件p推出结论q，则说明“若p，则q”为真.知识点四四种命题间的关系知识点五四种命题的真假判断(1)原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假.(2)原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假.(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.(4)互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假.【预习评价】1.四种命题中原命题是否是固定的？提示原命题不是固定的，任何一个命题都可以作为原命题，从而有另外的三种命题.2.由原命题写出逆命题、否命题、逆否命题的关键是什么？提示关键是分清楚原命题的条件和结论，然后按照逆命题、否命题、逆否命题的定义来写.题型一命题的判断【例1】(1)下列语句为命题的是()A.x－1＝0B.2＋3＝8C.你会说英语吗？D.这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________.①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③22 015是一个很大的数；④4是集合{2，3，4}的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.解析(1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假.(2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句.答案(1)B(2)①④规律方法并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.【训练1】判断下列语句是不是命题.(1)求证3是无理数；(2)x2＋2x＋1≥0；(3)你是高二学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果；(5)一个正整数不是质数就是合数；(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0；(7)x＋3>0.解(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题.题型二四种命题的关系及真假判断【例2】下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题.其中是真命题的是________.解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题.所以真命题是①②③.答案①②③规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.【训练2】下列命题为真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④解析①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，故为真命题.②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题.③原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题.④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x－2不是有理数”.∵x不是无理数，∴x是有理数.又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，故为真命题.正确的命题为①③④，故选B.答案 B【探究1】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假.解原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”.判断真假如下：函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图像开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真.【探究2】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”的逆命题的真假.解原命题的逆命题为“已知a，x为实数，若a＜2，则关于x的不等式x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集”.判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a －7，因为a＜2，所以4a－7＜1，当0≤Δ＜1时，抛物线与x轴有交点，当Δ＜0时，抛物线与x轴无交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不一定是空集，故原命题的逆命题为假命题.【探究3】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＞0的解集是R，则a＜74”的逆否命题的真假.解先判断原命题的真假如下：因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＞0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0.所以a＜7 4.所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题.规律方法“正难则反”的处理原则(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题.(3)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视.课堂达标1.命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()A.若a∉A，则b∉BB.若a∈A，则b∉BC.若b∈B，则a∉AD.若b∉B，则a∉A解析命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“∉”互为否定形式.答案 B2.命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是()A.若A∪B＝B，则A∩B＝AB.若A∩B≠A，则A∪B≠BC.若A∪B≠B，则A∩B≠AD.若A∪B≠B，则A∩B＝A解析注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”.答案 C3.命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是______________________________，它是________命题(填“真”或“假”).答案若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线假4.给出以下命题：①“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题.其中为真命题的是________.解析①否命题是“若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”.假命题.②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题.③∵Δ＝1＋4m，m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真.∴逆否命题为真.答案③5.写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题、逆否命题.解原命题的否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”；原命题的逆否命题为：“若x，y不全为0，则x2＋y2≠0”.课堂小结1.写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定和结论q的否定；(3)按照四种命题的结构写出所求命题.2.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论.3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.基础过关1.下列语句不是命题的个数为()①2<1；②x<1；③若x<1，则x<2；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数.A.0B.1C.2D.3解析①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题.答案 B2.下列命题为真命题的是()A.互余的两个角不相等B.相等的两个角是同位角C.若a2＝b2，则|a|＝|b|D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析由平面几何知识可知A，B，D三项都是错误的.答案 C3.已知命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析原命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”为真命题.当x2－8x＋15＝0时，x＝3或x＝5.故其逆命题：“若x2－8x＋15＝0，则x＝5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题. 答案 B4.“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题是“__________________”，逆否命题是________命题(填“真”或“假”).解析逆否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”是假命题.答案若α≠π6，则sin α≠12假5.“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________________________.解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”.答案若x，y不全为零，则xy≠06.判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假.解∵m>0，∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真.又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真.7.判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假.解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ＝－4b≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b ＝0无实根，则b>－1”.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真.能力提升8.与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A.能被3整除的整数，一定能被6整除B.不能被3整除的整数，一定不能被6整除C.不能被6整除的整数，一定不能被3整除D.不能被6整除的整数，不一定能被3整除解析互为逆否命题的两个命题是等价的.答案 B9.已知α，β，γ是不同的平面，l，m，n是不同的直线，则下列命题是真命题的是()A.若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB.若m⊥α，β⊥α，则m∥βC.若l⊥m，l⊥n，则m∥nD.若l⊥α，m⊥α，则l∥m解析当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行，也可能相交，故A不正确；当m⊥α，β⊥α时，m可能平行β，也可能在β内，故B不正确；当l⊥m，l⊥n时，m与n的位置关系是平行或异面或相交，故C不正确.故选D.答案 D10.下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号).答案②和③①和③①和②11.已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________.解析由已知得，若1<x<2成立，则m－1<x<m＋1也成立.∴⎩⎨⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 答案 [1，2]12.有下列命题：①mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程；②函数y ＝ax 2＋2x －1的图像与x 轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集.其中有哪些是真命题？解 ①当m ＝0时，方程是一元一次方程；②方程ax 2＋2x －1＝0(a ≠0)的判别式Δ＝4＋4a ，其值不一定大于或等于0，所以与x 轴至少有一个交点不能确定；③④正确.13.(选做题)给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅；命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数.(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙有且只有一个是真命题.分别求出符合(1)(2)的实数a 的取值范围.解 甲为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >13或a <－1； 乙为真时，2a 2－a >1，即B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >1或a <－12. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，解集为A ，B 的并集，这时实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >13或a <－12. (2)甲、乙有且只有一个是真命题时，有两种情况：当甲真乙假时，13<a ≤1；当甲假乙真时，－1≤a <－12.所以甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |13<a ≤1或－1≤a <－12.。

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“任意x ∈R ，e x ＞x 2”的否定是( ) A ．存在x ∈R ，使得e x ≤x 2 B ．任意x ∈R ，使得e x ≤x 2 C ．存在x ∈R ，使得e x ＞x 2 D ．不存在x ∈R ，使得e x ＞x 2解析：选A.此命题是全称命题，其否定为：“存在x ∈R ，使得e x ≤x 2”． 2．原命题“若x ≤－3，则x ＜0”的逆否命题是( ) A ．若x ＜－3，则x ≤0 B ．若x ＞－3，则x ≥0 C ．若x ＜0，则x ≤－3 D ．若x ≥0，则x ＞－3解析：选D.逆否命题是对原命题的条件和结论否定后再对换，故该命题的逆否命题为“若x ≥0，则x ＞－3”．3．已知条件p ：x ＞0，条件q ：x ≥1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为{x |x ≥1}{x |x ＞0}，所以p 是q 的必要不充分条件．4．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( ) A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥β B ．a ⊥α，b ⊥β，α∥β C ．a α，b ⊥β，α∥β D ．a α，b ∥β，α⊥β 解析：选C.因为b ⊥β，α∥β，所以b ⊥α，又a α，所以a ⊥b .5．命题p ：将函数y ＝sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数y ＝sin(2x －π3)的图像；命题q ：函数y ＝sin(x ＋π6)cos(π3－x )的最小正周期是π，则命题“p 或q ”“p 且q ”“非p ”中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.将函数y ＝sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数y ＝sin 2(x －π3)＝sin(2x －2π3)的图像，所以命题p 是假命题，“非p ”是真命题，“p 且q ”是假命题．函数y ＝sin(x ＋π6)cos(π3－x )＝cos(π2－x －π6)·cos(π3－x )＝cos 2(π3－x )＝cos （2x －2π3）2＋12，最小正周期为π，命题q 为真命题，所以“p 或q ”为真命题，故真命题有2个，故选C.6．命题“存在x ∈R ，2x ＋x 2≤1”的否定是( ) A ．对于任意的x ∈R ，2x ＋x 2＞1，假命题 B ．对于任意的x ∈R ，2x ＋x 2＞1，真命题 C ．存在x ∈R ，2x ＋x 2＞1，假命题 D ．存在x ∈R ，2x ＋x 2＞1，真命题解析：选A.因为x ＝0时，20＋02＝1≤1，所以该命题的否定“对于任意的x ∈R ，2x ＋x 2＞1”是假命题．7．已知平面α，直线l α，直线m α，则“直线l ∥α”是“l ∥m ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.l ∥α，l α，m α，l 与m 可能平行或异面；反过来，若l ∥m ，l α，m α，则l ∥α.8．命题p ：“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠2”，若p 为原命题，则p 的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.因为p 真，其逆否命题为真；逆命题为假，否命题也为假，故选B.9．已知命题p ：函数f (x )＝|sin 2x |的最小正周期为π；命题q ：若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (x )关于x ＝1对称．则下列命题是真命题的是( )A ．p 且qB ．p 或qC ．(非p )且(非q )D ．p 或(非q )解析：选B.函数f (x )＝|sin 2x |的最小正周期为π2知命题p 为假命题；若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )关于x ＝1对称，据此可知命题q 为真命题，根据真值表可得“p 或q ”为真命题．10．下列判断正确的是( )A ．命题“a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a ，b 都不是偶数”B ．若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是假命题C ．已知a ，b ，c 是实数，关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是空集，必有a ＞0且Δ≤0D ．x 2≠y 2⇔x ≠y 且x ≠－y解析：选D.对于A ：其逆否命题为“若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”，排除A.对于B.若“p 或q ”为假命题，则p 、q 均为假命题，非p 、非q 均为真命题，故非p 且非q 为真命题，排除B.对于C ：ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是空集， 当a ＝0时，可得b ＝0，c ＞0，当a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0，排除C ，故选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上) 11．若“x ＝2”是“x 2－2x ＋c ＝0”的充分条件，则c ＝________.解析：由题意x ＝2⇒x 2－2x ＋c ＝0，所以22－2×2＋c ＝0，所以c ＝0. 答案：012．若命题“存在x ＜2 015，x ＞a ”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为“存在x ＜2 015，x ＞a ”是假命题，所以其否定：“对任意x ＜2 015，x ≤a ”为真命题，所以a ≥2 015.答案：[2 015，＋∞)13．若a 与b －c 都是非零向量，则“a·b ＝a·c ”是“a ⊥(b －c )”的________条件． 解析：若a·b ＝a·c ，则a·b －a·c ＝0，即a·(b －c )＝0，所以a ⊥(b －c )；反之，若a ⊥(b －c )，则a·(b －c )＝0，即a·b －a·c ＝0，所以a·b ＝a·c .从而有a·b ＝a·c ⇔a ⊥(b －c )．答案：充要14．已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若“p 或q ”为假，则实数m 的取值范围是________．解析：“p 或q ”为假，则非p 和非q 均为真．非p ：对任意x ∈R ，mx 2＋1＞0为真时，m ≥0；非q ：存在x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0为真时，Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2，故m 的取值范围是{m |m ≥0}∩{m |m ≤－2或m ≥2}＝{m |m ≥2}．答案：[2，＋∞)15．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列四个命题：①P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A -D 1PC 的体积不变；②P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变； ③P 在直线BC 1上运动时，二面角P -AD 1­C 的大小不变；④M 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点，则M 点的轨迹是过D 1点的直线D 1A 1.其中真命题的编号是________．解析：对①，P 在直线BC 1上运动时，S △AD 1P 为定值，C 到底面AD 1P 的距离为定值，①为真命题；对②，P 在直线BC 1上运动时，P 到底面ACD 1的距离PO (O 为垂足)不变，但线段OA 的长是变化的；所以②是假命题；对③，由于BC 1∥AD 1，③为真命题； 对④，由于直线D 1A 1上任一点到点D 和C 1距离相等，又D 1A 1平面A 1B 1C 1D 1，④为真命题．答案：①③④三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)判断下列命题的真假． (1)“π是无理数”，及其逆命题；(2)“若实数a ，b 不都为0，则a 2＋b 2≠0”；(3)命题“对于任意x ∈(0，＋∞)，有x ＜4且x 2＋5x －24＝0”的否定． 解：(1)原命题为真命题，其逆命题为：无理数是π，为假命题；(2)原命题的逆否命题为“若a 2＋b 2＝0，则实数a ，b 同时为0”，显然为真，故原命题为真；(3)原命题的否定为：存在x ∈(0，＋∞)，使x ≥4或x 2＋5x －24≠0显然为真命题． 17．(本小题满分10分)已知命题p ：实数x 满足x 2－2x －8≤0；命题q ：实数x 满足|x －2|≤m (m ＞0)．(1)当m ＝3时，若“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；(2)若“非p ”是“非q ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：(1)若p 真：－2≤x ≤4；当m ＝3时，若q 真：－1≤x ≤5，因为“p 且q ”为真，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－1≤x ≤5，所以实数x 的取值范围为[－1，4]．(2)因为非p 是非q 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件， 因为若q 真：2－m ≤x ≤2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m ≤－2，4≤2＋m ，且等号不同时取得，所以m ≥4.18．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m 0，使不等式m 0＋f (x )＞0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由； (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)＞0成立，求实数m 的取值范围．解：(1)不等式m 0＋f (x )＞0可化为m 0＞－f (x )，即m 0＞－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m 0＞－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m 0＞－4即可．故存在实数m 0使不等式m 0＋f (x )＞0对于任意x ∈R 恒成立，此时需m 0＞－4. (2)不等式m －f (x 0)＞0可化为m ＞f (x 0)，若存在一个实数x 0使不等式m ＞f (x 0)成立，只需m ＞f (x 0)min . 又f (x 0)＝(x 0－1)2＋4， 所以f (x 0)min ＝4， 所以m ＞4.所以所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．19．(本小题满分12分)已知p ：x －5x －3≥2，q ：x 2－ax ≤x －a ，若非p 是非q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：因为p ：x －5x －3≥2，所以x －1x －3≤0，所以1≤x ＜3.因为q ：x 2－ax ≤x －a ， 所以x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0. ①当a ＜1时，a ≤x ≤1； ②当a ＝1时，x ＝1； ③当a ＞1时，1≤x ≤a .因为非p 是非q 的充分条件， 所以q 是p 的充分条件．设q 对应集合A ，p 对应集合B ，则A ⊆B ，当a ＜1时，A B ，不合题意； 当a ＝1时，A ⊆B ，符合题意；当a ＞1时，1≤x ≤a ，要使A ⊆B ，则1＜a ＜3. 综上，a 的取值范围为a ∈[1，3)．20．(本小题满分13分)已知a ＞0，函数f (x )＝ax －bx 2.(1)当b ＞0时，若对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；(2)当b ＞1时，证明：对任意x ∈[0，1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b . 证明：(1)此题等价于对所有x ∈R 有ax －bx 2≤1，即bx 2－ax ＋1≥0， 因为b ＞0，所以Δ＝a 2－4b ≤0. 又因为a ＞0，所以a ≤2b .(2)①必要性：设对所有x ∈[0，1]，有|f (x )|≤1，即－1≤ax －bx 2≤1. 令x ＝1∈[0，1]，则有－1≤a －b ≤1，即b －1≤a ≤b ＋1.因为b ＞1，所以12－12b ≤a 2b ≤12＋12b.这说明a2b ∈[0，1]．所以f ⎝⎛⎭⎫a 2b ≤1，即a 22b －b ·a 24b2≤1.所以a 2≤4b ，a ≤2b .综上所述，有b －1≤a ≤2b . ②充分性：设b －1≤a ≤2b .因为b ＞1，所以a 2b ＝a 2b ·1b＜1.所以当x ∈[0，1]时f (x )的最大值为f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2b ＝a ·a 2b －b ·a 24b 2＝a 24b＜1.又因为f (x )的图像是开口向下的抛物线，所以当x∈[0，1]时，f(x)的最小值f(x)min＝min{f(0)，f(1)}＝min{0，a－b}≥－1.所以当x∈[0，1]时，|f(x)|≤1.综合①②可知，当b＞1时，对任意x∈[0，1]有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b.。

[A.基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A.由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 解析：选B.A ，C 为全称命题；对于B ，当x ＝0时，x 2＝0≤0，正确；对于D ，显然错误．3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A ．每一个二次函数的图像都开口向上B ．存在一条直线与两个相交平面都垂直C ．存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＜0D ．对任意c ≤0，若a ≤b ＋c ，则a ≤b解析：选D.对A 当二次项系数小于零时不成立，A 为假命题；B 、C 均为特称命题．故选D.4．下列命题是假命题的为( )A ．存在x ∈R ，lg e x ＝0B ．存在x ∈R ，tan x ＝xC ．任意x ∈(0，π2)，1tan x＞cos x D ．任意x ∈R ，e x ＞x ＋1解析：选D.对A ，x ＝0时成立，为真命题；对B ，当x ＝0时成立，为真命题；对C ，因为x ∈(0，π2)，cos x ＞0，0＜sin x ＜1，所以1tan x ＝cos x sin x＞cos x ，为真命题，故选D. 5．已知正四面体A -BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是( )A ．对任意的F ∈BC ，EF ⊥ADB ．存在F ∈BC ，EF ⊥ACC ．对任意的F ∈BC ，EF ≥ 3D ．存在F ∈BC ，EF ∥AC解析：选A.因为△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点，⎭⎪⎬⎪⎫所以BE ⊥AD 同理CE ⊥AD BE ∩CE ＝E ⇒AD ⊥平面BCE ， 故AD ⊥EF .6．“对于任意的x ∈Z ，2x ＋1是整数”的逆命题是________．答案：若2x ＋1是整数，则x ∈Z7．若对任意的x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________．解析：依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)8．若对任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a ＜0，则实数a 的取值范围是________．解析：命题为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4－4a 2＜0.解得a ＜－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2；(2)存在x ∈{x |x ＞1}，log 2x ＋log x 2＜2；(3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．解：(1)全称命题．由于x 2－x ＜2⇔x 2－x －2＜0⇔－1＜x ＜2，所以任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2成立．真命题．(2)特称命题．当x ∈{x |x ＞1}时，log 2x ＞0，故log 2x ＋log x 2＝log 2x ＋1log 2x≥2，当且仅当x ＝2时，(log 2x ＋log x 2)min ＝2，所以不存在x ∈{x |x ＞1}，使log 2x ＋log x 2＜2成立．假命题．(3)全称命题．当a ＞1时，指数函数f (x )＝a x 为增函数，当0＜a ＜1时，指数函数f (x )＝a x 为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除，真命题．10．不等式x 2－2mx －1＞0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．解：法一：因为Δ＝4m 2＋4＞0恒成立，所以设方程x 2－2mx －1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2 .因为{x |1≤x ≤3}⊆{x |x 2－2mx －1＞0}＝{x |x ＞x 2或x ＜x 1}，所以方程x 2－2mx －1＝0的两根x 1，x 2都大于3或都小于1.因为x 1x 2＝－1＜0，所以两根都小于1.令y ＝x 2－2mx －1，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1，f （1）＞0， 解得m ＜0.所以m 的取值范围为{m |m ＜0}．法二：因为1≤x ≤3，x 2－2mx －1＞0，所以m ＜x 2－12x ＝12⎝⎛⎭⎫x －1x . 当x ∈[1，3]时，函数y ＝x －1x是增加的， 所以12⎝⎛⎭⎫x －1x ∈⎣⎡⎦⎤0，43，所以m ＜0. [B.能力提升]1．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．存在x ∈R ，使f (x )≤f (x 0)B ．存在x ∈R ，使f (x )≥f (x 0)C ．对任意x ∈R ，使f (x )≤f (x 0)D ．对任意x ∈R ，使f (x )≥f (x 0)解析：选C.由x 0＝－b 2a(a >0)及抛物线的相关性质可得选项C 是错误的． 2．有四个关于三角函数的命题：p 1：存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；p 2：存在x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：对任意的x ∈[0，π], 1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2. 其中假命题为( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 3，p 4解析：选A.由于对任意x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故p 1是假命题； 当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z )时，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立，故p 2是真命题．对于p 3：任意x ∈[0，π]，1－cos 2x 2＝2sin 2x 2＝|sin x |＝sin x 为真命题． 对于p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2为假命题，例如x ＝π，y ＝π2，满足sin x ＝cos y ＝0，而x ＋y ＝3π2. 3．命题“对任意x ∈R ，存在m ∈Z ，使m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34，所以只需m 2－m ＜34，即－12＜m ＜32.所以当m ＝0或m ＝1时，对任意x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此该命题是真命题． 答案：真4．已知定义在(－∞，3]上的减函数f (x )，使f (a 2－sin x )≤f (a ＋1＋cos 2x )对于任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由函数单调性得3≥a 2－sin x ≥a ＋1＋cos 2x 对任意x ∈R 均成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3＋sin x ，a 2－a ≥sin x ＋cos 2x ＋1对任意x ∈R 均成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤（3＋sin x ）min ，a 2－a ≥（sin x ＋cos 2x ＋1）max ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，a 2－a ≥94. 解得－2≤a ≤12－102. 答案：⎣⎡⎦⎤－2，12－102 5．若不等式t 2－2at ＋1≥sin x 对一切x ∈[－π，π]及a ∈[－1，1]都成立，求t 的取值范围．解：因为x ∈[－π，π]，所以sin x ∈[－1，1]，于是由题意可得对一切a ∈[－1，1]不等式t 2－2at ＋1≥1恒成立．由t 2－2at ＋1≥1得2t ·a －t 2≤0.令f (a )＝2t ·a －t 2，则f (a )在t ≠0时是关于a 的一次函数，当t ＝0时，显然f (a )≤0成立，当t ≠0时，要使f (a )≤0在a ∈[－1，1]上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝2t －t 2≤0，f （－1）＝－2t －t 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≤－2或t ≥2.故t 的取值范围是t ≤－2或t ＝0或t ≥2.6．(选做题)若x ∈[－2，2]，不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解：设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则问题转化为当x ∈[－2，2]时，[f (x )]min ≥0即可．①当－a 2＜－2，即a ＞4时，f (x )在[－2，2]上是增加的，[f (x )]min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，又a ＞4，所以a 不存在． ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时， [f (x )]min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝12－4a －a 24≥0， 解得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a 2＞2，即a ＜－4时，f (x )在[－2，2]上是减少的，[f (x )]min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，又a ＜－4，所以－7≤a ＜－4.故a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．。