第五章参数估计与非参数估计

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参数估计知识点

参数估计知识点一、知识概述《参数估计》①基本定义：简单说，参数估计就是通过样本数据去猜总体的一些参数。

比如说，想知道全校学生的平均身高，不可能一个一个去量，那就找一部分学生（样本）量出他们的身高，然后根据这部分学生的身高数据来推测全校学生（总体）的平均身高，这个推测的过程就是参数估计。

②重要程度：在统计学里那可相当重要。

就像要了解一个大群体的情况，直接研究整体往往很难，通过参数估计从样本推测整体的情况就变得可行而且高效。

无论是搞市场调查，还是科学研究，这个工具相当好使。

③前置知识：得有点基本的数学知识，像平均数、方差这些概念要能明白，还得对抽样有点概念，知道怎么从一个大群体里抽取样本出来。

④应用价值：在各种实际场景里都有用。

比如企业想了解消费者对产品的满意度，不可能访谈每个消费者，抽样一部分做参数估计就好了。

还有估算农作物亩产量之类的，都可以用到。

二、知识体系①知识图谱：在统计学里，参数估计是推断统计的一部分，是和假设检验等方法相互联系的。

推断统计主要就是根据样本信息推断总体特征，而参数估计是其中很核心的一部分。

②关联知识：和抽样分布密切相关啊。

抽样分布是参数估计的理论基础，如果不知道抽样分布，那参数估计就像无根之木。

还和概率相关，毕竟在样本中各种数值出现是有概率的。

③重难点分析：掌握难度嘛，开始会觉得有点抽象。

关键在于理解样本和总体之间的关系，以及怎么根据不同的条件选择合适的估计方法。

④考点分析：在统计学考试里常考。

考查方式有直接给样本数据让进行参数估计，或者结合其他知识点，像给出抽样分布然后问参数估计的结果之类的。

三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：参数估计就是根据样本统计量去估计总体参数。

总体参数就是描述总体特征的数值，像总体均值、方差之类的。

样本统计量就是从样本里计算出来的值，比如说样本均值、样本方差等。

②特征分析：不确定性算一个特点吧。

毕竟样本不是总体，根据样本做的估计不可能完全精准。

教育与心理统计学第五章假设检验考研笔记-精品

把出现小概率的随机事件称为小概率事件。
假设检验中的小概率原理［一级］［16J］
假设检验的基本思想是概率性质的反证法，即其基本思想是基于〃小概率事件在一次实验中不可能发生”这一原理。首先假定虚无假设为
真，在虚无假设为真的前提下,如果小概率事件在一次试验中出现，则表明〃虚无假设为真"的假定是不止确的，因为假定小概率事件在
一次试验中是不可能出现的，所以也就不能接受虚无假设，应当拒绝零假设。若没有导致小概率事件出现，那就认为"虚无假设为真”的
假定是正确的，也就是说要接受虚无假设。假设推断的依据：小概率事件是否出现，这是对假设作出决断的依据。
检验的假设
Ho为真
真实情况
检验的事件发生的概率在99%或95%的范围内
检验的事件发生的概率在5%或1%以内
错误的概率，其前提是“Ho为假
②它们都是在做假设检验的统计决策时可能犯的错误,决策者同时面临犯两种错误的风险,因此都极力想避免或者减少它们，但由于在忠
体间真实差异不变情况下，它们之间是一种此消彼长的关系，即a大时，0小；c（和B不能同时减少。
③在其他条件不变的情况下，不可能同时减小或增大两种错误的发生可能,常用的办法是固定a的情况下尽可能减小B，比如通过增大样本
若进行假设检验时总体的分布形态已知，需要对总体的未知参数进行假设检验，称其为参数假设检验。
（三）非参数检验［一级］
若对总体分布形式所知甚少，需要对未知分布函数的形式及其他特征进行假设检验，通常称为非参数假设检验。
（四）小概率事件和显著性水平
（1）假设推断的依据就是小概率原理
小概率事件：通常情况下，将概率不超过0.05（即5%）的事件当作“小概率事件"，有时也定为概率不超过0.01（即1%）或0.001（0.1%\

非参数估计(完整)PPT演示课件

P p xdx p xV R
Pˆ k N
pˆ x k / N
V
对p(x) 在小区域内的平均值的估计
9
概率密度估计
当样本数量N固定时，体积V的大小对估计的效果影响很大。
过大则平滑过多，不够精确；过小则可能导致在此区域内无样本点，k=0。
此方法的有效性取决于样本数量的多少，以及区域体积选择的合适。
11
概率密度估计
理论结果：
设有一系列包含x 的区域R1，R2，…,Rn,…，对 R1采用1个样本进行估计，对R2用2 个，…， Rn 包含kn个样本。Vn为Rn的体积。
pn
x

kn / N Vn
为p(x)的第n次估计
12
概率密度估计
如果要求 pn x 能够收敛到p(x)，那么必须满足：
分布，而不必假设密度函数的形式已知。
2
主要内容
概率密度估计 Parzen窗估计 k-NN估计最近邻分类器（NN） k-近邻分类器（k-NN）
3
概率密度估计
概率密度估计问题：
给定i.i.d.样本集： X x1, x2 , , xl
估计概率分布： p x
4
概率密度估计
10.0
h1 0.25
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 2 0 2
h1 1 2 0 2
h1 4 2 0 2 27
由图看出, PN(x)随N, h1的变化情况 ①当N＝1时， PN(x)是一个以第一个样本为中心的正

第五章参数估计

(总体方差未知时，以样本方差代替)
1
X 2 t n1 n2 2
2
2 Sp
n1
n2
X
1
X 2 z
2
2 S12 S 2 n1 n2
2 Sp
2 2 n1 1S1 n2 1S 2
n1 n2 2
20
例题：

分别在城市1和城市2中随机抽取n1=400， n2=500的职工进行调查，经计算两城市职工的平均月收入及标准差分别为X1=1650元，
22
思考题：

一个研究机构做了一项调查，以确定稳定的吸烟者每周在香烟上的消费额。他们抽取49位固定的吸烟者，发现均值为20元，标准差5元。
1.总体均值的点估计是多少？
2.总体均值μ的95%置信区间是什么？
23
思考题解答：
1.总体均值的点估计是20元。
2.总体均值μ的95%置信区间：随机变量X表示每周香烟消费额，由题意可知，X=20， S=5，1-α=0.95，α=0.05；n=49 属于大样本，σ 未知以S估计。总体均值μ的95%置信区间为
P z Z z 1 2 2
P L U 1
X P z z 1 2 2 n
Step3：将上面等式进行等价变换即可。
P L U 1
第五章参数估计
第五章参数估计

利用样本数据对总体特征进行推断，通常在以下两种情况下进行：

当总体分布类型已知(如：正态)，根据样本数据对总体分布的未知参数进行估计或检验。参数估计或参数检验。（如：μ或σ为何？）当总体分布类型未知或知道很少，根据样本数据对总体的未知分布的形状或特征进行推断。非参数检验。（如：是否正态分布？是否随机？）

非参数估计(完整)ppt课件

1 1 u 1 , ,d j , j u 2 0 o th e r w is e
中心在原点的单位超立方体
Parzen窗估计
落入以X为中心的立方体区域的样本数为：
x xi kn i 1 hn X处的密度估计为：
n
n k / n x x 1 1 n i ˆ p x n V n n V i 1 n h n
估计P(x|ω1)即PN(x) x6 0 1 2 x5 x3 x1 x2 3 4
1
x4 5 6
x
( u ) 解：选正态窗函数
12 exp( u ) 2 2
2
| x | | x | 1 1 x x i i ( ) ( u ) ( ) exp[ ] 2 2h h N N
P k 的期望值为： Ek N
对P的估计：
k ˆ P N
当 N 时，估计是非常精确的
概率密度估计

假设p(x)是连续的，且R足够小使得p(x)在R内几乎没有变化。
令R是包含样本点x的一个区域，其体积为V，设有 N个训练样本，其中有k落在区域R中，则可对概率密度作出一个估计： k ˆ P p x d x p x V P N R
可以验证： p ˆn x 0
ˆ x x1 d p
n
窗函数的要求
Parzen窗估计过程是一个内插过程，样本xi
距离x越近，对概率密度估计的贡献越大，越远贡献越小。只要满足如下条件，就可以作为窗函数：
u 0
u 1 u d
窗函数的形式
方窗函数
1 1, | u | (u ) 2 0.其他

《统计学》课后练习题答案

4.用Excel汇总第二季度中三个月份的资料，用（）功能。（知识点3.3答案：B）
A．透视表B.合并计算C.单变量求解D.分类汇总
5.小张收集了1957-2007年中国GDP的数据，如果要反映这50年我国生产发展的趋势，用什么图形最为合适？（）（知识点3.5答案：D）
A.直方图B.散点图C.饼图D.折线图
37
பைடு நூலகம்33.6
130-140
12
10.9
103
93.6
19
17.3
140-150
5
4.5
108
98.2
7
6.4
150-160
2
1.8
110
100.0
2
1.8
合计
110
100
—
—
—
—
A.树苗高度低于110厘米的占总数的39.1%B.树苗高度低于110厘米的占总数的84.5%
C.树苗高度高于130厘米的有19棵D.树苗高度高于130厘米的有103棵
第二章数据的收集与整理
2.1数据的来源
2.2统计调查方案设计
2.3调查方法
2.4调查的组织方式：普查、抽样调查、重点调查、典型调查
2.5抽样的组织方式：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样
2.6数据的审定：误差
2.7数据的分组
2.8.编制次数分布表：频数（次数）、频率
习题
一、单项选择题
1．小吴为写毕业论文去收集数据资料，（）是次级数据。(知识点：2.1答案：C)
A.指标B.标志C.变量D.标志值
8.以一、二、三等品来衡量产品质地的优劣，那么该产品等级是（）。(知识点：1.7答案：A)
A.品质标志B.数量标志C.质量指标D.数量指标

信号检测与估计理论(复习题解)

优缺点
最大似然估计法具有一致性和渐近无偏性等优点，但在小样本情况下可能存在偏差。此外，该方法对模型的假设较为敏感，不同的模型假设可能导致不同的估计结果。
最小二乘法
01
原理
最小二乘法是一种基于误差平方和最小的参数估计方法，它通过最小化预测值与观测值之间的误差平方和来估计模型参数。
02 03
步骤
首先，构建包含未知参数的预测模型；然后，根据观测数据计算预测值与观测值之间的误差平方和；接着，对误差平方和求导并令其为零，得到参数的估计值；最后，通过求解方程组得到参数的最小二乘估计值。
优缺点
最小二乘法具有计算简单、易于实现等优点，但在处理非线性问题时可能效果不佳。此外，该方法对异常值和噪声较为敏感，可能导致估计结果的偏差。
01
小波变换基本原理
小波变换是一种时频分析方法，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺
度细化分析，能够同时提供信号的时域和频域信息。
02
小波变换在信号去噪中的应用
小波变换具有良好的时频局部化特性，可以用于信号的去噪处理。通过
对小波系数进行阈值处理等操作，可以有效去除信号中的噪声成分。
03
小波变换在信号特征提取中的应用
3. 观察相关函数的峰值，判断是否超过预设门限。
实现步骤
2. 将待检测信号与本地参考信号进行相关运算。
优缺点：相关接收法不需要严格的信号同步，但要求参考信号与待检测信号具有较高的相关性，且容易受到多径效应和干扰的影响。
能量检测法
原理：能量检测法通过计算接收信号的能量来判断信号是否存在。在噪声功率已知的情况下，可以通过比较接收信号的能量与预设门限来判断信号是否存在。 1. 计算接收信号的能量。
经典参数估计方法

概率密度函数的估计

概率密度函数是描述随机变量取值概率分布的函数，是概率论中的核心概念。在实际问题中，类条件概率密度常常是未知的，因此需要通过样本集进行估计。估计方法主要分为参数估计和非参数估计两种。参数估计是在概率密度函数形式已知但参数未知的情况下，通过训练数据来估计参数，常用方法ห้องสมุดไป่ตู้最大似然估计和Bayes估计。最大似然估计是通过最大化似然函数来求解参数，使得估计出的概率密度函数最符合样本数据的分布。而Bayes估计则考虑了参数的先验分布，通过贝叶斯公式求出参数的后验分布，进而得到估计量。非参数估计是在总体概率密度函数形式未知的情况下，直接利用训练数据对概率密度进行推断，主要方法有Parzen窗法和kN-近邻法。Parzen窗法是通过某种函数表示某一样本对待估计的密度函数的贡献，所有样本所作贡献的线性组合视作对某点概率密度的估计。而kN-近邻法则是把窗扩大到刚好覆盖kN个点，落在窗内的样本点的数目固定，但窗宽是变化的，从而提高了分辨率。这些方法在模式识别、机器学习等领域有广泛应用，特别是在设计贝叶斯分类器时，需要利用样本集来估计类条件概率密度，进而完成分类器的设计。

第五章参数估计与非参数估计

置信区间计算与解读

置信区间计算与解读置信区间是统计学中常用的一种方法，用于估计总体参数的范围。

在实际应用中，我们往往无法获得总体的全部数据，而只能通过抽样得到一部分样本数据。

通过计算置信区间，我们可以对总体参数进行估计，并给出一个范围，以表明我们对估计结果的不确定性程度。

一、置信区间的计算方法置信区间的计算方法主要有两种：参数估计法和非参数估计法。

1. 参数估计法参数估计法是基于总体参数的分布进行计算的。

常见的参数估计法有正态分布的置信区间和二项分布的置信区间。

（1）正态分布的置信区间当总体服从正态分布时，我们可以使用正态分布的性质来计算置信区间。

假设我们要估计总体均值μ的置信区间，已知样本均值为x̄，样本标准差为s，样本容量为n，置信水平为1-α（通常取95%或99%），则置信区间的计算公式为：x̄± Z * (s/√n)其中，Z为标准正态分布的分位数，可以在标准正态分布表中查找。

（2）二项分布的置信区间当总体服从二项分布时，我们可以使用二项分布的性质来计算置信区间。

假设我们要估计总体比例p的置信区间，已知样本比例为p̄，样本容量为n，置信水平为1-α（通常取95%或99%），则置信区间的计算公式为：p̄± Z * √(p̄(1-p̄)/n)其中，Z为标准正态分布的分位数，可以在标准正态分布表中查找。

2. 非参数估计法非参数估计法是基于样本数据的分布进行计算的。

常见的非参数估计法有中位数的置信区间和百分位数的置信区间。

（1）中位数的置信区间中位数是样本数据的中间值，可以用来估计总体的中位数。

假设我们要估计总体中位数的置信区间，已知样本中位数为Me，样本容量为n，置信水平为1-α（通常取95%或99%），则置信区间的计算公式为：Me ± Z * (1.253 * MAD / √n)其中，Z为标准正态分布的分位数，可以在标准正态分布表中查找，MAD为样本数据的绝对中位差。

（2）百分位数的置信区间百分位数是样本数据的某个百分比位置的值，可以用来估计总体的百分位数。

第5章参数估计

猎物射击,结果该猎物身中一弹,你认为谁打中的可能
性最大? 根据经验而断:老猎人打中猎物的可能性最大. 极大似然估计法的思想就是对固定的样本值，选
择待估参数的估计值使“样本取样本值”[离散型]或 “样
本取值落在样本值附近”[连续型] 的概率最大。
(2、极大似然估计的求法
单参数情形
根据总体分布律写出似然函数：换x 为xi
来得到待估参数θ 的极大似然估计值(驻点);
③ 、必要时,参照极大似然估计值写出极大似然
估计量.
【例6】求服从二项分布B(m，p)的总体X未知参数 p的极大似然估计量。〖解〗单参数，离散型。因为总体 X
~ B(m, p),
x m x
其分布律为
m x
f ( x; p) C p (1 p)
下面分离散型与连续型总体来讨论. 设离散型总体X的分布律
P{X x} p( x; )
( )
形式已知,θ 为待估参数. X 1 , X 2 ,..., X n 为来自总体X的
样本, x1 , x2 ,..., xn 为其样本值,则 X 1 , X 2 ,..., X n 的联合分
布律为:
用其观察值
ˆ( X , X ,..., X ), 1 2 n
——θ 的估计量
ˆ( x , x ,..., x ) 1 2 n
——θ 的估计值
来估计未知参数θ .
今后,不再区分估计量和估计值而统称为θ 的估计,
ˆ . 均记为
二、构造估计量的两种方法
1、矩估计法理论根据:样本矩(的连续函数)依概率收敛于总
因为X~N(μ ,σ 2),所以X总体的概率密度为
2 1 (x ) 2 f ( x; , ) exp ( R, 0) 2 2 2

《应用多元分析》第三版(第五章判别分析)

❖ 本章介绍三种常用的判别分析方法：距离判别、贝叶斯（Bayes）判别和费希尔（Fisher）判别。
§5.2 距离判别
❖ 一、两组距离判别 ❖ 二、多组距离判别
一、两组距离判别
❖ 设组π1和π2的均值分别为μ1和μ2，协差阵分别为Σ1和 Σ2(Σ1,Σ2>0) ，x是一个新样品（p维），现欲判断它来自哪一组。
25
1.01
0.4
26
1.45
0.26
27
1.56
0.67
28
0.71
0.28
29
1.5
0.71
30
1.37
0.4
31
1.37
0.34
32
1.42 0.43
33
0.33
0.18
34
1.31
0.25
35
2.15
0.7
36
1.19
0.66
37
1.88
0.27
38
1.99
0.38
39
1.51
0.42
40
1.68
❖ 1. Σ1=Σ2=Σ时的判别 ❖ 2. Σ1≠Σ2时的判别
1. Σ1=Σ2=Σ时的判别
❖ 判别规则：
x x
1 2
, ,
若d 2 x,1 d 2 x, 2 若d 2 x,1 d 2 x, 2
❖
令W
x
a
x
μ
，其中
μ
1 2
μ1
μ2
，
a Σ 1 μ1 μ2 ，则上述判别规则可简化为
x x
1, 2,
若W x 0 若W x 0
❖ 称W(x)为两组距离判别的（线性）判别函数，称a为

概率论参数估计

概率论参数估计问题的提出:一、参数估计参数估计总体X的估计有两类：总体X的分布形式已知，未知的只是分布中的参数，要估计的只是参数或参数的某一函数。

二、非参数估计总体X的分布形式未知，要估计的是总体的分布形式。

参数估计点估计区间估计设总体X的分布函数为F(x, ), 未知，的取值范围称为参数空间。

记作。

现估计。

步骤如下：从总体X 中抽取样本(X1, X2, …, X n ) 构造合适的统计量=T(X1, X2, …, X n )估参计数量的估参计数值的将样本观察值(x1, x2, …, x n )代入估计量计算出估计量的观察值=T(x1, x2, …, x n ) 或构造1 = T1(X1, X2, …, X n )和2 =T2(X1, X2, …, X n ) ( 1 2) 用区间( 1, 2 )作为可能取值范围的估计5.1参数的点估计构造点估计的估计量的具体方法有多种，在此，介绍两种方法。

一、矩估计法矩估计法的思想是：用样本的各阶矩去估计总体相应的各阶矩，而总体各阶矩都是总体分布中未知参数的函数，从而，通过估计总体矩来达到估计总体分布中未知参数的目的。

设总体分布为F(x, 1, 2…… , k), i未知，样本(X1, X2, …, X n ) m 1 n m 来自总体X,计算EXAm X i n i 1 令EX X 解未知量1, 2…… , k EX 2 A2EX Akk称为参数1, 2…… , k的矩估计量。

例1:设样本(X1, X2, …, X n )来自总体X,且总体的均值未知，求的矩估计量。

1 n 解：令EX X EX , X X i n i 1 n 1 Xi X n i 1 总体X 的均值矩估计量为一阶样本原点矩例2:设样本(X1, X2, …, X n )来自总体X~N( , 2), 求与2 的矩估计量。

EX X 解：EX 2 A 2 EX EX 2 DX ( EX )2 2 2 X 2 2 A21 n Xi X n i 12 1 n 2 1 n A 2 X X i X ( X i X )2 B2 n i 1 n i 1 2 2例3:设样本(X1, X2, …, X n )来自总体X~P( ), 求的矩估计量。

第5章线性判别函数

t
亦即可以通过调整权值w和w0将样本集合的最小函数间隔调整为1。
模式识别 – 概率密度函数的非参数估计
SVM的准则函数
样本集到分类界面的几何间隔：
1 w
最大，亦即||w||最小，所以SVM可以变为如下的优化问题：在满足

zi w y i w0 1
t
的条件下，最小化准则函数（SVM准则）：
在线性可分的情况下，希望得到的判别函数能够将所有的训练样本正确分类；线性不可分的情况下，判别函数产生错误的概率最小。
模式识别 – 概率密度函数的非参数估计
训练样本的规范化
非规范化：
at y i 0, y i 1 t a y i 0, y i 2
规范化：
模式识别 – 概率密度函数的非参数估计
感知器准则
以错分样本到判别界面距离之和作为准则（感知器准则）：
J P a at y
yY
J P
yY
y
模式识别 – 概率密度函数的非参数估计
感知器算法(批量调整版本)
1. begin initialize a 0 , ,θ, k0 2. do kk+1
3.
if yk is misclassified by a then
a k 1 a k y k
4. until all patterns properly classified
5. return a
6. end
模式识别 – 概率密度函数的非参数估计
例5.1
有两类模式的训练样本： ω1：{ (0,0), (0,1) } ω2：{ (1,0), (1,1) }

第五章统计推断

2019/4/2
22
本章习题
3. 某种产品生产过程设计规格为每批平均生产 120 个，超过或低于这个标准都是不合理的。有10批产品组成的样本中，每批生产的产品数量如下： 108 118 120 122 119 113 124 122 120 123。检验样本结果能否表示该生产过程运作正常？（假定总体服从正态分布，α=0.05。）
6
1、假设检验问题
【例5.1】在超市上出售的某种品牌方便面，按规定每
包净重少于 100 克的比例不得超过 1%。技术监督部门从某超市的货架上任意抽取 200包该种品牌的方便面，经检验发现有 3包（1.5%）重量少于 100克，试问：超市出售的这种方便面是否符合质量标准？
在本例中，超市上出售的这种方便面的不合格率是未知的，我们关心的问题是：如何根据这 200 包方便面（样本）的不合格率 p=1.5% 来判断超市上出售的这种品牌的方便面（总体）的不合格率 P≤1% 是否成立？
并非因为它存在逻辑的绝对错误，只是因为它存
在的可能性很小。
2019/4/2 14
6、假设检验的一般步骤
（ 1 ）根据所研究的问题，提出原假设 H0 和备择假设H1；
（2）构造检验统计量；
（ 3 ）计算检验统计量的值和检验统计量观测值发生的概率；（4）给定显著性水平α（即发生第一类错误的最大允许概率），并做出统计决策。
2019/4/2
15
5.2 单样本 t 检验
单样本的 T 检验，是一个正态总体在方差未知时，总体均值与某一已知数是否有显著性差异的假设检验；检验统计量为（该统计量服从自由度为n-1的t分布）：
t
x 0 s/ n
x 0

第五章非参数统计方法

此列原假设H0 为：产品包装净重服从均值为500g，标准差为4g的正态分布。有关中间过程列在表12-3中。因本例理论分布的总体参数μ与σ均已知，故可计算出每一组上限为止的“理论频率”。 D统计量值为： D=max{|Sn(x)-Fn(x)|}=0.0165 查D分布表。因本例n大大超过40，我们采用近似的公式计算临界值，即：
非参数统计的历史
非参数统计的形成主要归功于20世纪40年代～50 年代化学家F.Wilcoxon等人的工作。Wilcoxon于 1945 年提出两样本秩和检验， 1947 年 Mann 和 Whitney二人将结果推广到两组样本量不等的一般情况； Pitman于1948年回答了非参数统计方法相对于参数方法来说的相对效率方面的问题；
= 8.1824
2 χ 2 = 8.1824 < χ α (4)
故不拒绝 H 0 ，即不能认为五种不同包装方式之间销售有显著差异。
二、Kolmogorov-Smirnov正态性检验
Kolmogorov-Smirnov 正态性检验根据样本经验分布和理论分布的比较，检验样本是否来自于该理论分布（R语言ks.test {stats} ）。假设检验问题： H :样本来自所给分布
第一节非参数统计的一般问题
在统计学中，如果总体的精确率分布形式已知，而只是其中的某些参数未知时，通常是从总体中随机取样本，根据样本信息对总体参数进行估计或假设检验，这就是一般所说的参数统计方法。但在许多实际问题中，我们对总体分布的具体形式是未知或知之甚少的，只知道总体为连续分布还是离散分布，也不能对总体的分布形式作进一步的假定（如假定总体为近似正态分布等），这时要对总体的某些性质进行统计估计或假设检验，就要采用非参数统计方法。

点估计概述

对任意 0
2 4 证因 ES DS 故由切比雪夫不等式推得 n 1
2 2
2
0P{|S2ES2|}P{|S2 2|}
1 DS 2 2 4 2 2(n 1)
当n时上式左、右端均趋于0 根据相合性定义可知S2是 2的相合估计量
2 有效性定义52(有效性)
ˆ ˆ ˆ ˆ 设1与 2 为参数的两个无偏估计量若D1 D 2 则称 ˆ 较ˆ 有效
1 2
设总体 X 的方差存在且大于零 EX (X1 X2)为 ˆ ˆ X 的一个样本则 1 X 与2 x1 都是的无偏估计量证明例 53
2 1 2
ˆ ˆ 2 1 证明它们都是 2 的无偏估计量并且2 较2
有效
解因为
ˆ E 12 ES 2 2 1 n ( X 1)2 ] 1 n E ( X EX )2 2 ˆ E 1 E[ i i i n i 1 n i 1
1 n DX 2 i n i 1
解由题意知总体X的均值为即EX 因此用样本均值 X作为的估计量看起来是最自然的对给定的样本值计算得 x 1 (168 130 252) 172 .7 9 ˆ ˆ 故 X 与 x 172 .7 分别为的估计量与估计值
注意：
⑴ 估计量与估计值有着本质的不同;
ˆ 若lim E 则称ˆ是的渐近无偏估计量
n
注意如果ˆ 是的无偏估计量 g()是的函数未必能 ˆ 推出 g( )是 g()的无偏估计量
(X 例如总体 X~N( 2) X 是的无偏估计量但 )2 却不
是2 的无偏估计量
例52(1) 设(X1 Xn)为取自总体X的样本总体X的均值为方差为2 则样本均值 X是的无偏估计量解因为EXiEX i1 2 n

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估计则是把待估的参数作为具有某种先验分布的随机变量，通
过对第i类学习样本Xi的观察，使概率密度分布P(Xi/θ)转化为
后验概率P(θ/Xi) ，再求贝叶斯估计。
估计步骤:
① 确定θ的先验分布P(θ),待估参数为随机变量。
② 用第i类样本xi=(x1, x2,…. xN)T求出样本的联合概率密度分布
P(xi|θ)，它是θ的函数。
为比例因子,只与x有
∵ P(Xk| μ)=N(μ,σ2),P(u)=N(μ0,σ02)
N
P( | X i) a
1
exp{ 1 Xk 2
1
exp[ 1
0
2
]}
k1 2
2 2
2 0
a'exp{ 1[ N
Xk
2
0
2
]}
2 k 1
0
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子
a' ' exp{
∴
P( X i | i. i) P( X i | i)
N
P(
X
k
|
i)
k 1
N个学习样本出现概率的乘积
N
N
取对数：log
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P(X k | i)
log P( X k | i)
4
k 1
k 1
对θi求导,并令它为0：
1
...
N k 1
log
P( X
k
|
i)
0
P(Xi/θi)
根据以上四条假定，我们下边就可以只利用第i类学习样本来估计第i类的概率密度，其它类的概率密度由其它类的学习样本来估计。
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3
1.一般原则：第i类样本的类条件概率密度：
P(Xi/ωi)= P(Xi/ωi﹒θi) = P(Xi/θi) 原属于i类的学习样本为Xi=(X1 , X2 ,…XN,)T i=1,2,…M 求θi的最大似然估计就是把P(Xi/θi)看成θi的函数，求出使它最大时的θi值。 ∵学习样本独立从总体样本集中抽取的
待估参数为
服从正态分布 N
i 1
k 1
logP(X k | ) 0
所以在正态分布时
log
P(
X
k
|
)
1 2
log[
2
n
|
|]
1 2
X
k
T
1 X k
代入上式得
N
1
X
k
0
k 1
N
1 X k 0
k 1
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6
所以
1( N X k N ) 0
k 1
1 N
非参数估计：不假定数学模型，直接用已知类别的学习样本的先验知识直接估计数学模型。
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1
二．监督学习与无监督学习
监督学习:在已知类别样本指导下的学习和训练, 参数估计和非参数估计都属于监督学习。
无监督学习:不知道样本类别，只知道样本的某些信息去估计，如：聚类分析。
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B．多维情况：n个特征（学生可以自行推出下式）
估计值：1
1 N
N k 1Xk2Fra bibliotek1 N
N k 1
Xk
T
Xk
结论：①μ的估计即为学习样本的算术平均
②估计的协方差矩阵是矩阵
Xk
Xk
T
的算
术平均（nⅹn阵列， nⅹn个值）
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二.贝叶斯估计
最大似然估计是把待估的参数看作固定的未知量，而贝叶斯
2
§5-2参数估计理论
一．最大似然估计
假定：
①待估参数θ是确定的未知量 ②按类别把样本分成M类X1，X2，X3，… XM
其中第i类的样本共N个
Xi = (X1,X2,… XN)T 并且是独立从总体中抽取的
③ Xi中的样本不包含 j (i≠j)的信息，所以可以对每一
类样本独立进行处理。
④ 第i类的待估参数 i (1, 2,... n)T
1 2
[( N
2
1)
2 0
2
2( 1
2
N k 1
Xk
0 )]}
2 0
12
其中a’,a’’包含了所有与μ无关的因
∴P(μ| xi)是u的二次函数的指数函数 ∴P(μ| xi)仍然是一个正态函数, P(μ|Xi)=N(μN,σN2)
③ 利用贝叶斯公式,求θ的后验概率
P( | X i)
P( X i | ).P( ) P(X i | )P( )d
④ 求贝叶斯估计 P( | X i)d（证明略）
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10
下面以正态分布的均值估计为例说明贝叶斯估计的过程
一维正态分布:已知σ2,估计μ
假设概率密度服从正态分布:
P(X|μ)=N(μ,σ2), P(μ)=N(μ0,σ02) 第i类学习样本xi=(x1, x2,…. xN)T, 第i类概率密度P(x|μi,xi)=P(x|xi)
1 (X
2
k
1)
0
N
k 1
2
log
P(X k
| i)
N
[
k 1
1
2 2
(X k 1)2]
2
2 2
0
1
1
1 N
N
Xk
k 1
即学习样本的算术平均
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2
2 1
1 N
N k 1
2
Xk
样本方差
8
讨论：
1.正态总体均值的最大似然估计即为学习样本的算术平均 2.正态总体方差的最大似然估计与样本的方差不同，当N较大的时候，二者的差别不大。
i=1,2,…M
所以后验概率
P( | X i) P( X i | ).P( )
P( X i | )P( )d
(贝叶斯公式)
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因为N个样本是独立抽取的，所以上式可以写成
N
P( | X i) a P(X k | ).P() k 1
其中 a 1
关,与μ无关
P(X i | )P()d
§5-1 参数估计与监督学习
贝叶斯分类器中只要知道先验概率，条件概率或后验概概率 P(ωi),P(x/ωi), P(ωi /x)就可以设计分类器了。现在来研究如何用已知训练样本的信息去估计P(ωi),P(x/ωi), P(ωi /x) 一．参数估计与非参数估计
参数估计：先假定研究的问题具有某种数学模型，如正态分布，二项分布，再用已知类别的学习样本估计里面的参数。
N
Xk
k 1
这说明未知均值的最大似然估计正好是训练样本的算术
平均。
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7
② ∑， μ均未知
A. 一维情况：n=1对于每个学习样本只有一个特征的简单
情况：
1
1,
2
2 1
log
由上式得
P(
X
k
|
i)
1 2
log
2
2
1
2
2
Xk
2
1
(n=1)
N
代入
k 1
1
log
P( X
k
| i)
N k 1
p
N k 1
1
logP(
X
k
|
i)
0
.........
.........
N k 1
p
logP(
X
k
|
i)
0
利用上式求出 i的估值，即为 i＝
有时上式是多解的, 上图有5个解,只有一个解最大即.
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5
2. 多维正态分布情况
① ∑已知, μ未知,估计μ
P( X i | i)

第五章参数估计与非参数估计

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