数学建模 席位分配问题(课堂PPT)

名额公平分配问题问题的提出名额分配问题是西方所谓的民主政治问题，美国宪法在第一条第二条款指出：‘众议院议员名额……将根据各州的人口比例分配。

’美国宪法从1788年生效以来200多年间，关于公平和人力的实现宪法中所规定的分配原则，美国的政治家和科学家们展开了激烈的讨论。

并提出了多种方法，但没有一种方法能够得到普遍的认可。

下面就日常生活中的实际问题，考虑合理的分配方案问题。

设某高校有5个系共2500名学生，各系学生人数见表格。

现有25个学生代表名额，赢如何分配较为合理。

5个系的学生人数系别一二三四五总和人数11056483622481372500模型假设1、要将名额尽可能的公平的分配，首先考虑的是公平量化，所谓公平，就是学生代表的名额占有率都相等，这样，基于名额占有率相等的分配的方案就是最公平的，在名额占有率不相等时，应要求差距尽可能的小，才能使分配方案更加公平。

2、在计算各个系别的名额分配占有量，这样就确定了公平的分配方案。

3、通常计算的名额占有量是小数，而名额只能整数的分配，这就需要将小数变成整数，解决小数变整数的问题通常采用四舍五入法。

名额占有率=总名额数÷总人数名额占有量=名额占有率×学生数模型建立模型一名额占有率分配=1%，即每一百人才有一个名额。

根据名额占有率可以算出全校名额占有率=252500分配：系别一二三四五总和人数11056483622481372500名额数11.05 6.48 3.62 2.48 1.3725取整11642124显然看出，这种方法出现了缺陷，分的总名额数多出一个，而这一个又无法可分，无论是四舍五入法，还是直接取整，分给二，四其中一个必定对另一个不公平。

所以需要改进。

模型二Hamilton 方法1790年，美国乔治·华盛顿时代的财政部长亚历山大·哈密尔顿（Hamilton）提出了一种解决名额分配的办法，并于1792年被美国国会通过。

材料1202 包阳201298306席位分配问题问题：甲乙两个部门分别有人数a1，a2。

现有代表的名额数为N，如何分配代表人数才能维持相对公平？解决：在公平的条件下，让甲乙各分配n1，n2个代表，然后采取相对不公平度（(a1/n1-a2/n2)/(a2/n2)）指导分配，采用递推法，即对哪个部门不公平，则下一个名额就相应分配给这个部门。

编写程序如下：#include<stdio.h>int main (){double a1,a2;int N,n1,n2;printf("请输入甲乙两个部门的人数a1,a2：\n");scanf("%lf%lf",&a1,&a2);printf("请输入代表总数及甲乙两部门在公平的情况下已经分得的代表人数N,n1,n2：\n");scanf("%d%d%d",&N,&n1,&n2);L1:if ((a1/n1-a2/n2)/(a2/n2)>=0){if (n1+n2<N){n1++; goto L1;}elsegoto L2;}else if((a1/n1-a2/n2)/(a2/n2)<0){if (n1+n2<N){n2++;goto L1;}elsegoto L2;}L2:printf("甲部门分得n1=%d\n乙部门分得n2=%d\n",n1,n2);return 0;}可以通过在程序中输入两部门人数，以及代表名额数，获得相对公平的分配方案。

运行如下：。

摘要：席位分配是日常生活中经常遇到的问题，对于企业、公司、、学校政府部门都能解决实际的问题。

席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、等的具体座位。

假设说，有一个学校要召集开一个代表会议，席位只有20个，三个系总共200人，分别是甲系100，乙系60,丙系40.如果你是会议的策划人，你要合理的分配会议厅的20个座位，既要保证每个系部都有人参加，最关键的就是要对个公平都公平，保证三个系部对你所安排的位置没有异议。

那么这个问题就要靠数学建模的方法来解决。

问题的重述：三个系部学生共200名，（甲系100.乙系60，丙系40）代表会议共20席，按比例分配三个系分别为10、6、4席。

老情况变为下列情况怎样分配才是最公平的，现因学生转系三系人数为103.63.34.（1）问20席该如何分配。

（2）若增加21席又如何分配。

问题的分析：一、通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。

目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数= 某单位总人数比例 总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。

这样最初学生人数及学生代表席位为系名甲乙丙总数学生数100 60 40 200学生人数比例100/200 60/200 40/200席位分配10 6 4 20学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20 按惯例席位分配 10 6 4 20 （1）20席应该甲系10席、乙系6席,丙系4席这样分配二、学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。

重新按惯例分配席位,有系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。

数学建模竞赛试题B题：如何进行人员分配“A公司”是一家从事建筑工程的公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示：表1 人员结构及工资情况目前，公司承接4个工程项目，其中2项是现场施工，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。

由于4个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不同，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2：表2 不同项目和各种人员的收费标准为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3所示：表3 各项目对专业技术人员结构的要求说明：（1）项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；（2）高级工程师相对稀少，而且是保证质量的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备要求不能少于一定数目的限制。

各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；（3）各项目客户对总人数都有限制；（4）由于C，D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支；由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41，应如何合理地分配现有的人员力量，使公司每天的直接受益最大？题目如何进行人员分配目录一、问题重述二、问题分析三、问题假设四、模型建立五、模型求解六、结果分析七、模型评价八、模型改进一、问题重述企业的人力资源管理是一门科学，而人力资源管理最主要的任务是如何把企业现有的人力资源安排到合适的工作岗位，以使企业能够获得更高的经济效益。

尤其是在人力资源稀缺的情况下，合理的安排各人员的任务更是显得至关重要。

接下来我们将要解决的就是一个企业人员分配的问题。

在这个问题中，A建筑工程公司有高级工程师、工程师、助理工程师、技术员等四种不同级别的工作人员，并且公司同时承接了A、B、C、D四个不同的工程项目。

公司不同级别的技术人员的工资是固定不变的，各级别技术人员的数量也是一定的，为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，在各项目的收费标准也是一定的情况下，合理的安排现有的技术人员的任务，将使公司获得一个最大的利润。

§1. 代表席位分配模型一、问题：代表大会的召开，如何分配各单位的代表各方是最公平，最合理？ 例1．分配席位为整数某学校200学生：甲方：100名，乙方：60名，丙方40名，学生代表设20席，公平又简单的办法：按人数比例分配。

1、模型1（比例模型）： 代表名额分配：ii ip n p ⨯=⨯∑∑各单位学生人数代表席位学生总数甲方：()1002002050%2010⨯=⨯=席 乙方：()602002030%206⨯=⨯=席 乙方：()402002020%204⨯=⨯=席 2、模型2（惯例模型）分配席位为小数时——剩余席位分配结余最大的单位： 如：学生总数200人（丙方有6名学生转入甲、乙方各3人）即 甲：103人 乙：63人 丙：34人代表总数仍为20人，则：仍按上述方案分配就出现小数。

按惯例将席位整数19席分配完毕之后，剩余一席按照惯例分配给比例余数最大的丙席，于是分配结果似乎合理，是否合理看下例。

但若总数变化时所出3．惯例模型的问题----增加一席代表后的分配情况 增加一席代表后的分配结果：若学生总人数200，分布同2（甲103，乙6，丙34）学生代表人数21人（避免出现表决提案成平面）分配办法：仍按比例和惯例分配：分配结果：使人吃惊，总席为增加1席，丙方反而减少1席，显然“不公平”。

为此，要寻找更加“公平”的分配办法：问题：寻求更好的分配模型，使得分配结果更合理，于是，要解决此问题必须要弄清楚，该问题中什麽是“合理”？或者说我们应在该问题中如何去理解和定义“合理”的 概念。

即有以下的分析。

二．建模分析：席位分配模型——Q 值分配方案1、公平的定义：定义1：设：A 方人数 1p 人，若分配给 1n 个席位，则每席代表人数11p n B 方人数 2p 人，若分配给 2n 个席位，则每席代表人数22p n 则公平的定义为：若：有1212p p n n =成立，则席位分配是公平的，否则是不公平的。

如何进行人员分配“A公司”是一家从事建筑工程的公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示：表1 人员结构及工资情况目前，公司承接4个工程项目，其中2项是现场施工，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。

由于4个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不同，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2：表2 不同项目和各种人员的收费标准为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3所示：表3 各项目对专业技术人员结构的要求说明：（1）项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；（2）高级工程师相对稀少，而且是保证质量的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备要求不能少于一定数目的限制。

各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；（3）各项目客户对总人数都有限制；（4）由于C，D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支；由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41，应如何合理地分配现有的人员力量，使公司每天的直接受益最大？2011年高教社杯全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目如何进行人员分配摘要人力资源管理是一个公司进行人力资源分配的重要工作，合理地安排人力资源，能够为企业带来最大的经济效益。

公司不只要对现有的人员进行任务分配，还要使公司的人力资源结构保持一个科学的比例。

本模型旨在为A建筑公司提供一个良好的人员分配方案，达到公司获利最大的目的，以及怎样在以后的人员招聘中使人力资源结构保持一个良好的比例。

在公司现有的情况下，通过分析各种影响因素，排除掉一些不必要的干扰因素，运用整数线性规划和分支定界法的知识建立数学模型，并使用LINGO软件进行编程求解，得出公司人员分配的最佳方案。

公平席位分配问题数学建模数学建模,公平席位问题所在系别:地球科学与资源系专业班级:10级土管6班姓名:刘强1一、摘要本文就是席位分配公平与否的问题。

需要联系生活想象。

它就是在达到所有系最公平的条件下寻求最好的方法，通过对各个合理的计算和研究，总结找出最佳方案。

首先用比例分配法求出本题的答案，然而考虑到实际的多重因素下，在假设一组数据进行检验，然后便发现了问题，即:很多时候根本没有公平的分配方法，我需要另寻其他方法。

找到了以下关于分配的方法:Hamilton (哈密顿)方法、d’Hondt 接着我(汉丁顿)方法、Q值方法、d’Hondt(汉丁顿)方法+Q值法。

将对这些方法进行逐一分析与检验，使得得出一套最佳的合理方案。

即:使得各系席位分配最公平。

关键词:公平分配、最佳方案、最公平二、问题的重述某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位,三、问题的提出与分析分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中。

它涉及的内容十分广泛。

此题一个自然的问题是如何分配席位名额才是公平的呢,反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。

即:mi / xi当各系每席位代表的人数相等时，则就是最公平的分配方法。

此题公平的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲、乙、丙三系分别占有10、6、4个席位。

但是比例分配在实际生活中的应用并不广泛，原因是当所得结果并非整数时，就难以解决了。

此时就需要另寻其他方法了。

Hamilton (哈密顿)方法、d’Hondt(汉丁顿)方法、Q值方法均是求如何分配所总结的方法。

那么什么方法使得能够更大的获得公平呢,四、符号的约定• N 表示总席位数• s 表示系数• ni(i=1.2.3……s) 表示第i个系• mi(i=1.2.3……s) 表示各系中的人数• xi(i=1.2.3……s) 表示各系所获得的席位数?、采用比例分配法xi=(mi/N)*总席数20个席位的分配结果如下表人数系别ni 所占比例分配方案席位数xi mi甲 100 100/200 (50/100)*20=10 102乙 60 60/200 (30/100)*20=6 6丙 40 40/200 (20/100)*20=4 4• 但是我发现实际生活中结果是整数的情况少之又少，• 所以对此我们假设下面这种情况作为参考。