角动量守恒
现在我们来讨论物体的转动。有关转动的运动学我们在第一章已经了解得很
清楚了，有趣的是，你发现在转动和线性运动之间几乎每一个量都是相互对应的。
譬如，就象我们讨论位置和速度那样，在转动中可以讨论角位置和角速度。速度
说明物体运动得多快，而角速度则反映了物体转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快，角度变化也越快。再继续下去，我们可以把角速度对时间微分，并称2
d dt d dt αω==ΦK K K 2为角加速度，它与通常的加速度相对应。 当然，转动只是一种形式稍微特殊一点的运动，其动力学方程也就无外乎
Newton 定律了。当然，由于这种运动只涉及转动，因此，我们也许可以找到一
些更加适合描述转动的物理量以及相应的作为Newton 第二定律推论的动力学
方。为了将该转动动力学和构成物体的质点动力学规律联系起来，我们首先就应
当求出，当角速度为某一值时，某一特定质点是如何运动的。这一点我们也是已
经知道了的：假如粒子是以一个给定的角速度ωK 转动，我们发现它的速度为
v r ω=×K K K (1)
接下来，为了继续研究转动动力学，就必须引进一个类似于力的新的概念。
我们要考察一下是否能够找到某个量，它对转动的关系就象力对线性运动的关系
那样，我们称它为转矩(转矩的英文名称torque 这个字起源于拉丁文torquere ，即
扭转的意思)。力是线性运动变化所必须的，而要使某一物体的转动发生变化就
需要有一个“旋转力”或“扭转力”，即转矩。定性地说，转矩就是“扭转’；但
定量地说，转矩又应该是什么呢？因为定义力的一个最好的办法是看在力作用下
通过某一给定的位移时，它做了多少功，所以通过研究转动一个物体时做了多少
功就能定量地得出转矩的理论。为了保持线性运动和转动的各个量之间的对应关
系，我们让在力作用下物体转过一个微小距离时所做的功等于转矩与物体转过的
角度的乘积。换句话说，我们是这样来定义转矩，使得功的定理对两者完全相同：
力乘位移是功，转矩乘角位移也是功。这就告诉了我们转矩是什么。如果粒子的
位矢转过一个很小的角度，它做了多少功呢？这很容易。所做的功是
()()W F dr F d r r F d =⋅=⋅Φ×=×⋅ΦK K K K K K K K d (2)
这就是说，所做的功的大小实际上等于物体转过的角位移乘上力和距离的某种组
合（矢量积）。这个矢量积正是我们所说的转矩，即 , W d r F ττ=⋅Φ≡×K K K K K d (3) 由于功定义为转矩乘角位移，所以我们就得出了用力表示的转矩公式。(显然，
转矩并不是一个与牛顿力学完全无关的新的概念，转矩必须有一个明确的借助于
力的定义。)
必须强调指出，转矩是相对于某一给定原点而言的。假如选取不同的原点，
则r 就改变了，转矩的值以及它的方向(一般说来)也要改变。 K
根据矢量积的一般性质，转矩的方向由从r K 到F K 的右手螺旋确定，而转矩的
大小你既可以用代数的方法由其三个分量i ijk j k x F τε=的平方相加后再取开方
得到，也可以利用几何的方法得到：它就是由r K 和F K 构成的平行四边形的面积，
因此 sin r F rF τθ=×=K K (4) 在物理上，对于最后一个公式可以给出两个解释。如果你把sin θ与组合在一
起，那就是说，转矩也等于力的切向分量(垂直
于位矢)和径向距离的乘积。根据转矩的一般概念就
能了解，假如力完全是径向的，它就不能使物体“扭
转”，而如果力完全是切向的，那么物体就只能转
动，；很明显，扭转效应仅与不是把它从中心拉出来
的那部分力有关，这部分力就是切向分量。
F t F 如果你把式(4)右边的sin θ与组合在一起，
这个量正是假如我们延长力的作用线，并画一条与力的作用线垂直的直线段OQ (即力臂)的长度，因此，转矩也可以写成力的大
小乘力臂的长度，力臂越长，扭转的效应就越显著，当然，如果这个力正好作用
在原点上，根本不会发生扭转。
r
K K 图1
转矩通常也叫力矩。在数学上“矩”(moment)的意思是用离开原点的距离多
少来加以权重。值得指出的是，由公式(3)给出的功仅仅在物体只作转动或者说
力只有切向分量的情况下才是正确的，如果力还有径向分量，那么在功的表达式
中就应该把这部分力的贡献也包含进去。也就是说，在一般情况下，当物体移动
一个小的位移dr 时，力所做的功等于 K
()(ˆˆˆˆˆ r F dr F d rr F rdr rF dr F rdr
rF d r F dr d τ⋅=⋅=⋅+⋅)=⋅+⋅Φ×=+⋅Φ
K K K K K K K K K K (5) 第二项正是是力的切向分量所做的功，而第一项则是力的径向分量所贡献的功。
值得指出的另一点是，对于保守力，势能函数对坐标的微商的负值就是力，而相应的，如果势能是与角度有关的，那么对角度微商的负值就等于力矩。举个
简单的例子最容易明白。譬如重力势能
()U r mg r =−⋅K K K (6)
在迪卡尔坐标系下，它就是
()2U r mgx =+K (7) 因此 1213
0, U U F F x x ∂∂=−==−=−∂∂mg (8) 最后一个等式中的符号表示力与2x 增加的方向（2ˆx
）相反，即是竖直向下的。现在我们利用极坐标系将势能表示为
()sin U r mgr θ=+K (9)
那么 sin r U F mg r θ∂=−=−∂ (10) 正是径向方向上力的分量ˆr F F =⋅r
K ，符号表示它与坐标增加的方向（即径向）相反；而 r ˆr
